Một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan tận tình hƣớng dẫn, bảo tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xun động viên để tơi hồn thành khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội thầy cô khoa Vật Lý quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hồn thành khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln bên cạnh động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Hà nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp hòan tòan nỗ lực thân với hƣớng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan NCS Đỗ Thị Thu Thủy, khóa luận khơng chép từ cơng trình nghiên cứu ngƣời khác Các liệu thông tin đƣợc sử dụng khóa luận có nguồn gốc đƣợc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu hồn tòan trách nhiệm lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Phƣơng trình chuyển động 1.1.1 Phƣơng trình vi phân chuyển động chất điểm 1.1.2 Phƣơng trình chuyển động hệ chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lƣợng 1.3 Định luật bảo toàn moment xung lƣợng 1.4 Định luật bảo toàn lƣợng 14 CHƢƠNG : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 16 2.1 Toạ độ suy rộng 16 2.2 Xung lƣợng suy rộng 17 2.3 Hàm Hamilton 18 2.4 Các phƣơng trình Hamilton 20 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động 21 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 30 3.1.Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 30 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ 33 PHẦN III: KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác giải thích rõ ràng đƣợc Một cơng cụ chủ yếu Vật lí học Vật lí lý thuyết Vật lí tốn Sự đời ngành vật lý lý thuyết góp phần nâng cao khái quát hóa định luật vật lý thành quy luật, học thuyết tống quát, có ý nghĩa to lớn phát triển khoa học, đời sống kĩ thuật Với kết hợp phƣơng pháp toán học đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết tìm đƣợc quy luật chƣa tìm đƣợc thực nghiệm tiên đoán trƣớc mối quan hệ tƣợng vật lý Phƣơng pháp tốn học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt nghiên cứu học đƣợc gọi lý thuyết Cơ lý thuyết môn khoa học nghiên cứu quy luật chung chuyển động vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây chuyển động, tƣơng tác chúng không gian theo thời gian Để học tập tốt phần học lý thuyết cần có hệ thống kiến thức nhƣ hệ thống tập Vì vậy, tơi xin chọn đề tài “Một số tốn tích phân chuyển động lý thuyết” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu đại lƣợng bảo toàn lý thuyết  Áp dụng để giải số tốn tích phân chuyển động học lý thuyết Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu đại lƣợng động lực học lý thuyết  Nghiên cứu quy luật bảo toàn lý thuyết  Nghiên cứu số tập tích phân chuyển động lý thuyết Đối tƣợng nghiên cứu  Nghiên cứu quy luật bảo toàn chất điểm hệ chất điểm hệ toạ độ suy rộng  Áp dụng giải số tập Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu học  Phƣơng pháp giải tích toán học PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng 1: Các khái niệm 1.1 Phƣơng trình chuyển động 1.1.1 Phƣơng trình vi phân chuyển động chất điểm 1.1.2 Phƣơng trình chuyển động hệ chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lƣợng 1.3 Định luật bảo toàn Moment xung lƣợng 1.4 Định luật bảo toàn lƣợng Chƣơng 2: Tích phân chuyển động 2.1 Toạ độ suy rộng 2.2 Xung lƣợng suy rộng 2.3 Hàm Hamilton 2.4 Các phƣơng trình Hamilton 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động Chƣơng 3: Một số toán tích phân chuyển động 3.1 Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ PHẦN III: KẾT LUẬN PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Phƣơng trình chuyển động 1.1.1 Phƣơng trình vi phân chuyển động chất điểm Khảo sát chuyển động chất điểm hệ quy chiếu quán tính Theo tiên đề độc lập tác dụng, chất điểm có khối lƣợng m chuyển động với gia tốc ⃗⃗ thỏa mãn phƣơng trình ⃗⃗ Trong (1.1) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Tùy theo điều kiện cụ thể toán, ta chọn hệ toạ độ khác viết phƣơng trình(1.1) hệ toạ độ chọn để cho giải toán đơn giản Trong trƣờng hợp tổng quát ta chọn hệ toạ độ Descartess chiếu phƣơng trình (1.1) lên trục hệ toạ độ chọn với ý rằng: ̈ ̈ ̈ z Ta đƣợc phƣơng trình vơ hƣớng: ̈ (1.2.a) ̈ ̈ 𝐹 M O (1.2.b) y (1.2.c) x Hình 1.1 gọi hệ phƣơng trình vi phân chuyển động chất điểm hệ toạ độ Descartes Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động chất điểm, ta xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên ⃗ ⃗ , điểm đƣờng cong Trong trƣờng hợp ta thƣờng chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết phƣơng trình hình chiếu phƣơng trình (1.1) với ý rằng: Nếu biết 2S tích phân độc lập : (2.5.6) Thì giải 2S phƣơng trình ta nhận đƣợc phƣơng trình chuyển động hệ (2.5.7) 2s) Nếu biết 2S tích phân chuyển động độc lập ta biết đầy đủ chuyển động hệ Nếu biết m tích phân chuyển động ta biết phần chuyển động hệ Nếu m lớn hiểu biết ta hệ nhiều Vì ta ln trọng tìm số tích phân chuyển động độc lập lớn Nếu biết hai tích phân chuyển động ta tìm đƣợc tích phân chuyển động nhờ tính chất dấu ngoặc Poisson Những tính chất dấu ngoặc Poisson: Nếu hốn vị f cho g dấu ngoặc Poisson đổi dấu { } { } (2.5.8) Nếu hai đại lƣợng số( chẳng hạn g = C) dấu ngoặc Poisson khơng { } (2.5.9) 23 Nếu có đại lƣợng { } { } { } { } (2.5.10) Nếu { } { } { } { } (2.5.11) Đạo hàm riêng dấu ngoặc Poisson { } , - , - (2.5.12) Giữa dấu ngoặc Poisson ta có đẳng thức { { }} { { }} { { }} (2.5.13) Các tính chất dấu ngoặc Poisson đƣợc suy trực tiếp từ định nghĩa dấu ngoặc Poisson Tuy nhiên đẳng thức (2.5.13) việc tính trực tiếp nhƣ phức tạp Để giảm nhẹ phần khó ta ý khai triển vế trái đẳng thức (2.5.13) số hạng tỉ lệ với đạo hàm bậc hàm Nếu ta chứng minh đƣợc vế trái đẳng thức không chƣa đạo hàm bậc hai điều có nghĩa số hạng chứa đạo hàm bậc hai vế trái đẳng thức (2.5.13) khử lẫn nhƣ vế trái đẳng thức (2.5.13) đồng không Vậy để chứng minh đẳng thức (2.5.13) ta cần chứng minh vé trái (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai hàm Vì dấu ngoặc Poisson { { }} không chứa đạo hàm bậc hai để chứng minh vế trái (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai cần chứng minh tổng dấu ngoặc Poisson { { hai }} { { }} { { }} đủ 24 { { }} không chứa đạo hàm bậc Để tiện chứng minh ta đăt: Khi 2S biến số đƣợc thay bằn 2S biến số dấu ngoặc Poisson { { } ∑ ( ) ∑ } viết: (2.5.14) Trong đó: (2.5.15) ∑ Và (2.5.16) Là tốn tử vi phân tuyến tính Tƣơng tự dấu ngoặc Poisson { { } ∑ Trong hàm } viết : toán tử đƣợc nhận từ (2.5.15) (2.5.16) cách thay cho hàm Dễ dàng thấy : { { }} { { }} { { }} { { }} 25 Và { { }} ∑ * ( ∑ ∑ * ∑ ∑ * { { ) }} { { ( ( }} { { ( ) }} )+ )+ + Chú ý rằng: Và thay số tổng i cho k tổng ∑ thành tổng ∑ Vậy ∑ ∑ Chuyển ∑ ∑ ∑ ∑ Từ suy { { }} { { }} ∑ ∑ * + (2.5.17) Hệ thức (2.5.17) tổng { { }} { { }} không chứa đạo hàm bậc hai hàm Vì đƣa vào vế trái đẳng thức (2.5.13) đối xứng nên cách lập luận tự suy vế trái (2.5.13) không chứa 26 Vậy vế trái đẳng thức (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai hàm đẳng thức (2.5.13) đƣợc chứng minh Tính chất quan trọng dấu ngoặc Poisson tích phân chuyển động { hai } tích phân chuyển động Ta chứng minh tính chất { Đặt } { Ta có Hay: { } { } } {{ , - } } , - { { }} (2.5.18) }} { { }} Dùng đẳng thức (2.5.13) ta thu đƣợc { { { { }} {{ } }} { { } (2.5.19) Đặt (2.5.19) vào (2.5.18) cho ta: ,( , Nếu - { } { } { }) - , ( , {{ } { - } { } { { }} })(2.5.20) tích phân chuyển động ( ) { } tích phân chuyển động Nhƣ biết hai tích phân chuyển 27 động ta tìm đƣợc tích phân chuyển động thứ ba { Nhờ tính chất ta tìm đƣợc số tích phân chuyển động lớn Ta xét vài ví dụ dấu ngoặc Poisson Ví dụ 2.1 Tính dấu ngoặc Poisson : { } { } { } Theo định nghĩa (2.5.2): ta có : { } ∑ ( ) { } ∑ ( ) { Vì } ∑ ( ) biến số độc lập nên ta có: Trong đó: , Từ suy ra: { } - { } 28 ; { } } Ví dụ 2.2 Xung lƣợng moment xung lƣợng chất điểm toạ độ Descartes: ̇ ̇ ̇ Hãy thiết lập dấu ngoặc Poisson { } { } { } Dựa vào định nghĩa (2.5.2) dễ dàng thấy rằng: { } { } { } Hốn vị vòng quanh chữ { { { } { , } } { , , { nhận đƣợc hệ thức tƣơng tự } } } 29 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 3.1.Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm Bài tập 1: Hãy chứng minh xung lƣợng chất điểm cô lập tích phân chuyển động Bài giải: Xung lƣợng chất điểm lập: Đạo hàm tồn phần xung lƣợng theo thời gian t: { } toán tử Hamilton chất điểm: động chất điểm tƣơng tác chất điểm Mà chất điểm lập nên Khi { } , => - Đối với chất điểm cô lập : tức => không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên => Vậy xung lƣợng chất điểm cô lập tích phân chuyển động 30 Bài tập 2: Hãy chứng minh Moment xung lƣợng chất điểm lập tích phân chuyển động Bài giải: Moment xung lƣợng chất điểm cô lập: ⃗⃗ [ ] Đạo hàm toàn phần moment xung lƣợng theo thời gian: ⃗⃗ ⃗⃗ { ⃗⃗ } toán tử Hamilton chất điểm: động chất điểm tƣơng tác chất điểm Mà chất điểm lập nên Khi { } ,[ => ] - Đối với chất điểm cô lập : ⃗⃗ [ ] tức không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên : ⃗⃗ Do : => ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ { ⃗⃗ } => 31 Vậy Moment xung lƣợng chất điểm cô lập tích phân chuyển động Bài tập : Chứng minh chất điểm chuyển động trƣờng trọng lực khơng có ma sát tích phân chuyển động.? Bài giải: Cơ chất điểm : động chất điểm tƣơng tác chất điểm Đạo hàm toàn phần theo thời gian: { Trong => { } tóan tử Hamilton: } Do chất điểm chuyển động trƣờng lực dừng nên chất điểm khơng phụ thuộc tƣờng minh vào Do đó: { } => E =const Vậy Cơ chất điểm chuyển dộng trƣờng trọng lực khơng có ma sát tích phân chuyển động 32 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ Bài tập 1: Nhờ dấu ngoặc Poisson, chứng tỏ xung lƣợng P hệ tích phân chuyển động, hàm Hamilton bất biến phép tịnh tiến hệ không gian Bài giải : Xét phép tịnh tiến vô nhỏ hệ không gian, đoạn cho hàm Hamilton không thay đổi Các vector bán kính chúng : Biến phân hàm Hamilton ∑ ∑ ∑ Do đƣợc chọn tùy ý (1) Mặt khác, thành phần Descartes có hệ thức: ∑ ∑ { } { } Ta viết tập hợp hệ thức dƣới dạng ngắn gọn ∑ {⃗ } Từ (1) (2), => { ⃗ (2) } suy vector ⃗ động 33 ∑ tích phân chuyển Bài tập 2: Sử dụng dấu ngoặc Poisson chứng minh xung lƣợng tích phân chuyển động, hàm Hamilton suy rộng bất biến phép biến đổi Bài giải: Ta có , hàm Hamilton bất biến phép biến đổi nên: (1) Từ (1) => Áp dụng tính chất dấu ngoặc Poisson: { } Đặt hàm { { } , ta đƣợc : } Mà { } Vậy xung lƣợng suy rộng tích phân chuyển động Bài tập 3: Nhờ dấu ngoặc Poisson chứng tỏ moment xung lƣợng hệ bảo toàn hàm Hamilton phép quay vơ bé hệ Bài giải: 34 ∑ bất biến Phép biến đổi toạ độ xung lƣợng tƣơng ứng với phép quay hệ góc ⃗ vơ bé quanh trục song song với vector ⃗ đƣợc xác định công thức [ ⃗ ] [ ], (1) Moment xung lƣợng hệ: ⃗⃗ ∑ [ ] Tính dấu ngoặc Poisson: { ⃗⃗ {∑ } [ ] } ∑ * + ∑ * + ∑ * + (2) Mặt khác, biến phân hàm Hamilton phép biến đổi (1) bằng: ∑ [ ∑ ⃗ ∑ Vì ] *⃗ [⃗ ⃗ ⃗ + ∑ [ ∑ [⃗ ] ⃗ ] ] (3) nên từ (3) (2) suy { ⃗⃗ Do moment xung lƣợng hệ đƣợc bảo tồn 35 } PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà mà có nhiều ứng dụng Nó cung cấp phần lí thuyết định luật bảo tồn xung lƣợng, moment xung lƣợng, lƣợng, , phƣơng trình Hamilton Qua tơi thấy tốn có đại lƣợng bảo tồn, ta dùng phƣơng pháp tích phân chuyển động để giải toán đơn giản Tuy nhiên, thời gian có hạn trình độ hạn chế, nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài đƣợc hoàn thiện 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Mình (1997), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia Nguyễn Đình Dũng (2004), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hƣớng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tƣớng (1983), Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập 1, NXB Giáo Dục Golubeva (1970), Cơ Học Lý Thuyết Tập 1, 2, 3, NXB KHKT Bài Giảng Cơ lý thuyết thầy cô tổ Vật Lý Lý Thuyết, Khoa Vật Lý Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội I V Meserxki, H Noibe (2011), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết Tập - Tĩnh Học Và Động Học , NXB Đại Học Công Nghiệp Đào Văn Dũng (2005), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia PhanVăn Cúc, Nguyễn Trọng (2003), Giáo Trình Cơ Học Lý Thuyết, NXB Xây Dựng 10.Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết (Tập - Phần Tĩnh học, Động học), NXB Khoa học Kỹ thuật 37 ... ngoặc Poisson Tích phân chuyển động 21 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 30 3.1 .Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 30 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ 33... Hamilton 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động Chƣơng 3: Một số tốn tích phân chuyển động 3.1 Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ PHẦN III: KẾT LUẬN... HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI