TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ HỒNG THÚY MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN TRÊN ĐỒ THỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ HỒNG THÚY MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN TRÊN ĐỒ THỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĨNH ĐỨC HÀ NỘI – 2018 ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ rữợ tr õ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② t t tr t ỳ tr tự qỵ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ♥❤✐➺♠ ✈ö ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ỡ s s tợ r ự ữớ trỹ t ữợ t t ú ù ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜↔♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ỳ ỵ õ ỵ qỵ t ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳ ✶ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚➯♥ ❡♠ ộ ỗ ú ợ ❚♦→♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥✿ ✶✳ ✣➲ t➔✐ ✧▼ët sè t ỡ tr ỗ t sỹ ự r ữợ sỹ ữợ t ❣✐→♦ ❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➽♥❤ ✣ù❝✳ ✷✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ s❛♦ ❝❤➨♣ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ◆➳✉ s❛✐ ❡♠ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐ ❡♠ ✤➣ sû ❞ö♥❣ ✈➔ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝→❝ t❤➔♥❤ tü✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈ỵ✐ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ tr➙♥ trå♥❣✳ ✷ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✶ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ✷ ▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯ ✺ ❉❆◆❍ ▼Ö❈ ❍➐◆❍ ❱➇ ✾ ✶ ❑❍⑩■ ◆■➏▼ ❈❒ ❇❷◆ ❱➋ ✣➬ ❚❍➚ ✶ ✶✳✶ ✶✳✷ ❈→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t ổ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ rồ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ t tr ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✺✳ ❍➔♥❤ tr➻♥❤✱ ✤÷í♥❣✱ ❝❤✉ tr➻♥❤✱ ✈➳t ✈➔ ♠↕❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ởt số ỗ t t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t❤à ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✵ ✹ ✷ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➷ ▼⑨❯ ✣➬ ❚❍➚ ✷✳✶ ✷✳✷ ✶✶ ❚æ ♠➔✉ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✶✳✶✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✶✹ ✷✳✶✳✷✳ t tổ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ổ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✷✳✶✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✷✵ ✷✳✷✳✷✳ ❱➼ ❞ö ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ tổ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✸ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ❈❍❯ ❚❘➐◆❍ ❍❆▼■▲❚❖◆ ❚❘❖◆● ỗ t t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t ỷ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ t t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✸✳✶✳✸✳ ▼ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤➾♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✸✳✷ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✸✳✸ t sỹ tỗ t tr t tr ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ò▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ ✷✻ ✷✼ ✹✳✶ ❈➙② ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝➙② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✹✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ✹✳✸ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ✸✶ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ỵ t ỵ tt ỗ t ởt ỹ ❝ù✉ ✤➣ ❝â tø ❧➙✉ ✤í✐✳ ◆❤ú♥❣ t÷ t÷ð♥❣ ❝ì ỵ tt ỗ t ữủ t tứ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✤➛✉ ❝õ❛ t❤➳ ❦➾ ✶✽ ❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❧é✐ ❧↕❝ ♥❣÷í✐ ❚❤ư② ❙➽ ▲❡♦♥❤❛r❞ ❊✉❧❡r✳ ❈❤➼♥❤ ỉ♥❣ ữớ sỷ ỗ t t♦→♥ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ✈➲ ❝→✐ ❝➛✉ ð t❤➔♥❤ ♣❤è ❑♦♥✐❣s❜❡r❣✳ ỗ t ữủ sỷ qt t tr ỹ ỗ t❤à ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ♠↕❝❤ ỏ tr t ỗ t ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝→❝ ❤ñ♣ ❝❤➜t ❤â❛ ❤å❝ ❤ú✉ ỡ ợ ũ ổ tự tỷ ữ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➲ ❝➜✉ tró❝ ♣❤➙♥ tû ❤❛② ①→❝ ✤à♥❤ ①❡♠ ❤❛✐ ♠→② t➼♥❤ tr♦♥❣ ♠↕♥❣ ❝â t❤➸ tr❛♦ ✤ê✐ tổ t ữủ ợ ổ ỗ t õ trồ sè tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❤÷✿ t➻♠ ✤÷í♥❣ ✤✐ ♥❣➢♥ ♥❤➜t ❣✐ú❛ t ố tr ũ ởt tổ ỗ t❤à ❝á♥ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❧➟♣ ❧à❝❤✱ t❤í✐ ❦❤â❛ ❜✐➸✉ ✈➔ ♣❤➙♥ ❜è t➛♥ sè ❝❤♦ ❝→❝ tr↕♠ ♣❤→t t❤❛♥❤ tr✉②➲♥ ❤➻♥❤✳✳✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ợ t t ỡ tr ỗ t ✈➔ ❝ò♥❣ ✈ỵ✐ ✤â ❧➔ ✺ ✻ ❝→❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ r tr t ỵ r tổ ỵ tỉ ♠➔✉ ❝↕♥❤✳ ◆❤ú♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➔②✱ ♠➦❝ ❞ò ❦❤ỉ♥❣ ❦❤→❝ ❜✐➺t ❤♦➔♥ t♦➔♥ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤✐➺♥ ❝â✱ ♥❤÷♥❣ ❝â ❧➩ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ tü ♥❤✐➯♥ ❤ì♥✳ ❳✉➜t ♣❤→t tø t➼♥❤ t❤ü❝ t✐➵♥ ✤â ❡♠ ①✐♥ ❝❤å♥ ✤➲ t ỡ tr ỗ t ✤➲ t➔✐ ✧▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➲ t➔✐ ♥➔② ❧➔ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët số t ỡ tr ỗ t ự ỵ tr ỵ tt ỗ t ữ ỵ r ỵ r ỵ ởt tỹ ❞➵ ❤✐➸✉ ❤ì♥✳ ✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ư✱ ②➯✉ ❝➛✉ ✣➲ t➔✐ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✿ ✧▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ tr➯♥ ỗ t ữủ t r ợ ✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ỗ t t tổ tr ỗ t t t tổ ỗ t ợ ỵ r t tổ ỗ t ợ ỵ ự ❞ö♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥✳ ✲ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ỗ t t t sỹ tỗ t tr t tr ỗ t ❚➻♠ ❤✐➸✉ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝➙② ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✼ ✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✲ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ q✉❛ ✈✐➺❝ ✤å❝ s→❝❤✱ ❜➔✐ ❜→♦ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ỹ ỡ s ỵ tt t ✈➔ ❝→❝ ❜✐➺♥ ♣❤→♣ ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝→❝ t ỵ ❝õ❛ ❝❤✉②➯♥ ❣✐❛ ✤➸ ❝â t❤➸ t❤✐➳t ❦➳ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ♣❤ò ❤đ♣✳ ✺✳ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ tỹ t t t ữợ ợ t t ỡ tr ỗ t ✈➔ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤â✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ✤➲ t➔✐ ❝á♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❤â❛ ❝→❝ ự ỵ tr ỵ tt ỗ t ứ õ ú ữớ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ù♥❣ ❞ö♥❣ ỵ tt ỗ t ởt ỹ ỏ ❦❤→ ♠ỵ✐ ð ❱✐➺t ◆❛♠ ♠ët ❝→❝❤ tü ♥❤✐➯♥ ❤ì♥✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✧❑❤→✐ ♥✐➺♠ ỡ ỗ t ỡ ỗ t t ỗ t ổ ữợ ũ ợ õ ỗ t t ữỡ t tổ ỗ t ✤➲ ❝➟♣ tỵ✐ ✈➜♥ ✤➲ tỉ ♠➔✉ ❝→❝ ✤➾♥❤✱ ❝↕♥❤ ởt ỗ t r t q ✈➲ tỉ ♠➔✉ ✤➾♥❤✱ tỉ ♠➔✉ ❝↕♥❤ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝õ❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tỉ ♠➔✉✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ t sỹ tỗ t tr t tr ỗ t ữỡ s ợ t ỗ t t t ữớ ữỡ ✹ ✧❇➔✐ t♦→♥ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t✧✳ ✣➙② ❧➔ ữỡ ố õ ợ t t♦→♥ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t ✈➔ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ t❤ü❝ t➳✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➷ H ỗ t tữỡ ự ố ợ trứ x tr♦♥❣ H ❉♦ ✤â✱ ✷✵ xα ✤÷đ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥➳✉ ✈➔ M u x ∈ X✳ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ✈ỵ✐ β xβ c✳ ❉♦ H ✈➔ ❝↕♥❤ x α ❚❘♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ M H✱ ✤÷đ❝ t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ M ❧➔ ♠ët ♣❤ò ❤đ♣ ❜➡♥❣ ♠ët ✤÷í♥❣ t➠♥❣ t❤➯♠ ♣❤ò ❤đ♣ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ❣✐❛ t➠♥❣ ✤➳♥ ♠ët ỹ ữủ ỗ t ợ M tr ũ ❤đ♣ tr♦♥❣ H ✳ H |M |✰✶✳ ✷✳✷✳✷✳ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❇➔✐ t♦→♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ❝→❝ t❤❛♥❤ ❣❤✐ ❝❤➾ sè✿ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❜ë ❞à❝❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝❛♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ ✈á♥❣ ❧➦♣ ✤÷đ❝ t➠♥❣ tè❝ ❦❤✐ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❞ò♥❣ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ❞÷đ❝ ❧÷✉ t↕♠ t❤í✐ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤❛♥❤ ❣❤✐ ❝❤➾ số ỷ ỵ tr t ổ tr ợ tổ tữớ ợ ởt ỏ trữợ t số ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ tæ ỗ t ỹ ổ t ộ ỗ t ởt tr ỏ ❧➦♣✳ ●✐ú❛ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❝â ♠ët ❝↕♥❤ ♥➳✉ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤➲✉ ❜✐➸✉ t❤à ❜➡♥❣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ♥➔② ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ❧÷✉ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤❛♥❤ ❣❤✐ ❝❤➾ sè t↕✐ ❝ò♥❣ t❤í✐ ✤✐➸♠ ❦❤✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈á♥❣ ❧➦♣✳ ◆❤÷ ✈➟② sè ♠➔ ❝õ❛ ỗ t số t õ ❝→❝ t❤❛♥❤ ❣❤✐ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤÷đ❝ ♣❤➙♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❦❤✐ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❜✐➸✉ t❤à ❝→❝ ❜✐➳♥ ♥➔② ❧➔ ❧✐➲♥ tr ỗ t ữỡ ✣➬ ❚❍➚ ✷✶ ✷✳✷✳✸✳ ❱➼ ❞ư ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ tỉ ỗ t õ t ố tứ ộ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝â ✤÷í♥❣ ❜❛② ✤➳♥ ♠ët sè t❤➔♥❤ ♣❤è ❦❤→❝✳ ❇✐➳t r➡♥❣ ❝ù ❧➜② ❜❛ t❤➔♥❤ ♣❤è ❜➜t ❦ý tr♦♥❣ ✺ t❤➔♥❤ ♣❤è ✤â t❤➻ ❝â ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝â ✤÷í♥❣ ❜❛② trü❝ t✐➳♣ ✤➳♥ ♥❤❛✉ ✈➔ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝❤÷❛ ❝â ✤÷í♥❣ ❜❛② ♥❤÷ ✈➟②✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ ✭❛✮ ▼é✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝â ✤÷í♥❣ ❜❛② trü❝ t✐➳♣ ✤➳♥ ❤❛✐ ✈➔ ❝❤➾ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❦❤→❝❀ ✭❜✮ ❚ø ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝â t❤➸ ❜❛② ✤➳♥ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è ❦❤→❝✱ ♠é✐ ♥ì✐ ♠ët ❧➛♥ ✈➔ q✉❛② ✈➲ ❝❤é ❝ơ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ❈❍❯ ❚❘➐◆❍ ❍❆▼■▲❚❖◆ ❚❘❖◆● ✣➬ ❚❍➚ ❱➜♥ ✤➲ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❧➔ ởt tr t ỵ tt ỗ t ✈➔ ✤➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tỵ✐ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔②✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝❤✉ tr➻♥❤ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ rë♥❣ tr➯♥ ♥❤✐➲✉ ❦❤➼❛ ❝↕♥❤✱ tr♦♥❣ ✤â t➟♣ tr✉♥❣ ❝❤õ ②➳✉ tỵ✐ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤➾♥❤✳✳✳ ❈❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t❤ü❝ t➳✱ ✈➼ ❞ö ♥❤÷ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥❣÷í✐ ❜→♥ ❤➔♥❣✱ ❧➟♣ ❦➳ ❤♦↕❝❤✱ ❤❛② tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ✈✐ ♠↕❝❤✱ t❤✐➳t ❦➳ ✤÷í♥❣ tr✉②➲♥ tr ỗ t t ỗ t ỷ t ởt ữớ tr ỗ t ổ ữợ t♦♥ ♥➳✉ ♥â ❝❤ù❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝õ❛ G = (V, E) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤÷í♥❣ G✳ ✷✷ ❍❛♠✐❧✲ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ỗ t ổ ữợ G = (V, E) ữủ ỗ t ♥û❛ ❍❛♠✐❧t♦♥ ♥➳✉ ♥â ❝â ♠ët ✤÷í♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ỗ t ỷ t ỗ t õ ữớ trũ ỗ t t ởt tr tr ỗ t ổ ữợ G = (V, E) t õ ự tt ỗ t ổ ữợ G = (V, E) ữủ tr G ữủ ỗ t t õ ự ởt tr t õ ỗ t t ỗ t õ tr trũ ▼ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❜➟❝ ❝õ❛ ✤➾♥❤ ✣à♥❤ ❧➼ ✸✳✶✳✶✳ ✭Pâs❛✱ ✶✾✻✷✮ G = (V, E) ✳ sỷ ỗ t ổ ữợ n3 ợ ♠é✐ deg(v) ≤ k ✱ ♥❤ä ❤ì♥ k ♣❤↔✐ ♥❤ä ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ k t❤ä❛ ♠➣♥ ✈➔ ✈ỵ✐ n 1≤k < ❧➫ sè ❝→❝ ✤➾♥❤ (n−1) ✱ t❤➻ G v (n−1) ✱ sè ❝→❝ ✤➾♥❤ ✈ỵ✐ deg(v) ≤ v õ ợ (n1) ụ ỗ t t r ỗ t ổ ữợ G = (V, E) ❝â ❝➜♣ n≥3 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ v ∈ V ✱ deg(v) ≥ n ✱ t❤➻ G ỗ t t ỵ r trữớ ủ r ỵ r r G ỗ t ỡ õ t t tr♦♥❣ ✤â tê♥❣ ❝→❝ ❜➟❝ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❜➜t ❦ý ❦❤ỉ♥❣ ❦➲ ♥❤❛✉ ❧➔ ♥❤ä ❤ì♥ ✤â G v(G)✳ ❑❤✐ ❝❤ù❛ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❳➨t ỗ t K tr t V G ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✈➔ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ❝õ❛ K G tr♦♥❣ ✤â ❝→❝ ✤÷đ❝ tỉ ♠➔✉ ✤ä✳ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ❈❍❯ ❚❘➐◆❍ ❍❆▼■▲❚❖◆ ❚❘❖◆● ✣➬ ❚❍➚ ✷✹ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❝õ❛ K ✈ỵ✐ ❝➔♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝↕♥❤ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❝➔♥❣ tèt✳ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ♠å✐ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❦❤→❝✱ r➡♥❣ C C ❧➔ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♥â✐ ❝→❝❤ ❧➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❝õ❛ ●✳ C ●✐↔ sû✱ ữủ r ợ x tr C ✮✳ ❝â ♠ët ❝↕♥❤ ♠➔✉ ✤ä ❳➨t t➟♣ S xx+ ✤➾♥❤ x+ y+ ❝õ❛ ❝õ❛ x tr➯♥ C S + x ữủ ố ợ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✭✤â ❧➔✱ t➟♣ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❜➯♥ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❦➳ t✐➳♣ x+ ✭tr♦♥❣ ✤â x tr♦♥❣ G✮✳ ❦➼ ❜ð✐ ✣➾♥❤ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ♥è✐ ❜ð✐ ❝↕♥❤ ♠➔✉ ①❛♥❤ ✤➳♥ ♠ët sè x+ ✈➻ ♥➳✉ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ tr♦♥❣ G t❤➻ ❝❤➾ ✤➳♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ tr♦♥❣ V \(S + ∪ {x+ })✱ dG (x)+dG (x+ ) = |NG (x)|+|NG (x+ )| ≤ |S|+(|V |−|S + |−1) = υ(G)−1✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ợ tt r G ữ tr C ❧➙♥ ❝➟♥ tr♦♥❣ ✤ê✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ C✱ dG (x) + dG (x+ ) ≥ υ(G)✱ x xx+ ✈➔ yy + ❝❤♦ ❝→❝ ❝↕♥❤ xy ✈➔ t❤✉ ✤÷đ❝ tø x+ y + ✈➔ C x+ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❜➡♥❣ ✈✐➺❝ tr❛♦ ❝â ♥❤✐➲✉ ♠➔✉ ①❛♥❤ ❤ì♥ ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✳ ❚❤ü❝ r❛✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr➯♥ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✷✲opt ❝õ❛ ❋❧♦♦❞ ✤➸ t➻♠ ♠ët ❝❤✉②➳♥ ✤✐ ❜→♥ ❤➔♥❣ tữỡ ố tr ởt ỗ t õ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ✤÷đ❝ ✤↔♠ ❜↔♦ trð t❤➔♥❤ ♠ët ❝❤✉②➳♥ ✤✐ tèt ♥❤➜t ❦❤✐ ❤➔♠ trå♥❣ ❧÷đ♥❣ ❧➔ ❝↕♥❤ ❝â trå♥❣ ữủ (1, 0) ỗ t trũ G ❝↔♠ s✐♥❤ ❜ð✐ ❝→❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ỵ r t ữớ ❤➔♥❣ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❈â ♠ët ♥❣÷í✐ ❣✐❛♦ ❤➔♥❣ ❝➛♥ ✤✐ ❣✐❛♦ ❤➔♥❣ t↕✐ n t❤➔♥❤ ♣❤è✳ ❆♥❤ t❛ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è ♥➔♦ ✤â✱ ✤✐ q✉❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ❈❍❯ ❚❘➐◆❍ ❍❆▼■▲❚❖◆ ❚❘❖◆● ✣➬ ❚❍➚ ✷✺ ❦❤→❝ ✤➸ ❣✐❛♦ ❤➔♥❣ ✈➔ trð ✈➲ t❤➔♥❤ ♣❤è ❜❛♥ ✤➛✉✳ ▼é✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝❤➾ ✤➳♥ ♠ët ❧➛♥✱ ✈➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è ✤➳♥ ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è ❦❤→❝ ữủ t trữợ t ởt tr s ❝❤♦ tê♥❣ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❍➻♥❤ ✸✳✶✿ ▼æ t t ỗ t ữớ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ◆P ✲ ❦❤â t❤✉ë❝ t❤➸ ❧♦↕✐ tè✐ ÷✉ rí✐ r↕❝ ❤❛② tê ❤đ♣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr trũ ỵ tt t➼♥❤✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝â t❤➸ ✤÷đ❝ ♠ỉ ❤➻♥❤ ❤â❛ ♥❤÷ ởt ỗ t ổ ữợ õ trồ số tr õ ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❧➔ ♠ët ✤➾♥❤ ❝õ❛ ✤æ t❤à ❝á♥ ✤÷í♥❣ ✤✐ ❣✐ú❛ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è ❧➔ ♠é✐ ❝↕♥❤✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤✳ ✣➙② ❧➔ ✈➜♥ ✤➲ ❝ü❝ t✐➸✉ ❤â❛ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ✤➛✉ ✈➔ ✤✐➸♠ ❝✉è✐ ❧➔ ❝ò♥❣ ♠ët ✤➾♥❤ s❛✉ ❦❤✐ t❤➠♠ ❤➳t ❝→❝ ✤➾♥❤ ❝á♥ ❧↕✐ ✤ó♥❣ ♠ët ❧➛♥✳ ▼ỉ ❤➻♥❤ ♥➔② tữớ ởt ỗ t ỳ ộ ✤➾♥❤ ✤➲✉ ❝â ❝↕♥❤✮✳ ◆➳✉ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ✤÷í♥❣ ❣✐ú❛ ❤❛✐ t❤➔♥❤ ♣❤è t❤➻ ❝â t❤➸ t❤➯♠ ♠ët ❝↕♥❤ ✈ỵ✐ ✤ë ợ ỗ t ổ ữ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ tè✐ ÷✉ s❛✉ ❝ò♥❣✳ ▼ët ✤÷í♥❣ ✤✐ tr♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❳⑩❈ ✣➚◆❍ ❙Ü ❚➬◆ ❚❸■ ❈Õ❆ ❈❍❯ ❚❘➐◆❍ ❍❆▼■▲❚❖◆ ❚❘❖◆● ✣➬ ❚❍➚ ✷✻ ❜➔✐ t♦→♥ ữớ ởt tr t tr ỗ t❤à ✈➔ ♠ët ❧í✐ ❣✐↔✐ tè✐ ÷✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ♥❣➢♥ ♥❤➜t✳ ✸✳✸ ❱➼ ❞ö ✈➲ t sỹ tỗ t tr t tr ỗ t r ởt õ ữớ ộ ỗ ợ ♠ët ❜➔♥ trá♥ ♠ët ❧➛♥✳ ❍ä✐ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ s s ộ ỗ ộ ữớ õ ữớ ỗ ợ s ữ t t ởt ỗ t ỡ ỗ n = 15 ộ ự ✈ỵ✐ ♠ët ✤↕✐ ❜✐➸✉ t❤❛♠ ❣✐❛ ❝✉ỉ❝ ❤å♣✱ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❦➲ ♥❤❛✉ ❦❤✐ ✤↕✐ ❜✐➸✉ ♠✉è♥ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✳ K15 t õ ỗ t ỡ ỗ t t ộ tr t ởt s ộ ỗ tọ ỵ Põs tr♦♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ❱➟② ❝â Kn ✈ỵ✐ (15−1) n =7 ❧➫✱ n≥3 ❝â ✤ó♥❣ (n−1) ❝❤✉ tr➻♥❤ s ộ ỗ ữ tr ộ s ①➳♣ ❧➔ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❝õ❛ K15 ✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ò▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ ✹✳✶ ❈➙② ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝➙② ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✶✳ ▼ët ỗ t ổ ữợ tổ ổ õ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❝❤✉ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝➙②✳ ❍➻♥❤ ✹✳✶✿ ởt ỗ t ổ ữợ ổ ❝â ❦❤✉②➯♥ ✭❦❤ỉ♥❣ ♥❤➜t ✷✼ ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ị▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ ✷✽ t❤✐➳t ♣❤↔✐ ❧➔ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣✮ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❝❤✉ tr➻♥❤ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ rø♥❣✳ ❘ø♥❣ õ t ỗ t tổ ♠é✐ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❧➔ ♠ët ❝➙②✳ ❈→❝ ✤➾♥❤ ❜➟❝ ✶ ❝õ❛ ❝➙② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➾♥❤ ❧→ ❤❛② ✤➾♥❤ ❝✉è✐✱ ❝á♥ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❜➟❝ ❧ỵ♥ ❤ì♥ ✶ ❝õ❛ ❝➙② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➾♥❤ ❝➔♥❤ ❤❛② ✤➾♥❤ tr♦♥❣✳ ▼ët ỗ t ổ ự tr ỗ t G ởt G ởt ỗ t ❝♦♥ ❜❛♦ trò♠ ❝õ❛ G ♠➔ ❧➔ ♠ët ❝➙② ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ❝õ❛ G✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❝➙②✿ ❝➙② n ✤➾♥❤ ❝â ✤ó♥❣ n − ❝↕♥❤✱ tr♦♥❣ ♠ët ❝➙②✱ ❜❛♦ ❣✐í ❝ơ♥❣ ❝â ♠ët ✤÷í♥❣ ✤✐ ❞✉② ♥❤➜t ♥è✐ ♠ët ❝➦♣ ✤➾♥❤ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ❝➙②✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✹✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû T = (V, E) ỗ t ổ ữợ ổ ❝â ❦❤✉②➯♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥❤❛✉✿ ✭❛✮ T ❧➔ ❝➙②❀ ✭❜✮ T ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ❝❤✉ tr➻♥❤ ✈➔ ✭❝✮ T ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ✈➔ ✭❞✮ T ỗ t tổ ữ õ ởt t ý t ỗ t |E| = |V | − 1❀ |E| = |V | − 1❀ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣❀ ✭❡✮ ❍❛✐ ✤➾♥❤ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ t ý T ữủ ố ợ ú ♠ët ✤÷í♥❣❀ ✭❢✮ T ❦❤ỉ♥❣ ❝❤ù❛ ❝❤✉ tr➻♥❤✱ ♥❤ù♥❣ ♥➳✉ t❛ t❤➯♠ ♠ët ❝↕♥❤ ♥è✐ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❦❤æ♥❣ ❦➲ ♥❤❛✉ tr ự T t ỗ t ữủ õ ✤ó♥❣ ♠ët ❝❤✉ tr➻♥❤✳ ❳❡♠ ❬✶❪✱ tr✳✶✾✼ ✲ ✷✵✵✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ò▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✶✳✸✳ ❞↕♥❣ T = (V, E ) ●✐↔ sû ✈ỵ✐ G = (V, E) E E ởt ỗ t❤à✳ ▼ët ❝➙② ❜➜t ❦ý ❝â ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝➙② trũ ỗ t õ trũ ởt ỗ t ứ ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤➾♥❤ ❝õ❛ G✳ G t❤ä❛ ♠➣♥✿ ♥â ✈ø❛ G ỗ t tổ õ trũ ú t ỗ t ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤➾♥❤ ✈➔ ❝â sè ❝↕♥❤ ➼t t ỗ t õ tr t t ❝â t❤➸ ❜ä ✤✐ ♠ët ❝↕♥❤ tr➯♥ ❝❤✉ tr➻♥❤ ♠➔ ỗ t tổ ỗ t tổ õ trũ ✹✳✶✳✹✳ ❈➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t ✭▼❙❚✮ sè tr➯♥ ❝↕♥❤ ởt trũ G ỗ t G ✈ỵ✐ trå♥❣ ✈ỵ✐ tê♥❣ trå♥❣ sè tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✹✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t ❇➔✐ t♦→♥✿ ❈❤♦ V = {1, 2, , n} G = (v, E) t ỗ t ổ ữợ tổ ợ t E ỗ m ộ e ỗ t G ữỡ ề ữủ ợ ởt số tỹ c(e) trũ ỗ t❤à G✳ ✸✵ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝õ❛ ♥â✳ ●✐↔ sû ❚❛ ❣å✐ ✤ë ❞➔✐ c(H) H = (V, T ) ❝õ❛ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ H ❧➔ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ♥â✿ c(H) = c(e) e∈T ❇➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❧➔ tr♦♥❣ sè t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝➙② ❜❛♦ trũ ỗ t G t trũ ✈ỵ✐ ✤ë ❞➔✐ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ✹✳✸ Ù♥❣ ❞ư♥❣ ❇➔✐ t♦→♥ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷í♥❣ s➢t✳ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷í♥❣ s➢t ♥è✐ n ●✐↔ sû t❛ ♠✉è♥ ①➙② ❞ü♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤è s❛♦ ❝❤♦ ❦❤→❝❤ ❤➔♥❣ ❝â t❤➸ ✤✐ tø ❜➜t ❝ù ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è ♥➔♦ ✤➳♥ ❜➜t ❦ý ♠ët tr♦♥❣ sè ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è ❝á♥ ❧↕✐✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ tr➯♥ q✉❛♥ ✤✐➸♠ ❦✐♥❤ t➳ ✤á✐ ❤ä✐ ❧➔ ❝❤✐ ♣❤➼ ✈➲ ①➙② ❞ü♥❣ ❤➺ t❤è♥❣ ✤÷í♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❘ã r➔♥❣ ❧➔ ỗ t t ố ỏ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝→❝ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ s➢t ♥è✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è tữỡ ự ợ ữỡ ỹ tố ữ ♣❤↔✐ ❧➔ ❝➙②✳ ✈➻ ✈➟②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t r❛ ❞➝♥ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t tr➯♥ ỗ t n ộ tữỡ ự ✈ỵ✐ ♠ët t❤➔♥❤ ♣❤è✱ ✈ỵ✐ ✤ë ❞➔✐ tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❝❤✐ ♣❤➼ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ r❛② ♥è✐ ❤❛✐ t ố tữ ự ú ỵ tr t♦→♥ ♥➔② t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ s➢t ❝â ❝→❝ ♥❤➔ ❣❛ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ ♥➡♠ ♥❣♦➔✐ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤è✮✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥è✐ ♠↕♥❣ ♠→② t➼♥❤✳ t➼♥❤ ✤→♥❤ sè tø i ✤➳♥ n✳ ❈➛♥ ♥è✐ ♠↕♥❣ ởt tố ỗ t ố i ✈ỵ✐ ♠→② j ❧➔ n ♠→② c[i, j], i, j = ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ị▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ 1, 2, , n ✸✶ ✭ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ♥➔② ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→♣ ♥è✐ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣✮✳ ❍➣② t➻♠ ❝→❝❤ ♥è✐ ♠↕♥❣ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ ♥è✐ ♠↕♥❣ ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥è✐ ❝→♣ tr✉②➲♥ ❤➻♥❤✳ ▼ët ❤➣♥❣ ❚❱ tr✉②➲♥ ❤➻♥❤ ❝→♣ ♠✉è♥ ♥è✐ ởt ữ ợ r ❜✉ë❝ ❝❤➾ ✤÷đ❝ ❝❤ỉ♥ ❝❛♣ ð ♠ët sè t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ ♥❤➜t ✤à♥❤✱ t❛ s➩ ❝â t❤➸ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ✤÷đ❝ ♠ët ỗ t t ố ợ t❤❡♦ ❝→❝ t✉②➳♥ ✤÷í♥❣ ✤â✳ ▼ët sè t✉②➳♥ ❝â ❝❤✐ ♣❤➼ ❝❛♦ ❤ì♥✱ ✈➻ ❝❤ó♥❣ ❞➔✐ ❤ì♥✱ ❤♦➦❝ ❝❛♣ ♣❤↔✐ ✤÷đ❝ ❝❤ỉ♥ s➙✉ ❤ì♥❀ ♥❤ú♥❣ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ♥➔② s➩ ✤÷đ❝ t❤➸ ❤✐➺♥ ❜➡♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝↕♥❤ ❝â trå♥❣ sè ❧ỵ♥ ❤ì♥✳ ởt trũ ỗ t s ởt t➟♣ ❝♦♥ ❝→❝ ❝♦♥ ✤÷í♥❣ ♥❤÷ ✈➟② s❛♦ ❝❤♦ ♥â ❦❤ỉ♥❣ ✤÷đ❝ t↕♦ t❤➔♥❤ ✈á♥❣ ✭❝❤✉ tr➻♥❤✮ ♠➔ ✈➝♥ ♣❤↔✐ ♥è✐ ✤÷đ❝ ✤➳♥ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❤➔✳ ❙➩ ❝â t❤➸ ❝â ✈➔✐ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤÷ ✈➟②✳ ▼ët ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ♥❤ä ♥❤➜t s➩ ❧➔ ❝➙② ❜❛♦ trò♠ ❝â tê♥❣ ❝❤✐ ♣❤➼ t❤➜♣ ♥❤➜t✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✏▼ët sè t ỡ tr ỗ t r ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ỗ t ợ t ởt số ỗ t t r ởt số t ỡ r tr ỗ t ự ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ t❤ü❝ t✐➵♥✳ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ự ởt số ỵ tr ỵ tt ỗ t ỵ r ỵ r ỵ t ởt tỹ ❤✐➸✉ ❤ì♥✳ ✣➲ t➔✐ ✏▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ tr ỗ t t tr ♥❣➔♥❤ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ♥➯♥ q✉❛ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➣ ❤➺ t❤è♥❣ ❝❤♦ ❡♠ ♥❤✐➲✉ tr✐ tự ữ r ợ t ❑❤â❛ ❧✉➟♥ ✤➣ ❝❤♦ t❤➜② t➼♥❤ ù♥❣ ❞ö♥❣ s➙✉ rë♥❣ tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❝→❝ ♥❣➔♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❦❤→❝ ❝õ❛ ỗ t r q tr tỹ õ tốt ♥❣❤✐➺♣ ❡♠ ❝â ❣➦♣ ♠ët sè ❦❤â ❦❤➠♥ ✈➻ tr♦♥❣ t õ ỵ ự ♠ỵ✐✳ ✣â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ❡♠ tr♦♥❣ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❧➔ ❤➺ t❤è♥❣✱ s➢♣ ①➳♣ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝✳ ▼ët sè ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔ ù♥❣ ✤÷đ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✭❜↔♥ t✐➳♥❣ ❛♥❤✮✱ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ❝ư t❤➸ ✈➔ ❞➵ ❤✐➸✉ ❤ì♥✳ ❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ ✤➲ t➔✐ ✸✷ ❈❤÷ì♥❣ ✹✳ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹❨ ❇❆❖ ❚❘Ị▼ ◆❍➘ ◆❍❻❚ ✸✸ ♥➔② ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât ♥❤➜t rt ữủ ỳ ỵ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ s✐♥❤ ✈✐➯♥ ✤➸ ✤➲ t➔✐ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ổ ỵ tt tờ ủ ỗ t ◆①❜ ✣↕✐ ❤å❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✷❪ ◆❣✉②➵♥ ✣ù❝ ◆❣❤➽❛ ✲ ◆❣✉②➵♥ ❚ỉ ❚❤➔♥❤ ✭✷✵✵✼✮✱ ❚♦→♥ rí✐ r↕❝✱ ◆①❜ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➔ ◆ë✐✳ ❬✸❪ ❏✳ ❆✳ ❇♦♥❞② ✭✷✵✵✸✮✱ ❙❤♦rt ♣r♦♦❢s ♦❢ ❝❧❛ss✐❝❛❧ t❤❡♦r❡♠s✱ ❯♥✐✈❡rs✐t➨ ❈❧❛✉❞❡ ✲ ❇❡r♥❛r❞ ▲②♦♥ ✶ ❛♥❞ ❯♥✐✈❡rs✐t➨ P❛r✐s ✻✳ ✸✹ ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ THỊ HỒNG THÚY MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN TRÊN ĐỒ THỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học... ❝❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝➛♥ ✤➸ ①❛ ♥❤❛✉✳ ❚ỉ ♠➔✉ ❝❤♦ ❝→❝ ✤➾♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝ ❝❤ù ❝→✐ ❍②❧❛♣ (α, β, γ, ) õ số s tữỡ ự ợ số ♥ì✐ ❝➛♥ ✤➸ ❤â❛ ❝❤➜t✳ ❱ỵ✐ ✈➼ ❞ư ♥➔② ❞♦ ❝➛♥ ➼t ♥❤➜t ✹ ♠➔✉ ✤➸ tæ✱ ♥➯♥ ❝➛♥ ✹ ♥ì✐ ✤➸ ❝➜② ❣✐ú... ❦❤✐ ❝→❝ ❜✐➳♥ ❞ò♥❣ t❤÷í♥❣ ①✉②➯♥ ❞÷đ❝ ❧÷✉ t↕♠ t❤í✐ tr♦♥❣ ❝→❝ t❤❛♥❤ ❣❤✐ ❝❤➾ số ỷ ỵ tr t ổ tr ợ tổ tữớ ợ ởt ỏ trữợ t số ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❝â t❤➸ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ♠æ ❤➻♥❤ tæ ỗ t ỹ ổ t ộ ỗ t ởt