CẤP SỐ NHÂN I Định nghĩa Cấp số nhân dãy số mà kể từ số hạng thứ 2, số hạng sau tích số hạng đứng trước số q không đổi un = un −1.q q= ; un un −1 ⇔ Để chứng minh dãy số cấp số nhân un = un −1 số =q VD Chứng minh dãy số sau cấp số nhân, tìm q a ) u n = ( −3 ) un −1 = ( −3) n +1 2( n −1) +1 = ( −3) n −1 un ( −3) = −3 = = q = ( ) un −1 ( −3) n −1 ⇒ n +1 Xét thương: dãy số cấp số nhân II Tính chất uk2 = uk +1uk −1 VD u1 , u2 , u3 ⇒ u22 = u1.u3 ⇔ u2 = u1u3 III Số hạng tổng quát un = u1q n −1 VD u5 = u1q u6 = u1q u7 = u1q IV Tổng cấp số nhân S n = u1 − qn 1− q q < ⇒ Sn = * Đặc biệt: 1− q ( ∑ vô hạn ) n 1 1 S = + + + + ÷ 3 VD Tính tổng ⇒ S = u1 VD q= 1 = = 1− q 1− u1 = 18, u2 = 54, un = 39366 u2 1− qn = ⇒ Sn = u1 u1 1− q ⇒ S n = u1 , mà un = u1.q n−1 ⇒ 39366 = 18.3n−1 ⇒ n = 1− qn − 38 = 18 = 59040 1− q 1− V BÀI TẬP Dạng Tìm u1 , q, un un = u1.q n −1 Phương pháp giải: VD Tìm u1 , q biết u1 ( + q ) = 51( 1) u1 + u1q = 51 u1 + u5 = 51 ⇔ ⇔ u1q ( + q ) = 102 ( ) a ) u2 + u6 = 102 u1q + u1q = 102 ( 1) ⇔ ( 2) = u1 ( + q ) u1q ( + q ) = 51 1 ⇔ = ⇒q=2 102 q thay vào ( 2) ⇒ u1 = 51 51 = =3 1+ q 17 u4 − u2 = 72 u1q − u1q = 72 u1q ( q − 1) = 72 ( 1) ⇔ ⇔ 2 u − u = 144 u q − u q = 144 u1q ( q − 1) = 144 ( ) 1 c) ( 1) ( 2) ⇔ u1q ( q − 1) u1q ( q − 1) 2 = 72 ⇒q=2 144 thay vào ( 1) ⇒ u1 = 72 = 12 q ( q − 1) u1 − u1q + u1q = 65 u1 − u3 + u5 = 65 u1 ( − q + q ) = 65 ⇔ ⇔ 6 u + u = 325 u + u q = 325 u1 ( + q ) = 325 1 e) ⇔ ( 1) ( 2) = q = q − q + 65 = = ⇔ + q = ( q − q + 1) ⇔ q +1 325 q = u1 ( + q + q ) = 135 ( 1) u1 + u1q + u1q = 135 u1 + u2 + u3 = 135 ⇔ ⇔ 2 u + u + u = 40 u1q + u1q + u1q = 40 u1q ( + q + q ) = 40 ( ) g) ( 1) ( 2) ( 1) ⇒ u1 = 27 ⇔ 3= ⇔ 27 q = ⇒ q = q thay vào 135 1215 = 19 1+ + u1 + u1q + u1q = 14 u1 + u2 + u3 = 14 u1 ( + q + q ) = 14 ( 1) ⇔ ⇔ 3 u u u = 64 u u q u q = 64 1 i) u1 q = 64 ( ) ( 1) ( 2) ⇔ + q + q2 = ⇔ 7u12 q3 − 32 − q − q = u1 q 32 ⇒a= 334) 1,a,b cấp cố cộng 1, a , b ⇒(a ) 2 1+ b ⇒ b = 2a − = 1( b ) ⇒ ( a cấp số nhân ) 2 a = b =b ⇔ a = −b a = ⇒ b = a = 2a − a − a + = ⇔ ⇔ ⇔ a = −1 + ⇒ b = −3 + 2 a = − 2a a + 2a − = a = −1 − ⇒ b = −3 − 2 335) Gọi ba số u1 , u2 , u3 cấp số cộng u1 + u2 + u3 = 32 ( u1 + u3 ) + u2 = 21 u2 = ⇔ ⇔ u1 + u3 u = u + u = u u1 + u3 = 14 2 Gọi u1 + 2, u2 + 3, u3 + cấp số nhân ⇒ ( u2 + 3) = ( u1 + ) ( u3 + ) ⇔ 10 = ( u1 + ) ( 14 − u1 + ) 336) Gọi ba số u1 , u2 , u3 cấp số nhân u22 = u1u3 ⇒ u1 + u2 + u3 = 65 ( 1) Gọi u1 − 1, u2 , u3 − 19 ⇒ u2 = Thay cấp số cộng u1 − + u3 − 19 u1 + u3 − 20 = ⇔ 2u2 = u1 + u3 − 20 ⇔ u1 + u3 = 2u2 + 20 ( ) 2 ( 2) vào ( 1) ta có ⇔ 2u2 + u2 + 20 = 65 ⇔ 3u2 = 45 ⇒ u2 = 15 u1u3 = 225 ⇔ u1 + u3 = 2u2 + 20 = 50 ... 335) Gọi ba số u1 , u2 , u3 cấp số cộng u1 + u2 + u3 = 32 ( u1 + u3 ) + u2 = 21 u2 = ⇔ ⇔ u1 + u3 u = u + u = u u1 + u3 = 14 2 Gọi u1 + 2, u2 + 3, u3 + cấp số nhân ⇒ ( u2 +... 10 = ( u1 + ) ( 14 − u1 + ) 336) Gọi ba số u1 , u2 , u3 cấp số nhân u22 = u1u3 ⇒ u1 + u2 + u3 = 65 ( 1) Gọi u1 − 1, u2 , u3 − 19 ⇒ u2 = Thay cấp số cộng u1 − + u3 − 19 u1 + u3 − 20 = ⇔ 2u2... 2) ⇔ + q + q2 = ⇔ 7u12 q3 − 32 − q − q = u1 q 32 ⇒a= 334) 1,a,b cấp cố cộng 1, a , b ⇒(a ) 2 1+ b ⇒ b = 2a − = 1( b ) ⇒ ( a cấp số nhân ) 2 a = b =b ⇔ a = −b a = ⇒ b = a = 2a − a − a