Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải Bài giảng 4: BC và BCNN A. Kiểm tra bài cũ : Tìm BCNN ( 24 ; 30 ) , từ đó tìm tập BC( 24; 30 ) Chú ý : Nếu số tự nhiên A chia cho số tự nhiên B ( B 0 ) đợc thơng là Q và d R thì ta viết : A = B.Q + R , ở đó 0 R < B * Nếu R = 0 thì A = BQ , ta nói A chia hết cho B hay B chia hết A hoặc cũng nói B là ớc của A hay A là bội của B * Nếu R 0 thì A R = BQ chứng tỏ A R chia hết cho B Ví dụ : 2007 chia cho 5 d 2 , vậy 2007 2 = 2005 chia hết cho 5 Kết luận 1 : Nếu A là bội của B thì A có dạng A = Bk , k N Kết luận 2 : Nếu A chia cho B d R thì A R chia hết cho B Bài tập 1 : Tìm số tự nhiên A có 3 chữ số biết A chia cho 5 , 7 , 8 đều d 2 và biết rằng A chia hết cho 3 Số học sinh của một trờng THCS là một số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 5 , hoặc 6 , hoặc 7 đều d 1 . Hỏi trờng đó có bao nhiêu học sinh ? Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 400 mà khi chia số đó cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 đều d 1 nhng chia cho 7 thì không d . Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 ngời , hoặc 25 ngời , hoặc 30 ngời thì đều d 15 ngời , nhng nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ ( không có hàng nào thiếu ngời ,không còn ai ở ngoài hàng ) . Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu ngời ? Biết rằng đơn vị đó cha đến 1000 ngời Tìm số tự nhiên xấp xỉ 1000 , biết số đó chia cho 12 , 18 , 21 đều d 5 Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thởng đều cho một số học sinh . Thởng xong còn thừa lại 4 vở và 18 bút chì không đủ chia đều . Tính số học sinh đợc thởng , và mỗi em đợc thởng bao nhiêu vở và bao nhiêu bút chì? Xem lời giải câu : áp dụng kết luận ta có A 2 chia hết cho 5 , 7, 8 . Vậy A 2 là bội chung của 5 , 7 , 8 . Bội chung nhỏ nhất của 5 , 7 , 8 là 280 . Vậy BC ( 5 , 7 , 8 ) = 280.k với k N .Vậy A 2 = 280.k với k N . Ta có bảng sau k 1 2 3 4 A 2 280 560 840 1120 A 282 562 842 1122 Từ bảng trên chỉ có 282 là chia hết cho 3 Vậy đáp số : A = 282 Xem lời giải câu : Gọi số phải tìm là A , áp dụng kết luận ta có A 1 chia hết cho 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Vậy A 1 là bội chung của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Ta có bội chung nhỏ nhất của 2 , 3 , 4 , 5 , 6 bằng 60 . Vậy BC( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) = 60.k với k N . Vậy A 1 = 60.k với k N Ta có bảng sau : Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 1 Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải k 1 2 3 4 5 6 7 A 1 60 120 180 240 300 360 420 A 59 119 179 239 299 359 419 Từ bảng trên chỉ có số 119 là chia hết cho 7 . Vậy đáp số là 119 Câu hỏi : 1. Lời giải của câu và của câu có gì giống nhau và khác nhau ? 2. Để giải loại bài tập nh trên ta cần ghi nhớ điều gì ? Hãy áp dụng cách giải trên để làm những câu còn lại Kết luận 3 : A = BQ + R thì A + n = BQ + ( R + n ) , nếu R + n B thì A + n B B i tập : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15 d 13 và chia hết cho 23 Gợi ý : Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13 Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ? Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập bảng tìm A Bài tập 2 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 18 ; 30 ; 45 thì có d lần lợt là 8 ; 20 ; 35 . 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chia cho 8 d 6 , chia cho 12 d 10 , chia cho 15 d 13 và chia hết cho 23 Giải câu 1 Gọi số phải tìm là A , ta có : A = 18.n + 8 A + 10 = 18.n + 18 chia hết cho 18 A = 30.m + 20 A + 10 = 30.m + 30 chia hết cho 30 A = 45.k + 35 A + 10 = 45.k + 45 chia hết cho 45 ( Với n , m , k là các số tự nhiên ) Vậy A + 10 là bội số chung của 18 , 30 , 45 . Mà BCNN ( 18,30,45) = 90 , nên BC ( 18, 30, 45 ) = 90 x , với x N * Do đó ta có A + 10 = 90x. Vì A là số nhỏ nhất có 3 chữ số nên 1 < x < 3 .Vậy x = 2 A + 10 = 180 A = 170 Đáp số : Số phải tìm là 170 Gợi ý câu 2 : Gọi A là số cần tìm . A = 8n + 6 , A = 12m + 10 , A = 15 x + 13 Suy ra A + 2 chia hết cho 8 , 12 , 15 nên A + 2 là BSC ( 8 , 12 , 15 ) = ? Kết hợp với A chia hết cho 23 , A nhỏ nhất trong các số có tính chất nh vậy để lập bảng tìm A Hãy áp dụng cách giải trên để giải những bài tập sau : Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 2 Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải 1. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 d 3 , chia cho 5 d 4 , chia cho 6 d 5 . 2. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số , sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia cho 40 thì d 17 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 8 , 10 , 15 , 20 theo thứ tự d 5 , 7 , 12 , 17 và chia hết cho 41 Bài tập 3 : Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 131 thì d 112 , chia cho 132 thì d 98 . Giải : Cách 1 : Gọi số phải tìm là B , ta có : B = 131.n + 112 B = 132.m + 98 ; với n , m N * 132.B = 132.( 131.n + 112 ) = 132.132.n + 14784 131.B = 131.( 132.m + 98 ) = 131.132.m + 12838 132.B 131.B = 131.132.( n m ) + ( 14784 12838 ) B = 131.132.( n m ) + 1946 Do B chỉ là số có 4 chữ số nên n m = 0 . Vậy B = 1946 Đáp số : Số phải tìm là 1946 Cách 2 : Gọi số cần tìm là B , ta có : B = 131.n + 112 B = 132.m + 98 ; với n , m N * 131.n + 112 = 132.m + 98 131.n + 14 = 132.m 131.n = 132.m 14 131.n = 131.m + ( m 14 ) ( m 14 ) 131 . Vậy : m 14 = 131.k , với k N * , hay m = 131.k + 14 , với k N * Do B = 132.m + 98 nên thay m = 131.k + 14 vào ta đợc : B = 132.( 131.k + 14 ) + 98 = 132.131.k + 132.14 + 98 Hay : B = 132.131.k + 1946 Do B chỉ là số có 4 chữ số nên k = 0 và B = 1946 Đáp số : Số phải tìm là 1946 Ap dụng cách làm trên để giải các bài tập sau : 1.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 11 thì d 5 ; chia cho 13 thì d 8 2.Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 17 thì d 5 , chia cho 19 thì d 12 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 29 thì d 5 , chia cho 31 thì d 28 4. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số , biết rằng khi chia số đó cho 8 thì d 7 ; chia cho 125 thì d 4 Bổ xung kiến thức : Cho các số tự nhiên a và b , nếu a = km và b = kn thì khi đó : BCNN(a,b) = kBCNN(m,n) Ví dụ : Cho a = 4.15 và b = 4.21 , khi đó BCNN( 60 , 84) = 420 và BCNN( 15 , 21) = 105 rõ ràng 420 = 4.105 , ở đây k = 4 Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 3 Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải Vậy từ kiến thức trên ta cũng có : nếu a k và [ a,b ] k thì b k Bài tập về nhà : 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số chia cho 12 thì d 10 , chia cho 18 thì d 16 và chia cho 27 thì d 25 . 2. Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết ,vào từng túi 12 cuốn thì d 2 cuốn , vào từng túi 18 cuốn thì d 8 cuốn . Tìm số sách đó biết rằng số sách đó trong khoảng từ 715 đến 1000 cuốn 3.Ba con tàu cập bến theo lịch nh sau : Tàu 1 cứ 15 ngày cập bến một lần , Tàu 2 cứ 20 ngày cập bến một lần , tàu 3 cứ 12 ngày cập bến một lần . Lần đầu cả 3 tàu cùng cập bến vào ngày thứ 6. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày , cả 3 tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ 6 ? 4. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 18 , 30 , 45 thì d lần lợt là 8 , 20 , 35 5. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết rằng khi chia số đó cho 4 thì d 3 , cho 5 thì d 4 , cho 6 thì d 5 6. Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho số đó chia cho 30 thì d 7 và chia cho 40 thì d 17 Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 4 . Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải Bài giảng 4: BC và BCNN A. Kiểm tra bài cũ :. với k N Ta có bảng sau : Trờng THCS Thị trấn Hng hà Thái bình 1 Tài liệu bồi dỡng HSG toán 6 Tạ phạm hải k 1 2 3 4 5 6 7 A 1 60 120 180 240 300 360