chuyên đề hinh tứ diện và hình chóp

Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 0 CHUYÊN ĐỀ HÌNH TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP HÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC NGÔ HOÀNG TOÀN YD-K38 ĐẠI HỌC Y DƯỢC CẦN THƠ Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học không gian là một trong những phân môn hay và quan trọng trong toán học phổ thông .Chúng thường xuất hiện trong đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, Olympic khu vực và luôn có mặt trong đề thi đại học, cao đẳng các năm gần đây. Vì thế với mục đích nhằm bổ sung kiến thức ,chuyên sâu hơn về hình học không gian chúng tôi đã tổng hợp và biên soạn một chuyên đề nhỏ “Tứ diện, hình hộp và các vấn đề liên quan”. Qua chuyên đề này các bạn sẽ thấy được vẻ đẹp thuần túy của hình học không gian, phân loại và hiểu được nhiều hơn về các loại tứ diện và hình hộp để vận dụng vào giải các bài toán và đề thi. Chuyên đề này chọn lọc các dạng toán hay và nhiều bài là đề thi Cao đẳng, Đại học. Dù đã cố gắng rất nhiều nhưng chúng tôi vẫn không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý chia sẻ của các bạn qua email:Ngohoangtoan1994@gmail.com Xin cảm ơn và chúc các bạn thành công trong cuộc sống. TP Cần Thơ, Ngày 20 tháng 09 năm 2012 Ngô Hoàng Toàn Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÍ 1. Các định lí và tính chất trong tam giác, tứ giác. Xét ∆ABC có: BC = a; CA = b; AB = c; nửa chu vi , đường cao AH = h, gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp ∆ r=(p-a)tan =(p - b) tan = (p - c) tan S= 2 cba p    R C c B b A a 2 sin sin sin  bc acb A 2 cos 222   2 a 2 b 2 c A CBa R abc Cabprah sin 2 sinsin 4 sin 2 1 2 1 2      2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin 1 4 ( ) 4 R A B C p p a p b p c a b a b c          Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 3 Nếu Â=90 o thì ta có: Gọi m a , m b , m c , l a , l b , l c lần lượt là đường trung tuyến và phân giác của ∆ABC. Các công thức tính diện tích tứ giác 222 22 2'' 222 111 ',' c b h abbacc hcb bcah cba      42 42 42 222 2 222 2 222 2 cba m bac m acb m c b a          )( )( 4 )( )( 4 )( )(4 2 2 2 2 2 2 cpp ba ab l bpp ac ca l cb papbc l c b a          Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 4 1. S hv cạnh a là a 2 2. Diện tích HCN có hai cạnh a, b là S = ab 3. Diện tích HBH có 2 cạnh liên tiếp là a, b, một góc là , đường cao vuông góc với cạnh b là h thì S = ah = absin 4. Hình thoi có cạnh là a, một góc là , hai đường chéo là m, n thì S = a 2 sin = mn 5. Hình thang có hai cạnh đáy là a, b và đường cao h S= h(a+b) 6. Đa giác có bán kính đường tròn nội tiếp là r và nửa chu vi là p thì S=pr. 7. Tứ giác đơn ABCD có góc giữa 2 đường chéo AC và BD là  thì S ABCD = 2 1 AC.BD sin  8. Giả sử 2  là tổng hai góc đối diện của tứ giác ngoại tiếp, a, b, c, d là các cạnh của nó, S là diện tích thì 9. Diện tích tứ giác lồi ABCD Định lý Ceva trong hình học phẳng. Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên BC, CA, AB của ∆ABC. Lúc đó AE, BF, CG đồng quy tại 0 khi: 2 1 2 1 sin S abcd        2 2 cos 2 a b c d p B D S p p a p b p b p d abcd            1  FA CF EC BE GB AG Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 5 Định lý Menelaus. Cho ∆ABC, một đường thẳng (d) bất kì cắt các đường BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R. Khi đó 2. Các định lí, tính chất trong không gian. - Định lý Ceva: Bên trong tứ diện ABCD, lấy tùy ý 1 điểm S, các mp (SCD), (SDA), (SCB) lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại A’, B’, C’, D’. Lúc đó: Và ngược lại gọi A’, B’, C’, D’ nằm trên AB, BC, CD, DA của tứ diện ABCD. Khi đó, 4mp (ABC’), (BCD’), (CDA’), (DAB’) có chung 1 điểm S nếu: - Định lí Menelaus: Trên các cạnh AB, BC, CA, DA tạo bởi 4 điểm A, B, C, D trong không gian, ta lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Điều kiện cần và đủ để M, N, P, Q đồng phẳng là: 1  BP PC QC AQ AR BR 1 ' ' . ' ' . ' ' . ' ' '  A D DD D C CC C B BB B A AA 1 ' ' . ' ' . ' ' . ' ' '  A D DD D C CC C B BB B A AA 1  QA QD PD PC NC NB MB MA Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 6 - Định lí 3 đường vuông góc. OA là đường xiên HA là hình chiếu vuông góc của CA lên () d() OA  d  HA  d - Công thức diện tích: Diện tích hình chiếu: Nếu S là diện tích của một hình phẳng. S’ là diện tích của hình chiếu của S,  là góc giữa các mp chứa S và S’ thì S’=Scos. Các công thức tính thể tích: - Khối lăng trụ: S xp = pl (p là chu vi thiết diện thẳng, l là cạnh bên) V= S đáy .h (h là chiều cao) -Khối chóp: V= S đáy h S xp = 1 2 dp (d là trung đoạn) * Định lý Ta-let: Cho 3 mp đôi một song song chắn ra trên hai các tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 3mp(P), (Q), (R) cắt a, b, tại A, B, C, A’, B’, C’. Ta có: 3 1 ' ' ' ' ' ' A C CA C B BC B A AB  Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 7 Công thức tỉ số thể tích: SCSBSA SCSBSA V V ABC CBA ''.'. . '''  Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 8 CHƯƠNG I: TỨ DIỆN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Định nghĩa: Tứ diện là một hình gồm 4 đỉnh không đồng phẳng, tất cả các mặt là tam giác. hay V= ab.d.sin, trong đó a, b là độ dài 2 cạnh đối, còn d và  là khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối. Đặt AB = a; CD = b; d = MN  = (AB,CD) Dựng hbh ABCC’ Ta có: CC’//AB  C’CD= AC’// (BCD)  V ABCD =V C’BCD AB // (CC’D)  V C’BCD = V MCC’D  V ABCD = V MCC’D = 1 3 MN.S CC’D = dabsin - Trong tứ diện bất kì 7 đoạn thẳng sau đây luôn đồng quy tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tứ diện. - 4 đoạn nối 1 đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện. - 3 đoạn nối trung điểm 2 cạnh đối M, N, A’, B’ lần lượt là trung điểm, trọng tâm của CD, AB, BCD, ACD. ASBCsABC hShSV . 3 1 . 3 1  6 1 6 1 Ngô Hoàng Toàn YD - K38 2012 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 9 AA’ là trọng tuyến GM=GN GA=3GA’ Chứng minh: Gọi I, J là trọng điểm BC, AP IM=JN và IN//MJ (đtb)  MNIJ=G mp (AID) chứa IJ  G(AMD).AG  PI = A’ Vẽ JK // AA’  JK=1/2 AA’; KA’=KD Vì G là trung điểm IJ  A’ là trung điểm MK. Từ đó suy ra A’M=1/3MD hay A’ là trọng tâm ∆: 4 1 ' ' ' ' ' ' ' 4 1 ' 2 1 '    DD GD CC GC BB GB AA GA AAGA JKGA [...]... Bài 3: SABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy AB = a, đường cao SH = h 1 Tính theo a và h các bán kính r, R của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình chóp 2 Giả sử a cố định và h thay đổi Xác định h để r lớn nhất R Giải 1 Tính R : Tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC nằm trên SH ( trục của đường tròn ngoại tiếp ABC và trên đường trung trực của SA vẽ trong mp(SAH ) Tứ giác AHOJ nội tiếp (... xem có tồn tại một tứ diện như trên không Chọn tứ diện ABCD như sau: Tam giác BCD đều cạnh a = 1 và tam giác ACD đều cạnh a = 1 Và ( BCD )  ( ACD ) Ta có: 1 3 3 1 V  3 4 2 8 2  3 3  AB  AH  HB  2 AH  2  2  2   2  AB  2 2 2 3 1 2 Tứ diện ABCD thỏa đề bài Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 21 Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Bài 5: Cho tứ diện S.ABC có SA =... h bc 4 a2  b2 a2  b2  c2       2 TỨ DIỆN VUÔNG Tứ diện vuông OABC là tứ diện có ba mặt OAB,OBC,OCA là ba tam giác vuông Trong tứ diện vuông góc tam diện một đỉnh là 3 góc vuông ( OA, OB, OC đôi một vuông góc) V 1 OA.OB.OC 6 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 30 Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Cho tứ diện OABC là tứ diện vuông tại đỉnh O, H là chân đường cao hạ từ... 2012 CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ DIỆN Cũng như trong hình học phẳng muốn khảo sát một bài toán phức tạp về đa giác ta cần nắm vững các bài toán cơ bản về tam giác Trong hình không gian cũng vậy, muốn khảo sát bài toán phức tạp về khối đa diện ta cần nắm vững các bài toán cơ bản về tứ diện 1 CÁC VẤN ĐỀ CHUNG Trong phần này ta sẽ gặp các bài toán trong một tứ diện tổng quát các vấn đề chung của hình học không gian... AQR  có Tứ diện ABCD và APQR có cùng đường cao và S BCD   V ABCD  S PQR 4 V A PQR 4 *  AP  AR 2  AQ 2  2 a 2  b 2  c 2  2  1 thay * vào 1 ta có : AQ 2   2a  2b  b  a  Vậy VP.AQR  2a2  b2  c2 a2  c2  b2 b2  c2  a2  AR 2  2 a 2  b 2  c 2 AP 2 2  c2 2  c2 2 2 Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và SA   ABC  Gọi M và N lần... YD-K38 2012 1 a 6 r  nếu và chỉ nếu x =3a  h  3  R  max 3 Vậy   Bài 4: Trong một tứ diện chỉ có một cạnh có độ dài lớn hơn 1 chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt quá 1/8 Giải Cho tứ diện ABCD có AB>1 còn các cạnh nhỏ hơn hay bằng 1 Ta sẽ chứng minh khác V  1/ 8 Vẽ đường cao AE trong tam giác ABC và đường cao BF trong tam giác BCD Gọi AH là đường cao của tứ diện vẽ từ A CD = a ( a ... phẳng đáy: * Các cạnh đối của tứ diện vuông vuông góc với nhau * Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với trực tâm mặt đáy * Nghịch đảo của bình phương độ dài đường cao tứ diện bằng tổng các nghịch đảo bình phương các cạnh bên của tứ diện * Tổng bình phương cos các góc tạo bởi đường cao của tứ diện và các cạnh bên bằng 1 * Tổng bình phương cos các góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy bằng 1 Gọi... dàng suy ra điều cần chứng minh BÀI TẬP  Bài 1: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD cân ở D, BC =a và BDC  2 Biết thêm là các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc  Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 15 Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 1.Xác định vị trí của chân đường cao H vẽ từ A của tứ diện đối với BCD 2.Tính thể tích tứ diện theo a,  ,  Giải 1.Vị trí của H đối với BCD... 71 12 Bài 14: Cho tứ diện S.ABC có hai mặt bên SAB  và SAC  vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc  và tạo với mpSAD  góc  a) Xác định các góc  ,  b) Chứng minh: SB 2  SA 2  AD 2  BD 2 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp Giải: SAB    ABC  SAC    ABC  Mà SAB   SAC   SA  SA   ABC   hình chiếu SB trên... Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD 1 Chứng minh các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối thì đồng quy tại điểm G gọi là trọng tâm tứ diện 2.Chứng minh các tứ diện GBCD,GCDA,GDAB,GABC có cùng thể tích Giải 1 Chứng minh AA’,BB’,CC’,DD’ đồng quy ( với A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)) Gọi I là trung điểm của CD Trọng tâm B’ của ACD thuộc AI Ta có : AA’ và BB’ cùng thuộc . Â=90 o thì ta có: Gọi m a , m b , m c , l a , l b , l c lần lượt là đường trung tuyến và phân giác của ∆ABC. Các công thức tính diện tích tứ giác 222 22 2'' 222 111 ',' c b h abbacc hcb bcah cba      42 42 42 222 2 222 2 222 2 cba m bac m acb m c b a          )( )( 4 )( )( 4 )( )(4 2 2 2 2 2 2 cpp ba ab l bpp ac ca l cb papbc l c b a          Ngô. b, c, d là các cạnh của nó, S là diện tích thì 9. Diện tích tứ giác lồi ABCD Định lý Ceva trong hình học phẳng. Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên BC, CA, AB của ∆ABC. Lúc đó. AB lần lượt tại P, Q, R. Khi đó 2. Các định lí, tính chất trong không gian. - Định lý Ceva: Bên trong tứ diện ABCD, lấy tùy ý 1 điểm S, các mp (SCD), (SDA), (SCB) lần lượt cắt AB, BC,