Ứng dụng của đa thức trong tổ hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÙY DUNG ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Hà Nội - 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÙY DUNG ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Chu Gia Vượng Hà Nội - 2019 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - TS Nguyễn Chu Gia Vượng - cơng tác Viện Tốn học, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em trình nghiên cứu để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến tồn thể thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền đạt tri thức, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học tập thực khóa luận Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập làm khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kinh nghiệm thân hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong nhận lời góp ý q báu thầy giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Lê Thị Thùy Dung LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận với đề tài "Ứng dụng đa thức tổ hợp" cơng trình nghiên cứu em hướng dẫn TS Nguyễn Chu Gia Vượng Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu liên quan trình bày mục tài liệu tham khảo Em xin hoàn tồn chịu trách nhiệm khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên Lê Thị Thùy Dung Mục lục Lời mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Đồng dư 1.2.Trường 1.3.Tổng hai tập nhóm aben 1.4.Phép biến đổi e 1.5.Ảnh dạng đường chéo 1.6.Các tổng mũ 10 Chương MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KINH ĐIỂN CỦA LÝ THUYẾT SỐ CỘNG TÍNH 13 2.1.Định lí Cauchy - Davenport 13 2.1.1 Phát biểu định lí 13 2.1.2 Chứng minh định lí 14 2.1.3 Mở rộng định lí Cauchy - Davenport 16 2.2.Định lí Erdos - Ginzburg - Ziv 17 2.3.Định lí Chevalley - Warning 20 2.4.Định lí Vosper 23 2.5.Định lí Freiman - Vosper 31 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 39 Tài liệu tham khảo 43 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung LỜI MỞ ĐẦU Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng, cơng cụ cho nhiều ngành khoa học đồng thời công cụ hoạt động đời sống thực tế Mơn Tốn có tiềm to lớn việc khai thác phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện thao tác phẩm chất tư Trong đó, Đại số lĩnh vực lớn Toán học, đặc biệt đa thức khái niệm quan trọng Đại số Đa thức không đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực Tốn ứng dụng, Toán sơ cấp Toán cao cấp Tuy nhiên, vấn đề ứng dụng đa thức tổ hợp chưa phân loại hệ thống cách cụ thể, định lí chưa chứng minh cách rõ ràng, việc nghiên cứu đa thức nhiều khó khăn Chính lí với say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo Nguyễn Chu Gia Vượng em chọn nghiên cứu đề tài “Ứng dụng đa thức tổ hợp” làm khóa luận tốt nghiệp Đề tài nhằm hệ thống lại định lí kinh điển đa thức với ứng dụng học tập nghiên cứu Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Một số định lí kinh điển lý thuyết số cộng tính • Chương 3: Một số tốn minh họa Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý ý kiến quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng dư Định nghĩa 1.1.1 Cho số nguyên dương n Tập nZ bội n iđêan vành số nguyên Z Vành thương Z/nZ gọi vành lớp đồng dư modulo n Ta sử dụng kí hiệu Zn thay cho Z/nZ Nhắc lại - Tập Z∗n gồm phần tử khả nghịch Zn nhóm phép nhân - Nhóm Z∗n nhóm xyclic n có dạng 1, 2, 4, pk 2pk với số nguyên tố p số nguyên k Trong trường hợp phần tử sinh nhóm Z∗n gọi nguyên thủy modulo n, hay phần tử nguyên thủy Z∗n 1.2 Trường Định nghĩa 1.2.1 Trường vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử phần tử khác không khả nghịch Trường hữu hạn trường có hữu hạn phần tử Ví dụ Tập hợp Q số hữu tỉ với phép cộng phép nhân số trường Ta có trường số thực R trường số phức C với Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung phép toán quen thuộc Ví dụ Vành Zp , p số nguyên tố, trường hữu hạn ( có p phần tử) 1.3 Tổng hai tập nhóm aben Định nghĩa 1.3.1 Cho G nhóm aben A, B hai tập G Đặt A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B} A − B = {a − b | a ∈ A, b ∈ B} Với A = {g}, ta kí hiệu g + B thay cho A + B Tương tự kí hiệu g − B A ± g g + B = {g + b | b ∈ B}, g − B = {g − b | b ∈ B}, A + g = {a + g | a ∈ A}, A − g = {a − g | a ∈ A} Với A = B , ta kí hiệu 2A thay cho A + A Một cách tổng quát nA thay cho A + A + · · · + A n lần A A + A = 2A = {a1 + a2 | a1 , a2 ∈ A}, A + A + · · · + A = nA = {a1 + a2 + · · · + an | a1 , a2 , , an ∈ A} Với g ∈ G, kí hiệu rA,B (g) số biểu diễn g thành tổng phần tử A phần tử B Nói cách khác, rA,B (g) số cặp (a, b) ∈ A×B cho g = a + b Bổ đề 1.3.1 Cho G nhóm aben hữu hạn A, B hai tập G cho |A| + |B| |G| + t Khi đó, với g ∈ G, ta có rA,B (g) t Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Chứng minh Ta có |G| |A ∪ (g − B)| = |A| + |g − B| − |A ∩ (g − B)| = |A| + |B| − |A ∩ (g − B)| Suy |A ∩ (g − B)| |A| + |B| − |G| t Do tồn t phần tử phân biệt a1 , , at ∈ A t phần tử phân biệt b1 , , bt ∈ B cho = g − b i Khi g = + bi , với i = 1, , t Do đó, rA,B (g) t Bổ đề 1.3.2 Cho G nhóm aben hữu hạn A, B hai tập G cho |A| + |B| > |G| Khi A + B = G Chứng minh Áp dụng bổ đề 1.3.1 với t = 1, ta suy rA,B (g) với g ∈ G, A + B = G Bổ đề chứng minh Các kết sau dùng để chứng minh định lí Freiman - Vosper chương Định lý 1.3.1 Cho k Giả sử A = {a0 , a1 , , ak−1 } tập số nguyên, = a0 < a1 < · · · < ak−1 d(A) = (a1 , , ak−1 ) = 1, với d(A) kí hiệu ước chung lớn phần tử tập A Giả sử ak−1 2k − Khi |2A| 3k − Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Định lý 1.3.2 (Freiman) Cho A tập số nguyên cho |A| = k Nếu |2A| = 2k − + b 3k − 4, A tập cấp số cộng có độ dài k + b 2k − Chúng ta không trình bày chứng minh định lí 1.3.1 định lí 1.3.2 Bạn đọc quan tâm tham khảo tài liệu [1] trang 23, 28 1.4 Phép biến đổi e Định nghĩa 1.4.1 Cho nhóm aben G phần tử e G Biến đổi e (A, B) cặp (A(e), B(e)) tập G xác định A(e) = A ∪ (B + e), B(e) = B ∩ (A − e) Lưu ý Phần tử e không thiết phần tử trung lập Bổ đề 1.4.1 Cho A B hai tập khác rỗng nhóm aben G phần tử e G Gọi (A(e), B(e)) biến đổi e cặp (A, B) Khi ta có tính chất sau A(e) + B(e) ⊆ A + B (1.4.1) A(e)\A = e + (B\B(e)) (1.4.2) Nếu A B tập hữu hạn |A(e)| + |B(e)| = |A| + |B| Nếu e ∈ A ∈ B e ∈ A(e) ∈ B(e) (1.4.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Giả sử định lí với n − (n 2) Đặt n−1 ci xki : x1 , , xn−1 ∈ Zp A= i=1 B = {cn xkn : xn ∈ Zp } Khi |B| = |Ak | = s + Vì A ảnh dạng đường chéo theo n − biến, theo giả thiết quy nạp ta suy |A| min(p, (2n − 3)s + 1) Vì R(f ) = A + B, nên cách áp dụng định Cauchy - Davenport ta |R(f )| = |A + B| min(p, |A| + |B| − 1) min(p, (2n − 2)s + 1) Nếu |R(f )| = p ta có điều chứng minh Nếu |R(f )| |R(f )| = |A + B| |A| + |B| − p − (2n − 2)s + Khi |R(f )| = (2n − 2)s + 1, từ định lí Vosper 2.4.1 ta có tình sau xảy (i) min(|A|, |B|) = 1, điều sai |A| > 3, |B| > 3, (ii) |R(f )| = |A + B| = p − = ks, điều vơ lí R(f ) ≡ (mod s) ( theo bổ đề 1.5.1), (iii) A B hai cấp số cộng có cơng sai, điều sai, theo 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung bổ đề 1.5.3 tập Ak B cấp số cộng Do |R(f )| (2n − 2)s + Vì |R(f )| ≡ (mod s), nên suy |R(f )| (2n − 1)s + Vậy định lí chứng minh 2.5 Định lí Freiman - Vosper Trong phần này, chứng minh định lí tổng quát Freiman cho phần đảo định lí Vosper cho nhóm lớp thặng dư theo modulo nguyên số p Định lý 2.5.1 Cho c0 c1 số thực cho , 12 < c0 (2.5.1) c1 > 2, (2.5.2) − c0 c1 2c1 − < 1/2 c1 (2.5.3) Cho p số nguyên tố lẻ A tập khác rỗng lớp thặng dư modulo p cho k = |A| c0 p (2.5.4) |2A| c1 k − (2.5.5) Ta định nghĩa số nguyên b công thức |2A| = 2k − + b Khi A chứa cấp số cộng có độ dài k + b 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.5.1), (2.5.2) (2.5.3) ta suy c1 (2c1 − 3)2 < Vì đa thức x(2x − 3)2 tăng với x 3/2 nên ta suy c1 < 2, Đặt |2A| = l Từ bất đẳng thức (2.5.4) (2.5.1), ta có p 2k − < 2c0 p Do đó, theo định lí Cauchy - Davenport l = |2A| = 2k − + b b min(p, 2k − 1) = 2k − Hơn nữa, từ bất đẳng thức (2.5.5), l = |2A| < c1 k (2.5.6) c0 c1 p Từ bất đẳng thức (2.5.3), ta chọn số thực dương θ cho 2c1 − < 3 θ< − c0 c1 1/2 (2.5.7) c1 Suy 3(1 + θ) c1 (2.5.8) 1/2 c0 c1 + θc1 < Đặt A = {a0 , a1 , , ak−1 } ⊆ Zp Chọn rj ∈ {0, 1, , p − 1} cho aj = rj + pZ với j = 0, 1, , k − 1, đặt R = {r0 , r1 , , rk−1 } ⊆ Z Ta có k−1 2πiax/p SA (x) = e e2πirj x/p = a∈A j=0 S2A (x) = e2πibx/p b∈2A 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Chúng ta chứng minh tồn số nguyên z ≡ (mod p) cho |SA (z)| > θk Giả sử ngược lại |SA (x)| θk với x ≡ (mod p) Áp dụng bổ đề 1.6.3, bất đẳng thức Cauchy- Schwarts, bất đẳng thức (2.5.7) (2.5.6), ta p−1 SA (x)2 S2A (x) k p = x=0 p−1 SA (x)2 S2A (x) = SA (0) S2A (0) + x=1 p−1 = k2l + SA (x)2 S2A (x) x=1 p−1 k2l + |SA (x)|2 |S2A (x)| x=1 p−1 k l + θk |SA (x)||S2A (x)| x=1 p−1 < k l + θk |SA (x)||S2A (x)| x=0 1/2 p−1 x=0 1/2 |S2A (x)|2 |SA (x)|2 k l + θk = k l + θk(kp) 1/2 p−1 x=0 1/2 (lp) = k l + θk 3/2 l1/2 p 1/2 < c0 c1 k p + θc1 k p 1/2 = (c0 c1 + θc1 )k p < k p, điều vơ lí Do p−1 |SA (x)| = e 2πiaz/p e2πirj z/p > θk, = j=0 a∈A với số nguyên z ≡ (mod p) Áp dụng định lí 1.6.1 cho số thực αj = rj z/p với j = 1, , k ta có số thực β tập R ⊆ R cho k = |R | > (1 + θ)k 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung rj z ∈ β, β + p (mod 1), với rj ∈ R Vì p lẻ, khoảng [β, β + 1/2) chứa (p ± 1)/2 phân số với mẫu số p phân số liên tục Điều có nghĩa, tồn số nguyên u0 cho phân số khoảng viết dạng (u0 + s)/p với s ∈ 0, 1, , p−1 Do đó, với rj ∈ R , tồn số nguyên mj sj cho sj ∈ 0, 1, , p−1 rj z u0 + sj − mj = 3(1 + θ)k −3 c1 k − 3, điều mâu thuẫn với bất đẳng thức (2.5.9) Do đó, tk −1 T ⊆ [0, 2k − 4] 2T ⊆ [0, 4k − 8] 35 2k − Vì Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Đặt T = {t ∈ [0, p − 1] : rj ≡ u2 + v2 t (mod p), với rj ∈ R} Suy T ⊆ T Giả sử tồn số nguyên t∗ ∈ T cho t∗ 4k − p − 2k + 3, T + {t∗ } ⊆ [4k − 7, p − 1] 2T ∩ (T + {t∗ }) = ∅ Đặt r∗ ≡ u2 + v2 t∗ (mod p) Ta có t∗ 4k − > 2k − Suy r∗ ∈ R\R = {rk , rk −1 , , rk−1 } a∗ = r∗ + pZ ∈ A\A Ta có rj1 + rj2 ≡ 2u2 + v2 (tj1 + tj2 ) (mod p), rj3 + r∗ ≡ 2u2 + v2 (tj3 + t∗ ) (mod p) Vì tập 2T T + {t∗ } tập rời [0, p − 1] nên ta suy khơng có số nguyên tập 2R = {rj1 + rj2 : j1 , j2 k − 1} thặng dư modulo p đến số nguyên tập R + {r∗ } = {rj3 + r∗ : j3 k − 1} Ta có 2R ∪ (R + {r∗ }) tập đầy đủ lớp thặng dư 2A ∪ (A + {a∗ }) ⊆ 2A ⊆ Zp 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Từ định lí Cauchy - Davenport bất đẳng thức (2.5.8) (2.5.9) ta có |2A | + |A ∪ {a∗ }| |2A| (2k − 1) + k = 3k − > 3(1 + θ)k −1 c1 k − > c1 k − |2A|, điều vơ lí Do T ⊆ [0, 4k − 8] ∪ [p − (2k − 4), p − 1] Tập [0, 4k − 8] ∪ [p − (2k − 4), p − 1] khoảng [−(2k − 4), 4k − 8] = −(2k − 4) + [0, 6k − 12] hệ thặng dư đầy đủ modulo p Vì với a ∈ A tồn số nguyên t ∈ T w ∈ [0, 6k − 12] cho a ≡ u2 + v2 t ≡ u2 + v2 (−(2k − 4) + w) ≡ u3 + v2 w (mod p), với u3 = u2 − v2 (2k − 4) Đặt W = {w ∈ [0, 6k − 12] : u3 + v2 w ≡ a (mod p) với số a ∈ A} Từ bất đẳng thức (2.5.1) ta có k c0 p p/12, suy 6k − 12 < 6k p Vì c1 < 2.5 nên |2W | = |2A| = 2k − + b c1 k − < 3k − 3, với 2W tập tổng số nguyên 2A tập tổng lớp thặng dư modulo p Theo định lí 1.3.2, tập W chứa cấp số cộng có độ dài k + b Vì A chứa cấp số cộng có độ dài k + b Định lí chứng minh 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Định lý 2.5.2 Cho A tập khác rỗng lớp thặng dư modulo p cho |A| = k p 35 |2A| 12k − Ta định nghĩa số nguyên r công thức sau |2A| = 2k − + r Khi A chứa cấp số cộng có độ dài k + r Chứng minh Nếu c0 = 1/35 c1 = 12/5 − c0 c1 2c1 − = 0.6 < 0.601 < 1/2 c1 Áp dụng định lí 2.5.1 ta suy điều phải chứng minh 38 Chương MỘT SỐ BÀI TỐN MINH HỌA Nội dung chương trình bày áp dụng định lý Cauchy - Davenport vào số tốn thi học sinh giỏi trung học phổ thơng số nước Bài toán (Poland 2003) Chứng minh với số nguyên tố p > 3, tồn số nguyên x, y, k cho < 2k < p x2 + y = kp + p cho x2 + y ≡ (mod p) Khi ta viết x2 + y = kp + k thõa mãn 2k < p, Lời giải Trước tiên ta phân tích hướng giải Ta cần tìm x2 + y < x, y < p2 p2 p2 + = 4 Gọi S tập chứa tất bình phương theo modulo p Ta có x2 ≡ (p−x)2 (mod p), ∀x ∈ 1, 2, , p p+1 Theo định lí 2.1.1, ta có p+1 min{p, 2|S| − 1} = p, − = p Do |S| = |S + S| Suy |S + S| = p Điều chứng tỏ thặng dư modulo p viết thành tổng hai số phương Khi tốn trường hợp đặc biệt với kết 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Bài toán Cho p số nguyên tố lớn p − số ngun cho khơng có số chia hết cho p Chứng minh ta đổi dấu vài số chúng để tổng số thu chia hết cho p Lời giải Giả sử p − số nguyên a1 , a2 , , ap−1 Với i = 1, 2, , p − 1, đặt Ai = {ai , −ai } (mod p) Khi |Ai | = 2, ∀i = 1, 2, , p − ≡ −ai (mod p) Áp dụng định lí 2.1.4 ta có |A1 + A2 + · · · + Ap−1 | min{p, |A1 | + · · · + Ap−1 − (p − 2)} = min{p, p} = p Suy |A1 + A2 + · · · + Ap−1 | = p, hay tập A1 + A2 + · · · + Ap−1 chứa hệ thặng dư đầy đủ modulo p Khi tốn chứng minh Bài toán Giả sử p > số nguyên tố cho p − số nguyên a1 , a2 , , ap−1 thỏa mãn a1 ap−1 p a1 + a2 + · · · + ap−1 p Chứng minh chia tập thành hai nhóm rời để tổng phần tử hai nhóm đồng dư với theo modulo p Lời giải Đặt Ai = {0, } (mod p) Vì p, ∀i = 1, 2, , p − nên |Ai | = 2, ∀i = 1, 2, , p − Theo định lí 2.1.4 ta có |A1 + A2 + · · · + Ap−1 | min{p, |A1 | + |A2 | + · · · + Ap−1 − (p − 2)} = min{p, 2(p − 1) − (p − 2)} = p Do A1 + A2 + · · · + Ap−1 = Zp Khi tồn bi ∈ Ai , i = 1, 2, , p − cho b1 + b2 + · · · + bp−1 ≡ a1 + a2 + · · · + ap−1 (mod p) Vì phần tử bi ∈ Ai nên bi Tuy nhiên, a1 + a2 + · · · + ap−1 ≡ (mod p) nên tồn phần tử bi khác Gọi phần tử 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung aj1 , , ajk , aj + · · · + aj k ≡ a1 + a2 + · · · + ap−1 (mod p) Hay 2(aj1 + · · · + ajk ) ≡ a1 + · · · + ap−1 (mod p) Do (aj1 + · · · + ajk ) ≡ (a1 + · · · + ap−1 ) − (aj1 + · · · + ajk ) (mod p) Vậy toán chứng minh Bài toán (IMO Shortlist 2007) Cho X tập hợp gồm 10000 số ngun, khơng có số chúng chia hết cho 47 Chứng minh tồn tập Y X gồm 2007 phần tử cho a − b + c − d + e 47, ∀a, b, c, d, e ∈ Y Phân tích hướng giải Một tập hợp M gồm số nguyên gọi tốt 47 a − b + c − d + e, ∀a, b, c, d, e ∈ M Ta thấy tập J = {−9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9} tập tốt Thật vậy, với phần tử a, b, c, d, e ∈ J số a − b + c − d + e số lẻ −45 = (−9) − + (−9) − + (−9) a−b+c−d+e − (−9) + − (−9) + = 45 Ta thấy khơng có số ngun lẻ chia hết cho 47 nằm tập {−45, −43, , 43, 45} Với k = 1, 2, , 46, tập hợp Ak = {x ∈ X | ∃j ∈ J : kx ≡ j (mod 47)} tập tốt Thật vậy, giả sử tồn tập Ak không tốt (k ∈ {1, 2, , 46}) Khi tồn phần tử x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ Ak cho x1 − x2 + x3 − x4 + x5 ≡ (mod 47) Suy k(x1 − x2 + x3 − x4 + x5 ) ≡ (mod 47), hay kx1 − kx2 + kx3 − kx4 + kx5 ≡ (mod 47) 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung Theo định nghĩa x1 , , x5 tồn j1 , , j5 ∈ J cho j1 − j2 + j3 − j4 + j5 ≡ kx1 − kx2 + kx3 − kx4 + kx5 ≡ (mod 47), điều chứng tỏ J tập không tốt, mâu thuẫn Mỗi phần tử x ∈ X thuộc 10 tập Ak Thật vậy, ta có 47 số nguyên tố tập {1, 2, , 46} lập thành hệ thặng dư thu gọn modulo 47 Vì x ∈ X nên (x, 47) = nên {x, 2x, , 46x} lập thành hệ thặng dư thu gọn modulo 47 Khi với j ∈ J (gồm có 10 giá trị j ) tương ứng tồn 10 số k ∈ {1, 2, , 46} (các j khác k khác nhau) để kx ≡ j (mod 47) Do x thuộc vào 10 tập Ak (k ∈ {1, 2, , 47}) Do 46 |Ak | = 10|X| = 100000 k=1 Theo nguyên lý trung bình, tồn số k cho |Ak | 100000 > 2173 > 2007 46 Vậy tập Ak tập cần tìm Ta có điều phải chứng minh Trong phần phân tích hướng giải trên, ta chưa thấy sử dụng định lí Cauchy Davenport Quan sát hướng giải, bước tập J quan trọng ( tập J tập tốt có 10 phần tử) Ta thấy tập chứa số dư khác chia cho 47 tập tốt chứa tối đa 10 phần tử Thật vậy, giả sử |J| 11 Ta có 5|J| − 5.11 − = 51 > 47 Theo định lí 2.1.4, ta |J + J + J + (−J) + (−J)| min{47, 5|J| − 4} = 47 Do tồn a, b, c, d, e ∈ J cho a − b + c − d + e 47 Suy J tập tốt Vậy |J| 10 Để |J| = 10 theo định lí Vosper, J phải cấp số cộng 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thùy Dung KẾT LUẬN Khóa luận trình bày phân loại cách cụ thể định lí kinh điển kết song hành định lí Qua nhằm cung cấp số ứng dụng đa thức tổ hợp để giải tốn liên quan Khóa luận thực với mong muốn đóng góp phần kinh nghiệm thân việc nghiên cứu tìm hiểu ứng dụng đa thức tổ hợp Từ đó, giúp bạn đọc có nhìn tổng qt nghiên cứu sâu hơn, rộng ứng dụng đa thức Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc Trước kết thúc khóa luận, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sác thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy giáo Nguyễn Chu Gia Vượng tận tình hướng dẫn giúp em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 43 Tài liệu tham khảo Tài liệu tham khảo [1] Melvyn B.Nathanson (1996), Additive Number Theory Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer Tài liệu tham khảo khác [2] Vaselin Dimitrov (2018), Định lí khơng điểm tổ hợp - Combinatorial Nullstenllensatz, Tạp chí Epsilon, Số 14 [3] H.Lee, Combinatorial Number Theory, lecture notes [4] Trần Minh Hiền (2016), Định Lí Cauchy - Davenport ứng dụng, Tạp chí Epsilon, Số 10 [5] Nguyễn Tiến Quang (2004), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galoa, Nhà xuất Đại học Sư phạm [6] Hồng Xn Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục 44 ... tài Ứng dụng đa thức tổ hợp làm khóa luận tốt nghiệp Đề tài nhằm hệ thống lại định lí kinh điển đa thức với ứng dụng học tập nghiên cứu Bố cục khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: Kiến thức. .. sơ cấp Toán cao cấp Tuy nhiên, vấn đề ứng dụng đa thức tổ hợp chưa phân loại hệ thống cách cụ thể, định lí chưa chứng minh cách rõ ràng, việc nghiên cứu đa thức nhiều khó khăn Chính lí với say...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————– LÊ THỊ THÙY DUNG ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC TRONG TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS