Các bài tập dạng tứ diện và hình hộp

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hình học sơ cấp phận toán học, Mục đích đề tài Trên sở nghiên cứu đề tài, muốn giới thiệu đến bạn tập phần “các khối đa diện đặc biệt không gian” Từ bạn hiểu rõ kiến thức khối đa diện, nắm vững tốt kiến thức vận dụng vào toán liên quan khác Lịch sử vấn đề phát vấn đề Sau thời gian học tập trường đại học Hồng Đức, nhận thấy hình học sơ cấp môn học khó đa dạng phức tạp Đặc biệt ứng dụng chúng Chính vậy, định chọn đề tài “Các khối đa diện đặc biệt không gian” với mục đích nêu Đối tượng nghiên cứu nội dung nghiên cứu Hình học sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài sử dụng phương pháp nhiên cứu sau: - Tham khảo tài liệu có sẵn - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp phân tích - Phương pháp tổng hợp - Phương pháp khát quát hóa - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Nội dung Gồm phần: - Phần 1: Mở đầu - Phần 2: Nội dung cụ thể - Phần 3: Kết luận NỘI DUNG CHƯƠNG I: TỨ DIỆN I, Tứ diện vuông 1, Khái niệm Tứ diện vuông O.ABC tứ diện có ba mặt OAB, OBC, OAC ba tam giác vuông Trong tứ diện vuông, góc tam diện đỉnh ba góc vuông (OA, OB, OC đôi vuông góc) 2, Tính chất Cho tứ diện O.ABC tứ diện vuông đỉnh O, H chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng đáy: - Các cạnh đối tứ diện vuông vuông góc với - Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với trực tâm mặt đáy - Nghịch đảo bình phương độ dài đường cao tứ diện tổng nghịch đảo bình phương cạnh bên tứ diện - Tổng bình phương cos góc tạo đường cao tứ diện cạnh bên - Tổng bình phương cos góc tạo mặt phẳng bên mặt phẳng đáy Gọi a , b, g góc hợp mặt phẳng đáy (ABC) mặt phẳng bên 2 cos α + cos β + cos γ = - Bình phương diện tích mặt đáy tổng bình phương diện tích mặt bên 3, Ví dụ S ∆ABC =S OAB + S OAC + S OBC 1, Cho tứ diện vuông O.ABC vuông O ∆ABC a, C/m góc OH ^ nhọn, ( ABC ) b, Vẽ Chứng minh H trực tâm tam giác ABC, ngược lại không? c, Cho OA = a; OB = b; OC = c; tính OH? Giải a, Chứng minh ∆ABC Ta chứng minh Ta có: Aˆ nhọn 2 BC = AC +AB − 2AC.AB.cos A Do = tam giác nhọn AB +AB − BC cosA = AB AC 2 2 2 2   OA +OB +OA +OC − OB − OC  ÷  ÷     AB AC = OA AB AC b, Vẽ OH ^ >0 ⇒ 01) Từ điều kiện c) suy hai đường nối đỉnh tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện cắt Rõ ràng đường nối đỉnh tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đôi cắt chúng không đồng phẳng nên phải đồng quy VI.Tứ diện có bốn mặt tam giác vuông Nhân xét: Không thể xếp bốn tam giác vuông để tạo hình tứ diện “hình vẽ” để đỉnh tứ diện có góc phẳng vuông lúc AB>AD>DC>BC>BC>AB vô lý Cũng đỉnh có ba góc phẳng vuông, theo tính chất tứ diện vuông, mặt đối diện đỉnh chọn tam giác nhọn Như đỉnh chẳng hạn đỉnh A ˆ < 900 DAC ˆ = BAD ˆ = 90 BAC Việc chọn góc vuông mặt ACD C DC ^ AC , DC ^ AB ⇒ DC ^ ( ABC ) ⇒ DC ^ BC D Khi đó: Như dạng tứ diện có bốn mặt vuông tứ diện có mặt tam giác vuông hình chiếu đỉnh thứ tư trùng với đỉnh góc nhọn tam giác vuông chọn Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, vuông A D, độ dài AB lần độ dài ^ CD, CD=AD, SA (ABCD), SA=AB a, Chứng minh tam giác SDC, SCB vuông b, Lấy E trung điểm SB Dựng giao điểm F mặt phẳng (ADE) với cạnh SC c, Chứng minh ( SDC ) ^ ( SAD ) , ( SBC ) ^ ( ADE ) , AF ^ ( SBC ) ; d, Tính góc tạo (ADE) (ABCD) e, Cho AB=a, tính diện tích thiết diện AEFD Giải Nhận xét : Việc giải trở nên đơn giản xét hình chóp cho hợp hai tứ diện có bốn mặt vuông: SACD SABC ^ ^ ^ Thật SA (ABCD) nên SA AD, SA AC Theo giả ^ thiết AD AB nên tứ diện có mặt vuông Di CI=AD (I trung điểm AD tam giác ACB có trung tuyến CI = ˆ = 90 AD ⇒ ACB mặt vuông Từ suy S.ABC tứ diện có a, Suy từ tứ diện SADC SABC tứ diện với bốn mặt vuông ^ ^ b, Do (SAB) AD, suy AD SB Tam giác SAB cân, AE ^ ^ trung tuyến AE SB, từ suy SB (ADE) EF đường thẳng trung tuyến (ADE) (SBC) nên EF qua giao điểm K BC AD ^ c, Do DC (SAD), suy (SCD) chứa Dc phải vuông góc với mặt phẳng (SAD) ^ ^ d, Ta có AE AD, AD AD suy góc (ADE) (ABCD) góc ˆ = 450 EAB ^ ^ e, Vẽ FH //AE, AE AD =>FH AD 0 ˆ = 90 , ABK ˆ = 45 , KAB Trong tam giác AKB có suy ABK tam giác vuông cân: AB=AK=AS Từu tam giác SKB đường cao SC, KE nó, đồng thời đường trung tuyến chúng theo định lý Talet: KF = KE KF FH a a = = ; AE = ⇒ FH = KE AE 2 Dễ thấy a a DK = DA = ; S AEK = AK AE = ; 2 S KDF a = DK HF = 12 Vì FH//AE nên S EFD = S AEK − S KDF = a 2 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG HÌNH HỘP I, ĐỊNH NGHĨA: - Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành - Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy - Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Ba độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh gọi ba kích thước hình hộp chữ nhật - Hình lập phương hình hộp chữ nhật có ba kích thước II, TÍNH CHẤT: - Hai mặt đối diện hình hộp nằm hai mặt phẳng song song - Tất đường chéo hình hộp chữ nhật cho công thức 2 d =a +b +c b, c ba kích thước d đường chéo a, - Với hình lập phương cạnh a: - Thể tích hình hộp: V = S h d =a (với S diện tích đáy, h chiều cao hạ từ đỉnh tới mặt đối diện) - Thể tích hình hộp chữ nhật: - Thể tích hình lập phương: V = a.b.c V =a III, CÁC LOẠI HÌNH HỘP Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC’ cho CK = a Mặt phẳng (α) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện Giải Chọn Có AK ⊂ ( AA ' C ' C ) ( AA 'C 'C ) ∩ ( α ) = AK Qua E vẽ AK ∩ OO ' = E ⇒ E ∈ ( α ) IJ / / BD ( IJ ∈ DD', J ∈ BB ' ) ⇒ ( α ) (AIKJ) VABCD.A'B'C'D' = a.a.a = a 2 2 OA + OB = AB ⇔ 2OA = AB ⇔ OA = Có: AB = a 2 ^ Do IJ//BD, BJ//ID, BB’ (ABCD) => BDIJ hình chữ nhật ⇒ BI = EO = AKC) KC 2.a a = = 3.2 (EO đường trung bình tam giác VA.BDIJ 1 a a a = OA.SBJID = a = 3 (1) VC.BDIJ 1 a a a = OC.SBJID = a = 3 (2) VJ.CIK 1 a = JF.SIKC = a a a = 3 (3) ⇒ V1 = VA.BDIJ + VC.BDIJ + VJ.CIK 3 3 a a a a = + + = 9 Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, chiều cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên ABB’A’ góc tích diện tích xung quanh lăng trụ Giải Ta có: ( A ' BD ) ∩ ( ABB ' A ') = A ' B  DA ⊥ AB   DA ⊥ AA' Do ABCD vuông ( AA' ⊥ ( ABCD ) ) α Tính thể ⇒ DA ⊥ ( ABB ' A ') Dựng AI ⊥ ⊥ A’B DI A’B (theo định lý đường vuông góc) Do ˆ =α DIA Tính thể tích: Gọi a cạnh đáy lăng trụ Trong tam giác vuông DAI có: AI = AD.cot α = a.cot α Trong tam giác vuông ABA’: AI = AB + AA ' ⇒ h = 2 a cot α − a 2 = tan − a 2 ⇒ a = h tan − Thể tích lăng trụ: 3  V = a h = h  tan α − 1÷   Diện tích xung quanh: SXQ = 4.a.h = 4.h tan − Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a Góc đường chéo AC’ đáy 60 Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ Giải Ta có: CC ' = tan α AC S ABCD = p= ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d ) AB + BC + CD + DA 4a = = 2a 2 ⇒ S ABCD = ( 2a − a ) ( 2a − a ) ( 2a − a ) ( a − a ) =a ˆ =π ABC 2 2 AC = AB + BC = a + a = a π ⇒ CC ' = tan a = a ⇒ VABCD A ' B 'C'D' = S ABCD CC ' = a a = a S xq = 4.S ABB ' A = 4.a.a = 4a Vậy: Thể tích lăng trụ là: VABCD A ' B 'C'D' = a Diện tích xung quanh là: S xq = 4a 6 Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, đường chéo AC’=d hợp với đáy ABCD góc BCC’B’ góc α hợp với mặt bên β ∠CAC ' = α ; AC ' B = β a) Chứng minh b) Chứng minh thể tích hình hộp V = d sin α sin β cos ( α + β ) cos ( α − β ) c) Tìm hệ thức Cho d cố định, α, β α, β để A’D’CB hình vuông mà A’D’CB hình vuông, định α, β để V lớn Giải a, Ta có CC ' ^ ( ABCD ) Nên AC hình chiếu AC’ xuống (ABCD) ˆ '=α ⇒ ( AC ', ( ABCD ) ) = ( AC ',AC ) = CAC Tương tự: AB ⊥ ( BCC ' B ') xuống (BCC’B’) nên BC’ hình chiếu AC’ ⇒ ( AC ', ( BCC ' B ' ) ) = ( AC ',BC' ) = ACˆ 'B = β b, V =AB.BC.CC’ Trong tam giác vuông ACC’: CC’ = AC’.sin α = d sin α ; AC = AC’.cosα = d cosα ; AB = AC’.sin β = d sin β ; Trong tam giác vuông ABC’: Trong tam giác vuông ABC 2 2 2 2 BC = AC − AB = d cos α − d sin β = d cos α − sin β 2 ⇒ V = d sin α sin β cos α − sin β (1) + cos2α − cos2β − 2 ( cos2α + cos2β ) = d sin α sin β = d sin α sin β = d sin α sin β ( cos ( α + β ) + cos ( α − β ) ) c, Hệ thức (đpcm) α, β A’D’CB hình chữ nhật có chéo A’C =AC =d BC = d cos α − sin β Do để A’D’CB hình vuông 2   2 BC = A ' C ⇔  cos α − sin β ÷ =   (2) đường d, Định α, β để V lớn ( ) ⇒ sin β = cos α − vào (1) Ta có: 2  2 3 1 V= d sin α cos α − = d sin α  cos α − ÷ 2 2  1  sin α + cos α − 3 2÷ ≤ d  ÷ 2  ÷   ≤ d (BĐT Cauchy) 32 Đẳng thức xảy khi: 2 0 1 sin α = cos α − ⇔ cos 2α = ⇔ 2α = 60 ⇒ α = 30 2 sin β = cos 30 − Khi đó: V= Vậy V đạt lớn 1 = ⇒ β = 30 2 d 32 α =β = 30 Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, Aˆ = 60 Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB’=a a) Tính góc cạnh bên cạnh đáy b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp Giải D' M A' B' D C j O A a) Ta có b) B OB a ˆ ˆ = 60 cos B 'BO = = = ⇒ B ' BO BB ' a ˆ = a.sin 60 = a B ' O = BB 'sinB'BO Gọi ˆ = a.sin 60 = a B ' M ⊥ C ' D ' ⇒ B'M = B'C'.sinB'C'D' S ABCD = S A ' B ' C ' D ' = B ' M A ' B = a 2 a a 3a ⇒V = = 2 2 3a 3a a A ' B = OA + OB = + = 4 2 ⇒ A' N = a 2 6a a 10 ⇒ AN = A ' A + A ' N = a − = 16 ⇒ AB ' = 2 10 a 2 1 10 a a 15 ⇒ S ABB ' A = AB ' A ' B = a = 2 2 ⇒ S xq = 4.S ABB ' A = a 15 MỤC LỤC [...]... cả các mặt của tứ diện tương đương nhau * Bốn đường cao của tứ diện có độ dài bằng nhau * Tâm hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau và trùng với trọng tâm của tứ diện * Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật * Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau * Các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là đường vuông góc chung của hai cạnh đó * Tứ diện. .. Khái niệm Tứ diện gần đều là tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một Do đó, bốn mặt của nó đều là các tam giác bằng nhau và ngược lại Tứ diện gần đều còn được gọi là tứ diện cân 2,Tính chất Một tứ diện gần đều có: * Bốn mặt là các tam giác bằng nhau * Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn * Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện bằng 180 * Hai cặp cạnh đối diện bằng... = = 2 AH 2a 6 4 3 2, Cho tứ diện A.BCD đều cạnh a a, Gọi M là 1 điểm nằm trong tứ diện, x, y, z, t lần lượt là khoảng cách từ M đến (BCD), (CAD), (DAB), (ABC) Chứng minh x+y+z+t không đổi Tính tổng số đó b, Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện A.BCD Giải a, Nối M với 4 đỉnh của tứ diện Tứ diện A.BCD bị chia thành 4 tứ diện nhỏ đỉnh M đáy là các mặt của tứ diện và độ dài các đường cao chính là x,... ta định được các góc nhọn AC và BD; AB và CD như sau: β và γ tạo bởi 2 cosβ = a −c b 2 2 cosγ = 2 b −c a và 2 2 A I D B J C V, Tứ diện có tích độ dài hai cạnh đối bằng nhau Ví dụ 1, Cho tứ diện A.BCD chứng minh các tính chất sau đây là tương đương: 1, Các đường nối đỉnh với tâm đường nội tiếp mặt đối diện đồng quy 2, Tứ diện A.BCD thõa mãn: AB.CD=AC.BD=AD.BC 3, Các phân giác của 2 mặt tứ diện có chung... nhau và theo định lý Talet: KF 2 = KE 3 KF FH 2 a 2 a 2 = = ; AE = ⇒ FH = KE AE 3 2 2 Dễ thấy 2 a 1 a 2 DK = DA = ; S AEK = AK AE = ; 2 2 4 2 S KDF 1 a 2 = DK HF = 2 12 Vì FH//AE nên S EFD = S AEK − S KDF = a 2 2 6 CHƯƠNG II: CÁC DẠNG HÌNH HỘP I, ĐỊNH NGHĨA: - Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành - Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy - Hình hộp chữ nhật là hình hộp. .. nội tiếp và tâm của tứ diện trùng nhau - Đường cao của tứ diện bằng a 3 2 12 a 6 3 và thể tích bằng R= - Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện a 6 4 và bán kính a 6 12 mặt cầu nội tiếp tứ diệ là - Các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau - Đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện bất kì là đoạn vuông góc chung của các đường thẳng chứa hai cạnh ấy a 2 2 - Khoảng cách giữa... * Tứ diện có ba trục đối xứng * Tổng các côsin của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1 3, Ví dụ 1, a, Cho tứ diện vuông OABC, vuông tại O Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, và CA Chứng tỏ O.MNP là một tứ diện gần đều b, Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh ACB’D’ là một tứ diện gần đều Giải a, Chứng minh O.MNP là tứ diện gần đều: Thật vậy: AB  OM = ... cạnh ấy a 2 2 - Khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bất kì bằng - Hình hộp ngoại tiếp tứ diện đều A.BCD cạnh a là hình lập phương có cạnh bằng a 2 2 3, Ví dụ 1, Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau b, Tính chiều cao, thể tích, bán kính hình cầu ngoại tiếp của tứ diện ấy Giải a, Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của... = AC − AD = BC − BD Từ (I) và (II) suy ra: MI = MJ ⇒ I = J Lúc đó:  CD ^ AI ⇒ CD ^ AB  CD ^ BI  Nếu như ta sử dụng (2) ta sẽ được BC để kết luận A.BCD là tứ diện trực tâm ^ AD Như vậy cũng đủ 4, Chứng minh một tứ diện là tứ diện trực tâm nếu và chỉ nếu các đường cao của nó đồng quy Giải Thuận: Cho A.BCD là tứ diện trực giao, AA’, BB’, CC’, DD’ là các đường cao của tứ diện Để chứng minh chúng đồng... trở nên đơn giản nếu xét hình chóp đã cho là hợp của hai tứ diện có bốn mặt vuông: SACD và SABC ^ ^ ^ Thật vậy do SA (ABCD) nên SA AD, SA AC Theo giả ^ thiết thì AD AB nên tứ diện có 4 mặt vuông Di CI=AD (I là trung điểm của AD tam giác ACB có trung tuyến CI = 0 1 ˆ = 90 AD ⇒ ACB 2 mặt vuông Từ đó suy ra S.ABC là tứ diện có 4 a, Suy từ các tứ diện SADC và SABC là những tứ diện với bốn mặt vuông ^