Chuyên đề tứ diện và hình hộp

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác m Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 co CHUYÊN ĐỀ oc uo c HÌNH TỨ DIỆN VÀ HÌNH HỘP HÀNH TRÌNH CỦA MƠ ƯỚC YD-K38 ĐẠI HỌC Y DƯỢC CẦN THƠ kh on gb NGÔ HOÀNG TOÀN Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 LỜI NÓI ĐẦU c co m Hình học không gian phân môn hay quan trọng toán học phổ thông Chúng thường xuất đề thi chọn học sinh giỏi cấp, Olympic khu vực có mặt đề thi đại học, cao đẳng năm gần Vì với mục đích nhằm bổ sung kiến thức ,chuyên sâu hình học không gian tổng hợp biên soạn chuyên đề nhỏ “Tứ diện, hình hộp vấn đề liên quan” Qua chuyên đề bạn thấy vẻ đẹp túy hình học không gian, phân loại hiểu nhiều loại tứ diện hình hộp để vận dụng vào giải toán đề thi Chuyên đề chọn lọc dạng toán hay nhiều đề thi Cao đẳng, Đại học oc uo Dù cố gắng nhiều tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý chia sẻ bạn qua email:Ngohoangtoan1994@gmail.com Xin cảm ơn chúc bạn thành công sống TP Cần Thơ, Ngày 20 tháng 09 năm 2012 kh on gb Ngô Hoàng Toàn Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Các định lí tính chất tam giác, tứ giác Xét ∆ABC có: BC = a; CA = b; AB = c; nửa chu vi p  co m MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÍ abc , c đường cao AH = h, gọi r, R bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp ∆ oc uo a b c    2R sin A sin B sin C cos A  b2  c2  a2 2bc a r=(p-a)tan gb c b =(p - b) tan = (p - c) tan kh on 1 abc a sin B sin C ah  pr  ab sin C   S= 2 4R sin A  R sin A sin B sin C  p  p  a  p  b  p  c   a 2b  ( a  b  c ) Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Nếu Â=90o ta có:  a2  b2  c2  ah  bc m  b 'c '  h c co  c  ac' , b  ab' 1    h b c oc uo Gọi ma, mb, mc, la, lb, lc đường trung tuyến phân giác ∆ABC b2  c2 a2 m   2 c a b2 mb   2 a b c2 mc   gb a on 4bc( p  a ) p (b  c ) 4ca lb2  p ( p  b) (c  a ) 4ab lc2  p ( p  c) ( a  b) kh l a2  Các công thức tính diện tích tứ giác Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Shv cạnh a a2 Diện tích HCN có hai cạnh a, b S = ab m Diện tích HBH có cạnh liên tiếp a, b, góc , đường cao vuông góc với cạnh b h S = ah = absin co Hình thoi có cạnh a, góc , hai đường chéo m, n S = a2 sin = mn c Hình thang có hai cạnh đáy a, b đường cao h S= h(a+b) oc uo Đa giác có bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p S=pr Tứ giác đơn ABCD có góc đường chéo AC BD  SABCD = AC.BD sin  Giả sử 2 tổng hai góc đối diện tứ giác ngoại tiếp, a, b, c, d cạnh nó, S diện tích S  abcd sin  p abcd p  p  a  p  b  p  b  p  d   abcd cos on S gb Diện tích tứ giác lồi ABCD BD kh Định lý Ceva hình học phẳng Gọi E, F, G ba điểm tương ứng nằm BC, CA, AB ∆ABC Lúc AE, BF, CG đồng quy khi: AG BE CF 1 GB EC FA Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Định lý Menelaus m Cho ∆ABC, đường thẳng (d) cắt đường BC, CA, AB P, Q, R Khi oc uo - Định lý Ceva: c Các định lí, tính chất không gian co BR AQ PC 1 AR QC BP Bên tứ diện ABCD, lấy tùy ý điểm S, mp (SCD), (SDA), (SCB) cắt AB, BC, CD, DA A’, B’, C’, D’ Lúc đó: A' A B' B C ' C D ' D 1 A' B' B' C C ' D D' A gb Và ngược lại gọi A’, B’, C’, D’ nằm AB, BC, CD, DA tứ diện ABCD Khi đó, 4mp (ABC’), (BCD’), (CDA’), (DAB’) có chung điểm S nếu: on A' A B' B C ' C D ' D 1 A' B' B' C C ' D D' A - Định lí Menelaus: kh Trên cạnh AB, BC, CA, DA tạo điểm A, B, C, D không gian, ta lấy điểm M, N, P, Q Điều kiện cần đủ để M, N, P, Q đồng phẳng là: MA NB PC QD 1 MB NC PD QA Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 - Định lí đường vuông góc OA đường xiên m HA hình chiếu vuông góc CA lên () co d() OA  d  HA  d c - Công thức diện tích: Diện tích hình chiếu: Nếu S diện tích hình phẳng S’ diện tích hình oc uo chiếu S,  góc mp chứa S S’ S’=Scos Các công thức tính thể tích: - Khối lăng trụ: Sxp= pl (p chu vi thiết diện thẳng, l cạnh bên) V= Sđáy.h (h chiều cao) dp (d trung đoạn) on Sxp= gb -Khối chóp: V= Sđáy h * Định lý Ta-let: kh Cho mp đôi song song chắn hai tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 3mp(P), (Q), (R) cắt a, b, A, B, C, A’, B’, C’ Ta có: AB BC CA   A' B ' B' C ' C ' A' Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 V A' B 'C ' SA'.SB'.SC '  V ABC SA.SB.SC kh on gb oc uo c co m Công thức tỉ số thể tích: Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 CHƯƠNG I: TỨ DIỆN VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Định nghĩa: Tứ diện hình gồm đỉnh không đồng phẳng, tất mặt tam giác m ab.d.sin, a, b độ dài cạnh đối, d  khoảng cách góc co hay V= 1 V  S ABC hs  S SBC hA 3 hai cạnh đối c Đặt AB = a; CD = b; d = MN Dựng hbh ABCC’ oc uo  = (AB,CD) Ta có: CC’//AB  C’CD= AC’// (BCD)  VABCD=VC’BCD AB // (CC’D)  VC’BCD = VMCC’D MN.SCC’D gb  VABCD = VMCC’D = on = dabsin - Trong tứ diện đoạn thẳng sau đồng quy điểm gọi trọng tâm kh tứ diện - đoạn nối đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện - đoạn nối trung điểm cạnh đối M, N, A’, B’ trung điểm, trọng tâm CD, AB, BCD, ACD Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 AA’ trọng tuyến GM=GN m GA=3GA’ co Chứng minh: Gọi I, J trọng điểm BC, AP IM=JN IN//MJ (đtb) mp (AID) chứa IJ  G(AMD).AG  PI = A’ oc uo Vẽ JK // AA’  JK=1/2 AA’; KA’=KD c  MNIJ=G Vì G trung điểm IJ  A’ trung điểm MK Từ suy A’M=1/3MD hay A’ trọng tâm ∆: JK  GA'  AA' GA' GB ' GC GD      AA' BB ' CC ' DD ' kh on gb GA'  Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 m 10) Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’ đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD =600.AA’=A’B=A’D cạnh bên hợp với đáy góc  a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A’ góc  Tính thể tích hình hộp c) Đặt    ABB' A', ( ABCD ) tính  biết      co b) Tính diện tích tứ giác ACC’A’,BDD’B’ a tan  sin(   ) sin(   ) cos  có oc uo V  c 11) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AB hợp với mp(A’D’CB) góc  BAC '   chứng minh thể tích hình hộp chữ nhật là: 12) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ,mặt A’B’CD hợp với đáy góc  ,hợp với AC góc  cách AB môt khoảng a a sin(   ) sin(   ) sin  cos  sin  gb Chứng minh thể tích hình hộp V  on 13) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB0), tìm GTLN thể tích hình hộp co 15) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ ,diện tích tứ giác ACC’A’,ABC’D’ BCD’A’ S1, S2, S3 Tính thể tích hình hộp c 16) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=h, góc (A’BD) (ABD)  BA' D   Gọi K hình chiếu A’ lên BD.Đặt KB = x, KD = y oc uo a)chứng minh xy  h cot g 2 x  y  h sin  tan  b)Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp theo h,  ,  17) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = b, AA’ = c, A' AD   , A' AB   , BAD   gb a) Tính thể tích hình hộp chữ nhật theo a,b,c,  ,  ,  b) Chứng tỏ điều kiện cần đủ để tồn điểm cách mặt hình hộp a b c   sin  sin  sin  on c) Điều kiện thỏa        , tính thể tích hình hộp theo a,b,c kh 18) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình vuông.Tìm GTLN góc hợp BD’ mặt phẳng (BDC’).Khi hình hộp có đặc biệt? 19) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ AB = a, AD = b, BAD   Đường chéo AC’ tạo với đáy góc  , giao điểm đường chéo hình hộp O Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 83 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 a) Tính thể tích hình hộp a) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AC DC’ co 20) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo a m b) Tính tổng T bình phương khoảng cách từ điểm M không gian đến đỉnh hình hộp theo a, b,  ,  ax = OM.Suy vị trí M để T bé c b) Gọi G trọng tâm tam giác A’C’D’.Mp(GAC) cắt hình lập phương theo hình gì? Tính diện tích hình c) Cho E di động cạnh AB.Tìm tập hợp hình chiếu A’ DE oc uo 21) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên AB, CC’, D’A’ lấy điểm M, N, P cho AM = CN = D’P = x (  x  a) a) Chứng minh tam giác MNP Tính diện tích tam giác MNP theo a,x Tìm GTNN diện tích b) Chứng minh mp(MNP) hợp với mặt hình lập phương góc không đổi x thay đổi gb c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP chuyển động đoạn thẳng cố định 22) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a on a) Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’) (BDC’).Xác định chân I, J đường vuông góc Chứng minh: A’I = ỊJ = JC kh b) Dựng tính đoạn vuông góc chung AB, B’C, AB A’C, A’C BC’ 23) Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, mặt bên có góc đáy  Chứng minh diện tích thiết diện qua cạnh bên đường cao hình chóp là: a2 sin(  30 ) sin(  30 ) cos  Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 84 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 m 24) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cân AB = AC = a Mặt (SBC) vuông góc với mặt (ABC) SA = AC = a a) Chứng minh tam giác SBC tam giác vuông co b) Cho SC = x.Tính thể tích hình chóp theo a x c 25) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.O giao điểm AC BD, M trung điểm D’C’ Tính tỉ số thể tích hai phần hình lập phương mặt phẳng (A’MO) cắt oc uo 26) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a gọi M N trung điểm cạnh AD,CD gọi P điểm cạnh BB’ có BP = 3PB’ a) Tính diện tích thiết diện mp(MNP) cắt hình lập phương b) Tính tỉ số thể tích phần hình lập phương thiết diện cắt gb 27) Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, chiều cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên ABB’A’ góc  Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ on 28) (Dự bị 04): Cho tứ diện S.ABC có SA = 3a SB  (ABC) Tam giác ABC có AB = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) kh 29) Cho tứ diện SABC có đáy tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA=2a Gọi M trung điểm SC CMR tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a 31) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện B, A' C , D Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 85 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 m 32) Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với góc hệ tọa độ ,B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0,b>0) Gọi M trung điểm cạnh CC’ a) Tính thể tích tứ diện BDA’M theo a b a để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b co b) Xác định tỷ số oc uo c 33) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) 34) Cho hình tứ diện ABCD có cannh AD vuông góc với mặt phẳng (ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (ACD) 35) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm BC DD’ gb a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (A’BD) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng BD MN 36) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c on a) Tìm tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện b) Chứng minh bốn mặt tứ diện tam giác có góc nhọn kh 37) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Điểm M, O trung điểm A’D’ BD a) Tính khảng cách đường thẳng MO AC’ b) Tìm góc hai mặt phẳng (MAO) (DCC’D’) Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 86 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 m 38) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhât co 39) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M Tính diện tích tam giác AMB theo a c 40) Cho tứ diện ABCD có AD vuông với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a; AC = b; AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh 2S  abc(a  b  c ) oc uo 41) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB OC đôi vuông góc Gọi  ;  ;  góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC); (OCA) (OAB) Chứng minh : cos  cos   cos   kh on gb 42) Cho hình tứ diện ABCD, cạnh a  2cm Hãy xác định tính độ dài đoạn vuông góc chung đường thẳng AD BC Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 87 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1:Các giảng luyện thi đại học môn toán-Phan Đức Chính chủ biên m 2:Giải toán hình học 11-Phan Thành Minh chủ biên kh on gb oc uo c co 3:Trang mạng www.google.com Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 88 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 89 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 PHỤ LUC m MỘT VÀI LOẠI TỨ DIỆN KHÁC Tứ diện có tích độ dài hai cạnh đối Cho tứ diện ABCD Các tính chất sau tương đương: co Ví dụ 1: oc uo c a) Các đường nối đỉnh với tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đồng quy; b) Tứ diện ABCD thỏa mãn : AB.CD  AC.BD  AD.BC ; c) Các phân giác hai mặt tứ diện có chung cạnh hai chân đường phân giác hạ xuống cạnh chung trùng Giải Chứng minh theo sơ đồ a)=>b)=.>c)=>a) Kí hiệu A1 , B1 , C1 , D1 tâm vòng tròn nội tiếp mặt ( BCD ), ( ACD ), ( ABD), ( ABC ) tứ diện ABCD on  MC AC  MD  AD   MC  BC  MD BD gb a)=>b) Do đường nối đỉnh tâm vòng tròn nội tiếp đồng quy nên AA1 , BB1 xác định mặt phẳng Mặt phẳng cắt CD M Khi BM , AM đường phân giác ta có: Từ AC BC  hay AC.BD  AD.BC AD BD kh Lập luận tương tự cho đường phân giác khác suy tích độ dài cặp cạnh đối b)=>c) Tức AB.CD  AC.BD  AD.BC phân giác hai mặt đối diện vẽ cạnh chung có chân trùng nhau; Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 90 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Thật vậy, AC.BD  AD.BC => NC BC  ( 2) : ND BD m đường phân giác AC MC  (1) Giả sử BA1 cắt CD N Theo tính chất AD MD AC BC MC NC  nhận  Hai điểm M, N chia cạch AD BD MD ND CD theo tỉ lệ nên M  N Lập luận tương tự cho cặp đường phận giác khác vẽ co So sánh (1),(2) cạnh chung c c)=>a) Từ điều kiện c) suy hai đường nối đỉnh tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện cắt Rõ ràng đường nối đỉnh tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện đôi cắt chúng không đồng phẳng nên phải đồng quy oc uo 2.Tứ diện có bốn mặt tam giác vuông Nhân xét : Không thể xếp bốn tam giác vuông để tạo hình tứ diện “hình vẽ” để đỉnh tứ diện có góc phẳng vuông lúc đó, AB  AD  DC  BC  AB vô lý Cũng đỉnh có ba góc phẳng vuông, theo tính chất tứ diện vuông, mặt đối diện đỉnh chọn tam giác nhọn gb Như đỉnh chẳng hạn A có BAˆ C  BAˆ D  90 DAˆ C  90 Việc chọn góc vuông mặt ACD C D Khi DC  AC DC  AB nên DC  ( ABC ) Từ suy DC  BC on Như dạng tứ diện có bốn mặt vuông tứ diện có mặt tam giác vuông hình chiếu đỉnh thứ tư trùng với đỉnh góc nhọn tam giác vuông chọn Ví dụ 2: kh Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O có đường kính AE cố định Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) lấy điểm S cố định , M điểm di động đường tròn (O) b) Chứng minh tứ diện SABM có bốn mặt vuông c) Chứng minh hình chiếu điểm A lên SM thuộc mặt phẳng cố định Giải: Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 91 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Chứng minh tam giác SDC, SCB vuông Lấy E trung điểm SB Dựng giao điểm F mặt phẳng (ADE) với cạnh c a) b) SC c) co m a) M thuộc đường tròn đường kính AB nên AMˆ B  90 Do BM thuộc mặt phẳng (P) (P)  SA nên BM  (SAM ) , suy BM  SM Như bốn mặt tứ diện SABM tam giác vuông b) Vẽ AH  HM Do BM  (SAM ) nên BM  AH Vậy AH  (SMB ) AH  HB Giả sử AK  SB, K  H Từ suy SB  ( AKH ) Mặt phẳng (AKH) qua A cố định vuông góc với SB cố định nên (AHK) cố định, chứa điểm H Như mặt phẳng qua A vuông góc với SB cắt SM H AH  (SBM ) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vuông, vuông A D, độ dài AB hai lần độ dài CD, CD  AD, SA  ( ABCD), SA  AB Chứng minh ( SDC )  ( SAD), ( SBC )  ( ADE ), AF  ( SBC ) ; oc uo d) Tính góc tạo (ADE) (ABCD) e) Cho AB  a Tính diện tích thiết diện AEFD Nhận xét : Việc giải trở nên đơn giản xét hình chóp cho hợp hai tứ diện có bốn mặt vuông: SACD SABC Thật SA  ( ABCD) nên SA  AD, SA  AC Theo giả thiết AD  AB nên SADC tứ diện có bốn mặt vuông Do CI  AD ( I trung điểm AB (h.25)) Tam giác ACB Giải Suy từ tứ diện SADC SABC tứ diện với bốn mặt vuông Do AD  (SAB ) , suy DA  SB Tam giác SAB cân , AE trung tuyến AE  SB từ SB  ( ADE ) EF đường thẳng giao tuyến (ADE) (SBC) nên EF qua giao điểm K BC AD c) Do DC  (SAD) , suy (SDC) chứa DC phải vuông góc với mặt phẳng (SAD) d) Ta có AE  AD, AB  AD => góc (ADE) (ABCD) góc EAˆ B  450 e) Vẽ FH // AE , AE  AD  FH  AD Trong tam giác AKB có KAˆ B  900 , ABˆ K  450 , suy tam giác AKB vuông cân : AB  AK  AS Từ đó, tam giác SKB đường cao SC, KE , đồng thời kh on a) b) AD nên ACˆ B  900 Từ SACB tứ diện có bốn mặt vuông gb có trung tuyến CI đường trung tuyến chúng KF  Vì FH // AE nên theo định KE lí Talét : Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 92 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 a Dễ thấy DK  DA  S AEK  co a2 kh on gb oc uo c S EFD  S AEK  S KDF  a2 a2 1 AK AE  ;.S KDF  DK HF  12 m KF FH a   ; AE  KE AE a  FH  Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 93 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 co m MỤC LỤC Lời nói đầu c Các định lý tính chất oc uo Chương I Tứ diện vấn đề liên quan ………………………………………9 - Các vấn đề chung ………………………………………………………… 11 - Tứ diện vuông 31 - Tứ diện trực giao ( tứ diện vuông) .38 Tứ diện 46 Tứ diện gần 58 Chương II Các dạng hình hộp 64 gb - Các loại hình hộp 65 Chương III:Tứ diện nội tiếp hình hộp 75 on Chương IV Ôn tập: Bài tập tổng hợp ………………………………………… 80 Tài liệu tham khảo:……………………………………………………………… 89 kh Phụ lục: Một vài loại tứ diện khác ……………………………………………… 91 Mục lục: .95 Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 94 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 95 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác kh on gb oc uo c co m Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Con đường dẫn đến thành công luyện thân Page 96 [...]...    2 TỨ DIỆN VUÔNG kh Tứ diện vuông OABC là tứ diện có ba mặt OAB,OBC,OCA là ba tam giác vuông Trong tứ diện vuông góc tam diện một đỉnh là 3 góc vuông ( OA, OB, OC đôi một vuông góc) V 1 OA.OB.OC 6 Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 30 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Ngô Hoàng Toàn YD-K38 2012 Cho tứ diện OABC là tứ diện vuông... Bài 3: SABC là một hình chóp tam giác đều với cạnh đáy AB = a, đường cao SH = h 1 Tính theo a và h các bán kính r, R của hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình chóp 2 Giả sử a cố định và h thay đổi Xác định h để oc uo 1 Tính R : c Giải r lớn nhất R Tâm O hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC nằm trên SH ( trục của đường tròn ngoại tiếp ABC và trên đường trung trực của SA vẽ trong mp(SAH ) Tứ giác AHOJ nội... CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ DIỆN m Cũng như trong hình học phẳng muốn khảo sát một bài toán phức tạp về đa giác ta cần nắm vững các bài toán cơ bản về tam giác Trong hình không gian cũng vậy, muốn khảo sát bài toán phức tạp về khối đa diện ta cần nắm vững các bài toán cơ bản về tứ diện co 1 CÁC VẤN ĐỀ CHUNG Trong phần này ta sẽ gặp các bài toán trong một tứ diện tổng quát các vấn đề chung của hình học không... thiên : 3 3 1  xảy ra khi a= 1 24 8 gb Cuối cùng ta thử xem có tồn tại một tứ diện như trên không Chọn tứ diện ABCD như sau: Tam giác BCD đều cạnh a = 1 và tam giác ACD đều cạnh a = 1 on Và ( BCD )  ( ACD ) Ta có: kh 1 3 3 1 V  3 4 2 8 2  3  3 AB  AH  HB  2 AH  2  2  2  2  AB  2 2 2 3 1 2 Tứ diện ABCD thỏa đề bài Con đường dẫn đến thành công là sự tôi luyện của bản thân Page 21 Truy... cạnh đối của tứ diện vuông vuông góc với nhau co * Nghịch đảo của bình phương độ dài đường cao tứ diện bằng tổng các nghịch đảo bình phương các cạnh bên của tứ diện * Tổng bình phương cos các góc tạo bởi đường cao của tứ diện và các cạnh bên bằng 1 c * Tổng bình phương cos các góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt phẳng đáy bằng 1 Gọi  ,  ,  là các góc hợp bởi giữa mặt phẳng đáy ( ABC ) và các mặt phẳng... 2012 1 a 6 r  nếu và chỉ nếu x =3a  h  3  R  max 3 m Vậy   co Bài 4: Trong một tứ diện chỉ có một cạnh có độ dài lớn hơn 1 chứng minh rằng thể tích tứ diện ấy không vượt quá 1/8 Giải V  1/ 8 oc uo Vẽ đường cao AE trong tam giác ABC và đường cao BF trong tam giác BCD khác c Cho tứ diện ABCD có AB>1 còn các cạnh nhỏ hơn hay bằng 1 Ta sẽ chứng minh Gọi AH là đường cao của tứ diện vẽ từ A CD = a...  Tứ diện ABCD và APQR có cùng đường cao và S BCD   V ABCD  S PQR 4 V A PQR 4 *  AP  AR 2  AQ 2  2 a 2  b 2  c 2  gb 2  1 thay * vào 1 ta có : AQ 2   2a  2b  b  a  Vậy VP.AQR  2a2  b2  c2 a2  c2  b2 b2  c2  a2  AR 2  2 a 2  b 2  c 2 2  c2 2  c2 kh on AP 2 2 2 Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a và SA   ABC  Gọi M và. .. YD-K38 2012 Gọi V là thể tích tứ diện ABCD; h A , hB , hC , hD là các chiều cao của tứ diện xuất phát từ A,B,C,D; h' A , h'B , h'C , h' D là các chiều cao xuất phát từ G trong bốn tứ diện nhỏ m GBCD,GCDA,GDAB,GABC Ta có : VGBCD h' A GA' 1 1     VGBCD  V V hA AA' 4 4 co Tương tự cho 3 tư diện nhỏ còn lại Tóm lại: c 1 VGBCD  VGCDA  VGDAB  VGABC  V 4 oc uo Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi A1 , B1 , C1... 14: Cho tứ diện S.ABC có hai mặt bên SAB  và SAC  vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc  và tạo với mpSAD  góc  b) Chứng minh: SB 2  SA 2  AD 2  BD 2 c) Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp Giải: SAB    ABC  SAC    ABC  Mà SAB   SAC   SA  SA   ABC   hình chiếu SB trên  ABC  là AB gb a) Theo đề ta có:... dụ 1: Cho tứ diện ABCD oc uo 1 Chứng minh các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối thì đồng quy tại điểm G gọi là trọng tâm tứ diện 2.Chứng minh các tứ diện GBCD,GCDA,GDAB,GABC có cùng thể tích Giải 1 Chứng minh AA’,BB’,CC’,DD’ đồng quy ( với A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm các mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC)) gb Gọi I là trung điểm của CD Trọng tâm B’ của ACD thuộc AI Ta có : AA’ và BB’ cùng