Tứ diện và hình hộp, mặt cầu

Một trong những đối tượng nghiên cứu của hình học không gian trongchương trình Trung Học Phổ Thông là tứ diện, hình hộp, mặt cầu.. Hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng P và Q được gọi là góc

KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG GIANG

TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP, MẶT CẦU

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

KHOA TOÁN

NGUYỄN HỒNG GIANG

TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP, MẶT CẦU

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

ThS ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ Hình học, Khoa Toán,Trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quátrình làm khóa luận

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Đinh Thị Kim Thúy đã tạođiều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốtnghiệp này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 05năm 2019

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Hồng Giang

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận “Tứ diện và hình hộp, mặt cầu” là công trìnhnghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của ThS Đinh Thị Kim Thúy.Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và có sửdụng một số tài liệu trong danh mục tài liệu tham khảo Em xin hoàn toànchịu trách nhiệm về khóa luận của mình

Hà nội, tháng 05năm 2019

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Hồng Giang

Lời cảm ơn 1

1 Tứ diện, hình hộp, mặt cầu và các tính chất 7

1.1 Tứ diện 7

1.1.1 Các định nghĩa 7

1.1.2 Một số tính chất của tứ diện 9

1.1.3 Một số tứ diện đặc biệt 20

1.2 Hình hộp 26

1.3 Mặt cầu 29

1.4 Bài tập đề nghị 31

2 Mối quan hệ giữa tứ diện với hình hộp, mặt cầu 33 2.1 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 33

2.1.1 Định nghĩa 33 2.1.2 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 33

2.2 Mặt cầu nội tiếp tứ diện 39

2.2.1 Các định nghĩa 39

2.2.2 Các tính chất 40

2.2.3 Phương pháp tìm tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện 42

2.2.4 Một số bài toán liên quan đến bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện 45

2.3 Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 49

2.4 Mặt cầu qua các điểm đặc biệt của tứ diện 53

2.4.1 Mặt cầu Euler 1 53

2.4.2 Mặt cầu Euler 2 55

2.5 Mối quan hệ giữa tứ diện với hình hộp 56

2.5.1 Định nghĩa tứ diện nội tiếp hình hộp 56

2.5.2 Phương pháp lồng tứ diện vào hình hộp 57

2.5.3 Một số ví dụ 57

2.6 Bài tập đề nghị 61

1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn học khóđối với học sinh Trung Học Phổ Thông Vì hình học là môn học có tính chấtchặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao Học hình học không gian bước đầucảm thấy khó xong càng học, càng nghiên cứu ta càng thấy sự thú vị trong

đó Một trong những đối tượng nghiên cứu của hình học không gian trongchương trình Trung Học Phổ Thông là tứ diện, hình hộp, mặt cầu Với mongmuốn tìm hiểu sâu về hình học không gian nên em đã chọn đề tài “Tứ diện

và hình hộp, mặt cầu” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích và nghiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích

Nghiên cứu cơ sở lý luận,hệ thống hóa và phân tích tư duy tổng hợp về “Tứdiện và hình hộp, mặt cầu”, nhằm tích cực hoạt động tư duy, sáng tạo củahọc sinh, nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả giảngdạy ở trường Trung Học Phổ Thông

2.2 Nhiệm vụ

• Nghiên cứu về tứ diện, hình hộp, mặt cầu

• Mối quan hệ giữa tứ diện với mặt cầu.

• Mối quan hệ giữa tứ diện với hình hộp

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp kiến thức

4 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương được trình bày như sau:

Chương 1 Tứ diện, hình hộp, mặt cầu và các tính chất

Chương 2 Mối quan hệ giữa tứ diện với hình hộp, mặt cầu

Tứ diện, hình hộp, mặt cầu và các tính chất

• Các đoạn thẳng AB; AC; AD; BD;BC;CD gọi là các cạnh của tứ diện.

Hai cạnh gọi là đối diện nhau nếu chúng không có điểm chung

• Các tam giác ABC; ACD; ABD; BCD gọi là các mặt bên của tứ diện

Mỗi mặt có một đỉnh đối diện, đó là đỉnh không nằm trên mặt ấy.Định nghĩa 1.1.2 (Góc nhị diện)

ϕ (R)

q (Q)

(P )

M N

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến a Đường thẳng a chia

mỗi mặt phẳng (α); (β) thành hai nửa mặt phẳng Gọi (P ) và (Q) là hai nửa

mặt phẳng tương ứng thuộc (α) và (β) Hình tạo bởi hai nửa mặt phẳng (P )

và (Q) được gọi là góc nhị diện, các nửa mặt phẳng được gọi là các mặt của

góc nhị diện, đường thẳng a gọi là cạnh của góc nhị diện

Một mặt phẳng (R) vuông góc với đường thẳng a cắt (P ) và (Q) theo giao

tuyến p, q Góc tạo bởi hai nửa đường thẳng p, q gọi là góc phẳng của góc nhị

Định nghĩa 1.1.3 (Góc tam diện).

a

b

c S

Giả sử a; b; c là ba nửa đường thẳng không cùng nằm trong cùng một mặt

phẳng xuất phát từ một điểm S Các nửa đường thẳng tạo thành góc (a; b);

(b; c); (c; a) Hình tạo bởi ba góc (a; b); (b; c); (c; a) được gọi là góc tam diện.Điểm S được gọi là đỉnh của góc tam diện, ba nửa đường thẳng a, b, c gọi

là các cạnh của góc tam diện, các góc (a; b); (b; a); (c; a) được gọi là các góc

phẳng của góc tam diện

Các nửa mặt phẳng của hai mặt phẳng tạo bởi (a; b); (c; a) tạo thành một góc

nhị diện Góc nhị diện này được gọi là góc nhị diện của góc tam diện, có cạnh

a, đối diện với góc phẳng (b; c)

1.1.2 Một số tính chất của tứ diện

Tính chất 1.1.1 Trong tứ diện, các đường thẳng nối trung điểm của cáccạnh đối diện đồng quy tại một điểm và điểm này chia đôi đoạn đó

Chứng minh

Do đó các đường chéoM P và QN cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có RS cắt QN tại trung điểm O của

mỗi đường Do đó các đoạn M P, QN, RS đồng quy tại O và điểm O chia đôi

các đoạn thẳng đó

Tính chất 1.1.2 Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện

đồng quy tại một điểm G; Gọi là trọng tâm của tứ diện và điểm G chia mỗi

Gọi P là trung điểmCD, suy ra AP; BP lần lượt là trung tuyến của 4ACD;

4BCD

GọiG 1;G 2lần lượt là trọng tâm của4BCD;4ACDsuy raG 1 ∈ BP;G 2 ∈ AP

Trong tam giác ABP gọi G = AG 1 ∩ BG 2 Ta có P G1

Như vậy bốn đoạn thẳng AG1; BG2; CG3 và DG4 đồng quy tại G và điểm G

chia mỗi đoạn đó theo tỉ lệ 3 : 1 kể từ đỉnh

Tính chất 1.1.3 Trong tứ diện, tổng các bình phương của hai cặp cạnh đốidiện nào đó luôn lớn hơn bình phương tổng cặp cạnh còn lại

Chứng minh

Ta cần chứng minh với tứ diện ABCD bất kì ta luôn có

(AB + CD)2+ (BC + AD)2 ≥ (AC + BD)2.

Thật vậy, gọi M, N, P, Q, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD

và AC Ta có tứ giác M N P Q là hình bình hành và do K không nằm trong

mp(M N P Q), nên KN Q và M P K là các tam giác

Tính chất 1.1.4 Tổng các góc nhìn từ một điểm nằm trong tứ diện xuốngcác cạnh tứ diện lớn hơn 3π.

Giả sử O là điểm nằm trong tứ diện ABCD Khi đó ta cần chứng minh

[

AOB + AOC +[ AOD +[ BOC +[ COD +[ DOB > 3π.[

Thật vậy, gọi I là giao điểm của đường thẳngDO và mặt phẳng (ABC), K là

giao điểm của đường thẳng AI và BC

Ta biết rằng trong một góc tam diện, độ lớn của một mặt nhỏ hơn tổng độlớn của hai mặt bên nên

[

AOB + BOC[ = AOB +[ BOK +[ KOC >[ AOK +[ KOC[

= AOI +d IOK +[ KOC >[ AIO +d IOCd

AOC + DOB +[ AOD +[ BOC > 2.π[ (1.8)

Cộng theo vế của (1.6); (1.7) và (1.8) ta được

2( AOB +[ AOC +[ AOD +[ BOC +[ COD +[ DOB) > 6π.[

Suy ra [AOB + AOC +[ AOD +[ BOC +[ COD +[ DOB > 3π[

Tính chất 1.1.5 (Định lý về hàm số sin cho tứ diện) Trong tứ diện ABCD

với AB = a; BC = b; CD = c; DA = d; AC = e; BD = f và α; γ; β; δ; θ; ω

tương ứng là góc nhị diện của các nhị diện cạnh a, b, c, d, e, f ta có

ac sin α · sin β =

bd sin γ · sin δ =

ef sin θ sin ω.

Chứng minh

A

D B

K

H

C

Để chứng minh tính chất trên, ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.1 Gọi V là thể tích của tứ diện ABCD Khi đó, ta có

V = 2S4ABC· S4ABD· sin α

3 · SABD· CH = 2S4ABC· S4ABD · sin α

3 · AB

Đặt S1 = S4ABC; S2 = S4ABD; S3 = S4BCD; S4 = S4ACD

Theo bổ đề 1.1.1; ta có

V = 2S1· S 2 · sin α

3a =

2S 3 · S 4 · sin β 3c ⇒ V2 = 4S1· S 2 · S 3 · S 4 · sin α · sin β

Vì vế trái của (1.9) là biểu thức hoàn toàn bình đẳng với các cạnh và sin α;

sin β của các góc nhị diện tương ứng, nên 4S1· S2· S3· S4

9V 2 là giá trị chung cho

tỷ số tích các cặp cạnh đối diện với tích cácsin của các nhị diện của từng cặp

Gọi E là trung điểm DC, G1 là trọng tâm của tam giác BCD, G2 là trọngtâm của tam giác ACD, suy ra G1 ∈ BE; G2 ∈ AE và AG1∩ BG2 = {G} do

đó G là trọng tâm của tứ diện

Giả sử (α) là mặt phẳng đi qua cạnh AB và trọng tâm G, ta có

Mặt phẳng (α) chính là mặt phẳng (ABE), chia tứ diện ABCD thành hai

phần là tứ diện ABCE và tứ diện ABDE

VA.BCE = 1

3 · AH · S4BCE.

VA.BDE = 1

3 · AH · S4BED.

Với AH là chiều cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A

Do E là trung điểm của CD nênS4BCE = S4BED, suy ra VA.BCE = VA.BDE

Tính chất 1.1.8 Mọi mặt phẳng đi qua đường thẳng nối trung điểm của haicạnh đối của một tứ diện chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau.Chứng minh

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD và (α) là mặt phẳng qua

M và N DoM là trung điểm AB, N là trung điểmCD nênM N đi qua trọngtâm G của tứ diện ABCD

• Nếu mặt phẳng (α) qua một cạnh của tứ diện thì theo tính chất 1.1.7

suy ra (α) chia tứ diện thành hai phần có thể tích bằng nhau.

• Nếu mặt phẳng (α) không đi qua cạnh nào của tứ diện thì giả sử

(α) ∩ (ABD) = {F }; F N ∩ BC = {I}; M I ∩ AC = {E}, suy ra M F N E

là thiết diện của (α) với tứ diện ABCD

Mặt phẳng (α) chia tứ diện ABCD thành hai phần:

Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABC, suy ra

Tính chất 1.1.10 Hình chiếu của đỉnh xuống mặt phẳng đáy trùng với tâmcủa đáy.

Chứng minh Gọi O là hình chiếu của A lên (BCD)

Suy ra điều phải chứng minh

Qua đó ta thấy hình chóp tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tứ diệnđều Các mặt bên của hình chóp tam giác đều là tam giác cân, không nhấtthiết phải đều

Tứ diện gần đều

Định nghĩa 1.1.5 Tứ diện ABCD được gọi là tứ diện gần đều nếu như các

cặp cạnh đối bằng nhau, tức là AB = CD; AC = BD và AD = BC

Các tính chất cơ bản của tứ diện gần đều:

Tính chất 1.1.11 Bốn mặt của tứ diện là bốn tam giác bằng nhau

Chứng minh

A

D

Do ABCD là tứ diện gần đều nên AB = CD; BC = AD; BD = AC

Suy ra 4ABC = 4CDA = 4DCB = 4BAD

Tính chất 1.1.12 Trọng tâm của tứ diện trùng với tâm của mặt cầu ngoạitiếp tứ diện đó.

Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Suy ra trọng tâm I của tứ diện ABCD thuộc M N

tam giác IAB có IM ⊥ AB tại trung điểm M

Suy ra 4IAB cân tại I do đó IA = IB

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được IB = IC; IC = ID; ID = IA

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

D H

Gọi H là hình chiếu của A lên mặt (BCD) suy ra AH ⊥ (BCD)

Do AB ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ BH

Chứng minh tương tự ta có CH ⊥ BD suy ra H là trực tâm 4BCD

Suy ra DH ⊥ BC mà AH ⊥ BC, nên BC ⊥ (ADH), do đó BC ⊥ AD

Tính chất 1.1.13 Trong tứ diện trực tâm, các đường cao của tứ diện đồngquy tại một điểm

Tương tự, kẻ AA 1 ⊥ DM suy ra AA 1 ⊥ (BCD).

Do AA1 và DD1 cùng nằm trong (AM D) suy ra AA1 và DD1 cắt nhau, haiđường cao bất kì của tứ diện đều cắt nhau và không có ba đường nào đồngphẳng

Suy ra 4 đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm

Tính chất 1.1.14 Trong tứ diện trực tâm, hình chiếu của một đỉnh xuốngmặt phẳng đối diện là trực tâm của mặt đáy

Từ (1.12) và (1.13) suy ra H là trực tâm tam giác BCD

Tính chất 1.1.15 Trong tứ diện trực tâm, các đoạn thẳng nối trung điểmcủa các cạnh đối bằng nhau (3 đường trung bình của tứ diện bằng nhau)

Chứng minh

Gọi M; N; P; Q; R; S lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; AD; AC và

Định nghĩa 1.1.7 Tứ diệnABCD gọi là tứ diện vuông đỉnhA nếu AB; AC;

AD đôi một vuông góc với nhau

Tứ diện vuông là một trường hợp đặc biệt của tứ diện trực tâm Thật vậy,

ta sẽ đi chứng minh các cặp cạnh đối AB ⊥ CD; BC ⊥ AD và BD ⊥ AC

A B

A0D

B0

- Hình hộp là một khối đa diện có hai mặt là hai hình bình hành song song,còn các giao tuyến của các cặp mặt khác kề nhau thì song song với nhau.

- Hình hộp cũng có thể xem là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành.+ Hình hộp xiên là hình hộp có các cạnh bên xiên góc với đáy

+ Hình hộp thoi là hình hộp xiên mà các mặt bên là những hình thoi.+ Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy

+ Hình hộp chữ nhật là hình hộp dứng có đáy là hình chữ nhật

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các mặt bên là những hìnhvuông

- Mỗi hình hộp có 8 đỉnh, 6 mặt, 12 cạnh

+ Hai đỉnh không thuộc cùng một mặt gọi là hai đỉnh đối diện

+ Hai mặt không có đỉnh chung là hai mặt đối diện

+ Hai cạnh song song không nằm trong một mặt gọi là hai cạnh đối diện.Như vậy mỗi hộp có4cặp đỉnh đối diện,3cặp mặt đối diện và6cặp cạnh đối

diện Ví dụ trong hình hộp ABCD.A0B0C0D0 như trên thì (B, D0)là một cặpđỉnh đối đối diện; (AA0BB0; DD0CC0) là một cặp mặt đối diện; (BB0; DD0)

là một cặp cạnh đối diện

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo Tứ giác có hai đườngchéo trùng với hai đường chéo của hộp gọi là mặt chéo chính của hộp Chẳnghạn trong hộpABCD.A0B0C0D0 thì AC0; A0C là hai đường chéo, còn ACC0A0

là một mặt chéo chính Như vậy mỗi hộp có 4 đường chéo và 6 mặt chéo

chính; mỗi mặt chéo chính là một hình bình hành tạo bởi hai mặt đối diện

của hình hộp và hai đường chéo của hai mặt đối diện của hình hộp Vì haiđường chéo bất kì của hộp tạo thành một mặt chéo chính và vì mặt chéochính là một hình bình hành nên suy ra hai đường chéo nào của hộp cũngcắt nhau tại điểm giữa của mỗi đường Do đó tất cả các đường chéo của hộpđều cắt nhau tại điểm giữa của mỗi đường Điểm này gọi là tâm của hìnhhộp Hiển nhiên, tất cả các mặt chéo chính của hình hộp đều đi qua tâm củahộp, đó cũng là tâm của các mặt chéo chính Đối với hộp ABCD.A0B0C0D0

thì I = AC0∩ A0C là tâm

- Mặt phẳng đi qua tâm và song song với một mặt của hộp gọi là mặt trungbình của hộp Giao của nó với các mặt bên của hình hộp là một hình bìnhhành gọi là thiết diện trung bình của hình hộp

1.3 Mặt cầu

O

M

r

Mặt cầu: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một

khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm là O và bán kính bằng R, kí hiệu

S(O; R)

Khối cầu: Tập hợp các điểm của mặt cầu S(O; R) và các điểm trong mặt

cầu gọi là khối cầu S(O; R)

Mặt cầu (khối cầu) có các mặt phẳng kính (mặt phẳng qua tâm) là cácmặt phẳng đối xứng, các đường thẳng chứa các đường kính là các trục đốixứng

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O; R)

và mặt phẳng (P ), gọi d là khoảng cách từ O tới (P ) và H là hình chiếu của

O trên (P )

• d < Rthì (P ) cắt S(O; R)theo giao tuyến là đường tròn (t)nằm trên (P )

có tâm là H, bán kính r = √

R 2 − d 2

• d = R thì (P ) cắt S(O; R) tại một điểm duy nhất H Khi đó, (P ) được

gọi là mặt phẳng tiếp xúc (tiếp diện) của S(O; R) tại H, H được gọi là

tiếp điểm của (P ) và mặt cầu

• d > R thì (P ) không cắt S(O; R).

Đặc biệt khi d = 0 : (P ) là mặt phẳng kính của mặt cầu

(t) là đường tròn lớn của mặt cầu

Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu S(O; R)

và đường thẳng ∆, gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d = OH:

• d < R thì ∆ cắt S(O; R) tại hai điểm phân biệt A, B :

HA = HB =pR 2 − d 2

• d = R thì ∆ cắt S(O; R) tại một điểm H duy nhất Khi đó, ∆ gọi là

đường thẳng tiếp xúc (tiếp tuyến) của S(O; R)tại H, H được gọi là tiếp

điểm của ∆ với mặt cầu

• d > R thì ∆ không cắt mặt cầu

Định lý 1.3.1 Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì qua A có vô số

tiếp tuyến với mặt cầu Khi đó

a) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

b) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu

Mặt cầu là mặt tròn xoay có đường sinh là đường tròn, trục là đường thẳng

chứa đường kính của đường tròn.

Đa diện nội tiếp mặt cầu: Đa diện(H)gọi là nội tiếp mặt cầu S(O; R)nếu

tất cả các đỉnh của (H) đều nằm trên mặt cầu; mặt cầu khi đó được gọi là

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu đáy là đa giác nội tiếp đường tròn.Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếpcủa đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục đường trònngoại tiếp của một mặt bên)

Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu lăng trụ là lăng trụ đứng và cácđáy là các đa giác nội tiếp đường tròn Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp làtrung điểm của đoạn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy

Bài 3 Gọi G là trọng tâm của tứ diện, chứng minh rằng

VG.ABC = VG.ABD = VG.ACD = VG.BCD.

Hướng dẫn: Áp dụng tính chất 1.1.2