Tổ hợp và nhị thức newton

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b1 , b2 , , bn } ❱➟② |A ∪ B| = m + n = |A| + |B|✳ ✭✯✮ Ai ❧➔ t➟♣ ♠➔ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❧➔ ✶ ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ð ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ t❤ù i (i = 1, 2, , k)✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ Ai ✤ỉ✐ ♠ët rí✐ ♥❤❛✉✱ tù❝ ❧➔ Ai ∩ Aj = ∅✱ ∀i = j (i = 1, 2, , k; j = 1, 2, , k) ✈➔ |Ai | = ni ✳ ❑❤✐ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ✭✯✮ (n − 1) ❧➛♥ t❛ ❝â ❑➼ ❤✐➺✉ |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + |Ak | ❤❛② m Ai = |A1 | + |A2 | + |Ak | = n1 + n2 + + nk i=1 ✸ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ ❱➼ ❞ö ữỡ ợ õ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú ✈➔ ✷✺ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠✳ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝û ✶ ❜↕♥ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ✤✐ ❞ü ✤↕✐ ❤ë✐ ✤♦➔♥ tr÷í♥❣✳ ❍ä✐ t❤➛② ❣✐→♦ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ s➩ ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ ❝→❝❤ ❝❤å♥❄ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✶ ❜↕♥ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠ ❤♦➦❝ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú✳ ✰ ❈❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥ú tr♦♥❣ ✷✵ ❜↕♥ ♥ú ❝â ✷✵ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ✰ ❍♦➦❝ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ♥❛♠ tr♦♥❣ ✷✺ ❜↕♥ ♥❛♠ ❝â ✷✺ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ t❤➻ ❝â 20 + 25 = 45 ❝→❝❤ ❝❤å♥ ✶ ✤♦➔♥ ✈✐➯♥ ❝õ❛ ❧ỵ♣ ✶✶❆ ✤✐ ❞ü ✤↕✐ ❤ë✐ ✤♦➔♥ tr÷í♥❣✳ ❱➼ ❞ư ✷✳ ❚➟♣ ❤đ♣ A ❝â ❜❛♦ ♥❤✐➯✉ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥❄ ❇✐➳t A = {a, b, c}✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ✣➸ ✤➳♠ sè t➟♣ ❤đ♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A t❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ ❝❤✐❛ t❤❡♦ sè ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ❝♦♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ✹ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✵✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ t➟♣ ré♥❣✱ t❛ ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✶✱ t❛ ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝â ✶ ♣❤➛♥ tû ❧➔✿ A1 = {a} , A2 = {b} , A3 = {c} ✳ ✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✷✱ t❛ ❝â ✸ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝â ✷ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ A ❧➔✿ A1 = {a, b} , A2 = {b, c} , A3 = {a, c} ✳ ✰ ❙è ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♥ ❧➔ ✸✱ t❛ ❝â ✶ ❝→❝❤ ❝❤å♥✳ ❑❤✐ ✤â t➟♣ ❝♦♥ ✤â ❧➔ A1 = {a, b, c}✳ ❱➟② t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❝ë♥❣ sè t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ A ❧➔ ✶✰✸✰✸✰✶❂✽ ✭t➟♣ ❝♦♥✮✳ ✶✳✶✳✷ ◗✉② t➢❝ ♥❤➙♥✳ ◆➳✉ ♠ët ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜ð✐ ✶ ❝â n1 ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✷ ❝â n2 k ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱✳✳✳✱ ❝ỉ♥❣ ✤♦↕♥ nk ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✱❝ỉ♥❣ ✤♦↕♥ s❛✉ ♣❤ư t❤✉ë❝ ✈➔♦ n1 n2 nk ❝→❝❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ①♦♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❝æ♥❣ ✈✐➺❝✳ ❝â ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ ✱ ❝æ♥❣ ✤♦↕♥ k ❝æ♥❣ trữợ t õ ự A B t ❝â |A × B| = |A| |B|✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû |A| = m, |B| = n ✈➔ A = {a1 , a2 , , am } , B = {b1 , b2 , , bn } rữợ t t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ◆❣ỉ ❚❤à ❑❤❛♥❤ ✹ ❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ −1 ≤ x ≤ ❉♦ ❉♦ ✤â t❛ s✉② r❛ ⇒ ♥➯♥ ●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥ (1 − x), (1 + x) ≥ 0✳ 2n ≥ Cn0 (1 − x)n + Cnn (1 + x)n ✣✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➼ ❞ö ✶✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ (x1 + y1 )n + (x2 + y2 )n ≥ (x1 + y2 )n + (x2 + y1 )n ❱ỵ✐ x1 ≥ x2 ≥ 0✱ y1 ≥ y2 ≥ 0✱ n ∈ N✳ ▲í✐❣✐↔✐✳ ❱➻  x1 ≥ x2 ≥  y ≥ y2 ≥ ⇒  m m  x1 ≥ x2 (m ∈ N)  y1k ≥ y2k (k ∈ N) m k m k m k k ⇔ xm y1 + x2 y2 ≥ x1 y2 + x2 y1 ✳ ❈❤å♥ m k k ⇒ (xm − x2 ) y1 − y2 ≥ m = n − k, ≤ k ≤ n✳ ✭✶✮ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â n−k k k (1) ⇔ x1n−k y1k + x2n−k y2k ≥ xn−k y2 + x2 y1 n−k k k ⇒ Cnk x1n−k y1k + x2n−k y2k ≥ Cnk xn−k y2 + x2 y1 ✳ ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✮✱ ❝❤♦ k = 0, 1, 2, , n ✭✷✮ t❛ ✤÷đ❝ n+1 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✿ Cn0 (xn1 + xn2 ) ≥ Cn0 (xn1 + xn2 ) n−1 Cn1 x1n−1 y1 + x2n−1 y2 ≥ Cn1 xn−1 y2 + x2 y1 Cnn−1 x1 y1n−1 + x2 y2n−1 ≥ Cnn−1 x1 y2n−1 + x2 y1n−1 Cnn (y1n + y2n ) ≥ Cnn (y2n + y1n )✳ ❈ë♥❣ ✈➳ ✈ỵ✐ ✈➳ ❝õ❛ ❝→❝ t tự tr rỗ tự t t❛ ✤÷đ❝ (x1 + y1 )n +(x2 + y2 )n ≥ (x1 + y2 )n +(x2 + y1 )n ✳ ✭✣✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✮✳ ◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤ ✺✸ ❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ ●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ①➨t ✶ ✈➔✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇✲ t♦♥ ❝â ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ sè ♣❤ù❝ ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❝→❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✳ ❙❛✉ ✤➙② s➩ ❧➔ ♠ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ö✳ ❱➼ ❞ö ợ số ữỡ ự ❤➺ t❤ù❝ s❛✉ − Cn2 + Cn4 − ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❳➨t sè ♣❤ù❝ z = + i✳ n z n = (1 + i)n = 2 + Cn1 − Cn3 + Cn5 ❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ t❛ ❝â Cnk ik = − Cn2 + Cn4 − + Cn1 − Cn3 + Cn5 i✳ k=0 ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉ ❝æ♥❣ t❤ù❝ |u| = u = a + bi √ t❤➻ ♠ỉ ✤✉♥ ❝õ❛ sè ♣❤ù❝ u ✤÷đ❝ t➼♥❤ ❜➡♥❣ a2 + b ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ✤➙② t❛ ❝â |z n | = (1 − Cn2 + Cn4 − )2 + (Cn1 − Cn3 + Cn5 )2 ✳✭✶✮ ▼➦t ❦❤→❝ |z n | = |z|n = ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛ √ 1+1 n = 2n ✳ − Cn2 + Cn4 − ✭✷✮ + Cn1 − Cn3 + Cn5 = 2n ✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➼ ❞ư ✶✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n✱ t❛ ❝â cosnα = cosn α−Cn2 cosn−2 α.sin2 α+Cn4 cosn−4 α.sin4 α−Cn6 cosn−6 α.sin6 α+ ✳ sinnα = Cn1 cosn−1 α.sinα − Cn3 cosn−3 α.sin3 α + Cn5 cosn−5 α.sin5 α − ✳ ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❚❤❡♦ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ▼♦✐✈r❡ t❛ ❝â (cosα + i.sinα)n = cosnα + i.sinnα✳ ✭✶✮ ▼➦t ❦❤→❝✱ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ t❛ ❝â n n Cnk cosn−k (i.sinα)k (cosα + i.sinα) = k=0 ◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤ ✺✹ ❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ ú ỵ i2 = ữỡ ▲✉②➳♥ tø ✤â t❛ ✤✐ ✤➳♥ (cosα + i.sinα)n = cosn α − Cn2 cosn−2 α.sin2 α + Cn4 cosn−4 α.sin4 α − Cn6 cosn−6 α.sin6 α + + i Cn1 cosn−1 α.sinα − Cn3 cosn−3 α.sin3 α + Cn5 cosn−5 α.sin5 α − ✳ ✭✷✮ ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛  n n−2 n−4  cosnα = cos α − Cn cos α.sin α + Cn cos α.sin α −  sinnα = Cn1 cosn−1 α.sinα − Cn3 cosn−3 α.sin3 α + Cn5 cosn−5 α.sin5 α − ❚ø ✤â t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➼ ❞ö ✶✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè  nπ n  + = cos + C − 3C C  n n   n  2n nπ   √ sin Cn − 3Cn + Cn − = 3 ▲í✐ ❣✐↔✐✳ ❳➨t sè ♣❤ù❝ n ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣✱ t❛ ❝â ❝→❝ ❤➺ t❤ù❝ ✳ √ π π i = cos + i.sin ✳ z= + 2 3 ❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼♦✐✈r❡ t❤➻ π π z n = cos + i.sin 3 n = cos nπ nπ + i.sin ✳ 3 ✭✶✮ ❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ t❛ ❝â n z = = √ + i 2 n n ◆❣æ ❚❤à ❑❤❛♥❤ Cnk n n = Cnk k=0 √ k n−k √ i k ik k=0 ✺✺ ❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✤↕✐ ❤å❝ = n ●❱❍❉✿ ❚❤❙✳ ❉÷ì♥❣ ❚❤à ▲✉②➳♥ √ Cn0 − 3Cn2 + 32 Cn4 − + Cn1 − 3Cn3 + 32 Cn5 − i  nπ  Cn0 − 3Cn2 + 32 Cn4 + = 2n cos    ❚ø ✭✶✮ ✈➔ ✭✷✮ s✉② r❛  2n nπ   Cn − 3Cn + Cn − = √ sin 3 ✳ ✭✷✮ ✳ ✣â ❧➔ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆❤➟♥ ①➨t✳ ◆➳✉ ❦❤ỉ♥❣ sû ❞ư♥❣ sè ♣❤ù❝✱ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ❤➺ t❤ù❝ tr➯♥ q✉↔ ❦❤ỉ♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❝❤ót ♥➔♦✳ ◆❣ỉ ❚❤à ❑❤❛♥❤ ✺✻ ❑✹✶❇ ❚♦→♥ ✣❍❙P❍◆ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✸ ●✐↔✐ ♥❤❛♥❤ ♠ët sè ❜➔✐ t➟♣ tr➢❝ ♥❣❤✐➺♠ ✤↕✐ sè tê ❤ñ♣ ❜➡♥❣ ♠→② t➼♥❤ ❝➛♠ t❛② ❍✐➺♥ ♥❛② ❤å❝ s✐♥❤ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤✐ t ữợ tự tr ❝↔ ❝✉ë❝ t❤✐ tr✉♥❣ ❤å❝ ♣❤ê t❤æ♥❣ ◗✉è❝ ❣✐❛✳ ▼é✐ t ỗ ọ tr tớ ❣✐❛♥ ❧↕✐ ❝â ❤↕♥✱ ②➯✉ ❝➛✉ ❤å❝ s✐♥❤ ♣❤↔✐ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜➔✐ t❤✐ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ♥❤❛♥❤ ✈➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝ ♥❤➜t✱ ✤➸ ✤→♣ ù♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ t❤✐✳ ❉♦ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ✤↕✐ sè tê ❤đ♣✱ ✤➸ ❣✐↔♠ ❜ỵt ❦❤â ❦❤➠♥✱ s❛✐ sât tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➼♥❤ t♦→♥ ✈➔ ♥❤❛♥❤ ❝❤â♥❣ ✤÷❛ r❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✈ỵ✐ 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