Tứ diện và hình hộp, mặt cầu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG GIANG TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP, MẶT CẦU KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI - 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG GIANG TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP, MẶT CẦU KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI - 2019 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô tổ Hình học, Khoa Tốn, Trường Đại Học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Đinh Thị Kim Thúy tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực Nguyễn Hồng Giang Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận “Tứ diện hình hộp, mặt cầu” cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn ThS Đinh Thị Kim Thúy Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực có sử dụng số tài liệu danh mục tài liệu tham khảo Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm khóa luận Hà nội, tháng 05 năm 2019 Sinh viên thực Nguyễn Hồng Giang Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời nói đầu Tứ diện, hình hộp, mặt cầu tính chất 1.1 Tứ diện 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số tính chất tứ diện 1.1.3 Một số tứ diện đặc biệt 20 1.2 Hình hộp 26 1.3 Mặt cầu 29 1.4 Bài tập đề nghị 31 Mối quan hệ tứ diện với hình hộp, mặt cầu 2.1 33 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 33 2.1.1 Định nghĩa 33 2.1.2 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 33 Khóa luận tốt nghiệp đại học 2.2 Nguyễn Hồng Giang Mặt cầu nội tiếp tứ diện 39 2.2.1 Các định nghĩa 39 2.2.2 Các tính chất 40 2.2.3 Phương pháp tìm tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện 42 2.2.4 Một số toán liên quan đến bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện 45 2.3 Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 49 2.4 Mặt cầu qua điểm đặc biệt tứ diện 53 2.4.1 Mặt cầu Euler 53 2.4.2 Mặt cầu Euler 55 Mối quan hệ tứ diện với hình hộp 56 2.5.1 Định nghĩa tứ diện nội tiếp hình hộp 56 2.5.2 Phương pháp lồng tứ diện vào hình hộp 57 2.5.3 Một số ví dụ 57 Bài tập đề nghị 61 2.5 2.6 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng mơn học khó học sinh Trung Học Phổ Thơng Vì hình học mơn học có tính chất chặt chẽ, logic trừu tượng hóa cao Học hình học khơng gian bước đầu cảm thấy khó xong học, nghiên cứu ta thấy thú vị Một đối tượng nghiên cứu hình học khơng gian chương trình Trung Học Phổ Thơng tứ diện, hình hộp, mặt cầu Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học khơng gian nên em chọn đề tài “Tứ diện hình hộp, mặt cầu” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích Nghiên cứu sở lý luận,hệ thống hóa phân tích tư tổng hợp “Tứ diện hình hộp, mặt cầu”, nhằm tích cực hoạt động tư duy, sáng tạo học sinh, nâng cao lực sư phạm cho giáo viên tăng hiệu giảng dạy trường Trung Học Phổ Thơng 2.2 Nhiệm vụ • Nghiên cứu tứ diện, hình hộp, mặt cầu Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang • Mối quan hệ tứ diện với mặt cầu • Mối quan hệ tứ diện với hình hộp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương trình bày sau: Chương Tứ diện, hình hộp, mặt cầu tính chất Chương Mối quan hệ tứ diện với hình hộp, mặt cầu Chương Tứ diện, hình hộp, mặt cầu tính chất 1.1 1.1.1 Tứ diện Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 A B C D Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B , C , D tứ diện ABCD tập hợp gồm • Các điểm A, B , C , D gọi đỉnh tứ diện Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang • Các đoạn thẳng AB ; AC ; AD; BD; BC ; CD gọi cạnh tứ diện Hai cạnh gọi đối diện chúng khơng có điểm chung • Các tam giác ABC ; ACD; ABD; BCD gọi mặt bên tứ diện Mỗi mặt có đỉnh đối diện, đỉnh khơng nằm mặt Định nghĩa 1.1.2 (Góc nhị diện) (Q) (R) q N ϕ (P ) a p M Cho hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến a Đường thẳng a chia mặt phẳng (α); (β) thành hai nửa mặt phẳng Gọi (P ) (Q) hai nửa mặt phẳng tương ứng thuộc (α) (β) Hình tạo hai nửa mặt phẳng (P ) (Q) gọi góc nhị diện, nửa mặt phẳng gọi mặt góc nhị diện, đường thẳng a gọi cạnh góc nhị diện Một mặt phẳng (R) vng góc với đường thẳng a cắt (P ) (Q) theo giao tuyến p, q Góc tạo hai nửa đường thẳng p, q gọi góc phẳng góc nhị diện Tất góc phẳng góc nhị diện nhau, số đo góc phẳng góc nhị diện gọi số đo góc nhị diện Vậy ≤ ϕ ≤ π , với ϕ số đo góc nhị diện cạnh a Kí hiệu ((P ); a; (Q)) hay (M ; a; N ), với M ∈ (P ); N ∈ (Q) Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang A I B J G E C F H D Giả sử mặt cầu O giả nội tiếp tứ diện ABCD điểm I ; J ; E ; F ; G; H Ta chứng minh AB + CD = AC + BD = BC + AD Vì AB ; AC ; AD tiếp xúc với (O) suy AI = AJ = AG Tương tự BI = BH = BE CF = CJ = CE DF = DH = DG Suy AI + BI + CF + DF = AJ + BH + CJ + DH = AG + BE + CE + DG ⇒ AB + CD = AC + BD = AD + BC ∗ Điều kiện đủ: Giả sử tứ diện ABCD có AB + CD = AC + BD = AD + BC tứ diện có mặt cầu giả nội tiếp Ta chứng minh tồn mặt cầu (O) tiếp xúc với cạnh tứ diện Trước tiên, ta chứng minh bổ đề sau: 50 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Nếu hai đường tròn (O1 ); (O2 ) khơng đồng phẳng tiếp xúc với hai trục chúng cắt O d2 d1 O2 O1 A d Gọi tiếp điểm hai đường tròn A Dựng đường thẳng d tiếp xúc chung với hai  đường tròn A  O1 A ⊥ d ⇒ (O1 O2 A) ⊥ d ⇒ O1 O2 ⊥ d Suy  O2 A ⊥ d (2.3) Gọi trục (O1 ) (O2 ) d1  d2  d ⊥ (O1 O2 ; d1 ) Suy d ⊥ d1 ; d ⊥ d2 , từ (2.3) ⇒  d ⊥ (O1 O2 ; d2 ) Suy d1 phải cắt d2 (vì d1 khơng cắt d2 d vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau, trái với tiên đề ơ-clit) Vậy d1 cắt d2 Trở lại toán A O Q O1 B N K D I O2 M J C 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Gọi O1 tâm đường tròn nội tiếp ABC , tiếp điểm AB ; BC ; CA Q; I ; N Gọi O2 tâm đường tròn nội tiếp BCD, tiếp điểm BC ; CD; BD J ; M ; K Vì AQ = AN ; QB = BI ; CM = CJ ; CN = CI ; BK = BJ ; M D = DK Suy AB + CD = AC + BD ⇔ AQ + QB + CM + M D = AN + N C + BK + KD ⇔ BI + CJ = CI + BJ ⇔ BI + CJ = CJ + IJ + BI + IJ ⇔ IJ = Vậy điểm I trùng với J Tương tự ta chứng minh đường tròn nội tiếp mặt tứ diện tiếp xúc với đơi Suy từ bồ đề ta có trục đường tròn cắt đơi một; chúng khơng đồng phẳng nên suy chúng cắt điểm O Suy O tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ∗ Cách dựng tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện Giả sử tứ diện có mặt cầu giả nội tiếp, ta dựng tâm mặt cầu sau - Xác định tâm đường tròn nội tiếp hai mặt tứ diện - Dựng đường vng góc với mặt tâm đường tròn nội tiếp mặt Hai đường cắt O, O tâm mặt cầu giả nội tiếp tứ diện Ví dụ 2.3.1 Tính bán kính mặt cầu giả nội tiếp tứ diện ABCD cạnh a 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Lời giải A J I B D G C Vì ABCD tứ diện nên tâm đường tròn nội tiếp mặt trùng với trọng tâm mặt Theo cách dựng tâm I mặt cầu giả nội tiếp tứ diện trùng với trọng tâm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Từ I kẻ IJ ⊥ AB ⇒ IJ bán kính mặt cầu giả nội tiếp tứ diện Xét tam giác vuông AIJ có √ 2 IJ = IA − JA = a − a 2 = a2 √ √ 2 Suy IJ = a Vậy bán kính mặt cầu giả nội tiếp a 4 2.4 2.4.1 Mặt cầu qua điểm đặc biệt tứ diện Mặt cầu Euler Trong tứ diện trực tâm, trọng tâm trực tâm mặt, điểm chia đoạn thẳng từ đỉnh đến trực tâm tứ diện theo tỉ số : nằm mặt cầu Mặt cầu gọi mặt cầu Euler Chứng minh 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang A A B0 B H O B1 B D A0 A1 M C Gọi A0 ; B0 ; C0 ; D0 chân đường cao kẻ từ đỉnh A; B ; C ; D xuồng mặt tứ diện A1 ; B1 ; C1 ; D1 trọng tâm BCD; ACD; ABD ABC ; H trực tâm tứ diện Trên AH lấy A cho A A = 2A H ; BH lấy B cho B B = 2B H HB 1 HA = = suy A B ∥ AB A B = AB HA HB 3 M A1 M B1 Gọi M trung điểm CD suy = = MB MA Do A1 B1 ∥ AB A1 B1 = AB Từ (2.4) (2.5) suy tứ giác A B A1 B1 hình bình hành Ta có (2.4) (2.5) Xét phép  vị tự VA2 : A → H ; B1 → M , suy A B1 ∥ M H  AB ⊥ CM (Do ABCD tứ trực tâm) ⇒ AB ⊥ (CHM ) Ta lại có  CH ⊥ AB (Do H trực tâm) Do AB ⊥ HM Suy A1 B ⊥ A B ⇒ tứ giác A B A1 B1 hình chữ nhật Gọi O giao điểm A A1 B B1 ⇒ OA = OB = OA1 = OB1 Tam giác vuông A A0 A1 có O trung điểm A A1 suy OA = OA1 = OA0 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Tam giác vuông B B0 B1 có O trung điểm B B1 suy OB = OB1 = OB0 Do OA = OB = OA1 = OB1 = OA0 = OB0 Vậy A ; B ; A1 ; B1 ; A0 ; B0 thuộc mặt  cầu tâm O  OA = OC = OA1 = OC1 = OA0 = OC0 Hồn tồn chứng minh tương tự, ta có  OB = OD = OB1 = OD1 = OB0 = OD0 Suy điểm A1 ; B1 ; C1 ; D1 ; A0 ; B0 ; C0 ; D0 ; A ; B ; C ; D thuộc mặt cầu Euler (hay gọi mặt cầu 12 điểm) 2.4.2 Mặt cầu Euler Trong tứ diện trực tâm, trung điểm cạnh chân đường vng góc chung cặp cạnh đối diện nằm mặt cầu Mặt cầu gọi mặt cầu Euler Chứng minh A Q M I R G S B N D J C 55 P Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Gọi M ; N ; P ; Q; R; S trung điểm AB ; BC ; CD; AD; AC BD Ta có P M ; N Q RS đường trung bình tứ diện trực tâm ABCD Do P M = N Q = RS Gọi G trọng tâm tứ diện Suy GM = GN = GP = GQ = GR = GS Vậy M ; N ; P ; Q; S nằm mặt cầu tâm G Gọi IJlà đường vng góc chung AB CD  CD ⊥ AB Ta có ⇒ CD ⊥ (ABJ) Vậy JP ⊥ M J suy J thuộc đường tròn  CD ⊥ IJ đường kính P Q nên J thuộc mặt cầu tâm G Chứng minh tương tự đường vng góc khác Vậy ta có điều phải chứng minh 2.5 2.5.1 Mối quan hệ tứ diện với hình hộp Định nghĩa tứ diện nội tiếp hình hộp A B C D A B D C Cho hình hộp ABCD.A B C D Trong đỉnh chọn bốn đỉnh cho hai đỉnh không thuộc cạnh bốn đỉnh tạo 56 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang thành tứ diện gọi tứ diện nội tiếp hình hộp Có hai tứ diện nội tiếp hình hộp, ACB D ; BDC A Ta nói hình hộp ABCD.A B C D ngoại tiếp tứ diện ACB D BDA C Ta thấy + Cạnh tứ diện nội tiếp đường chéo mặt bên hình hộp + Tâm hình hộp trọng tâm tứ diện nội tiếp + Thể tích hình hộp ba lần thể tích tứ diện nội tiếp 2.5.2 Phương pháp lồng tứ diện vào hình hộp Nội dung chủ yếu phương pháp lồng tứ diện vào hình hộp Nghĩa từ tứ diện ta dựng thêm mặt để tạo thành hình hộp mà tứ diện nội tiếp hình hộp Sau vận dụng tính chất hình hộp kết hợp với kiện toán để giải hay chứng minh tính chất hình hộp Ví dụ tứ diện gần đều, qua cạnh tứ diện ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối ta ba cặp mặt phẳng cặp hai mặt phẳng song song với Sáu mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp Với tứ diện vng từ đỉnh khơng vng ta dựng mặt phẳng vng góc với cạnh góc tứ diện vuông Các mặt với ba mặt góc tam diện vng tạo thành hình hộp chữ nhật 2.5.3 Một số ví dụ Ví dụ 2.5.1 Tứ diện ABCD IJ đoạn vng góc chung cặp cạnh đối AB CD (I ∈ AB ; J ∈ CD) Gọi α góc cặp cạnh Gọi V thể tích tứ diện Chứng minh V = AB · CD · IJ · sin α Lời giải 57 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang B1 D A1 C D1 B α C1 A Qua cạnh tứ diện ABCD, dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện với Các mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp ABC1 D1 A1 B1 CD ngoại tiếp tứ diện ABCD Ta có CD ∥ C1 D1 Vì IJ đoạn vng góc chung AB CD nên   IJ ⊥ CD ⇒  IJ ⊥ AB   IJ ⊥ C1 D1  IJ ⊥ AB ⇒ JI ⊥ (ABC1 D1 ) Gọi h chiều cao hình hộp suy d(AB; CD) = h = IJ Gọi diện tích AC1 BD1 β suy S ABD1 =S ABC1 =S CDB1 = β Ta có VAC1 BD1 A1 CB1 D = VCABC1 + VDABC + VACDA1 + VDABD1 + VBCDB1 58 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang mà VCABC1 = VACDA1 = VDABD1 = VBCDB1 = 1 · · β · h = · β · h Suy VD.ABC = β · h − β · h = β · h 2 Mà β = AB · C1 D1 · sin α = AB · CD sin α Suy V = VD.ABC = 1 · · AB · CD · h · sin α = · AB · CD · IJ · sin α Ví dụ 2.5.2 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD; AC vng góc với BD Chứng minh AD vng góc với BC Lời giải B1 D A1 C D1 B C1 A Trong phần tứ diện trực tâm, ta chứng minh vấn đề Ở Em xin trình bày tính chất phương pháp lồng hình hộp 59 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Qua cạnh tứ diện ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện cạnh ấy, mặt phẳng cắt tạo thành hình hộp AC1 BD1 A1 CB1 D Theo giả thiết AB ⊥ CD mà CD ∥ C1 D1 (do AC1 BD1 A1 CB1 D hình hộp) Suy AB ⊥ C1 D1 Mà AC1 BD1 hình bình hành, nên tứ giác AC1 BD1 hình thoi (2.6) Có AC ⊥ BD mà BD ∥ A1 C1 nên AC ⊥ A1 C1 Do tứ giác AA1 CC1 hình thoi (2.7) Từ (2.6) (2.7) suy tứ giác AA1 DD1 hình thoi, A1 D1 ⊥ AD Mà A1 D1 ∥ BC suy AD ⊥ BC Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2.5.3 Cho tứ diện trực tâm ABCD Chứng minh a Các đoạn trung bình tứ diện b Tổng bình phương hai cặp cạnh đối Lời giải a B1 D J A1 C D1 B I C1 A 60 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Do ABCD tứ diện trực tâm nên theo định nghĩa, ta có AB ⊥ CD; AC ⊥ BD; BC ⊥ AD Theo cách chứng minh ví dụ 2.5.2, ta có sáu mặt AC1 BD1 ; AC1 CA1 ; BC1 B1 C ; BB1 DD1 ; AA1 DD1 ; B1 DA1 C hình thoi cạnh a Gọi I trung điểm C1 D1 ; J trung điểm CD, suy IJ đoạn trung bình tứ diện Ta có IJ = CC1 = DD1 = a Chứng minh tương tự, đoạn trung bình lại a Vậy ba đoạn trung bình tứ diện trực tâm b Ta có AD2 + BC = AD2 + A1 D12 = 2(AA21 + AD12 ) = 4a2 Tương tự AB + CD2 = 4a2 BC + AD2 = 4a2 ⇒ AD2 + BC + AB + CD2 = BC + AD2 Vậy tổng bình phương hai cặp cạnh đối 2.6 Bài tập đề nghị Bài Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần ABCD Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp 2.1.2 Bài Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện trực tâm ABCD Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp 2.2.2 61 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang Bài Cho tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cạnh AB , BC , CD, DA, AC , BD điểm E , F , I , J , G, H Chứng minh điểm E , F , I , J (hay E , F , G, H hay I , J , G, H ) đồng phẳng Hướng dẫn: Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt sau Nếu AE BF CI DJ · · · = điểm E , F , I , J đồng phẳng BE CF DI AJ Các trường hợp khác chứng minh tương tự Bài Hãy chứng minh để tứ diện gần điều kiện cần đủ đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối diện vng góc với Hướng dẫn: Bổ sung vào tứ diện ABCD hình hộp ngoại tiếp Theo tính chất hình hộp, ta điều kiện cần đủ toán Bài Chứng minh tổng bình phương chiều dài cạnh tứ diện bốn lần tổng bình phương khoảng cách trung điểm cạnh chéo tứ diện Hướng dẫn: Bổ sung vào tứ diện ABCD hình hộp ngoại tiếp Áp dụng tính chất hình hộp bất kì: “Tổng bình phương chiều dài đường chéo tổng bình phương chiều dài cạnh hình hộp” Từ ta có điều kiện cần đủ tốn 62 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang KẾT LUẬN Khóa luận trình bày tổng quan tứ diện hình hộp, mặt cầu, đề cập tới số vấn đề sau: • Khái niệm tứ diện tính chất • Khái niệm hình hộp tính chất • Khái niệm mặt cầu tính chất • Mối quan hệ tứ diện mặt cầu • Mối quan hệ tứ diện hình hộp Trong trình nghiên cứu thực khóa luận tốt nghiệp em học hỏi nâng cao nhiều kiến thức bổ ích, quan trọng Em hy vọng kiến thức trình bày khóa luận có ích cho muốn tìm hiểu, nghiên cứu tứ diện hình hộp,mặt cầu Do điều kiện thời gian hạn chế kiến thức nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè để đề tài hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn đến ThS Đinh Thị Kim Thúy tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 63 Khóa luận tốt nghiệp đại học Nguyễn Hồng Giang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Hình tứ diện hình hộp, NXB Nghệ An, 1994 [2] Đoàn Quỳnh - Phạm Khắc Ban - Văn Như Cương - Nguyễn Đăng Phát - Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chun tốn hình học 11, NXB Giáo Dục Việt Nam, 2014 [3] Trần Văn Tấn, Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11, NXB Giáo Dục Việt Nam, 2014 [4] Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 tốn hình học khơng gian, NXB Trẻ,1997 [5] Bùi Văn Bình, Nâng cao phát triển hình học 12, NXB Giáo dục Việt Nam,2010 [6] Lê Sáng, Tứ diện thể tích tứ diện, NXB Giáo dục, 1994 64 ... chương trình bày sau: Chương Tứ diện, hình hộp, mặt cầu tính chất Chương Mối quan hệ tứ diện với hình hộp, mặt cầu Chương Tứ diện, hình hộp, mặt cầu tính chất 1.1 1.1.1 Tứ diện Các định nghĩa Định... tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tứ diện trực tâm Định nghĩa 1.1.6 Tứ diện trực tâm (tứ diện trực giao) tứ diện có cặp cạnh đối vng góc với đôi Trên thực tế gặp phải toán chứng minh tứ diện tứ. .. đến bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện 45 2.3 Mặt cầu giả nội tiếp tứ diện 49 2.4 Mặt cầu qua điểm đặc biệt tứ diện 53 2.4.1 Mặt cầu Euler