cHUYÊN đề HÌNH CHÓP ôn THI đại học 2015

Ta thực hiện phép chiếu tứ diện ABCD lên . Khi đó ta kí hiệu là ảnh của A và M trên qua phép chiếu vuông góc . Dễ thấy rằng C, D là hình chiếu của chính nó trên và N là hình chiếu của H và B trên . Vì: Ta cũng có : Ta có nhận định sau: . Gọi I là hình chiếu của N trên vậy . Ta qui bài toán vể việc tính NI. Dễ dàng có được và (Vì MA = MB và M nằm trên AB nên qua phép chiếu vuông góc, tỉ số mà M chia trên AB không đổi) Ta xét hình chiếu của tứ diện ABCD trên . Trong tam giác vuông có NI vuông góc với tại I nên ta có hệ thức sau : Vậy . Nhận xét : Bài toán được giải quyết cho ta một lời giải hay và không thiên về phần tính toán như phương pháp mà ta đã đề ra ở phần phân tích . Ta đến với bài toán sau : Bài 3 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo . Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O lấy điểm S . Gọi là góc giữa mặt bên và mặt đáy . Xác định đường vuông góc chung của SA và CD . Tính độ dài đường vuông góc chung đó . Phân tích : Theo bài toán thì khối đa diện tạo bởi S, A, B, C, D là hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta thực hiện phép chiếu vuông góc bằng việc chọn mặt phẳng thuận lợi cho bài toán . Ở đây ta thấy việc chọn một mặt phẳng có mối liện hệ với CD là thuận lợi hơn cả . Để rõ hơn ta đến với lời giải sau : Giải : Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD , khi đó O là trung điểm của MN . Dựng đường thẳng qua N và vuông góc với SM tại K. Từ đấy ta cũng có : Vậy và hình chiếu của SA trên (SMN) là SM. Vậy . Trong (SMN) ta có : NK = MN. sin = a.sin . Cách dựng đường vuông góc chung : Qua K dựng đường thẳng song song với AB và cắt SA tại E , qua E dựng đường thẳng song song với NK và cắt CD tại F. Vậy EF = NK và thỏa tính chất của NK , do đó EF là đường vuông góc chung của SA và CD. Nhận xét : Bài toán đơn giản vì hầu như các phép chiếu không đòi hỏi phức tạp như trên. Ở các bài toán trên phép chiếu vuông góc phụ thuộc hoàn toàn vào việc chọn mặt phẳng để thực hiện phép chiếu và việc chọ mặt phẳng thì hoàn toàn không đơn giản . Nhưng ở bài toán này thì việc chọn mặt phẳng không khó khăn mấy và như có sẵn . Và đối với bài toán này nói riêng ta có thể coi rằng đây là phương pháp quen thuộc nhất. Qua các bài tập trên chúng ta đã thấy được mới liên hệ mật thiết giữa phép chiếu vuông góc và việc xác định khoảng cách cũng như phương pháp giải và mấu chốt trong việc ứng dụng phép chiếu vuông góc vào các bài toán liên quan đến khoảng cách. Nhóm thực hiện xin gửi đến các bạn hai bài toán tự luyện sau : Bài 1 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại trung điểm cỏa BC lấy N sao cho NK = a . Gọi M là trung điểm của AB . Xác định và tính đường vuông góc chung của AN và DM. Bài 2 : Trong mặt phẳng cho tam giac ABC vuông cân tại A có AB = AC = a . Trên đường thẳng vuông góc với tại C lấy điểm M sao cho MC = a . Xác định và tính khoảng cách của AM và AC. BÀI TẬP TỰ LUYỆN : Bài 1 : Trong không gian cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhay và chéo nhau nhận AB = a làm đường vuông góc chung. M và N tương ứng là hai điểm di động trên Ax và By sao cho ta luôn có MN = AM + BN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một mặt phẳng có định và góc tạo bởi MN và là một góc cố định. Bài 2 : Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a . Đoạn SA cố định vuông góc với tại A. Cho M và N là hai điểm di động trên BC và CD. Đặt BM = x , DN = y. 1. Tìm mối liên hệ giữa x và y để và tạo với nhau một góc nhị diện 30o. 2. Giả sử M và N là hai điểm sao cho tạo với một góc nhị diện 45o. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AMN Bài 3 : Cho ba điểm A, B, C thuộc mặt phẳng , B thuộc đoạn thẳng AC, và cho điểm S trên đường thẳng vuông góc với tại A. Đặt AB = 2a, BC = b, . Hai điểm M và N thay đổi sao cho M không trùng N, M , N, C thẳng hàng và M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AB nằm trong mặt phẳng . Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của AB đến MN. Tìm x để diện tích tam giác SMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị ấy. Bài 4 : Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC cạnh a. S là điểm ờ ngoài . Giả sử các mặt phẳng bên tạo với mặt đáy các góc x, y, z. Dựng H là hình chiếu của S trên mặt phẳng . Tính SH theo a, x, y, z. BỘ TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP 1. Chuyên đề 1: Hình Chóp _ Quan hệ Song song Quan hệ Vuông góc 2. Chuyên đề 2: Hình Chóp _ Góc và Khoảng cách 3. Chuyên đề 3: Hình Chóp _ Diện tích Thiết diện 4. Chuyên đề 4: Hình Chóp _ Thể tích và Cực trị thể tích 5. Chuyên đề 5: Hình Chóp _ Bài tập tổng hợp

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP

QUAN HỆ SONG SONG QUAN HỆ VUÔNG GÓCI-QUAN HỆ SONG SONG GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

-Tính chất 1:

Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳngsong song với đường thẳng đó

Tính chất 2:

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Định lí (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồngquy hoặc đôi một song song

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P thì mọi mặt phẳng  Q chứa a

mà cắt  P thì cắt theo giao tuyến song song với a.

Hệ quả 1:

Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng

1

Nếu mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng  Q

thì  P song song với  Q

Định lí 2 (định lí Thalès trong không gian):

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉlệ

Định lí 3(định lí đảo):

Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a lần lượt lấy các điểm A, B, C và

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  Q thì có duy nhất một mặt phẳng  P chứa a và

song song với  Q

Hệ quả 2:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau

PHÉP CHIẾU SONG SONG

-QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Định lí:

Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng

 P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P

II-QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặtphẳng đó vuông góc với nhau

Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc:

Định lí: Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ một đường thẳng a nàonằm trong  P , vuông góc với giao tuyến của  P và  Q đều vuông góc với mặt phẳng  Q

Hệ quả 1:

Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong  P thì đường

thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với  Q sẽ nằm trong  P

Hệ quả 2:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúngvuông góc với mặt phẳng thứ ba

Hệ quả 3:

Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P có duy nhất một mặt phẳng  Q

vuông góc với mặt phẳng  P

QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Định lí:

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng  P và S là diện tích hình chiếu H  của H

trên mặt phẳng  P thì S S.cos, trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng  P và P

LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG

a Cho đường thẳng a và mặt phẳng  P song song với nhau Đường thẳng nào vuông góc với

 P thì cũng vuông góc với a.

b Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc vớimột đường thẳng thì chúng song song với nhau

Định lí ba đường vuông góc:

5

-Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P và đường thẳng b nằm trong mặt

phẳng  P Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên  P

CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG

THẲNG CHÉO NHAU

Bài toán 1: Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng   , tính khoảng cách

 

d M  từ M đến mặt phẳng  .

Phương pháp giải:

+ Nếu trên mp  ta tìm được đường thẳng a thích hợp nào đó mà amp  , với mp  chứa

M thì ta nên làm theo cách 1.

+ Nếu tìm được một đường thẳng thích hợp đi qua M cắt mp  tại I thì ta nên

làm cách 2

Bài toán 2: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Tính khoảng cách giữa a và b (kí hiệu d a b ;  là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b).

Phương pháp giải:

Cách 1: (Áp dụng cho trường hợpab)

+ Dựng mp  chứa b và   a tại A.

+ Dựng ABb tại B.

Khi đó d a b ;  AB

Cách 2:

Dựng mp  chứa b và mp  // a, khi đó d a b ;  d a ;   d M ,   với Ma

Cách 3:

+ Dựng mp  chứa a và mp  // b.

+ Dựng mp  chứa b và mp  // a.

Khi đó d a b ;  d     ;  

Bài 1: Cho tam giác đều ABC; d1, d2 là hai đường thẳng theo thứ tự qua B, C và cùng vuông

góc với mặt phẳng ABC.

M là điểm chuyển động trên d1, N là điểm chuyển động trên d2 sao cho M và N luôn cùng ở

trong một miền không gian do mặt phẳng ABC xác định và sao cho 1

-Do AN  ACN từ C kẻ CH AMN ta được CH nằm trọn trên ACN , suy ra HAN.

Ta có AHC  90 Vậy H chuyển động trên đường tròn đường kính AC trên mpACN cũng là

 1, 2

mp d d

Nhận xét : Từ bài toán trên ta thấy đã sử dụng định lý về quan hệ vuông góc gữa đường thẳng và mặt phẳng để chứng minh A mp ACN   và sử dụng định lý về quan hệ vuông góc giữa hai mp để chứng minh HAN

Bài tập 2 : Cho hình chóp S.ABC vớI các điểm M, N, P di động trên các cạnh SA, SB, SC tương

ứng sao cho:

Vẽ các hình bình hành SABI và SBCK

Giả sử trên mặt phẳng SAB, thì MI giao SB tại N 

Theo định lí Thalet:

 

1

;1

*1

C

B A

Vì k 1 nên N nằm giữa S và B Vì các tia SA và BI song song và ngược hướng nên N’ cũng nằm giữa S và B Do đó từ (*) suy ra N N.

Vậy MNPluôn qua một điểm I cố định Tương tự với điểm K cố định Vậy MNP luôn qua

đường thẳng cố định IK.

Bài tập 3: Trong mặt phẳng  P cho tam giác ABC gọi H là trực tâm của tam giác Qua H kẻ

đường thẳng vuông góc với  P và lấy điểm S bất kì trên  Qua S dựng các nửa

đường thẳng Sx, Sy, Sz lần lượt vuông góc với các mpSBC,SCA và SAB

Sx, Sy, Sz tương ứng cắt  P tại A B C, , .

1) Chứng minh ba mặt phẳng SAA , SBB , SCCcùng đi qua một đường thẳng

2) Chứng minh: tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C  

Giải:

Giả sử M, N, P lần lượt là giao của AH và BC, BH và AC, CH và AB

theo định lý ba đường vuông góc suy ra: SN AC SM, BC SP, AC

như thế có: BC SAM SBC SAM

Trong SAMkẻ SxSM , mà SM là giao tuyến của SCB và SAM nên

Sx SBC Như vậy SAA chứa SH

M P

S

N

K L

J I

B

C

D A

 Do đó B C  SAHnênB C   AH

Mà BCAH và BC, B C  cùng thuộc  P nên B C //BC

Tương tự ta có: C A //CA A B,  // AB

Suy ra: tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C  

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và điểm MS nằm cùng phía với S đối với mp

ABCD gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Gọi        P , Q , R , T lần

lượt là các mp qua SI và song song với MK; qua SJ và song song với ML; qua SK và song song với MI; qua SL và song song với MJ Chứng minh rằng các mặt        P , Q , R , T cùng đi quamột đường thẳng

Vậy IJKL là hình bình hành

Suy ra nếu O là giao điểm IK và JL thì O là trung điểm của IK, JL

Trong mpMIK vẽ hình bình hành MINK Khi đó O cũng là trung điểm của MN

Do đó LMJN là hình bình hành, tức là ta có IN //KM; IM // KN; JM // LN

Vì MK // P , mà IN // MK, hơn nữa I thuộc (P) nên suy ra IN  P  N P

Hoàn toàn tương tự có N Q N;  R N;  T 

Do O là giao điểm của đoạn MN và ABCD nên M và N nằm khác phía đối với ABCD Vì S,

M nằm cùng phía đối với ABCDnên N và S nằm khác phía đối với ABCD Từ đó suy ra N không trùng S.

Vậy các mặt        P , Q , R , T cùng đi qua đường thẳng SN.

Bài 5: Cho tam giác đều ABC và là đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng ABC

M là một điểm di động trên đường thẳng Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ

B và C xuống MC và MB H là trực tâm của tam giác MBC

Khi M di động trên đường thẳngthì K, I, H di động trên đường nào ?

* Phân tích : Dự đoán về tập hợp điểm I

M thuộc miền không gian thứ nhất do mặt phẳng ABC xác định Khi M ở A thì I ở trung điểm E của AB Khi M tiến xa tới vô cùng trên  thì I tiến B Như vậy ta thấy ba điểm B, I, E không thẳng hàng do đó tập điểm của I không là đường thẳng

Khi M trên  và ở miền không gian thứ hai do mặt phẳng ABC xác định thì ta được tập

hợp của I đối xứng với tập hợp thứ nhất qua ABC

Vậy dự đoán tập hợp của I là đường tròn đường kính EB trên mặt phẳng ABC

Như vậy ta có lời giải sau:

Giải :

Quỹ tích điểm I :

Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm cạnh AC

Trên mặt phẳng , AB điểm I nhìn EB dưới một góc vuông Vậy I di động

trên đường kính EB trừ điểm B

* Quỹ tích điểm K :

Chú ý : Ta cũng phân tích như trên đối với điểm K thì ta được K di động trên đường tròn đường

kính FC trên mặt phẳng , AC, bỏ điểm C.

* Quỹ tích điểm H :

Gọi O là trực tâm của tam giác ABC.

11

Gọi J là trung điểm BC ta có :OHHJ

Vậy trên mặt phẳng , AJ, H nhìn OJ dưới một góc vuông , do đó tập

hợp của H là đường tròn đường kính OJ trên mặt phẳng , AJ,bỏ điểm J.

Nhận xét : Từ bài toán trên ta thấy :

- Ở một số bài toán tìm tập hợp điểm có một tính chất nào đó ta dùng phương pháp dự

đoán, từ đó định hướng được cách giải cụ thể là phải chứng minh MB vuông góc với EI

- Ở các phần sau ta sử dụng liên tiếp các định lý điều kiện để mặt phẳng vuông góc với đường thẳng và định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng khác nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

- Lưu ý : Phần dự đoán chỉ là phần lập luận phân tích để giái toán chứ không là bài giải

Bài 6 : Trên mặt phẳng  P cho đường tròn  C đường kính AB và M là một điểm trên C Trên đường thẳng vuông góc với  P tại A lấy S Từ điểm D trên SA dựng DE vuông góc với

SM.

1/ chứng minh BM vuông góc với SAM; DE vuông với SBM

O

H I

F

K

C

J E

B M

A

2/ Chứng minh rằng : khi M di động trên đường tròn  C thì DE luôn thuộc một mặt phẳng cố

Suy ra : MB DE Mà DE SM nên DE SMB

2/ Qua D dựng DF vuông góc với SB tại F Mà theo 1/ ta có DE SB nên SB DEF

D là 1 điểm cố định và SB là cạnh cố định nên mpDEFcố định  (đpcm)

3/ Ta có trên mpDEF , E luôn nhìn DF dưới một góc vuông  E luôn thuộc đường tròn đường kính DF trên mpDEF

Bài 7 : Trên mp P  cho tam giác đều OAB cạnh a tìm tập hợp điểm M trong

không gian sao cho OM vuông góc với mp MBA 

Giải :

13

-E F

D

C

B A

S

I

B

A O

M

H I

Gọi I là trung điểm cạnh AB suy ra OI MI ( theo giả thiết) (1)

Dễ thấy MA = MB suy ra AB MI Mà AB OM nên AB OMI tại trung điểm của AB nên

OMIlà mặt trung trực của AB ( cố định ). (2)

Từ (1), (2) suy ra tập hợp M là đường tròn  C nằm trên mặt trung trực của AB có đường kính là OI Dễ dàng tính được 3

Vì nhị diện P SM N, , là nhị diện vuông nên PIP NKN450

 tam giác PP I vuông cân Ta có PP P I

Vì 1 ; 1

PP SC P I  AH ( H là hình chiếu của A trên SM ) nên SC=AH (1)

Kẻ SE AB CE=AB Ta có tanBAC.tanABC

Nhưng tam giác MSA cân tại M nên các đường cao AH và SE bằng nhau từ (1) ta được SC =

SE, tam giác SCE là tam giác vuông cân, do đó CE SE 2

Thay kết quả này vào (2) ta được tanBAC.tanABC 2

Bài 9 : Gọi AH là đường cao của tứ diện gần đều ABCD BK và H a là đường cao và trực tâm

tam giác BCD.

Chứng minh rằng : AH2 4H B H K a a

Giải :

Phẳng hóa tứ diện ABCD lên mặt phẳng BCD Các tam giác ACD, ABD, ABC

mở ra thành A 1 CD, A 2 DB, A 3 BC Ta đã biết tam giác A A A1 2 3 nhận B, C, D là

trung điểm của các cạnh

Kẻ AJ CD Trong phép quay tam giác A CD1 , điểm J cố định CD luôn vuông góc với JA Do

đó CD vuông góc JA1 Ta được CD AJA1 Vì CD AH và

AH có điểm A thuộc AJA1 nên AH thuộc AJA1 suy ra H, J, thẳng hàng vì

cùng ở trên giao tuyến của AJA1và BCD

Lại có CD // A A2 3mà A1H CD nên A1H A2A3 Tương tự ta được A2H A1A2, A3H A1A2.

Vậy H là trực tâm của tam giác A A A1 2 3.

Gọi I là giao của A1H và A2A3

BK là đường cao tam giác của BCD Do đó trực tâm H aBK.

Ta có tam giác A A A1 2 3là ảnh của tam giác BCD trong phép vị tự tâm G theo tỉ số 2 (G là trọng tâm chung của hai tam giác BCD và A A A1 2 3)

Trong phép vị tự trên BK ta có ảnh là A1I Các điểm H a , K có ảnh là H và I Do đó H a K có ảnh

Tứ giác BKJI là hình chử nhật, ta có BK = IJ.

Vì CD là đường trung bình của tam giác A A A1 2 3 nên IJ = A1J.

Như vậy ta có A1J = IJ = BK

15

-Tam giác vuông AJH cho ta AH2 AJ2  HJ2

Vậy ta có điều phải chứng minh !

SUY RA TỪ MỘT BÀI TOÁN PHẲNG

Chứng minh rằng các hình chiếu vuông góc của đỉnh A của tứ diện ABCD trên các mặt phẳng phân giác trong và ngoài của các nhị diện cạnh BC, CD, DB là 6 điểm đồng

phẳng

 Giải

Trước hết ta giải quyết bài toán phẳng sau:

“Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh A của tam giác

ABC trên các đường phân giác trong và ngoài của góc B và C là 4 điểm thẳng

hàng.”

Thật vậy :

Gọi hình chiếu của A trên phân giác trong và ngoài của góc B là lần lượt là

A1 và A2

Dễ dàng thấy được AA1BA2là hình chữ nhật Từ đó dễ dàng chứng minh

được A1A2 // BC và A1A 2 đi qua trung điểm của AB hay nói cách khác A1A2 cách

đều A và BC.

Tương tự đới với các hình chiếu A3 và A4 của A trên các tia phân giác trong và ngoài của góc C.

Chú ý: Bài toán phẳng này có mối liên hệ mật thiết với bài toán

của chúng ta Ta có thể sử dụng kết quả trên và cả phương pháp giải bài toán trên để giải bài toán này

Trở lại bài toán :

*Gọi hình chiếu của A trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC là A1:A1 BCA1 Theo hướng chứng minh của bài toán trên ta cần chứng minh

A 1 thuộc mặt phẳng cách đều A và mặt phẳng (BCD).

Gọi H1 chA1 /BCD Dựng mặt phẳng chứa AA H1 1 cắt BC tại O.

Ta có BCAA 1 và BC A1H nên BCAA H1 1

H chA BCD và  P BCD suy ra A1H1 là khoảng cách giữa  P vàBCD

+ Mặt khác : theo bổ đề bài toán phẳng thì AH = A1H1.

Nên :  P cách đều A và BCD .

*Chứng minh tượng tự như trên cho hình chiếu của A trên 5 mặt phẳng phân giác còn lại.

Bài toán được giải quyết xong!

Trong việc giải toán khoảng cách ta có nhiều phương pháp giải khác nhau Trong số

những phương pháp đó nhóm thực hiện chuyên sâu vào tìm hiểu về mối liên hệ giữa

phép chiếu vuông góc và việc tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, từ đó

ứng dụng những tính chất đặc trưng của phép chiếu vuông góc vào những bài toán tìm

khoảng cách.Cung cấp cho các bạn bài viết này nhóm thực hiện mong rằng sẽ khai thác

thêm một phương pháp hữu dụng cho bạn đọc cách giải toán khoảng cách trong không

gian Thông qua đó nhóm muốn gửi đến các bạn một cái nhìn mới cũng như cách vận

dụng và phát huy sức sáng tạo từ lí thuyết đến bài toán cụ thể - một phương thức sáng

tạo

Ta điểm lại một số điểm lý thuyết sau

Tính bảo toàn tỉ số qua phép chiếu vuông góc:

a Cho những đường thẳng cùng phương trong không gian thì qua phép chiếu vuông góc

tỉ số của những đường thẳng đó bảo toàn

b Trong không gian cho đoạn thẳng AB và điểm M di động trên đường thẳng AB hay

MB k

MA  , chiếu A, B, M lên một mặt phẳng  P thì M A  k M B 

với M A B, ,  lần lượt là

hình chiếu của M, A, B, trên mặt phẳng  P

Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

17