Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải Chuyên đề: Kĩthuậtchặn để giải bài tập số học 6 I.Các ví dụ hình thành ph ơng pháp Ví dụ 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho a. 2 x + 5y = 21 b. 7 x + 12 y = 50 Giải : a. Vì 2 x 1 nên 5y 20 vậy y 4 . Ta có bảng lựa chọn sau : y 0 1 2 3 4 5y 0 5 10 15 20 2 x 21 16 11 6 1 x không có 4 không có không có 0 Đáp số : Nếu x = 4 thì y = 1 ; Nếu x = 0 thì y = 4 b. Vì nếu y 2 thì 12 y 12 2 > 50 . Vậy y < 2 y = 0 hoặc y = 1 Nếu y = 0 thì 12 0 = 1 nên 7 x = 49 x = 2 Nếu y = 1 thì 12 1 = 12 nên 7 x = 38 loại Đáp số x = 2 và y = 0 Nhận xét : Câu này ta đã chặn theo các giá trị của y , tuy nhiên ta cũng có thể chặn theo các giá trị của x nh sau : Vì 2 5 = 32 > 21 nên x 4 x { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } và lập bảng lựa chọn để giải tiếp Ví dụ 2 : Tìm số biết 5.3x yz = 7850 Giải : Ta thấy nếu x 3 thì 5.3x yz 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3 Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì 5.3x yz 15. 399 = 5985 < 7850 . Nh vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên 3yz = 7850 : 25 = 314 = 14 . Vậy xyz = 214 Nhận xét : ở đây ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn nh sau: 5.3x yz = 7850 = 7580 7580 26 300 3yz . Vậy x = 2 hoặc x = 1.Đến đây việc giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu nh có làm đợc thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn Ví dụ 3: Tìm các số nguyên x , y biết | 5x 2 | 13 Giải : Nếu x 4 thì | 5x 2 | | 5.4 2 | = | 18 | = 18 > 13 , vậy x 3 Nếu x - 3 thì | 5x 2 | | 5.( - 3) 2 | = | 17 | = 17 > 13 . vậy x - 2 Vậy : - 2 x 3 x { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại ,ta có bảng sau : x - 2 - 1 0 1 2 3 | 5x 2 | | 12 | | 7 | | 2 | | 3 | | 8 | | 13 | 2008 - 2009 Page 1 Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy bài toán có các đáp số nh trên Ví dụ 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0 Giải : Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc abc < 3a hay bc < 3 . Vậy bc { 1 ; 2 } do abc 0 . lại vì b > c nên b = 2 và c = 1. Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a a = 3 . Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1 Nhận xét : ở ví dụ này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào mà chỉ sử dụng tính chất : là số lớn nhất của nó . Bạn đọc tự xét xem tại sao không nên chặn theo b hoặc theo c . Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét ví dụ 4 sau đây Ví dụ 5 : Tìm biết y xx xyyx = Giải : Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì = vô lý . Vậy y 2 . Ta lại thấy y < 4 vì nếu y 4 thì > 10 4 = 10000 > . Vậy y { 2 ; 3 } Nếu y = 2 ta có = x 2 .121 = x.1001 + 220 = x.11.91 + 11.20 = 11(x.91 + 20) Vậy x 2 .11 = x.91 + 20 x 2 .11 91x = 20 x.( x.11 91 ) = 20 x.11 > 91 > 91 . Vậy x= 9 . Thử vào 99 2 = 9801 loại Nếu y = 3 ta có = . Nếu x 2 thì 22 = 10648 có 5 chữ số. vậy x = 1 . Thử vào bài 11 = 1331 hợp lý . Đáp số =13 Ta cũng có thể giải nh sau : ta có = x 3 .11 3 = x.1001 + 330 = x.11.91 + 11.30 = 11( x.91 + 30 ) Vậy x 3 . 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 30x) 30 30x 121 30(1 x) 121 mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 x 121 , do x là chữ số nên 1 x = 0 hay x = 1.Thử vào bài ta có 11 3 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13 Nhận xét : Ta cũng có thể chặn nh sau : Vì 9999 < 10000 = 10 4 . Vậy < 10 4 < nên y < 4 . Mặt khác y xx > 99 1 vì = có 4 chữ số Vậy y 2 . Vậy y { 2 ; 3 }. Phần còn lại giải nh trên . Ví dụ 6 : Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249 Giải : Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249 2008 - 2009 Page 2 Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì n + s(n) 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số. Đặt n = thì ta có : abc + a + b + c = 249 Vì a + b + c 27 nên 200 < < 249 a = 2 , Thay vào bài ta đợc : + 2 + b + c = 249 200 + bc + 2 + b + c = 249 + b + c = 249 202 bc + b + c = 47 . Vậy b 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ nhất là 47 18 = 29 vậy b 2 . Ta có 2 b 4 b { 2 ; 3 ; 4 } Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 22 + 2c = 47 2c = 25 ( loại ) Nếu b = 3 ta có 3c + 3 + c = 47 33 + 2c = 47 2c = 14 c = 7 Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47 44 + 2c = 47 2c = 3 ( loại ) Đáp số : số phải tìm là 237 Ví dụ 7 : Tìm các số nguyên x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5 Giải : Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 |x| = 2,5 vô lý vì x Z Xét y 0 thì 3|y| 3 nên 2|x| 2 |x| 1. Vậy |x| { 0 ;1 } Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 |y| = 5/3 vô lý vì y Z Với |x| = 1 x { 1 } khi đó |y| = 1 và y { 1 } . Thử vào đề bài ta đợc các đáp số là : ; ; ; Ví dụ 8 : Tìm số tự nhiên biết = 4321 Giải : abcd abc ab a + + + = 4321 = 4321 Ta thấy a < 4 , vì nếu a 4 thì 4444 + > 4321 và a > 2 vì nếu a 2 thì 2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321 Vậy a = 3 khi đó ta có bbb cc d + + = 4321 3333 = 988 . Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 cha kể . lại thấy b > 7 vì nếu b 7 thì 777 + 99 + 9 = 885 < 988 . vậy b = 8 . Khi đó = 100 điều này chỉ có thể ở trờng hợp 100 = 99 + 1 , vậy c = 9 và d = 1 Đáp số = 3891 Ví dụ 9 : Tìm các số nguyên dơng x , y thỏa mãn 1 1 1 3x y + = và x y Giải : 2008 - 2009 Page 3 Båi dìng HSG to¸n 6 T¹ Ph¹m H¶i V× x ≥ y > 0 khi ®ã ≤ vµ 1 1 1 1 2 x y y y y + ≤ + = . VËy ≥ = ⇒ y ≤ 6 L¹i v× > 0 nªn < vËy y > 3 , hay y ≥ 4 . VËy ta cã 4 ≤ y ≤ 6 • NÕu y = 4 ta cã + = + = ⇔ = ⇔ x = 12 • NÕu y = 5 ta cã + = + = ⇔ = - = lo¹i v× x ∉ Z • NÕu y = 6 ta cã + = + = ⇔ = ⇔ x = 6 Bµi to¸n cã 2 ®¸p sè lµ ( x ; y) = ( 12 ; 4 ) vµ ( x ; y) = ( 6 ; 6 ) VÝ dô 10 : T×m sè biÕt 1 1 1 d a b c + + = víi a > b > c Gi¶i : V× a > b > c > 0 nªn c ≥ 1 ; b ≥ 2 ; a ≥ 3 khi ®ã ta cã 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 1 6a b c + + < + + = < mµ 1 1 1 d a b c + + = nªn d < 2 ,VËy d = 1 . Ta cã : 1 1 1 1 a b c + + = víi a > b > c . L¹i v× a > b > c > 0 ⇒ 1 1 1 a b c < < khi ®ã ta cã 1 1 1 1 1 1 3 a b c c c c c + + < + + = mµ 1 1 1 1 a b c + + = nªn 3 1 c > VËy c ∈ { 1 ; 2 } Víi c = 1 th× 1 1 1 1 1a b + + = v« lý Víi c = 2 th× 1 1 1 1 1 1 1 2 2a b a b + + = ⇒ + = , mµ 1 1 1 1 2 a b b b b + < + = nªn 2 1 2 2 4b > = do ®ã b < 4 mµ b > c = 2 nªn b = 3 . ta cã 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 6a a + = ⇒ = − = , vËy a = 6 VËy a = 6 , b = 3 , c = 2 , d = 1 vµ : = 6321 2008 - 2009 Page 4 Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải Ví dụ 11 : Tìm các số nguyên tố a , b , c ( có thể bằng nhau ) thỏa mãn abc < ab + bc + ca và a b c Giải : Vì a b c . Ta có : ab + bc + ca ab + ab + ab = 3ab . Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc < 3ab c < 3 mà c nguyên tố nên c = 2 . Thay vào bài ta đợc 2ab < ab +2( a + b) ab < 2(a + b) 2( a + a) = 4a . Vậy ab < 4a nên b < 4 b { 2 ; 3 } . Nếu b = 2 , thay vào đề bài ta đợc 2.2.a < 2a + 2.2 + 2.a , hay 4a < 4a + 4 đúng với mọi số nguyên tố a Nếu b = 3 , thay vào bài ta đợc 2.3.a < 3a + 6 + 2a , hay 6a < 6 + 5a a < 6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5 Đáp số : b = c = 2 và a là số nguyên tố tùy ý c = 2 , b = 3 và a = 3 hoặc a = 5 Ví dụ 12: Cho 4 số nguyên dơng có tổng bằng 9 , Chứng minh rằng trong 4 số đó có ít nhất hai số bằng nhau Giải : Giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau .Gọi 4 số đã cho là a , b , c , d với a > b > c > d . Ta có : d 1 ; c 2 ; b 3 ; a 4 . Nh vậy a + b + c + d 1 + 2 + 3 + 4 = 10 . Theo bài ra ta có a + b + c + d = 9 nên sẽ có 9 10 vô lý . Vậy giả sử trong 4 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau là không đúng nên phải có ít nhất 2 số trong các số đã cho là bằng nhau . ( đpcm) Bài tập luyện tập Bài 1 : Tìm biết = 1037 Bài 2 : Tìm xyz biết 4 . 5yz x = 17395 Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng các chữ số của nó thì bằng 405 Bài 4 : Tìm số abcd biết .ab cb ddd = Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết B i 6 : Cho hai số nguyên dơng khác nhau là a và b . Chứng minh > 2 Bài 7 : Cho a , b , c là các số nguyên dơng . Chứng minh rằng 1 < a b c b c c a a b + + + + + < 2 Bài 8 : Tìm các số nguyên x và y biết | 5x + 2 | 13 2008 - 2009 Page 5 . Bồi dỡng HSG toán 6 Tạ Phạm Hải Chuyên đề: Kĩ thuật chặn để giải bài tập số học 6 I.Các ví dụ hình thành. loại Đáp số x = 2 và y = 0 Nhận xét : Câu này ta đã chặn theo các giá trị của y , tuy nhiên ta cũng có thể chặn theo các giá trị của x nh sau : Vì 2 5 = 32