NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU(LÝ THUYẾT + BÀI TẬP)

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng. Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải tích hàm. Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính, lý thuyết biểu diễn,... Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm,..., đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quan trọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.

CHƯƠNG 1 : NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU

Dạng 1: Ánh xạ của dãy không hội tụ hoặc bị chặn tới dãy không hội tụ

1.i) Cho dãy vô hướng (a )n n∈¥ mà ∀(x )n n∈¥ ∈c0 thì(an x n)n∈¥ ∈c0 Chứng minh rằng:

2 i) Cho X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và n

sup B

∈ < ∞

¥

ii) Giả sử φ : 0,1 n [ ] → ¡ n ∈ ¥

là dãy các hàm liên tục Sử dụng (i) chứng minh rằng

điều kiện cần và đủ để với mỗi dãy f : 0,1 n [ ] → ¡ , n ∈ ¥

là liên tục, khi fn →0 đều

n n 0

v) Giả sử Y và Z là 2 không gian định chuẩn và n

3 Ý (i) của bài tập 2 có còn đúng không nếu ta có giả thuyết Y là không gian

Banach? Tức là nếu Y là không gian định chuẩn, Z là không gian định chuẩn và n

sup T

∈ < ∞

¥

hay không?

Dạng 3: Ánh xạ của dãy hội tụ theo chuẩn tới dãy không hội tụ theo chuẩn

4) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn vả

n n n

5.i) Giả sử X là không gian Banach và

n n 0

(x ) ≥ ⊆ X

Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương:

a) Nếu n

x → 0

thì chuỗi

* 0

n n n

n n

x

∞

=

∑

hội tụ tuyệt đối

ii) Giả sử X là không gian Banach, A ⊆ X là tập hợp con trù mật và

n n 0

(x ) ≥ ⊆ X

là dãy hàm tuyến tính liên tục bị chặn đều Dùng (i) chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương:

n n n

n n

x

∞

=

∑

hội tụ tuyệt đối

iii) Sử dụng (i) chứng minh rằng: nếu n n 0

∞

=

∑

là hội tụ tuyệt đối

iv) Có tồn tại dãy vô hướng n n 0

(c ) ≥

với tính chất dãy vô hướng 0

n n a

∞

=

∑ hội tụ nếu và chỉ nếu a cn n →0 không?

=

∑ hội tụ tuyệt đối

vii) Giả sử (a )n n 0≥ ⊆¡ là dãy có tính chất

n 0

/ 2 1

n n

viii) Giả sử (b )n n 0≥ ⊆¡ Sử dụng (i) để chứng minh rằng với bất kì dãy các vô hướng có chỉ số đôi nk n,k 0

(a ) ≥

mà

nk k

∞

=

∑ hội tụ tuyệt đối

Dạng 5: Ánh xạ của dãy không hội tụ theo chuẩn tới chuỗi hội tụ

6) Ý (i) của bài tập 5 có còn đúng không nếu hàm liên tục và tuyến tính được thay thế bằng tuyến tính và liên tục toán tử Tức là nếu X, Y là không gian Banach và n

V : X → Y,n 0 ≥

là dãy các tuyến tính và liên tục toán tử với tiêu chuẩn xn →0 Khi

đó, chuỗi

n 0

Dạng 6: Ánh xạ của dãy hội tụ tới chuỗi hội tụ

7i) Giả sử X, Y là hai không gian Banach vả

n

là dãy các tuyến tính

và liên tục toán tử Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương:

a)Đối với mỗi tiêu chuẩn hội tụ 0

n n x

∞

=

∑ thì chuỗi 0

( )

n n n

ii) Sử dụng (i) chứng minh rằng nếu X là không gian Banach và

n n 0

(x ) ≥ ⊆X

thì các khẳng định sau là tương đương:

a) Đối với mỗi tiêu chuẩn chuỗi hội tụ

iii) Sử dụng (ii) để chứng minh rằng: Nếu X là không gian Banach, A⊆ X

iv) Sử dụng (ii) chứng minh rằng nếu ( )xn n 0≥

là dãy các vô hướng thì khẳng định sau là tương đương:

a) Cho chuỗi vô hướng

n n=0

vi) Tìm giá trị số thực sao cho chuỗi vô hướng

n 0

11

Dạng 7: Ánh xạ của dãy hội tụ tới chuỗi hội tụ

8.Ý (ii) của bài tập 7 có còn đúng không nếu hàm liên tục và tuyến tính được thay thế bằng tuyến tính và liên tục toán tử Tức là nếu X, Y là không gian Banach và

n: ,n 0

T X →Y ≥

là dãy các tuyến tính và liên tục toán tử với tính chất: đối với mỗi

tiêu chuẩn hội tụ

có hội tụ tuyệt đối trong không gian L(X, Y) không?

Dạng 8: Ánh xạ của dãy hội tụ tới chuỗi bị chặn bởi tổng riêng

9i) Giả sử X là không gian Banach và

a)Với mỗi dãy n n 1

b) ( )an n∈¥ ∈l∞

Trong trường hợp khi ( )an n∈¥ ∈l∞

, chứng minh rằng toán tử U : l1→l∞n

10 Ý (i) của bài tập 9 còn đúng không nếu hàm tuyến tính và liên tục được thay thế bằng tuyến tính và liên tục toán tử? Tức là nếu X, Y là không gian Banach và

n: X Y,n 0

là một dãy của tuyến tính và liên tục toán tử với tính chất: cho

chuỗi hội tụ tuyệt đối

có là tiêu chuẩn bị chặn trong không gian L(X, Y) không?

Dạng 10: Chuỗi Weak Cauchy

11) Cho X là không gian định chuẩn, và ( )xn n∈¥ ⊆ X

với tính chất ( )

ii) Sử dụng (i) chứng minh rằng nếu ( )xn n∈¥

là dãy vô hướng thì khẳng định sau là tương đương:

a)( )xn n∈¥ ∈lq

b) Cho chuỗi ( )yn n∈¥ ∈l p

thì chuỗi 0

n n n

13) Ý (i) của bài tập 12 còn đúng không ta thay hàm tuyến tính và liên tục thành tuyến tính và liên tục toán tử? Tức là nếu

1 p< < ∞

, q là liên hợp của p X, Y là không gian Banach và T X n : →Y n, ∈¥

là dãy tuyến tính và liên tục toán tử với

tính chất: cho mỗi dãy 1

n n x

Dạng 12: Tích số Cauchy của dãy các hàm với dãy không hội tụ theo chuẩn

14i) Giả sử X là không gian Banach và

( )x n n N∈ ⊆ X

Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương:

n n x

n n

Ý (i) của bài tập 14 còn đúng không ta thay hàm tuyến tính và liên tục thành tuyến tính và liên tục toán tử? Tức là nếu X là không gian Banach, Y là không gian định

làkhả tích Reimann} là không gian tuyến tính

thực với 2 phép toán là phép nhân vô hướng và phép cộng Giả sử :1 ℜ[ ]0;1 →¡

đinh nghĩa bằng

1 1 0

= ∫ f x dx( )

và giả sử Ν ={ f ∈ℜ[ ]0;1 | f 1 =0}

thì trên không

cho cấu trúc của không

gian định chuẩn (cho f ∈ℜ[ ]0;1

a n

∞

=

∑

hội tụ

iii) Giả sử

( )a n n∈¥ ⊆ ¡

và x :*n ℜ: [ ]0;1 →¡

được định nghĩa bằng 1

*

0( )

iii) Nếu trên e 0n

p p

Dạng 15: Bổ đề Cantor trong không gian Banach

19) Giả sử X là không gian Banach và ( )x n n∈¥,(y )n n∈¥

là 2 dãy phần tử trong X Nếu x ncosnt y sinnt+ n →0

trong khoảng không suy biến thì x n →0

vày n →0trong tiêu chuẩn

Dạng 16: Định lý Banach – Steinhaus cho toán tử song tuyến tính

20i) Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn, một trong số đó là không gian Banach và Z là không gian định chuẩn

Xét toán tử song tuyến tính B X Y: × →Z

là liên tục Chứng minh rằng B cũng liên tục

ii) Giả sử X và Y là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn và xét toán tử song tuyến tính B X Y: × →Z

Nếu B X Y n: × →Z n, ∈¥

là dãy các song tuyến

tính và liên tục toán tử và B x y n( , )→ B x y( , ), ( , )∀ x y ∈ ×X Y

Chứng minh rằng B cũng liên tục

III Lời giải

2i) Cho không gian định chuẩn X, ta sẽ chứng tỏ e0(X)={ ( )x n n∈¥ ⊆ X x| n →0}

là không gian tuyến tính với phép toán thường và không gian định chuẩn với mối

quan hệ tiêu chuẩn

là không gian Banach Từ định lý tuyến tính và liên tục

Banaach – Steihaus nên h là tuyến tính và liên tục và do đó

cho tiêu chuẩn trên e Y0( )

Seihaus Nhưng đối với mỗi n∈¥

từ tiêu chuẩn toán tử có

Sử dụng phương pháp quy nạp ta được điều phải chứng minh

Quay lại bài tập của chúng ta Nếu cho phủ định

Điều đó là sai, từ giả thuyết

ban đầu của chúng ta thì ( ) , ,

Giả sử x n →0

là tiêu chuẩn thì chuỗi

( 1 )1

n

x x

∞ +

=

−

∑

là tiêu chuẩn hội tụ do đó bằng

giả thuyết (i) thì T x n( n+1−x n) →0

là tiêu chuẩn

Điều này cho thấy rằng dãy tuyến tính và liên tục toán tử h n : e ( )0 X →Y

có dạng ( 1 ) ( 1 2 ) 0

Nghiệm thứ hai: Nếu

n

+ +

nên điều đó là sai.

‘(i) => (ii)’ Dễ dàng nhận thấy từ chuỗi 1

n n x

( )

n n k

cũng là không gian Banach Bằng nguyên lý bị chặn

đều thì chuỗi ( )V n n≥0 là tiêu chuẩn bị chặn và do đó

* 0

n n x

n n n

không thể tìm được dãy (k )n n∈¥

của N sao cho

hội tụ, điều đó trái giả thiết

Do đó với k∈¥ sao cho

hội tụ cho nên e a n n→0

Sử dụng bài tập 4 để chứng minh chuỗi (e )n n≥0

bị chặn, tức là ∃ >M 0

sao cho 0

( ) 1 ( ) 1

*

0

11

n n n

Điều kiện đầu tiên của bài tập là ∀ →x0 0

trong không gian 0

e

nên chuỗi

( )

* 0

n n n

∞

=

∑

hội tụ tuyệt đối

6 Cho không gian Banach chung X và Y có câu trả lời: không cần thiết Giả sử (ii)

là không gian Hilbert chỉ số đôi, ( )a n n≥0 ⊆H \ 0{ }

được định nghĩa bằng n n n

V (x) = a x, b ∀ ∈x H

Chúng ta sẽ

chứng minh cho bất kì dãy bị chặn (x )n n 0≥ ⊆ H

cho bởi chuỗi

chuẩn hội tụ Thật vậy, cho

n, p 0 ≥

từ định lý Pythagoras và bất đẳng thức Cauchy – Buniakowski – Schwarz nên:

tụ, sử dụng tiêu chuẩn Cauchy và H là không gian Hilbert (do đó là không gian đầy

đủ) chúng ta suy ra tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi

a b

∞

=

∑

phải hội tụ Nhưng trong trường hợp

tổng quát thì nói chung là sai, như ví dụ chứng tỏ sau: lấy V l n: 2 →l2

Sử dụng tính chất tuyến tính cho toán tử T n

U x − x →

trong tiêu chuẩn, U x n( )−U x( )→0

trong tiêu chuẩn, từ

Do giả thuyết của ta,

1 0

‘(b) ⇒

(a)’ Giả sử bây giờ chuỗi

* * 1 0

là hoàn toàn hội tụ và từ đó X là một không gian Banach có chuỗi là

tiêu chuẩn hội tụ Cho nên chuỗi 0

n n

( )

n n n

( )

n n n

(a) Là hiển nhiên

iv) Xem [22, bài tập 7.1, 7.2, chương 7]

Trong trường hợp này ta có

1 1

1 =(1 2 ) 0

n n

8 Cho X là không gian Banach tổng quát và Y là câu trả lời: không cần thiết Giả

sử H là không gian Hilbert thứ nguyên vô tận, (a )n n≥0 ⊆H \ 0{ }

là hệ thống trực

giao với tính chất của chuỗi

2 0

n n

Trường hợp như vậy nói chung là sai, như ví dụ cho thấy sau: lấy V l n: 2 →l2

cũng là một không gian Banach đối với tiêu chuẩn

1 1

Nghĩa là

* 1

10 Câu trả lời là có Có thể áp dụng nghiệm và agumen trong bài tập 9, làm việc

với không gian Y thay cho K (cho

11 Giả sử

1: , ( ) ( ( ))n n N

T X →l T x = x x ∈

Bảo đảm giả thuyết

* 1( ) ,

q n n x

2 2

k k x

n n n

Thực vậy, nếu 0

n n

n n s

ε ε

của bài giải) Ngoài ra, nếu x= ( )x k k≥0∈e X0( )

n n x

, dựa vào giả thuyết ở

(a) cho nên

n n

n n x

Ta áp dụng (i), và kết quả thu được là

tương đương với chuỗi

* 0

n n x

∞

=

∑

là hội tụ tuyệt đối

15 Cho không gian Banach X và Y câu trả lời là: không nhất thiết Cho H là không

gian Hilbert vô hạn chiều thứ nguyên, và (a )n n≥0 ⊆H \ 0{ }

trực giao sao cho 2

n n a

n

, bằng kết quả cổ điển chứng minh lúc đầu của nghiệm cho bài tập 14 cho nên

không liên tục Tuy nhiên, ta có thể xấp

xỉ các hàm đặc trưng này bằng 1 dãy các hàm liên tục Giả sử f n: 0,1[ ] →K

được xác định bởi

0

0 if 0 1 /( 1 / ) if -1 /

* *

( )x n n N∈ ⊆ X

bị chặn điểm thì cho hàm hằng f = 1 dãy (x*n( )1 )n N∈ ⊆K

là bị chặn tức là ( (a c n n −b n))n N∈

bị chặn Ngược lại nếu ( (a c n n −b n))n N∈

bị chặn, sau đó cho bất kì

17 Rõ ràng

p

là nửa chuẩn trên R[ ]0,1

, do đó không gian thương

n n

∈

ii) Ta lấy 1

n k

k n k

q

k k

q q

Bây giờ ta tiếp tực như trong (ii)

v) Nếu ta lấy X = K, sau đó sử dụng (i)-(ii) có thể dẽ dàng xây dựng chuỗi hàm tuyến tính và liên tục trên e00

19 Đầu tiên, ta đưa ra một bằng chứng cho bổ đề Cantor trong trường hợp vô hướng Tức là, chúng tôi muốn chứng minh rằng nếu ( )a n n N∈ , (b )n n N∈

là hai dãy

vô hướng, và a ncosnt b+ nsinnt→0

không suy biến trên khoảng, khi đó a n →0

Lúc đó f X: → ¡

là một hàm tuyến tính mở rộng

của f ( f x( ) = f x( )∀ ∈x G

)⇒ f x( ) ≤p x( )∀ ∈x X

Định lý (Hahn-Banach;TH K =¡ hoặc£): cho X là một không gian tuyến tính G

3. i) Cho X là một không gian tuyến tính,n N∈ , :ϕ X →K

4. Cho X là một không gian định chuẩn Y ⊆X là một hàm tuyến tính.

ii) Chứng minh rằng f liên tục và duy nhất nếu x Y∉

iii) Chứng minh rằng { * * * *}

.Dạng 5: Định lý Hahn-Banach tách từ không gian định chuẩn

5 Cho X là một không gian định chuẩn, ( )x n n N∈ ⊆ X

n n x

*

e G∈:

thì ∃1 vô cùng lớn của Hahn-Banach mở rộng

ii) Chứng minh rằng với 1 p≤ ≤ ∞

Dạng 7: Ví dụ về tính duy nhất của Hahn-Banach mở rộng

10 Với bất kì hàm tuyến tính liên tục nào trên 0

12 Với H là không gian Hilbert ,G⊆Hlà một hàm tuyến tính đóng kín Với mỗi hàm tuyến tính liên tục trên G có duy nhất Hahn-Banach mở rộng trên H:

13.i) Cho H là một không gian Hilbert ,a H a∈ , ≠ 0,G= ∈{x H| ,( )x a = 0}

là tập hợp tất cả các tích n n× Tích của các điểm <A.B>=( )AB*

là một không gian Hilbert với

15 Cho X là một không gian định chuẩn ,G⊆X là không gian con tuyến tính,

16 Cho X là một không gian định chuẩn và

( )

, 2

−

∑

.Dạng 11: Giới hạn của không gian Banach

iv) Chứng minh rằng ta không thể tìm thấy một hàm phụ hay một phép nhân nào từ hàm

do đó từ bài 1(ii) chương IV ta có :x E E∈ −

a b

ξ = khi đó f có một Hahn-Banach

=

và do đó g là Hahn-Banach mở rộng từ f

n n

n n

nghĩa là

( )

* 1

, n n

và h x( ) =h( ) ( )λx =h t

trong đó ( ), 1

là tuyến tính và liên tục Từ H là không gian

Hilbert theo định lý phép chiếu trực giao (xem chương 11) ta phân tích

H G= ⊕G⊥

g x = x b = x b = x b = f x ∀ ∈x X

Nghĩa là g= f

Chú ý : Bài tập này cho thấy trong không gian Hilbert, vấn đề về tính toán hữu

hiệu cho Hanh Mở rộng Banach đòi hỏi tính toán của phép chiếu trực giao lên không gian tuyến tính con đóng (xem chương 11)

Từ đó suy ra Chúng ta có được và

Lúc đó , suy ra chúng ta cần tìm vô số của dãy

sao cho và giả sử xét dãy

Chú ý: Bài tập này cho thấy trong tình huống hợp lý, vấn đề về tìm hiểu dạng cho

mở rộng cho hàm tuyến tính và liên tục không khó khăn như thế Bài toán là rất lớn

và phức tạp khi chúng ta muốn tìm tiêu chuẩn - bảo tồn mở rộng

n

i i

Ta có được và do đó Giờ giả sử sao cho

Dễ thấy nếu và được định nghĩa bởi thì

Sử dụng tính chất cho nên

Suy ra điều phải chứng minh

Chú ý: Bài tập này không thể giải quyết được nếu không sử dụng công thức của

bài 7 Từ đó hình thành không gian đối ngẫu của chưa biết

18 Nếu thì khẳng định từ phát biểu là đúng Giờ giả sử Ta

Nghĩa là Cho ta có trong đó

4,5

/

n n

Giả sử sao cho Chọn sao cho

Lúc đó cho nên

Gọi ta có

i. Nếu ta có phương trình mà có nghiệm thực ,

ii. Nếu ta có phương trình mà có nghiệm thực

,1

n n

a a

20 Ta sẽ chứng minh Nếu thì là đúng với giả thuyết

≤+

≤+

≥+

Giả sử là Hanh-Banach mở rộng cho f Từ bài tập 16 ta có

.1

q q n n

M f

M f

1

1

p p

Nghĩa là gọi nếu thì phương trình có nghiệm thực

Giả sử là Hanh-Banach mở rộng cho f Sử dụng bài tập 16, ta có

cho nên là không gian con tuyến tính Lúc đó , ta

và bằng định nghĩa cho tiêu chuẩn trên

2

n n n

b b b

Nếu thì dãy là giảm Lúc đó thì dãy này là dãy bị

chặn, do đó và Mặt khác theo định nghĩa cho

tiêu chuẩn trên

Giả sử nên ta có

nghĩa là y=0, vậy trái giả sử, vậy lúc đó

tính chất tuyến tính của ta có điều cần chứng minh

yếu trong thì trong đó là phần tử từ căn cứ vào (i)

Nhưng cho bất kỳ thì dãy hội tụ về 1 và do đó

ta có trái với giả sử

iii) Gọi thì ta sử dụng câu d của (i) ta có

do đó sử dụng tính chất tuyến tính của LIM,

vì dãy

hội tụ Banach có giới hạn đúng với giới hạn thường Do đó Dùng 1

khái niệm có thể chứng minh rằng giới hạn Banach cho dãy tuần hoàn

PHÉP TRẢI CHO ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

I. Lý thuyết

Định nghĩa: Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn là không gian

topo tuyến tính A là tập hợp con được gọi là cơ bản nếu trù mật

trong X.

Định lý: Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn, không gian lồi địa

phương Hausdorff , và thì khẳng định sau đây là tương đương:

i. A là cơ bản.

ii. Cho bất kỳ với tính chất trên A cho nên trên X.

Định lý: Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn là không gian topo

tuyến tính A là tập hợp con là tập con khác rỗng sao cho Nếu

i. Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn là không gian topo tuyến tính sao cho A là tập mở và thì ta có thể tìm

và sao cho

ii. Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn là không gian topo

tuyến tính và là tập con khác rỗng sao cho thì ta có thể

Định lý: Giả sử X là không gian định chuẩn hoặc khái quát hơn, không gian lồi

địa phương Hausdorff , và là tập con khác rỗng sao cho tập này là

compact thì tập kia đóng Nếu thì A và B là ngặt tách khi đó ta cần tìm

1. Giả sử Chứng minh rằng là

không gian con tuyến tính trù mật

2. Giả sử là dãy các vô hướng sao cho và giả sử

Tìm điều kiện cần và đủ trên dãy của không gian con

không gian con tuyến tính trên khi đó là độ đo Lebesgue trên R