Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải Bài giảng3 : c và ƯCLN A. Kiểm tra bài cũ : 1.Thế nào là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau ? Cho ví dụ . 2.Có mấy cách tìm ƯCLN của hai số tự nhiên mà em đã học ? Hãy tìm ( 36 ; 60 ) B. Bài giảng mới Bài toán 1 : Gọi d = ( 36 ; 60 ) . Giả sử 36 = ad và 60 = bd .Hãy tìm ( a ; b) Bài toán 2 : ( học sinh tự làm vào vở ) a ) Tìm ( 40 ; 72 ) = ? b ) gọi ( 40 ; 72 ) = d và giả sử 40 = ad và 72 = bd ,hãy tìm ( a ; b) Kết luận : ( A ; B ) = d A = ad và B = bd với ( a ; b ) = 1 Hãy vận dụng kết luận trên để giải bài tập sau : Bài 1 : Biết ớc chung lớn nhất của hai số bằng 4 , số nhỏ bằng 8 thì số lớn bằng bao nhiêu ? Biết rằng số lớn không vợt quá 50 Biết ớc chung lớn nhất của hai số bằng 16 , số lớn bằng 96 thì số nhỏ bằng bao nhiêu ? Xem lời giải của câu 1 : Gọi số lớn là a , số nhỏ là 8 . Vì ( a ; 8) = 4 nên ta phải có : a = 4k , k N ( k ; 2) = 1 vậy k là số lẻ ,mà a > 8 cho 8 = 4.2 nên k 3 và k < 13 . ta có bảng sau : k 3 5 7 9 11 13 a 12 20 28 36 44 52 Từ bảng trên do a 50 nên ta có đáp số là : a { 12 , 20 , 28 , 36 , 44 } Câu hỏi 1 : 1) Theo em lời giải trên gồm mấy bớc giải chính ? 2) Theo em lời giải trên đã vận dụng kết luận ở chỗ nào ? Em hãy áp dụng cách làm trên để giải câu 2 Bài 2 : Tìm 2 số p và q biết rằng p + q = 432 và ( p ; q ) = 36 Tìm 2 số a và b biết rằng a + b = 162 và ( a ; b ) = 18 Tìm 2 số a và b biết rằng ab = 720 và ( a ; b ) = 6 Tìm 2 số a và b biết rằng a b = 48 và ( a ; b ) = 12 Xem lời giải của câu 3 : Vì ( p ; q) = 36 p = 36 m , m N với ( m ; n) = 1 q = 36 n , n N mà p + q = 432 nên 36m + 36n =36.( m + n) = 432 m + n = 432 : 36 = 12 . Do ( m ; n) = 1 nên ta cần phân tích 12 thành tổng của hai số nguyên tố cùng nhau . Ta có bảng sau : Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 1 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải m 1 11 5 7 n 11 1 7 5 Nếu m = 1 và n = 11 thì p = 36.1 =36 và q = 36.11 = 396 Nếu m = 11 và n = 1 thì p = 36.11 = 396 và q = 36 .1 = 36 Nếu m = 5 và n = 7 thì p = 36.5 = 180 và q = 36.7 = 252 Nếu m = 7 và n = 5 thì p = 36.7 =252 và q = 36.5 = 180 Đáp số p = 36 ; q =396 p = 396 ; q = 36 p = 180 ; q = 252 p = 252 ; q = 180 câu hỏi : Lời giải có mấy bớc chính ? Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập còn lại Bài 3 : Có 48 quả cam và 18 quả quýt . Hỏi có thể chia số cam và quýt đó cho bao nhiêu em sao cho mỗi em đều đợc phần cam và quýt nh nhau , biết rằng số học sinh đợc chia đó có nhiều hơn 5 em ? . Khi đó mỗi em đợc bao nhiêu quả mỗi loại ? Xem lời giải bài 3: Gọi số học sinh phải tìm là x bạn , vậy x N + và x > 5 Vì số cam và quýt chia đều đợc cho số học sinh nên x phải là ớc chung của 48 và 18 . Ta có ƯCLN ( 48;18 ) = 6 nên x Ư( 6 ) , lại do x > 5 vậy x = 6 Khi đó số cam của một em là 48 : 6 = 8 ; Số quýt của mỗi em là 18 : 6 = 3 Đáp số : 6 học sinh và mỗi học sinh đợc 8 quả cam và 3 quả quýt. câu hỏi : Lời giải có mấy bớc chính ? Em hãy vận dụng cách làm trên để giải các bài tập sau : Bài tập t ơng tự : 1 ) Có 693 quyển sách , 99 quyển vở và 1287 bút chì . Số quà trên có thể đem chia cho nhiều nhất bao nhiêu học sinh nghèo vợt khó để số sách , vở , bút chì của mỗi bạn là nh nhau ? 2 ) Có 3 khối lớp 6 , 7 , 8 theo thứ tự có 300 , 276 , 252 học sinh cùng xếp hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là nh nhau .Có thể xếp nhiều nhất thành mấy hàng dọc sao cho để mỗi khối không có ai bị lẻ hàng ? Khi đó mỗi khối có bao nhiêu hàng ngang ? 3) Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng , mỗi hàng 20 ngời , hoặc 25 ngời , hoặc 30 ngời đều thừa 15 ngời còn nếu xếp mỗi hàng 41 ngời thì vừa đủ không có hàng nào thiếu hoặc thừa ngời .Hỏi đơn vị bộ đội đó có bao nhiêu ngời ? biết rằng đơn vị đó có cha đến 1000 ngời . Bài 4 : Tìm số tự nhiên x và y biết ( 2x + 1 )( y 3 ) = 10 Xem lời giải bài 4: Từ đề bài ta thấy 2x + 1 và y 3 đều là các ớc của 10 .Vì x là các số tự nhiên nên 2x + 1 là số tự nhiên lẻ . Lại vì 10 là số tự nhiên nên y 3 phải là số tự nhiên , nên y > 3 . Vậy cần phân tích số 10 thành tích của hai thừa số trong đó có một thừa số lẻ là : 10 = 1.10 = 10.1 = 2.5 = 5.2 Từ đó : Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 2 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải 2x + 1 = 1 và y 3 = 10 x = 0 và y = 13 2x + 1 = 5 và y 3 = 2 x = 2 và y = 5 Đáp số : có hai đáp số là ( x = 0 và y = 13 ) ; ( x = 2 và y = 5 ) Câu hỏi : 1) Tại sao khi phân tích số 10 ta đợc 4 trờng hợp mà chỉ xét có hai ? 2) Lời giải của bài tập trên bao gồm mấy bớc chính ? Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài tập sau Bài tập t ơng tự : Tìm số tự nhiên x và y biết rằng : a ) ( 3x 2 )( 2y 3 ) = 1 b ) ( x + 1 )( 2y 1 ) = 12 c ) x 3 = y ( x + 2 ) d ) x + 6 = y( x 1 ) e ) ( 3x + 1 )( 2y 1 ) = 28 Bài 5 : Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 37 cho a thì d 2 và khi chia 58 cho a cũng d 2 . Xem lời giải bài 5: Vì chia 37 cho a d 2 nên ta viết đợc : 37 = a.n + 2 và 2 < a < 37 Vì chia 58 cho a d 2 nên ta viết đợc : 58 = a.m + 2 và 2 < a < 58 Suy ra 37 2 = a.n hay 35 = a.n vậy a là ớc của 35 . 58 2 = a.m hay 56 = a.m vậy a là ớc của 56 . Vậy a ƯC ( 35 ; 56 ) . Ta có 35 = 5.7 ; 56 = 2 3 . 7 ƯCLN ( 35 , 56 ) = 7 a là ớc của 7 , nên a là 7 hoặc 1 . thử lại chỉ có số 7 là hợp lý . Vậy a = 7 . Đáp số : a = 7 Bài tập t ơng tự : 1. Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì d 38 còn 450 chia cho a thì d 18 Bài 6: ( Dựng thut toỏn clit tỡm CLL ) Tỡm CLN (1575, 343) Gii : Cỏch 1 : ( Dựng quy tc ) Ta cú : 1575 5 343 7 315 5 49 7 63 3 7 7 21 3 1 Vy ( 1575 ; 343 ) = 7 7 7 1 1575 = 3 2 .5 2 .7 343 = 7 3 Cỏch 2 : p dng tớnh cht a = bq + r thỡ CLN ( a ; b ) = CLN ( b ; r ) Ta cú: 1575 = 343. 4 + 203 343 = 203. 1 + 140 203 = 140. 1 + 63 Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 3 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải 140 = 63. 2 + 14 63 = 14.4 + 7 14 = 7.2 + 0 chia ht nờn WCLN ( 14 ; 7 ) = 7 Vy: Hóy tỡm CLN (1575, 343) = 7 Trong thc hnh ngi ta t phộp chia ú theo s nh sau gi l thut toỏn Clit: S d cui cựng khỏc 0 ca dóy chia ny l CLN ( 1575 ; 343 ) ỏp s : CLN (1575, 343) = 7 Gii thiu thut toỏn clit: tỡm CLN(a, b) ta thc hin nh sau: - Chia a cho b cú s d l r + Nu r = 0 thỡ CLN(a, b) = b. Vic tỡm CLN dng li. + Nu r > 0, ta chia tip b cho r, c s d r 1 - Nu r 1 = 0 thỡ r 1 = CLN(a, b). Dng li vic tỡm CLN - Nu r 1 > 0 thỡ ta thc hin phộp chia r cho r 1 v lp li quỏ trỡnh nh trờn. CLN(a, b) l s d khỏc 0 nh nht trong dóy phộp chia núi trờn. Em hãy vận dụng cách làm trên để giải bài sau Bi tptng t : Tỡm bng thut toỏn clit a) CLN(7092, 306) b) CLN(3618, 214) c) CLN(6756, 2463) d)Cho a = 123456789 ; b = 987654321. Tìm ƯCLN (a, b) Bài 7 : Bổ xung kiến thức Cho a , b N thì k.ƯCLN( a,b) = ƯCLN( ka, kb) . Từ đó nếu a = km và b = kn thì khi đó ƯCLN( a ,b) = k.ƯCLN( m , n). Bài 7 : Tìm ƯCLN của các biểu thức chứa chữ Ví dụ : Tìm ƯCLN của 2n 1 và 9n + 4 (nN) Giải : Gọi d là ớc chung của 2n 1 và 9n + 4 2n 1 d và 9n + 4 d 2(9n + 4) 9(2n 1)d hay 18n + 8 18n + 9 = 17d d {1; 17} Nếu d = 17 thì ta có : 2n 117 2n 1 17 = 2n 1817 2(n 9)17 n 917 vì ( 2 ; 17) = 1. Vậy n 9 = 17k , ( k N ) n = 17k + 9 , ( k N ) Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 4 1575 343 343 203 4 203 140 1 140 63 1 63 14 2 14 7 4 0 2 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải Thử lại : Với n = 17k + 9 thì 2n 1 17 và 9n + 4 = 9(17k + 9 ) + 4 = 9.17k + 85 17. Do đó ƯCLN (2n 1; 9n + 4) = 17 Nếu n 17k + 9 thì 2n 1 không chia hết cho 17 Do đó ƯCLN (2n 1; 9n + 4) = 1. Đáp số : ƯCLN (2n 1; 9n +4) = 17 khi n = 17k + 9 ( k N ) ƯCLN (2n 1; 9n + 4) = 1. khi n 17k + 9 ( k N ) Bổ xung kiến thức mới 1.cách mới tìm UCLN của hai hay nhiều số tự nhiên Cho hai số tự nhiên a và b nếu a = km , b = kn thì ( a , b) = k( m , n) . áp dụng : Tìm UCLN( 198 , 180 ) . Ta thấy 198 : 18 = 11 và 180 : 18 = 10 , mà UCLN ( 11 , 10) = 1 nên UCLN (198 , 180) = 18.1 = 18. Chú ý: tính chất này còn dùng trong chứng minh chia hết là : Nếu a k và ( a,b) k thì b k 2.Số ớc số của một số tự nhiên Cho số tự nhiên M nếu M phân tích thành tích các thừa số nguyên tố là : M = a x .b y c z , với a,b, ., c là các số nguyên tố khác nhau và x , y , ., z Z + , thì số ớc số của M bằng ( x + 1)( y + 1) .( z + 1) . Ví dụ : 360 = 2 3 .3 2 .5 nên số ớc số của 360 là (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24 Bài tập về nhà Bài 1 : Tìm UCLN của : a ) 52 và 72 , b ) 50 ; 125 và 80 , c ) 68 và 116 , d ) 432 ; 504 và 720 e) 144 ; 120 và 135 , f ) 24 ; 80 và 56 , g ) 1980 và 2100 Bài 5 : Khi chia các số 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên thì đợc số d thứ tự là 11 và10 . Hỏi đã chia 662 và 787 cho cùng số tự nhiên nào ? Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết rằng 398 chia cho a thì d 38 còn 450 chia cho a thì d 18 Bài 7 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 350 chia cho a thì d 14 còn 320 chia cho a thì d 26 Bài 8 : Có 100 quyển vở và 90 bút chì đem thởng đều cho một số HSG . Thởng xong còn thừa 4 quyển vở và 18 but chì không đủ chia đều. Tính số HSG đợc thởng và khi đó mỗi bạn đợc thởng bao nhiêu vở và bút chì ? Bài 9 : Ước chung lớn nhất của 2 số là 16 , số lớn bằng 96 , Hãy tìm số nhỏ ? Bài 10 : Tìm 2 số biết hiệu của chúng là 48 và ƯCLN của chúng bằng 12 Bài 11:Tìm 2 số tự niên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng bằng 15 Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 5 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải Bài 12 : Tìm hai số tự nhiên a và b biết : 1 ) ab = 8748 và ( a , b ) = 27 2 ) ab = 720 và ( a , b ) = 6 3 ) a + b = 162 và ( a , b ) = 18 4 ) ( 2a + 1 )( b 2 ) = 15 Bài 13 : Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia cho a thì d 24 còn 363 chia cho a thì d 43 Bài 14: Khi chia 662 và 787 cho cùng một số tự nhiên x thì đợc số d thứ tự là 11 và 10 . Hãy tìm số tự nhiên x đó. Bài 15: Một trờng có 1015 học sinh , cần phải xếp vào mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số H/s mỗi hàng là nh nhau và không quá 40 hàng và cũng không ít hơn 10 hàng ? Bài 16 : Tuổi của ông Thái là một số có 2 chữ số và là ớc chung của 5766 và 5394 . Hỏi ông Thái bao nhiêu tuổi ? Bài 17: Gọi d là ớc chung của a và b . chứng minh d cũng là ớc chung của : 1 ) a + b và b ; a và a + b 2 ) a b và b a > b ; a b và a 3 ) a + b và a b biết a > b Bài 18 : Biết số tự nhiên aaa chỉ có 3 ớc số khác 1 . Tìm số đó Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 6 . Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải Bài giảng3 : c và ƯCLN A. Kiểm tra bài cũ : 1.Thế. nhau . Ta có bảng sau : Trờng THCS Thị trấn Hng hà - Thái bình 1 Tài liệu bồi dỡng HSG T6 Tạ Phạm Hải m 1 11 5 7 n 11 1 7 5 Nếu m = 1 và n = 11 thì p