vận dụng cao chuyên đề hàm số

Câu Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình A B C D f ( f ( x ) ) + = ⇔ f ( f ( x ) ) = −2 ⇔ f ( x ) = 2; f ( x ) = −2 Có Phương trình Phương trình f ( x ) = −2 f ( x) = Câu Cho hàm số f ( sin x ) = m A f ( f ( x) ) + = m ∈ [ −1;0] Đặt có hai nghiệm có hai nghiệm f ( x) liên tục x = ±2 x3 < −2; x4 > ¡ có đồ thị hình vẽ bên Phương trình có nghiệm khia B m ∈ [ −1;3] t = sin x ∈ [ 0;1] , ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( t ) = m ( *) C m ∈ ( −1;1) D m ∈ [ −1;1] Ta cần tìm điều kiện để Câu Cho hàm số ( *) f ( x) t ∈ [ 0;1] ⇔ −1 ≤ m ≤ có nghiệm liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên ( f x ( x − 3) Có số ngun m để phương trình A Đặt B t = x ( x − 3) có 2 ) =m C có nghiệm thực thuộc đoạn D x = t ' = ⇔ ( x − 3) + x ( x − 3) = ⇔  x = Bảng biến thiên t sau: Nếu Nếu Nếu t < t >  t = t =  phương trình phương trình 0 → f ' ( − x ) < x → f ' ( u ) < − 2u Nhận thấy đường thẳng Bất phương trình y = − 2u qua điểm ( −1;8) ( 2;2 ) f ' ( u ) < − 2u ⇔ −1 < u = − x < ⇔ < x < Câu 11 Cho hàm số số ( 2;+∞ ) f ' ( x) m ∈ [ −2020; 2020 ] y = f ( x) hình vẽ hàm số đồng biến ( 1;4 ) có đồ thị đạo hàm hình vẽ bên Số giá trị nguyên tham để hàm số f ( x3 − 3x − x + m ) đồng biến khoảng ( 0; ) A 2021 Xét hàm số C 2016 D 2031 g ( x ) = f ( x − 3x _ x + m ) ⇒ g ' ( x ) = ( x − x − ) f ' ( x − 3x − x + m ) Nhận thấy rẳng ( 0;2 ) 2019 B x ∈ ( 0;2 ) x2 − 2x + < Suy để hàm số g ( x) g ' ( x ) = ( x − x − 3) f ' ( x − 3x − x + m ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) đồng biến khoảng ⇒ f ' ( x − 3x − x + m ) ≤ 0, ∀x ∈ ( 0;2 ) Tức ∀x ∈ ( 0; )  max u ( x ) ≤ −5  m ≤ −5  x∈( 0;2) 3  u x = x − x − x + m ≤ − ( )    max u ( x ) ≤ ' ⇒ f ( x − 3x − x + m ) ≤ 0,  ⇔   x∈( 0;2) ⇔  m ≤ 1 ≤ u ( x ) = x − 3x − x + m ≤   m − 22 ≥ u x ≥ ( )   x∈( 0;2)  m ≤ −5  ⇔  m ≤ ⇒ m ≤ −5 ⇒ −2020 ≤ m ≤ −5  m ≥ 23 Câu 12 Cho hàm số Cos 2016 gía tị thỏa mãn y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ Gọi S tập chứa tất giá trị f ( 4cos x + 1) = m nguyên tham số m để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt  π π x ∈− ; ÷  3 Tổng tất phần tử tập S A 13 B Đặt Với Với Với 1< u ≤ 3⇒ 3 ) ⇒ f ' ( a ) ≤ a − nên trường hợp khơng có m thỏa mãn Kẻ đường thẳng y = x−2 có đặt f ' ( a ) > a − 2, ∀a > Vậy m=2 giá trị cần tìm f ( x) Câu 35 Cho ( f ( x) ) ' trình hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ bên tập nghiệm phương = f ( x) f " ( x) có số phần tử f ( x) x1 < x2 < x3 cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ hàm đa x3 thức bậc bốn điểm có hồnh độ điểm tiếp xúc với trục hoành nên: Đồ thị hàm f ( x) f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) Thực lấy đạo hàm ta có Suy với a>0  1 1  f ' ( x) = f ( x)  + + + ÷, ∀x ∈ ¡ \ { x1 , x2 , x3}  x − x1 x − x2 x − x3 x − x3  f ' ( x) 1 1 = + + + f ( x ) x − x1 x − x2 x − x3 x − x3 Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế ta có: f " f ( x ) − ( f ' ( x ) ) = − a ( x − x2 ) 2 ( x − x3 ) − a ( x − x1 ) ( x − x3 ) − 2a ( x − x1 ) − 2a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) 2 , ∀x Vậy phương trình tương đương với: a ( x − x2 ) ( x − x3 ) = a ( x − x1 ) ( x − x3 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) 2 =0 x = x3  ⇔ 2 2 ( x − x2 ) ( x − x3 ) + ( x − x1 ) ( x − x3 ) + ( x − x1 ) ( x − x2 ) =  x = x3   ( x − x2 ) ( x − x3 ) = ⇔  ⇔ x = x3 x − x x − x = ( ) ( )    ( x − x1 ) ( x − x2 ) =  y = f ( x) ¡ liên tục có đồ thị hình vẽ bên Tập hợp tất giá f ( f ( sin x ) ) = m ( 0; π ) trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng Câu 36 Cho hàm số A [ −1;3) Đặt B ( −1;1) C ] −1;3] D [ −1;1) t = sin x ∈ ( 0;1] , ∀x ∈ ( 0; π ) Suy nghiệm f ( sin x ) = f ( t ) ∈ [ −1;1) , ∀t ( 0;1] ⇒ f ( f ( sin x ) ) = f ( f ( t ) ) ∈ ( −1;3] x ∈ ( 0;π ) ⇔ −1 < m ≤ Vậy phương trình có f ( x) = Câu 37 Cho hàm số ax + b cx + d y = f ' ( x) a , b, c , d ∈ ¡ với có đồ thị hàm số hình vẽ bên y = f ( x) f ( 2) [ −3; −2] Biết giá trị lớn hàm số đoạn Giá trị A B f ' ( x) = Ta có C ad − bc ( cx + d ) f ( x) f ( x) ' Đồ thị hàm số ' đồ thị hàm số có tiệm cận đứng qua điểm [ −3;2] Vì Vậy ta có hệ phương trình Vậy D ( 0;3) f ' ( 0) = ⇔ nên x = −1 ⇒ − c + d = f ' ( x ) > 0, ∀x ≠ −1 ⇒ max f ( x ) = f ( −2 ) = ⇔ f ( x) = −2a + b =8 −2c + d ab − bc = 3d c = d a = 5d    ⇔ a − b = 3d ⇔ b = 2d  −c + d = b − 3a = d − 2c ( ) b − 2a = −8d c = d  5dx + 2d x + = ⇒ f ( 2) = dx + d x +1 Câu 38 Cho hàm số Bất phương trình y = f ( x) Hàm số f ( ex ) < ex + m y = f ' ( x) có bảng biến thiên sau nghiệm với x ∈ ( −1;1) ad − bc =3 d2 A 1 m ≥ f  ÷− e e m > f ( −1) − B e m ≥ f ( −1) − C e 1 m > f  ÷− e e D ycbt ⇔ m > g ( x ) = f ( e x ) − e x , ∀x ∈ ( −1;1) ( *) Có Ta có ( ) g ' ( x ) = e x f ' ( e x ) − e x = e x f ' ( e x ) − < e x ( − 1) = 0, ∀x ∈ ( −1;1) Do 1 g ( 1) < g ( x ) < g ( −1) , ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ f ( e ) − e < g ( x ) < f  ÷− , ∀x ∈ ( −1;1) e e ( *) ⇔ m ≥ Suy 1 f  ÷− e e y = f ( x) y = g ( x) ¡ hàm xác định liên tục có đồ thị y = f ( x) hình vẽ bên đường cong đậm đồ thị hàm số Có số Câu 39 Cho hai hàm số nguyên m để phương trình A Với f ( − g ( x − 1) ) = m B có nghiệm thuộc khoảng C  5  −1;  D  5 x ∈  −1;  ⇒ x − 1∈ [ −3; 4] ⇒ g ( x − 1) ∈ [ −3; 4] ⇒ t = − g ( x − 1) ∈ [ 3; ]  2 Vậy ta cần tìm m để phương trình f ( t) = m có nghiệm thực thuộc đoạn ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ [ −3;4] cần tìm [ −3;4] a ∈ { 0,1, 2} [ −3;4] [ −3;4] f ( t ) ∈ ( −1;0 ) , [ −3;4] Vậy số nguyên y = f ( x) Câu 40 Cho hàm số liên tục f ( f ( x) ) = phương trình A Đặt t = f ( x) Phương trình Phương trình Phương trình B f ( x ) = a ∈ ( −2; −1) có đồ thị hìnhvẽ bên Số nghiệm thực C phương trình trở thành f ( x) = ¡ D  f ( x ) = a ∈ ( −2; −1) t = a ∈ ( −2; −1)   f ( t ) = ⇔ t = ⇔  f ( x) =  f x = b ∈ 1;2 t = b ∈ ( 1;2 ) ( )   ( ) có nghiệm có ba nghiệm f ( x ) = b ∈ ( 1;2 ) có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm f ( x) ¡ Câu 41 Cho hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ bên Có số nguên m f ( sin x ) = m [ 0; π ] để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn A Đặt Với B t = sin x với x ∈ [ 0; π ] C t ∈ [ 0;1] phương trình trở thành x= t =1 phương trình có nghiệm [ 0;π ) arcsin t;π − arcsin t nghiệm thuộc đoạn π ∈ [ 0; π ] D f ( t ) = m ( 1) với t ∈ [ 0;1) [ 0; π ] ⇔ ( 1) Vậy phương trình cho có hai nghiệm thuộc đoạn −1 < m ≤ ⇒ m ∈ { 0,1} [ 0;1) khoảng Quan sát đồ thị hàm số ta có Câu 42 Cho hàm số Để phương trình A m ≥ f ( −2 ) − y = f ( x) Hàm số f ( x ) < 3x x+2 + m B y = f ' ( x) có nghiệm m > f ( ) − 3e phương trình có hai có nghiệm thuộc nửa có bảng biến thiên hình vẽ sau: x ∈ ( −2;2 ) C m ≥ f ( ) − 3e D m > f ( −2 ) − m > g ( x ) = f ( x ) − 3e x + Bất phương trình tương đương với g ' ( x ) = f ' ( x ) − 3e x + < − 3e −2+2 = 0, ∀x ∈ ( −2;2 ) Vậy m > g ( x) có nghiệm khoảng Câu 43 Cho hàm số Hàm số A Đặt ( −2;2 ) ⇔ m > g ( ) ⇔ m > f ( ) − 3e B đồng biến khoảng ? ( −∞; −1) C ( −1;0 ) D ( 0;2 ) y ' > ⇔ f ' ( x + ) − 3x + > ⇔ f ' ( x + ) > x − t = x+2 f ' ( t ) > ( t − 2) −1 , bất phương trình trở thành Khơng thể giải trực tiếp phương trình Ta chọn t cho ( t − ) − < 1 < t < 1 < t < −1 < t − < ⇔ ⇔ ⇔  '   t ∈ ( 1;2 ) ∪ ( 2;3) ∪ ( 4; +∞ ) t ∈ ( 1;2 ) ∪ ( 2;3 ) ∪ ( 4; +∞ ) 2 < t <  f ( t ) > Khi 1 < x + <  −1 < x <  < x + < ⇔ 0 < x <   Câu 44 Cho hàm số Bất phương trình A có bảng xét dấu đạo hàm sau: y = f ( x + ) − x3 + 3x ( 1;+∞ ) Ta có f ( x) , ta có g ( x ) > g ( ) = f ( ) − 3e , ∀x ∈ ( −2; ) m ≥ f ( 1) − e y = f ( x) Vậy hàm số cho đồng biến khoảng Hàm số f ( x) < ex + m y = f ' ( x) với m > f ( −1) − B e ( −1;0 ) ( 0;1) có bảng biến thiên sau: x ∈ ( −1;1) khi: m ≥ f ( −1) − C e D m > f ( 1) − e Xét hàm số g ( x) = f ( x) − ex Do hàm số g ( x) Có g ' ( x ) = f ' ( x ) − e x < 0, ∀x ∈ ( −1;1) nghịch biến ( −1;1) Hay g ( x ) < g ( −1) , ∀x ∈ ( −1;1) f ( x ) < e x + m, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ g ( x ) < m, ∀x ∈ ( −1;1) ⇔ m ≥ g ( −1) = f ( −1) − Khi Câu 45 Cho hàm số y = f ( x) f Số nghiệm thực phương trình A 20 Đặt B t = f ( x ) ( t ≥ 0) ¡ liên tục ( e có đồ thị hình vẽ bên ) f ( x) − f ( x) = 24 C phương trình trở thành 10 f ( t) = t D f ( x) Đồ thị hàm số suy f ( x) cách Giữ nguyên phần đồ thị phía trục hoành lấy đối xứng qua trục hoành f ( x) phía trục hồnh y=x Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số < a < b − m thực tham số m để bất phương trình tren nghiệm với A m >1 Có B m≥ m ≥1 C x >1 Tìm tất giá trị m> D x + x + m − x + + x ( x − 1) > − m ⇔ x + x + m + x + x + m > x + + x + ⇔ x + x + m > x + ⇔ x − x − > −m Có g ( x ) = x − x − > −1, ∀x > ⇒ − m < g ( x ) , ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ − m ≤ −1 ⇔ m ≥ Câu 49 Cho hàm số f ( x ) = mx + nx + qx + qx + r tập nghiệm phương trình f ( x) = r có số có đồ thị hàm số y = f ' ( x) hình vẽ bên ... ⇔ < x < Câu 11 Cho hàm số số ( 2;+∞ ) f ' ( x) m ∈ [ −2020; 2020 ] y = f ( x) hình vẽ hàm số đồng biến ( 1;4 ) có đồ thị đạo hàm hình vẽ bên Số giá trị nguyên tham để hàm số f ( x3 − 3x − x +... ⇒ f ( x ) Hàm số có f ( x ) = xi ( i = 1, 2,3 ) y=0 cắt đồ thị hàm số g ( x) ba  f ( x ) = x1  = ⇔  f ( x ) = x2 f x =x  ( ) đồng biến y = f ' ( x) Câu Cho hàm số có đồ thị hàm số y = f (... −1;0 ( )  Câu 34 Cho hàm số y = f ( x) y = f ' ( x) có đồ thị hàm số hình vẽ bên Có số y = f ( m − x ) + ( m − 1) x ( −1;1) nguyên m để hàm số đồng biến khoảng A B Ta có C Vơ số D ycbt ⇔ y ' ≥ 0,