Hệ thống, giải bài tập về tích phân chuyển động và các định luật bảo toàn

Đạo hàm của toán tử theo thời gian Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình củađạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian   [H,A] 0.ˆ ˆ Điều kiện để mộ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học, nó

mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton Cơ học lượng tử nghiêncứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động nhưnăng lượng và xung lượng của các vật có kích thước nhỏ bé, ở đó có sự thể hiện

rõ rệt của lưỡng tính sóng hạt Lưỡng tính sóng hạt là tính chất cơ bản của vậtchất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nócho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ họcNewton không thể giải thích được

Chính vì vậy sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng ta giải quyết đượcnhững khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc

Việc học tập và nghiên cứu cơ học lượng tử mà nhất là các đối tượng của

nó là không thể thiếu và cần thiết đối với những ai nghiên cứu vật lý đặc biệt làvới sinh viên khoa Vật Lý

Việc học tập là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên để hoàn thành tốt chươngtrình học tập của ngành cũng như của khoa đề ra Với mỗi môn học đều có hệthống kiến thức chuyên biệt và cơ học lượng tử cũng vậy Do đó nhằm giúp chomỗi sinh viên học tập tốt học phần cơ học lượng tử cần có hệ thống kiến thức và

hệ thống bài tập cơ bản phục vụ Nhằm đáp ứng một phần nhỏ mục đích trên thì

em xin chọn vấn đề “Hệ thống, giải bài tập về tích phân chuyển động và các định luật bảo toàn” làm đề tài nghiên cứu.

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Hệ thống hóa cơ sở lý thuyết

- Xây dựng được các ví dụ bài tập minh họa cho từng phần cơ bản trongchương “Sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian”

- Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải bài tập,phương pháp nghiên cứu khoa học

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian”

IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Xây dựng được một số bài tập cơ bản và bài tập nâng cao liên quan minhhọa cho từng phần cơ bản trong chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theothời gian”.

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp chủ yếu là phương pháp lý thuyết

VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Đạo hàm của toán tử theo thời gian

Đạo hàm của trị trung bình của đại lượng động lực A bằng trung bình củađạo hàm của đại lượng động lực A theo thời gian



 [H,A] 0.ˆ ˆ Điều kiện để một đại lượng động lực là tích phân chuyển động là đại lượngđộng lực đó không phụ thuộc tường minh vào thời gian và toán tử tương ứnggiao hoán với toán tử Hamilton

3 Tính đối xứng của không gian, thời gian và các định luật bảo toàn

Cơ học lượng tử cũng có tất cả các định luật bảo toàn như cơ học cổ điển.Ngoài ra, nó còn bao gồm cả các định luật bảo toàn không có tiền lệ trong cơhọc cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin… Khi

một đại lượng động lực là tích phân chuyển động thì nó tuân theo định luật bảotoàn Ta sẽ lần lượt xét các định luật sau:

a Định luật bảo toàn xung lượng

Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của không gian Vì không gian

là đồng nhất nên tính chất vật lý của một hệ kín không thay đổi qua một phépbiến đổi tịnh tiến hệ coi như một tổng thể Vì tính chất của hệ lượng tử được xácđịnh bởi toán tử Hamilton của nó, nên tính đồng nhất của không gian thể hiện ởchỗ toán tử Hamilton bất biến đối với mọi phép biến đổi tịnh tiến Nếu ta xétmột phép biến đổi tịnh tiến một khoảng rất nhỏ và gọi là toán tử tịnh tiến thì

toán tử ^H sẽ giao hoán với toán tử ^Tδrr , nghĩa là [ ^ H , { ^Tδrr]=0¿

b Định luật bảo toàn mômen xung lượng

Định luật này liên quan đến tính đẳng hướng của không gian Vì khônggian là đẳng hướng nên tính chất vật lý của một hệ không đổi theo mọi phương

Về mặt vật lý, điều đó có nghĩa là Hamiltonian của hệ giao hoán với toán tửquay một góc nhỏ δr ϕ .

c Định luật bảo toàn năng lượng

Định luật này liên quan đến tính đồng nhất của thời gian Điều này có nghĩa làcác định luật chuyển động của hệ không phụ thuộc vào việc chọn gốc thời gian

d Định luật bảo toàn chẵn lẻ

Định luật bảo toàn chẵn lẻ liên quan đến tính nghịch đảo của không gian.Đây là phép biến đổi làm thay đổi dấu của tọa độ không gian của hạt:

x →−x ; y →− y ; z →−z

Như vậy trong phép biến đổi không gian thì hệ tọa độ phải biến thành hệtọa độ trái

Định luật bảo toàn chẵn lẻ có thể phát biểu theo cách khác: Khi một hệ kín

có số chẵn, lẻ xác định thì số chẵn, lẻ đó không thay đổi theo thời gian

CHƯƠNG II: BÀI TẬP

Trong chương này khi làm bài tập chúng ta có thể áp dụng một số tính chất

và các giao hoán từ sau để dễ dàng tính toán, trong đó

(1) Các tính chất:

(1.1) Phản đối xứng: [ , ]A Bˆ ˆ [ , ],B Aˆ ˆ

(1.2) Giao hoán với một số vô hướng a: [ , ] 0,A a ˆ

(1.3) Phân phối đối với phép cộng: [A B Cˆ ˆ, ] [ , ] [ , ],ˆ  A Cˆ ˆ  B Cˆ ˆ

(1.4) Phân phối đối với phép nhân: [AB Cˆ ˆ, ] [ , ]ˆ  A C B A B Cˆ ˆ ˆ ˆ[ , ],ˆ ˆ

hay +1, khi các hoán vị j, k, l cùng chiều kim đồng hồ,

hay - 1, khi các hoán vị j, k, l ngược chiều kim đồng hồ

A BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Bài tập 1

Chứng minh rằng đạo hàm theo thời gian của tổng và tích của hai toán tửcũng tuân theo quy luật giống như đạo hàm của tổng và tích của hai số thôngthường.

Lời giải:

+ Chứng minh đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian

Sử dụng hệ thức đạo hàm của tổng hai toán tử theo thời gian, ta có

sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian của hai toán tử ^A và ^B , ta

+ Chứng minh đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian:

Sử dụng hệ thức đạo hàm của tích hai toán tử theo thời gian, ta có

ˆ ˆ( )

d P

.a) Sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg:

ta được

2

0 2

Đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x, các đại lượng nào sauđây là các tích phân chuyển động: năng lượng, xung lượng, hình chiếu momenxung lượng trên trục x (Lx)?

Lời giải:

Vì các đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên để chứngminh chúng là các tích phân chuyển động ta chỉ cần chứng minh toán tử tươngứng giao hoán với toán tử Hamilton, nghĩa là:

nên Năng lượng là tích phân chuyển động

- Về Xung lượng đối với hạt chuyển động tự do một chiều theo trục x:

- Về hình chiếu mômen xung lượng trên trục x đối với hạt chuyển động tự

4 Bài tập 4: (Cơ sở áp dụng cho một số bài tập tiếp theo)

Cho toán tử Hamilton của một hạt có dạng

5 Bài tập 5

Hạt chuyển động trong một môi trường thế năng phụ thuộc vào x hayU=U(x) hãy tìm trong các đại lượng động lực sau đại lượng nào là tích phânchuyển động: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu củamomen xung lượng và bình phương momen xung lượng

, do đó năng lượng là tích phân chuyển động

Ta đi tính các giao hoán tử giữa các toán tử của các hình chiếu xung lượnglên các trục, ta có

Còn đối với bình phương moment xung lượng thì toán tử tương ứng là:

∂ x , ^x

2] ^ px)

độ cầu, trong đó các toán tử ^H , ^L z , ^L2 có dạng:

Muốn cho giao hoán tử trên bằng không thì thế năng phải không phụ thuộc

Như vậy, hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì ^L z và ^L2 là

b) Các hình chiếu của xung lượng.

c) Các hình chiếu momen xung lượng

d) Bình phương momen xung lượng

Do đó, năng lượng là một tích phân chuyển động.

b) Các hình chiếu xung lượng tương ứng với các toán tử: pˆx, pˆy,pˆz

c) Các hình chiếu momen xung lượn tương ứng với các toán tử: ˆ ˆ ˆ , , ,

Do đó,năng lượng không phải là đại lượng bảo toàn

Đối với các đại lượng động lực khác thì nó không phụ thuộc tường minhvào thời gian do đó ta chỉ cần tính giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán

.

Như vậy, các đại lượng được bảo toàn: hình chiếu của xung lượng lên trục

x và lên trục y, hình chiếu momen xung lượng lên trục z

8 Bài tập 8

Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của xunglượng, các hình chiếu của momen xung lượng và bình phương momen xung lượngđược bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm

Như vậy năng lượng là một đại lượng bảo toàn.

* Đối với các hình chiếu của xung lượng lên các trục, ta có:

* Đối với các hình chiếu momen xung lượng lên các trục , ta có:

Do đó, các hình chiếu momen xung lượng lên các trục là đại lượng bảo toàn

* Đối với bình phương momen xung lượng thì ta có:

PHẦN III: KẾT LUẬN

Dựa vào mục đích nghiên cứu của đề tài chúng ta đã giải quyết được một

số vấn đề cơ bản sau đây:

- Hệ thống hóa được kiến thức cơ bản của chương “sự thay đổi đại lượngđộng lực theo thời gian”

- Xây dựng được hệ thống bài tập cơ bản nhất của chương, chủ yếu là phầntích phân chuyển động hay là sự bảo toàn của một đại lượng

- Trình bày được cách giải bài tập hỗ trợ cho công việc học tập tốt chươngnày trong hệ thống bài tập môn cơ học lượng tử

- Sử dụng nhuần nhuyễn cách tính các giao hoán tử với toán tử Hamilton.Nhìn chung, chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” tươngđối ít bài tập Tuy nhiên, nó là chương góp phần giúp ta hiểu rõ hơn về vấn đềcủa một đại lượng động lực

Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi sai sót, mong GVHD thôngcảm

Tài Liệu Tham Khảo

1 Giáo trình Cơ Học Lượng Tử (Lê Đình – Trần Công Phong), NXB ĐH Huế năm 2012

2 Bài tập Vật lý lý thuyết – tập 2 (Nguyễn Hữu Mình (cb) – Tạ Duy Lợi –

Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Trường), NXB Giáo Dục – 2007

3 Cơ học lượng tử (Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh), NXB ĐHQG Hà Nội

4 Bài tập cơ lượng tử (Vũ Văn Hùng), NXB ĐH Quốc Gia – 2006

5 Bài tập cơ học lượng tử (Hoàng Dũng), NXB Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh – 2002