chuyên đề phương trình mũ

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. Bài 1: Giải phương trình sau: 1 1 1 1 2 .4 . 16 8 x x x x     Giải:  1 2.( 1) 4 3.(1 ) 1 2 .2 . 2 2 x x x x      6 4 4 2 2 x x    6 4 4 x    2 x  . Bài 2: Giải phương trình sau: 2 2 3 3 2 .5 2 .5 x x x x    Giải: • Phương trình tương đương: 2 3 10 10 x x    2 3 x x    1 x  • Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 x  Bài 3: Giải phương trình sau: 3 log 1 ( 2) 2 2 x x x x           Giải: • Đk: 2 x  ( * ) Phương trình tương đương: 3 2 0 1 ( ) 1(1) 2 log x x x           3 2 1 ( ) 1(1) 2 log x x x        Giải phương trình (1) ta xét hai trường hợp 1. 1 1 2 x    3 2 x  (Loại) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn 2. 1 0 1 2 x    (1)  3 log 0 x   1 x  (Loại) • Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: 2 x  Bải 4: Giải phương trình sau: 3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x        Giải: Điều kiện : 1 x  và 3 x   • Vì ( 10 3).( 10 3) 1    nên phương trình sẽ trở thành : 3 1 1 3 1 ( ) ( 10 3) 10 3 x x x x         3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x         2 2 9 1 x x     5 5 x x        • Đối chiếu điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm 5 x  và 5 x   Bài 5: Giải phương trình: 2 3 3 log ( 1) ( 5).log ( 1) 2 6 0 x x x x        Giải: • ĐK: 1 x   Đặt : 3 log ( 1) x t   Phương trình trở thành: 2 ( 5) 2 6 0 t x t x      Ta có 2 2 2 ( 5) 8 24 2 1 ( 1) x x x x x           Vậy phương trình có hai nghiệm: 2 3 t t x       • Với 2 t   3 ( 1) 2 log x    8 x  • Với 3 log (3 1) t t     3 log (4 ) t t    3 4 t t    3 4 0 t t    Xét ( ) 3 4 t f t t    Ta thấy hàm số hàm số ( ) y f t  là hàm số đồng biến trên R nên phương trình: f(t)=0 có nghiệm duy nhất. Dễ thấy t = 1  x = 2 • Vậy phương trình có hai nghiệm là: 2 x  và 8 x  Bài 6: Giải phương trình : (2 3) (2 3) 4 x x     CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Giải: • Điều kiện: 0 x   ( * ) Do: (2 3) .(2 3) 1. x x    (1)  1 (2 3) 4 (2 3) x x     Đặt (2 3) x t   ( 0 t  ). Phương trình trở thành: 2 4 1 0 t t     2 3 2 3 t t          1 1 x x       • Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện ( * ). Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x  và 1 x   Bài 7: Giải phương trình : (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x      Giải: • Từ pt đầu ta có: (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x      2 (2 3) 3(2 3) 2 0 x x       2 3 (2 3) 2 0(1) (2 3) x x       • Đặt: (2 3) x t   ( 0) t  • Phương trình (1) trở thành: 3 2 3 0 t t    1 t   Vì vậy: (2 3) 1 x   0 x   Bài 8: Giải phương trình 3 (3 5) 16(3 5) 2 x x x      CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Giải: • Do (3 5) .(3 5) 4 x x x    (với 0 x   ) • Nên từ phương trình đầu ta có: 3 (3 5) 16(3 5) 2 x x x      2 4 3 2 (3 5) 2 (1) (3 5) x x x x        Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho 3 2 x  Thì phương trình (1) trở thành: (3 5) 2.2 1(2) 8.2 (3 5) x x x x     • Đặt: (3 5) 2 x x t   ( 0) t  • Phương trình (2) trở thành: 1 2 1 8 t t   2 8 16 0 t t     4 t   • Nên : (3 5 ( ) 4 2 x   4 (3 5) 2 log x log    . Bài 9: Giải phương trình 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x     Giải: Phương trình tương đương: 3 3 8 12 2 6.2 1 2 2 x x x x     3 3 8 2 2 6 2 1 2 2 x x x x            2 2 2 4 2 2 2 2 6 2 1 2 2 2 x x x x x x                       2 2 2 4 2 2 4 1 2 2 x x x x               2 2 2 2 2 1 2 2 x x x x              3 2 2 1 2 x x          CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn 2 2 1 2 x x          2 2 x   1 x   Bài 10: Giải phương trình 2 2 3 3 1 ( 1) 2 2 2 2 x x x x       Giải: Đặt t = x-1 . Phương trình trở thành :  2 2 1 2 2 2 2 t t t t       2 2 2.2 2 2 2 2 t t t t    Đặt a = 2 ( 0) t a   ( * )  3 2 3 2 0 a a a     0 1 2 a a a         Đối chiếu điều kiện ( * ) nhận a = 1 và a = 2  1 1 2 1 2 2 x x         1 2 x x      Vậy giá trị x cần tìm : x = 1 và x = 2 Bài 11: Giải phương trình 2 sin 2 2 3cos (2 ) (2 ) x x x x x x       Giải: TH1 Nếu 2 2 1 x x     2 1 0 x x     1 5 2 1 5 2 x x           Thì phương trình luôn đúng TH2 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Nếu 1 5 2 . 1 5 2 x x              Thì ta có: sin 2 3cos x x    sin( ) 1 3 x     .2 6 x k     Bài 12: Giải phương trình 2 2 3 5 2 2 4 ( 3) ( 6 9) x x x x x x x         Giải: TH1 Khi 3 1 4 x x     Thì phương trình luông đúng TH2 Khi 4 x   PT trở thành: 2 2 3 5 2 2 2 8 ( 3) ( 3) x x x x x x         2 2 3 5 2 2 2 8 x x x x       2 7 10 x x    5 2 x x      Bài 13: Giải phương trình 2 0.5 log sin 5sin cos 2 1 4 9 x x x   Giải: ĐK: 2 sin 5sin cos 2 0(*) x x x   Phương trình tương đương: 1 2 2 4 2 log (sin 5sin cos 2) log 3 x x x      2 2 4 log (sin 5sin cos 2) log 3 x x x      2 sin 5sin cos 2 4 x x x     Thỏa ( * ) cos 0 5sin cos 0 x x x        CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn 2 1 (tan ) 5 x k x a m a                Bài 14: Giải phương trình 2 lg 1000 x x x  Giải: ĐK: x>0 PT trở thành: 2 2 (1000 ) lg x lg x   2 2 3 0 lg x lgx     1 3 lgx lgx        1 10 1000 x x       Bài 15: Giải phương trình 2 (3 2 ) 2(1 2 ) 0 x x x x      Giải: Ta có 2 2 (3 2 ) 4.4.(1 2 ) (2 1) x x x        Nên phương trình có 2 nghiệm là : 3 2 2 1 2 2 x x x      hoặc 3 2 2 1 1 2 2 x x x x        2 1 x x   Ta có hàm số VT đồng biến nên x=0 Bài 16: Giải phương trình 2 2 3.25 (3 10)5 3 0 x x x x        Giải: Ta có : 2 2 (3 10) 4.3.(3 ) (3 8) x x x        Nên phương trình có 2 nghiệm là: 2 10 3 3 8 1 5 6 3 x x x        5 25 3 x log CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Hoặc : 2 18 6 5 3 6 x x x       5 25 75 x x   Xét hàm số ở VT ta thấy hàm số đồng biến nên 2 x  Bài 17: Giải phương trình 2 2 2013 2013 2 sin x cos x cos x   Giải: Ta có : 2 2 2 2 2013 2013 sin x cos x cos x sin x     2 2 2 2 2013 2013 sin x cos x sin x cos x    Xét hàm đặc trưng: ( ) 2013 t f t t   Hàm số đồng biến nên pt đúng khi: 2 2 cos sin x x   cos2 0 x   4 2 k x     Bài 18: Giải phương trình 3 3 2 2 2 2 4 4 4 2 4 2 x x x x x x          Giải: ĐK 2 x   Phương trình tương đương: 3 3 2 2 4 4 16 .4 2 16.4 2 x x x x x x        3 2 1 1 16.4 (16 1) 2 (16 1) x x x x       3 1 2 (16 1)(16.4 2 ) 0 x x x      3 1 2 16 1 16.4 2 x x x          1 ( ) 2 x N x       Bài 19: Giải phương trình 3 5 6 2 x x x    Giải: Phương trình tương đương: 3 5 6 2 x x x    Xét hàm số : 3 5 6 x x y x    Ta có: 3 . 3 5 . 5 6 x x y ln ln     Suy ra: 2 2 3 . 3 5 . 5 0 x x y ln ln     nên y' đồng biến trên R CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Mặt khác: lim 6 x y     ; lim x y     Do đó phương trình: 0 y   có nghiệm duy nhất 0 x x  Ta có: lim x y    ; lim x y    ; lim o x x y a   Nên đương thẳng 2 y  cắt đồ thị tại 2 điểm mà y(1)=2, y(0)=2 (Dựa vào bảng biến thiên) Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 x  và 0 x  . Bài 20: Giải phương trình 1 5 .8 500 x x x   Giải: ĐK 0 x   PT tương đương: 5 5 1 . 8 3 4 x x log log x      2 5 5 ( 2 3) 3 2 0 x log x log      Ta có : 2 2 2 5 5 5 5 5 ( 2 3) 4.3. 2 2 6 2 9 ( 2 3) log log log log log          Nên: 1 2 5 3; 2 x x log    Bài 21: Giải phương trình 2 2 1 cot sin 4 2 3 0 x x    Giải: ĐK sin 0 x   Ta có : 2 0 cot x  ; 2 1 1 sin x  Nên : 2 2 1 0 1 4 2 4 2 3 cot x sin x     Do đó: 0 VT  Nên PT đúng khi : 2 2 0 1 cot x sin x      2 x k      Bài 22: Giải phương trình (7 4 3) 3(2 3) 2 0 x x      Giải: Phương trình tương đương: 2 (2 3) 3(2 3) 2 0 x x      3 (2 3) 2.(2 3) 3 0 x x       (2 3) 1 x    0 x   CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Bài 23: Giải phương trình s inin s ( 7 4 3) ( 7 4 3) 4 xx     Giải: • Đặt ( 7 4 3) sinx t   Phương trình trở thành: 1 4 t t    2 4 1 0 t t     2 3 2 3 t t          ( 7 4 3) 2 3 ( 7 4 3) 2 3 sinx sinx            1 1 sinx sinx       • Vậy phương trình có các nghiệm: 2 x k     ( ). k Z  Bài 24: Giải phương trình 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x      Giải: • Phương trình biến đổi thành: 2 2 2 2.2 9 4.2 0 x x x x    Chia hai vế cho 2 2 x ta được: 2 2 2( ) 2.2 9.2 4 0 x x x x      2 2 2 4 1 2 2 x x x x           2 2 2 0 1 0( ) x x x x L           1 2 x x       • Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x   và 2 x  [...]... Giải phương trình ( 3  2) x  ( 3  2) x  ( 5) x Giải: Đặt : a  3  2; b  3  2; c  5 Ta thấy a  c  b Nếu x  0 thì VT  1  1  1  VP (Phương trình không đúng) Nếu x  0 thì b x  c x  a x  b x  c x (Phương trình vô nghiệm) Nếu x  0 thì a x  c x  a x  b x  c x (Phương trình vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ...CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bài 25: Giải phương trình 125x  50 x  23x1 Giải: Phương trình tương đương: 53 x  52 x.2 x  23 x.2 3x 2x 5 5      2  0 2  2 x 5    1  2  x0 Bài 27: Giải phương trình 3x 2 2 x  2  22( x 2  2 x  2)  x 2  2 x  25 Giải: Đặt: x 2  2 x  2  t ( t  0 ) Phương trình trở thành: 3t  (2t... Bài 38: Giải bất phương trình: 3x.2 x  3 x  2 x  1 Giải: 1 không là nghiệm của phương trình 2 2x  1 • Phương trình tương đương: 3x  2x 1 • Ta có: Hàm số y  3x đồng biến trên R 2x 1 1 1 Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng (-  ; ) và ( ;+  ) 2x 1 2 2  • Vậy phương trình chỉ có 2 nghiệm: x  1 • Dễ thấy: x  http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT... xy  0 Vậy phương trình (1) xảy ra dấu " = " khi: http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  2 sinx  cosxy  0  y  0 cosxy  1   2 sinx  1  y  0  x  k  y  0 • Vậy nghiệm của phương trình là: ( x; y )  ( k ;0) Với k  Z log 2 Bài 56 Giải phương trình: 2.9 x 2  x log2 6  x 2 Giải: ĐK: x>0 Đặt: t  log 2 x  x  2.2t 2 Vậy phương trình trở... Giải phương trình: 2cos x  (2  x 2 )1|x| http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải: • Ta có 2 VT  2cos x  2 VP  (2  x 2 )1|x|  2  x 2  2 cos 2 x  1 Dấu " = " xảy ra khi:  x0 x  0 • Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0 Bài 58 Giải phương trình: x 2  3log x  5log x 2 2 Giải: • Đk: x  0 • Đặt t  log 2 x  x  2t 3t  4t  5t Phương trình. ..  x  2  2 6   x2 Bài 48: Giải phương trình log2 ( x  x 2  1).log3 ( x  x 2  1)  log 6 ( x  x 2  1) http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải:  x  x2  1  0   ĐK:  x  x 2  1  0  2  x 1  0  Nhận thấy không có x nào thỏa điều kiện bài toán, vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 49: Giải phương trình log 2 x1 (2 x 2  x  1)  log... x  2 x x • Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2  f( Bài 53: Giải phương trình: 32 x  2  3 x 4  6 x 2  7  1  2.3x 1 Giải: • Phương trình biến đổi thành: VT  2 *Nhận xét:  VP  2 3( x 2  1) 2  4  2  (3x1  1) 2 (1)  x2  1  0 Vậy phương trình (1) có nghiệm khi hệ phương trình:  x 1 3  1 có nghệm • Hệ phương trình có nghiệm chung x  1 • Vậy phương trình có nghiệm duy nhất... ·ln 3  2t  2  0  t  1 Từ phương trình (1) , ta có u  x , hay 2 x  2  1  x http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải phương trình này, ta được hai nghiệm x  1 và x  3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  1 và x  3 Bài 31: Giải phương trình 3x  x  1  x 2 Giải: Cách 1: x 2  1  x 2 | x | x  x  x 2  1  0 Vì: (1)  ln( x  x 2  1) ... 1 2 • Phương trình có nghiệm duy nhất x  Bài 42: Giải bất phương trình: 2log 5 ( x  3) 1 2 x Giải: • ĐK: x>0 • Phương trình tương đương: log 5 ( x  3)  log 2 x (*) Đặt: t  log 2 x  x  2t Vậy: (*)  log 5 (2t  3)  t t t 2 1     3    1(**) 3 5 t t 2 1 • Xét hàm số: y  f (t )     3   3 5 http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT... cos y  0     1 1 x  2 x  2   1  • Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = ( ;  k ) ( k  Z ) 2 2 Bài 60: Giải phương trình: log 3 ( x 2  x  1)  log3 x  2 x  x 2 http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Giải: • ĐK: x  0 x2  x  1 )  2x  x2 x 1  log 3 ( x   1)  1  ( x  1) 2 x Phương trình biến đổi thành: log 3 ( Ta có : 1 1  1)  log . CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. Bài 1: Giải phương trình sau: 1 1 1 1 2 .4. trường hợp 1. 1 1 2 x    3 2 x  (Loại) CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn 2. 1 0 1 2 x    (1)  3 log 0 x   1 x  (Loại). Giải phương trình : (2 3) (2 3) 4 x x     CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. http://diendan.hocmai.vn Giải: • Điều kiện: 0 x   ( * ) Do: (2 3) .(2 3)