Một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý tốn KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan tận tình hướng dẫn, bảo tạo điều kiện thuận lợi thường xun động viên để tơi hồn thành khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại học Sư Phạm Hà Nội thầy cô khoa Vật Lý quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hồn thành khóa luận Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln bên cạnh động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Hà nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp hòan tòan nỗ lực thân với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan NCS Đỗ Thị Thu Thủy, khóa luận khơng chép từ cơng trình nghiên cứu người khác Các liệu thông tin sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu hồn tòan trách nhiệm lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Phương trình chuyển động 1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm 1.1.2 Phương trình chuyển động hệ chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lượng 1.3 Định luật bảo toàn moment xung lượng 1.4 Định luật bảo toàn lượng 14 CHƯƠNG : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 16 2.1 Toạ độ suy rộng 16 2.2 Xung lượng suy rộng 17 2.3 Hàm Hamilton 18 2.4 Các phương trình Hamilton 20 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động 21 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 30 3.1.Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 30 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ 33 PHẦN III: KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác khơng thể giải thích rõ ràng Một công cụ chủ yếu Vật lí học Vật lí lý thuyết Vật lí tốn Sự đời ngành vật lý lý thuyết góp phần nâng cao khái quát hóa định luật vật lý thành quy luật, học thuyết tống quát, có ý nghĩa to lớn phát triển khoa học, đời sống kĩ thuật Với kết hợp phương pháp toán học đại, phát triển cao, vật lý lý thuyết tìm quy luật chưa tìm thực nghiệm tiên đoán trước mối quan hệ tượng vật lý Phương pháp tốn học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt nghiên cứu học gọi lý thuyết Cơ lý thuyết môn khoa học nghiên cứu quy luật chung chuyển động vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây chuyển động, tương tác chúng không gian theo thời gian Để học tập tốt phần học lý thuyết cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập Vì vậy, tơi xin chọn đề tài “Một số tốn tích phân chuyển động lý thuyết” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu đại lượng bảo toàn lý thuyết  Áp dụng để giải số tốn tích phân chuyển động học lý thuyết Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu đại lượng động lực học lý thuyết  Nghiên cứu quy luật bảo toàn lý thuyết  Nghiên cứu số tập tích phân chuyển động lý thuyết Đối tượng nghiên cứu  Nghiên cứu quy luật bảo toàn chất điểm hệ chất điểm hệ toạ độ suy rộng  Áp dụng giải số tập Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu học  Phương pháp giải tích tốn học PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Các khái niệm 1.1 Phương trình chuyển động 1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm 1.1.2 Phương trình chuyển động hệ chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lượng 1.3 Định luật bảo toàn Moment xung lượng 1.4 Định luật bảo toàn lượng Chương 2: Tích phân chuyển động 2.1 Toạ độ suy rộng 2.2 Xung lượng suy rộng 2.3 Hàm Hamilton 2.4 Các phương trình Hamilton 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động Chương 3: Một số toán tích phân chuyển động 3.1 Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ PHẦN III: KẾT LUẬN PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.Phương trình chuyển động 1.1.1 Phương trình vi phân chuyển động chất điểm Khảo sát chuyển động chất điểm hệ quy chiếu quán tính Theo tiên đề độc lập tác dụng, chất điểm có khối lượng m chuyển động với gia tốc ⃗ thỏa mãn phương trình ⃗ (1.1) Trong ⃗ ⃗ ⃗ Tùy theo điều kiện cụ thể tốn, ta chọn hệ toạ độ khác viết phương trình(1.1) hệ toạ độ chọn để cho giải toán đơn giản Trong trường hợp tổng quát ta chọn hệ toạ độ Descartess chiếu phương trình (1.1) lên trục hệ toạ độ chọn với ý rằng: z Ta phương trình vơ hướng: M (1.2.a)  O (1.2.b) y (1.2.c) x Hình 1.1 gọi hệ phương trình vi phân chuyển động chất điểm hệ toạ độ Descartes Trong nhiều trường hợp ta biết trước quỹ đạo chuyển động chất điểm, ta xây dựng hệ toạ độ tự nhiên ⃗ ⃗ , điểm đường cong Trong trường hợp ta thường chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết phương trình hình chiếu phương trình (1.1) với ý rằng: Nếu biết 2S tích phân độc lập : (2.5.6) Thì giải 2S phương trình ta nhận phương trình chuyển động hệ (2.5.7) 2s) Nếu biết 2S tích phân chuyển động độc lập ta biết đầy đủ chuyển động hệ Nếu biết m tích phân chuyển động ta biết phần chuyển động hệ Nếu m lớn hiểu biết ta hệ nhiều Vì ta ln trọng tìm số tích phân chuyển động độc lập lớn Nếu biết hai tích phân chuyển động ta tìm tích phân chuyển động nhờ tính chất dấu ngoặc Poisson Những tính chất dấu ngoặc Poisson: Nếu hoán vị f cho g dấu ngoặc Poisson đổi dấu { } { } (2.5.8) Nếu hai đại lượng số( chẳng hạn g = C) dấu ngoặc Poisson khơng { } (2.5.9) Nếu có đại lượng { } { } Nếu { } { } { } (2.5.10) { } { } { } (2.5.11) Đạo hàm riêng dấu ngoặc Poisson { } , (2.5.12) , - Giữa dấu ngoặc Poisson ta có đẳng thức { { }} { { }} { { }} (2.5.13) Các tính chất dấu ngoặc Poisson suy trực tiếp từ định nghĩa dấu ngoặc Poisson Tuy nhiên đẳng thức (2.5.13) việc tính trực tiếp phức tạp Để giảm nhẹ phần khó ta ý khai triển vế trái đẳng thức (2.5.13) số hạng tỉ lệ với đạo hàm bậc hàm Nếu ta chứng minh vế trái đẳng thức không chưa đạo hàm bậc hai điều có nghĩa số hạng chứa đạo hàm bậc hai vế trái đẳng thức (2.5.13) khử lẫn vế trái đẳng thức (2.5.13) đồng không Vậy để chứng minh đẳng thức (2.5.13) ta cần chứng minh vé trái (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai hàm { Vì dấu ngoặc Poisson { }} không chứa đạo hàm bậc hai để chứng minh vế trái (2.5.13) khơng chứa đạo hàm bậc hai cần chứng minh tổng dấu ngoặc Poisson { { }} { { không chứa đạo hàm bậc hai }} đủ { { }} { { }} Để tiện chứng minh ta đăt: Khi 2S biến số thay bằn 2S biến số dấu ngoặc Poisson { { } (2.5.14) ∑ ( } viết: ) ∑ Trong đó: (2.5.15) ∑ Và (2.5.16) Là toán tử vi phân tuyến tính Tương tự dấu ngoặc Poisson { { } Trong hàm } viết : ∑ tốn tử nhận từ (2.5.15) (2.5.16) cách thay cho hàm Dễ dàng thấy : { { }} { { }} { { }} { { }} Và { { }} { { ∑ * ( ∑ ∑ * ∑ ∑ * ) { { } } ( ( }} { { } } )+ )+ ( ) + Chú ý rằng: Và thay số tổng i cho k tổng ∑ Chuyển thành tổng ∑ Vậy ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Từ suy { + { }} { { }} ∑ ∑ * (2.5.17) Hệ thức (2.5.17) tổng { chứa đạo hàm { }} { { }} không bậc hai hàm Vì đưa vào vế trái đẳng thức (2.5.13) đối xứng nên cách lập luận tự suy vế trái (2.5.13) không chứa Vậy vế trái đẳng thức (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai hàm đẳng thức (2.5.13) chứng minh Tính chất quan trọng dấu ngoặc Poisson tích phân chuyển động { hai } tích phân chuyển động Ta chứng minh tính chất { Đặt } { Ta có Hay: { } { } } } } {{ - , , { { }} (2.5.18) Dùng đẳng thức (2.5.13) ta thu { { { { }} }} } {{ { { } }} { { }} (2.5.19) Đặt (2.5.19) vào (2.5.18) cho ta: { { ,( , Nếu } - { { }} - , ( { }) , } } { } {{ - tích phân chuyển động ( { } } { })(2.5.20) ) tích phân chuyển động Như biết hai tích phân chuyển động ta tìm tích phân chuyển động thứ ba { } Nhờ tính chất ta tìm số tích phân chuyển động lớn Ta xét vài ví dụ dấu ngoặc Poisson Ví dụ 2.1 Tính dấu ngoặc Poisson : { } { } { } Theo định nghĩa (2.5.2): ta có : { } ∑ ( ) { } ∑ ( ) { Vì } ∑ ( ) biến số độc lập nên ta có: Trong đó: , Từ suy ra: { } { } ; { } Ví dụ 2.2 Xung lượng moment xung lượng chất điểm toạ độ Descartes: Hãy thiết lập dấu ngoặc Poisson { } { } { } Dựa vào định nghĩa (2.5.2) dễ dàng thấy rằng: { { } } { } Hốn vị vòng quanh chữ { { { } { , } } nhận hệ thức tương tự } { , , { } } CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 3.1.Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm Bài tập 1: Hãy chứng minh xung lượng chất điểm cô lập tích phân chuyển động Bài giải: Xung lượng chất điểm lập: Đạo hàm tồn phần xung lượng theo thời gian t: { } toán tử Hamilton chất điểm: động chất điểm tương tác chất điểm Mà chất điểm lập nên Khi { } , => - Đối với chất điểm cô lập : tức => không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên => Vậy xung lượng chất điểm cô lập tích phân chuyển động Bài tập 2: Hãy chứng minh Moment xung lượng chất điểm lập tích phân chuyển động Bài giải: Moment xung lượng chất điểm cô lập: ⃗ [ ] Đạo hàm toàn phần moment xung lượng theo thời gian: ⃗ {⃗ } toán tử Hamilton chất điểm: động chất điểm tương tác chất điểm Mà chất điểm lập nên => Khi { ] } ,[ - Đối với chất điểm cô lập : ⃗ [ ] tức không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên : ⃗ Do : => ⃗ ⃗ {⃗ => } Vậy Moment xung lượng chất điểm lập tích phân chuyển động Bài tập : Chứng minh chất điểm chuyển động trường trọng lực ma sát tích phân chuyển động.? Bài giải: Cơ chất điểm : động chất điểm tương tác chất điểm Đạo hàm toàn phần theo thời gian: { Trong => { } tóan tử Hamilton: } Do chất điểm chuyển động trường lực dừng nên chất điểm không phụ thuộc tường minh vào Do đó: { } => E =const Vậy Cơ chất điểm chuyển dộng trường trọng lực khơng có ma sát tích phân chuyển động 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ Bài tập 1: Nhờ dấu ngoặc Poisson, chứng tỏ xung lượng P hệ tích phân chuyển động, hàm Hamilton bất biến phép tịnh tiến hệ không gian Bài giải : Xét phép tịnh tiến vô nhỏ hệ không gian, đoạn cho hàm Hamilton không thay đổi Các vector bán kính chúng : Biến phân hàm Hamilton ∑ ∑ ∑ Do chọn tùy ý (1) Mặt khác, thành phần Descartes có hệ thức: ∑ ∑ { } { } Ta viết tập hợp hệ thức dạng ngắn gọn {⃗ } Từ (1) (2), => { ⃗ chuyển } ∑ (2) động suy vector ⃗ ∑ tích phân Bài tập 2: Sử dụng dấu ngoặc Poisson chứng minh xung lượng suy rộng tích phân chuyển động, hàm Hamilton bất biến phép biến đổi Bài giải: Ta có , hàm Hamilton bất biến phép biến đổi nên: (1) Từ (1) => Áp dụng tính chất dấu ngoặc Poisson: { } Đặt hàm { { } , ta : } Mà { } Vậy xung lượng suy rộng tích phân chuyển động Bài tập 3: Nhờ dấu ngoặc Poisson chứng tỏ moment xung lượng hệ bảo tồn hàm Hamilton bất biến phép quay vô bé hệ Bài giải: ∑ Phép biến đổi toạ độ xung lượng tương ứng với phép quay hệ góc ⃗ vơ bé quanh trục song song với vector ⃗ xác định công thức [ (1) ⃗ ] [ ], Moment xung lượng hệ: ⃗ ∑ [ ] {∑ [ ] Tính dấu ngoặc Poisson: {⃗ } ∑ * + ∑ * + } ∑ * (2) Mặt khác, biến phân hàm Hamilton phép biến đổi (1) bằng: ∑ [ ∑ ⃗ ∑ ] * [⃗ ⃗ + ∑ ∑ [⃗ [ ] ]⃗ ] ⃗ (3) Vì nên từ (3) (2) suy { ⃗ Do moment xung lượng hệ bảo toàn } + PHẦN III: KẾT LUẬN Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà mà có nhiều ứng dụng Nó cung cấp phần lí thuyết định luật bảo tồn xung lượng, moment xung lượng, lượng, , phương trình Hamilton Qua thấy tốn có đại lượng bảo tồn, ta dùng phương pháp tích phân chuyển động để giải tốn đơn giản Tuy nhiên, thời gian có hạn trình độ hạn chế, nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Mình (1997), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia Nguyễn Đình Dũng (2004), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tướng (1983), Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập 1, NXB Giáo Dục Golubeva (1970), Cơ Học Lý Thuyết Tập 1, 2, 3, NXB KHKT Bài Giảng Cơ lý thuyết thầy cô tổ Vật Lý Lý Thuyết, Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội I V Meserxki, H Noibe (2011), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết Tập - Tĩnh Học Và Động Học , NXB Đại Học Công Nghiệp Đào Văn Dũng (2005), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc Gia PhanVăn Cúc, Nguyễn Trọng (2003), Giáo Trình Cơ Học Lý Thuyết, NXB Xây Dựng 10.Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết (Tập - Phần Tĩnh học, Động học), NXB Khoa học Kỹ thuật ... ngoặc Poisson Tích phân chuyển động 21 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG 30 3.1 .Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 30 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ 33... Hamilton 2.5 Dấu ngoặc Poisson Tích phân chuyển động Chương 3: Một số toán tích phân chuyển động 3.1 Một số tốn tích phân chuyển động chất điểm 3.2 Một số tốn tích phân chuyển động hệ PHẦN III: KẾT LUẬN... HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THANH TÂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI