Ta thực hiện phép chiếu tứ diện ABCD lên . Khi đó ta kí hiệu là ảnh của A và M trên qua phép chiếu vuông góc . Dễ thấy rằng C, D là hình chiếu của chính nó trên và N là hình chiếu của H và B trên . Vì: Ta cũng có : Ta có nhận định sau: . Gọi I là hình chiếu của N trên vậy . Ta qui bài toán vể việc tính NI. Dễ dàng có được và (Vì MA = MB và M nằm trên AB nên qua phép chiếu vuông góc, tỉ số mà M chia trên AB không đổi) Ta xét hình chiếu của tứ diện ABCD trên . Trong tam giác vuông có NI vuông góc với tại I nên ta có hệ thức sau : Vậy . Nhận xét : Bài toán được giải quyết cho ta một lời giải hay và không thiên về phần tính toán như phương pháp mà ta đã đề ra ở phần phân tích . Ta đến với bài toán sau : Bài 3 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo . Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O lấy điểm S . Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy . Xác định đường vuông góc chung của SA và CD . Tính độ dài đường vuông góc chung đó . Phân tích : Theo bài toán thì khối đa diện tạo bởi S, A, B, C, D là hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta thực hiện phép chiếu vuông góc bằng việc chọn mặt phẳng thuận lợi cho bài toán . Ở đây ta thấy việc chọn một mặt phẳng có mối liện hệ với CD là thuận lợi hơn cả . Để rõ hơn ta đến với lời giải sau : Giải : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD , khi đó O là trung điểm của MN . Dựng đường thẳng qua N và vuông góc với SM tại K. Từ đấy ta cũng có : Vậy và hình chiếu của SA trên (SMN) là SM. Vậy . Trong (SMN) ta có : NK = MN. sin = a.sin . Cách dựng đường vuông góc chung : Qua K dựng đường thẳng song song với AB và cắt SA tại E , qua E dựng đường thẳng song song với NK và cắt CD tại F. Vậy EF = NK và thỏa tính chất của NK , do đó EF là đường vuông góc chung của SA và CD. Nhận xét : Bài toán đơn giản vì hầu như các phép chiếu không đòi hỏi phức tạp như trên. Ở các bài toán trên phép chiếu vuông góc phụ thuộc hoàn toàn vào việc chọn mặt phẳng để thực hiện phép chiếu và việc chọ mặt phẳng thì hoàn toàn không đơn giản . Nhưng ở bài toán này thì việc chọn mặt phẳng không khó khăn mấy và như có sẵn . Và đối với bài toán này nói riêng ta có thể coi rằng đây là phương pháp quen thuộc nhất. Qua các bài tập trên chúng ta đã thấy được mới liên hệ mật thiết giữa phép chiếu vuông góc và việc xác định khoảng cách cũng như phương pháp giải và mấu chốt trong việc ứng dụng phép chiếu vuông góc vào các bài toán liên quan đến khoảng cách. Nhóm thực hiện xin gửi đến các bạn hai bài toán tự luyện sau : Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại trung điểm cỏa BC lấy N sao cho NK = a . Gọi M là trung điểm của AB . Xác định và tính đường vuông góc chung của AN và DM. Bài 2 : Trong mặt phẳng cho tam giac ABC vuông cân tại A có AB = AC = a . Trên đường thẳng vuông góc với tại C lấy điểm M sao cho MC = a . Xác định và tính khoảng cách của AM và AC. BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1 : Trong không gian cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhay và chéo nhau nhận AB = a làm đường vuông góc chung. M và N tương ứng là hai điểm di động trên Ax và By sao cho ta luôn có MN = AM + BN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một mặt phẳng có định và góc tạo bởi MN và là một góc cố định. Bài 2 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Đoạn SA cố định vuông góc với tại A. Cho M và N là hai điểm di động trên BC và CD. Đặt BM = x , DN = y. 1. Tìm mối liên hệ giữa x và y để và tạo với nhau một góc nhị diện 30o. 2. Giả sử M và N là hai điểm sao cho tạo với một góc nhị diện 45o. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMN Bài 3 : Cho ba điểm A, B, C thuộc mặt phẳng , B thuộc đoạn thẳng AC, và cho điểm S trên đường thẳng vuông góc với tại A. Đặt AB = 2a, BC = b, . Hai điểm M và N thay đổi sao cho M không trùng N, M , N, C thẳng hàng và M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng . Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của AB đến MN. Tìm x để diện tích tam giác SMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị ấy. Bài 4 : Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC cạnh a. S là điểm ờ ngoài . Giả sử các mặt phẳng bên tạo với mặt đáy các góc x, y, z. Dựng H là hình chiếu của S trên mặt phẳng . Tính SH theo a, x, y, z. BỘ TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP 1. Chuyên đề 1: Hình Chóp _ Quan hệ Song song Quan hệ Vuông góc 2. Chuyên đề 2: Hình Chóp _ Góc và Khoảng cách 3. Chuyên đề 3: Hình Chóp _ Diện tích Thiết diện 4. Chuyên đề 4: Hình Chóp _ Thể tích và Cực trị thể tích 5. Chuyên đề 5: Hình Chóp _ Bài tập tổng hợp
CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP QUAN HỆ SONG SONG QUAN HỆ VUÔNG GÓC I-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đương thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). II-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trên mặt phẳng ( ) P và song song với một đường thẳng nào đó trên ( ) P thì a song song với ( ) P Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) P thì mọi mặt phẳng ( ) Q chứa a mà cắt ( ) P thì cắt theo giao tuyến song song với a. Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng. - 1 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. Định lí 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song song với b. II-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI MẶT PHẲNG: Định lí 1: Nếu mặt phẳng ( ) P chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng ( ) Q thì ( ) P song song với ( ) Q . Định lí 2 (định lí Thalès trong không gian): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lí 3(định lí đảo): Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a ′ lần lượt lấy các điểm A, B, C và , ,A B C ′ ′ ′ sao cho: AB BC CA A B B C C A = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ Khi đó, ba đường thẳng , ,AA BB CC ′ ′ ′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Q thì có duy nhất một mặt phẳng ( ) P chứa a và song song với ( ) Q . - 2 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. PHÉP CHIẾU SONG SONG TÍNH CHẤT 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng, một đoạn thẳng, một tia là một đường thẳng, một đoạn thẳng, một tia. TÍNH CHẤT 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. TÍNH CHẤT 3: Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đường thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). - 3 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG QUAN HỆ VUÔNG GÓC I-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Định lí: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( ) P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) P . Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng ( ) P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước. Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng ( ) P cho trước. II-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc: Định lí: Nếu hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q vuông góc với nhau thì bất cứ một đường thẳng a nào nằm trong ( ) P , vuông góc với giao tuyến của ( ) P và ( ) Q đều vuông góc với mặt phẳng ( ) Q . Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong ( ) P thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với ( ) Q sẽ nằm trong ( ) P . Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. - 4 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) P có duy nhất một mặt phẳng ( ) Q vuông góc với mặt phẳng ( ) P . QUAN HỆ VUÔNG GÓC Định lí: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng ( ) P và S ′ là diện tích hình chiếu H ′ của H trên mặt phẳng ( ) P ′ thì .cosS S ϕ ′ = , trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) P ′ . LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tính chất 1: a. Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thắng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. b. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Tính chất 2: a. Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Tính chất 3: a. Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) P song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ( ) P thì cũng vuông góc với a. b. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. Định lí ba đường vuông góc: - 5 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) P và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( ) P . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a ′ của a trên ( ) P . CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng ( ) α , tính khoảng cách ( ) ( ) ;d M α từ M đến mặt phẳng ( ) α . Phương pháp giải: Cách 1: + Dựng ( ) MH mp α ⊥ tại H. + Tính độ dài đoạn thẳng MH. Khi đó ( ) ( ) ;d M α = MH. Cách 2:Tìm đường thẳng ∆ qua M và ∆ cắt mp ( ) α tại I, trên ∆ chọn điểm A ( ) ;A I A M≠ ≠ , lúc đó ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; d M IM IA d A α α = dẫn đến kết quả: ( ) ( ) ( ) ( ) ; . ; IM d M d A IA α α = Chú ý: + Nếu trên mp ( ) α ta tìm được đường thẳng a thích hợp nào đó mà ( ) a mp β ⊥ , với mp ( ) β chứa M thì ta nên làm theo cách 1. + Nếu tìm được một đường thẳng thích hợp đi qua M cắt mp ( ) α tại I thì ta nên làm cách 2. Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tính khoảng cách giữa a và b (kí hiệu ( ) ;d a b là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b). Phương pháp giải: Cách 1: (Áp dụng cho trường hợp a b ⊥ ) + Dựng mp ( ) α chứa b và ( ) a α ⊥ tại A. + Dựng AB b⊥ tại B. Khi đó ( ) ;d a b AB= Cách 2: - 6 - M P α B C NH A CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Dựng mp ( ) α chứa b và mp ( ) α // a, khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ,d a b d a d M α α = = với M a ∈ . Cách 3: + Dựng mp ( ) α chứa a và mp ( ) α // b. + Dựng mp ( ) β chứa b và mp ( ) β // a. Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;d a b d α β = . Bài 1: Cho tam giác đều ABC; 1 d , 2 d là hai đường thẳng theo thứ tự qua B, C và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABC . M là điểm chuyển động trên 1 d , N là điểm chuyển động trên 2 d sao cho M và N luôn cùng ở trong một miền không gian do mặt phẳng ( ) ABC xác định và sao cho 1 2 BM CN= Chứng minh chân đường vuông góc H hạ từ C lên mp ( ) AMN chuyển động trên một đường tròn cố định. Chỉ rõ đường tròn này. Giải: Trên ( ) 1 2 ,mp d d MN BC α ∩ = Do 1 2 BM CN= ta được 1 2 B C α α = : B là trung điểm cạnh C α . Ta có BA BC B α = = ⇒ tam giác AC α là tam giác vuông tại đỉnh A Ta có ( ) 2 2 A AC A d A ACN AC d C α α α ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ = Từ ( ) A ACN α ⊥ ta được ( ) ( ) AN ACN α ⊥ - 7 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Do ( ) ( ) AN ACN α ⊥ từ C kẻ ( ) CH AMN⊥ ta được CH nằm trọn trên ( ) ACN , suy ra H AN ∈ . Ta có · 90AHC = ° . Vậy H chuyển động trên đường tròn đường kính AC trên mp ( ) ACN cũng là ( ) 1 2 ,mp d d Nhận xét : Từ bài toán trên ta thấy đã sử dụng định lý về quan hệ vuông góc gữa đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh ( ) A mp ACN α ⊥ và sử dụng định lý về quan hệ vuông góc giữa hai mp để chứng minh H AN ∈ . Bài tập 2 : Cho hình chóp S.ABC vớI các điểm M, N, P di động trên các cạnh SA, SB, SC tương ứng sao cho: ( ) 1 1 1 ; ; 1 1 2 SM SN SP k SA k SB k SC k = = = + ≥ + Chứng minh rằng giao tuyến của mặt phẳng ( ) MNP với ( ) ABC luôn song song với một đường thẳng cố định Giải: Vẽ các hình bình hành SABI và SBCK Giả sử trên mặt phẳng ( ) SAB , thì MI giao SB tại N ′ Theo định lí Thalet: ( ) 1 ; 1 * 1 SN SM SM N B BI SA k SN SN NB k NB ′ = = = ′ ′ ⇒ = = + - 8 - K I S P N M C B A CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Vì 1k ≥ nên N nằm giữa S và B. Vì các tia SA và BI song song và ngược hướng nên N’ cũng nằm giữa S và B. Do đó từ (*) suy ra N N ′ ≡ . Vậy ( ) MNP luôn qua một điểm I cố định. Tương tự với điểm K cố định. Vậy ( ) MNP luôn qua đường thẳng cố định IK. + Do ( ) ( ) ( ) // , // // 1SK BC SI AB SIK ABC⇒ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) MNP SIK IK MNP ABC ∩ = ∩ = ∆ Do (1) nên IK // ∆ Như vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) MNP và ( ) ABC luôn song song với đường thẳng cố định IK. ⇒ đpcm. Bài tập 3: Trong mặt phẳng ( ) P cho tam giác ABC. gọi H là trực tâm của tam giác. Qua H kẻ đường thẳng ∆ vuông góc với ( ) P và lấy điểm S bất kì trên ∆ . Qua S dựng các nửa đường thẳng Sx, Sy, Sz lần lượt vuông góc với các mp ( ) SBC , ( ) SCA và ( ) SAB Sx, Sy, Sz tương ứng cắt ( ) P tại , ,A B C ′ ′ ′ . 1) Chứng minh ba mặt phẳng ( ) ( ) ( ) , ,SAA SBB SCC ′ ′ ′ cùng đi qua một đường thẳng. 2) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C ′ ′ ′ Giải: Giả sử M, N, P lần lượt là giao của AH và BC, BH và AC, CH và AB. theo định lý ba đường vuông góc suy ra: , ,SN AC SM BC SP AC⊥ ⊥ ⊥ như thế có: ( ) ( ) ( ) BC SAM SBC SAM⊥ ⇒ ⊥ Trong ( ) SAM kẻ Sx SM ⊥ , mà SM là giao tuyến của ( ) SCB và ( ) SAM nên ( ) Sx SBC⊥ . Như vậy ( ) SAA ′ chứa SH Lập luận tương tự, ba mặt phẳng ( ) ( ) ( ) , ,SAA SBB SCC ′ ′ ′ cùn g đi qua một đường thẳng. - 9 - z y x M P N A C B C' B' A' S M N K L J I B C D A S CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG 2) Do ( )SH ABC SH B C ′ ′ ⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác: ( ) ( ) ( ) z z Sy SAC Sy SA SA Syz SA B C S SAB S SA ⊥ ⇒ ⊥ ′ ′ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Do đó ( ) B C SAH ′ ′ ⊥ nên B C AH ′ ′ ⊥ Mà BC AH⊥ và BC, B C ′ ′ cùng thuộc ( ) P nên //B C BC ′ ′ Tương tự ta có: // , //C A CA A B AB ′ ′ ′ ′ Suy ra: tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C ′ ′ ′ Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và điểm M ≠ S nằm cùng phía với S đối với mp ( ) ABCD . gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,P Q R T lần lượt là các mp qua SI và song song với MK; qua SJ và song song với ML; qua SK và song song với MI; qua SL và song song với MJ. Chứng minh rằng các mặt ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,P Q R T cùng đi qua một đường thẳng Giải Dễ thấy IJ là đường trung bình của tam giác ABC, nên IJ //AC và 2 AC IJ = Tương tự có: LK //AC và 2 AC LK = Vậy IJKL là hình bình hành Suy ra nếu O là giao điểm IK và JL thì O là trung điểm của IK, JL Trong mp ( ) MIK vẽ hình bình hành MINK. Khi đó O cũng là trung điểm của MN. Do đó LMJN là hình bình hành, tức là ta có IN //KM; IM // KN; JM // LN. Vì MK // ( ) P , mà IN // MK, hơn nữa I thuộc (P) nên suy ra ( ) ( ) IN P N P⊂ ⇒ ∈ - 10 - [...]... với mặt đáy các góc x, y, z Dựng H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) Tính SH theo a, x, y, z BỘ TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP 1 2 3 4 5 Chuyên đề 1: Hình Chóp _ Quan hệ Song song Quan hệ Vuông góc Chuyên đề 2: Hình Chóp _ Góc và Khoảng cách Chuyên đề 3: Hình Chóp _ Diện tích Thi t diện Chuyên đề 4: Hình Chóp _ Thể tích và Cực trị thể tích Chuyên đề 5: Hình Chóp _ Bài tập tổng hợp - 24 - ... ( N , CM ′ ) Gọi I là hình chiếu của N trên CM ′ vậy d ( N , CM ′ ) = NI Ta qui bài toán vể việc tính NI Dễ dàng có được AH = 6 a và M ′A′ = M ′N (Vì MA = MB và M nằm trên AB nên qua phép 3 chiếu vuông góc, tỉ số mà M chia trên AB không đổi) A1 M1 H C N - 21 - D CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Ta xét hình chiếu của tứ diện ABCD trên ( S ) Trong tam giác vuông CNM ′ có NI vuông góc với CM ′ tại I... cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba - Lưu ý : Phần dự đoán chỉ là phần lập luận phân tích để giái toán chứ không là bài giải Bài 6 : Trên mặt phẳng ( P ) cho đường tròn ( C ) đường kính AB và M là một điểm trên ( C ) Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại A lấy S Từ điểm D trên SA dựng DE vuông góc với SM 1/ chứng minh BM vuông góc với ( SAM ) ; DE vuông với ( SBM ) - 12 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS... B, C, D là hình chóp tứ giác đều S.ABCD Ta thực hiện phép chiếu vuông góc bằng việc chọn mặt phẳng thuận lợi cho bài toán Ở đây ta thấy việc chọn một mặt phẳng có mối liện hệ với CD là thuận lợi hơn cả Để rõ hơn ta đến với lời giải sau : Giải : - 22 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD , khi đó O là trung điểm của MN Dựng đường thẳng qua N và vuông góc với... luôn có MN = AM + BN Chứng minh rằng H luôn nằm trên một mặt phẳng có định ( P ) và góc tạo bởi MN và ( P ) là một góc cố định Bài 2 : Trong mặt phẳng ( P ) cho hình vuông ABCD cạnh a Đoạn SA cố định vuông góc với ( P ) tại A Cho M và N là hai điểm di động trên BC và CD Đặt BM = x , DN = y 1 Tìm mối liên hệ giữa x và y để ( SAM ) và ( SAN ) tạo với nhau một góc nhị diện 30o - 23 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS... với lợi thế là CD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và các yếu tố tỉ số đã cho cho phép ta có thể chọn mặt phẳng thích hợp và áp dụng phép chiếu vuông góc Cụ thể như sau: Giải: D K B C - 18 - N A CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Gọi ( P ) là mặt phẳng vuông góc với CN tại N Chiếu tứ diện ABCD lên ( P ) Gọi A1, B1, D1, M1, K1 lần lượt là hình chiếu của A, B, D, M, K lên (P) Theo giả thi t CD ⊥ ( ABC )... có lời giải sau : Giải: - 20 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Gọi ( S ) là mặt phẳng vuông góc với BN tại N Hiển nhiên CD ⊂ ( S ) Gọi H là hình chiếu của A lên ( BCD ) Ta thực hiện phép chiếu tứ diện ABCD lên ( S ) Khi đó ta kí hiệu A′, M ′ là ảnh của A và M trên ( S ) qua phép chiếu vuông góc Dễ thấy rằng C, D là hình chiếu của chính nó trên ( S ) và N là hình chiếu của H và B trên ( S ) A M... góc vuông ⇒ E luôn thuộc đường tròn đường kính DF trên mp ( DEF ) Bài 7 : Trên mp ( P ) cho tam giác đều OAB cạnh a tìm tập hợp điểm M trong không gian sao cho OM vuông góc với mp ( MBA ) Giải : M B O I - 13 A CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Gọi I là trung điểm cạnh AB suy ra OI ⊥ MI ( theo giả thi t) (1) Dễ thấy MA = MB suy ra AB ⊥ MI Mà AB ⊥ OM nên AB ⊥ ( OMI ) tại trung điểm của AB nên ( OMI )... lời giải hay và không thi n về phần tính toán như phương pháp mà ta đã đề ra ở phần phân tích Ta đến với bài toán sau : Bài 3 : Trong mặt phẳng ( P ) cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O lấy điểm S Gọi α là góc giữa mặt bên và mặt đáy Xác định đường vuông góc chung của SA và CD Tính độ dài đường vuông góc chung đó... diện vuông S.ABC M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Cho mp ( PSM ) ⊥ mp ( NSM ) Chứng minh: tan BAC tan ABC = 2 Giải C N P N' S I B H K N' M E A Gọi P ′, N ′ là hình chiếu của P, N trên mp ( SAB ) P ′, N ′ theo thứ tự là trung điểm của SA và SB Kẻ PI ⊥ SM ⇒ P ′I ⊥ SM Kẻ NK ⊥ SM ⇒ N ′K ⊥ SM · · Ta có PIP ′ = NKN ′ vì hai tam giác vuông PP ′I và NN ′K bằng nhau - 14 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS . CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP QUAN HỆ SONG SONG QUAN HỆ VUÔNG GÓC I-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Tính chất 1: Trong không gian, qua một. song không làm thay đổi tỉ số của hai đường thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). - 3 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG QUAN HỆ VUÔNG GÓC I-QUAN HỆ VUÔNG. phẳng thứ ba. - 4 - CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP_QHSS & QHVG Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) P có duy nhất một mặt phẳng ( ) Q vuông góc với mặt