Chuyên đề đại số tổ hợp và nhị thức Newton- đầy đủ lý thuyết và dạng toán – Xuctu.com

-Đối với bài toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước.. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:.[r]

Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… Chuyên đề : ĐẠI SỐ TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON A.Lý thuyết: 1.Quy tắc cộng ,quy tắc nhân 2.Hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp -Số hoán vị: Pn  n !  n.(n  1).(n  2) 2.1 , Đk: n  N ; n  -Số chỉnh hợp: Ank  n!  n.(n  1).(n  2) 2.1 (k thừa số) (n  k )! Đk: n,k  N ,1  k  n -Số tổ hợp: Cnk  n! đk: n,k  N ,  k  n k !(n  k )! -Giai thừa: n !  n.(n  1).(n  2) 2.1 đk: n  N ; n  3.Một số công thức liên hệ: Ann  Pn  n ! , Cnk  Cnn k , Ank  Cnk k ! , Cnk1  Cnk11  Cnk 4.Công thức nhị thức Niu Tơn: a.Khai triển: (a  b)n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  2b   Cnk a n k b k   Cnnb b.Tính chất: -Trong khai triển có n+1 số hạng -Số hạng tổng quát thứ k+1 Tk 1  Cnk a n k b k -Khai triển đặc biệt: (1  1)n  2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn (1  1)n  0n  Cn0  Cn1  Cn2   (1)n Cnn B.Bài tập: Dạng 1:Lớp toán chọn Lưu ý: -Quan tâm đến điều kiện chữ số có khác hay khơng -Đối với tập số có xuất số cần lưu ý chọn chữ số đầu -Đối với tốn u cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước Bài 1:Cho số :1,2,3,4,5,6 Có thể lập số tự nhiên thoả mãn đk: a.Có chữ số Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… b.Có chữ số khác c Có chữ số khác chẵn Hướng dẫn giải a.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 a5 Chọn a1 từ tập số cho có cách chọn, ứng với cách chọnđó có cách chọn a2.Tương tự có cách chọn a3,a4,a5,a6 Theo quy tắc nhân có :56 số thoả mãn yêu cầu b.Số chữ số cần tìm số hốn vị phần tử :P6=6!=720(số) c.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 -Chọn a4 chẵn có cách chọn -Số cách chọn số lại là: A35  5.4.3  60 -Theo quy tắc nhân có: 3.60=180 Bài 2:Cho số :0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập số tự nhiên thoả mãn đk: a.Có chữ số khác b.Có chữ số khác nhau,chẵn c Có chữ số khác chẵn thiết có mặt số d.Có chữ số thoả mãn số có mặt lần số khác có mặt lần Hướng dẫn giải a.Số chữ số cần tìm là: A46  2160 (số) b.Giả sử số cần tìm có dạng: a1a2 a3a4 -TH1: a4 số số số cần tìm là: A63  120 (số) -TH2:a4 chẵn khác 0: có cách chọn Chọn a1khác có cách chọn, chọn a2,a3 có A26 cách chọn Vậy có tất 3.5 A26 =450 (số) Theo quy tắc cộng có tất cả:120+450=570(số) Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… c.Theo phần a có 2160 số có chữ số khác (gồm loại: có số khơng có số 3).trong số khơng có mặt chữ số là: A54  600 (số) Vậy số có chữ số khác có mặt số là:2160-600=1560(số) d.Vì số có mặt lần nên ta viết lại tập số dạng:0,1a1b2,3,4,5,6 Lập số có 8chữ số khác từ tập số có:7.P7=35280(số) Trong số số 1a,1b trùng nên số bị lặp lại lần số số cần tìm là:35280:2=17640 (số) Bài 3: Từ số 1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng số Hướng dẫn giải Số chữ số cần tìm A45  120 (số) Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp cho tổng cặp 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với số có ! số tương ứng Vậy tổng số là:6666.60=399960 Bài 4: Từ số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác nhau.Tính tổng số Hướng dẫn giải -Số số cần tìm : A63  720 (số) -Tính tổng :pp cộng cột +Hàng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A52 lần.Vậy tổng hàng đơn vị (1+2+3+4+5+6) A52 =21 A52 =105.20=2100 + Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000 +Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt A63 lần Vậy tổng hàng nghìn 21 A63 10000=2520000 Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100 Bài 5:Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7}.Có thể lập số tự nhiên: Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề tốn miễn phí+… a)Có chữ số? b) Có chữ số khác nhau? c)Chẵn có chữ số khác nhau? d)Lẻ có chữ số? e)Lẻ có chữ số chứa số 0? g)Chẵn có chữ số khác khơng có mặt chữ số và1? Hướng dẫn giải a)Số cần tìm là:7.8.8.8= b)Số cần tìm 7.7.6.5= c) Gọi số cần tìm abc *TH1:c=0 Có cách chọn c Có cách chọn a Có cách chọn b Theo QTN có 1.7.6=42 cách *TH2:c  Có cách chọn c Có cách chọn a Có cách chọn b Theo QTN có 3.6.6=108 cách Vậy theo quy tắc cộng có 42+108=150 cách d)Số cần tìm có dạng abcde với e  1;3;5;7 ,a  1; 2;3; 4;5;6;7 ,c,b,d 0;1; 2;3; 4;5; 6;7 Có cách chọn e Có cách chọn a Có cách chọn b Có cách chọn c Có cách chọn d.Vậy có 4.7.8.8.8=14336 cách e)Lẻ có chữ số 14336 Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… ` lẻ có chữ số khơng chứa số có dạng abcde  1; 2;3; 4;5;6;7 Chọn e có cách,các số cịn lại có 7.7.7 cách Vậy có 4.7.7.7.7=9604 cách Vậy có 14336-9604=4732 Bài 6: Trên giá sách có 10 sách tiếng Việt khác nhau,8 sách tiếng Anh khác ,6 sách tiếng Pháp khác nhau.Hỏi có cách chọn: a)Một sách? b)Ba sách tiếng khác nhau? c)Hai sách tiếng khác nhau? Hướng dẫn giải a)Theo quy tắc cộng có 10+8+6=24 cách b)Theo quy tắc nhân có 10.8.6=480 cách c)Th1: Chọn sách TV sách TA có 10.8=80 cách Th2: Chọn sách TV sách TP có 10.6=60 cách Th3: Chọn sách TP sách TA có 6.8=48 cách Theo QTC có 80+60+48=188 cách chọn hai sách tiếng khác nhau.Có số tự nhiên có tính chất: a)Là số chẵn có chữ số ? b)Là số lẻ có chữ số ? c) Là số chẵn có chữ số khác ? d) Là số lẻ có chữ số khác nhau? Hướng dẫn giải a)Có 45 cách b)Có 45 cách c)Th1:b=0 có cách chọn b, có cách chọn a.Vậy có 1.9=9 cách Th2: b  có cách chọn b,có cách chọn a.Vậy có 4.8=48 cách Theo QTC có 9+48=51 cách Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành toàn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… d)Số lẻ có chữ số khác ab b có cách chọn ,a có cách chọn Vậy có 5.8-40 cách chọn Bài 7: Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tính số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc để phát biểu ý kiến cho: a)Hai người đố vợ chồng? b)Hai người khơng vợ chồng? Hướng dẫn giải a)Chọn người đàn ơng có 10 cách ,chọn người đàn bà vợ người đàn ông có cách.Vậy có 1.10=10 cách b)Chọn người đàn ơng có 10 cách ,chọn người đàn bà khơng vợ người đàn ơng có cách.Vậy có 10.9=90 cách Dạng 2: Cơng thức nhị thức Niu Tơn Bài 1: Cho đa thức P(x)=1+x)9+(1+x)10+…+(1+x)14 ,Có dạng khai triển là: P(x)=a0+a1x+a2x2+…+a14x14.Hãy tính hệ số a19 Hướng dẫn giải Ta có (1+9)9= C90  C91 x  C92 x   C99 x9 có hệ số x9 C99 Tương tự khai triển (1+x)10 có hệ số x9 C109 (1+x)11 có hệ số x9 C119 (1+x)12 có hệ số x9 C129 (1+x)13 có hệ số x9 C139 (1+x)14 có hệ số x9 C149 Vậy a9= C99  C109  C119  C129  C139  C149 =1+10+55+220+715+2002=3003 Bài 2: Đa thức P(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3+…+20(1+x)20,được viết dạng là: P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a20x20.Hãy tính hệ số a19 Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành toàn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… Hướng dẫn giải Ta có:15(1+x)15=15(1+ C151 x  C152 x  C153 x3   C1515 x15 ) 16(1+x)16=16(1+ C161 x  C162 x  C163 x3   C1616 x16 ) 3 x  C202 x  C20 x   C2020 x 20 ) 20(1+x)20=20 (1+ C20 Vậy a15= 15  16C161  17C172  18C183  19C194  20C205 =400995 Bài 3: Khai triển P(x)= (1+x)12 +(1+x)13+…+(1+x)17.Hãy tìm hệ số số hạng chứa x8 Hướng dẫn giải Ta có: (1+x)12 có hệ số x8 C124 (1+x)13 có hệ số x8 C135 (1+x)14 có hệ số x8 C146 (1+x)15 có hệ số x8 C157 (1+x)16 có hệ số x8 C168 (1+x)17 có hệ số x8 C179 Do khai triển tổng S ,ta có hệ số số hạng x8 : C124  C135  C146  C157  C168  C179  72710 12 x 3 Bài 4:Trong khai triển    ,hãy tìm hệ số số hạng chứa x4 3 x Hướng dẫn giải x 12 3 Trong khai triển    ,ta có số hạng thứ (k+1) với  k  12 là: 3 x 12  k T( k 1) x C   3 k 12 k 3k k k 3 (1)    12 k C12k  1 x  k   1 312 k C12k x12 k x k Do số hạng thứ (k+1) chứa x4 phảicó: x12 k  x  12  2k   k  Nếu số hạng chứa x4là số hạng thứ ,ta có T  34 C124 x  1.12!  5x 81.4!.8! Vậy hệ số số hạng chứa x4là   Bài 5: Hãy tìm khai triển nhị thức  x3  18 1  số hạng độc lập với x x3  Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… Hướng dẫn giải 18 1    Giả sử khai triển nhị thức  x3   x số hạng thứ (k+1) với  k  18 k 1   C18k x546 k  x   là: T( k 1)  C18k ( x )18 k  Nếu T( k 1) khơng chứa (độc lập x) ta có:54-6k=0  k=9 Vậy khai triển nhị thức cho,số hạng độc lập x số hạng thứ 10,nên ta có:T10= C189 12 1  Bài 6: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển niu Tơn  x   x  Hướng dẫn giải 12 1 1  Khai triển  x    C120 x12  C121 x11   C12k x12 k k  x x x  Số hạng thứ (k+1) khai triển đố là: C12k x12 k  C12k x12 k k x Số hạng không phụ thuộc x khi: 12-2k=0  k=6 Vậy số hạng thứ khai triển khơng phụ thuộc vào x có giá trị là: C126  924 n Bài 7:   a.Xác định hệ số thứ ,thứ hai , thứ khai triển  x3   x   b.Cho biết tổng hệ số nói 11.Tìm hệ số x2 Hướng dẫn giải a.Ta có Cn0  1, Cn1  n, Cn2  b.Theo giả thiết  n  n(n  1) n(n  1)  11  n  n  20   n    Hạng tử thứ k+1 khai triển là: C ( x )   x  k n Cho 5k-2n=2  k  k nk  Cnk x 5k  n 2n  2.4   Vậy hệ số x2 C62  5 Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… m   Bài 8: Tìm giá trị số thực x cho khai triển  x  x1  tổng   hạng tử thứ ba thứ năm 135 tổng hệ số ba hạng tử cuối 22 Hướng dẫn giải Ta có Cmm  Cmm1  Cmm  m(m  1)  m   22 2 4  x   1 x   x   1 x  C  2   2   C64  2   2   135         x 22 x x 1 x x  30.2  60.2  30.2 x  135  m   15.2  4.2 x  2.2 x   2(2 x )2  9.22    x  1  x  Dạng 3: CM đẳng thức tổ hợp *CM nhờ khai triển Niu Tơn Bài 1:Chứng minh rằng: 1 1 3n Cn0   Cn1  Cn2   (1) k k Cnk   (1) n n Cnn  n 3 3 Hướng dẫn giải n 1 1  1 Ta có : 1    Cn0   Cn1  Cn2   (1)k k Cnk   (1) n n Cnn  2n 3 3  3 n n  1 2 Suy : 1    3n    2n  3 3 n 1 1 Vậy : 3n Cn0   Cn1  Cn2   (1)k k Cnk   (1) n n Cnn  n 3 3 Bài 2:Tính biểu thức a A  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn b B  Cn1  Cn2 Cn3 Cnp Cnnn 1   n    p Cn Cn1 Cn2 Cnn1 Hướng dẫn giải a.áp dụng nhị thức Niu tơn: (1+x)n= Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề tốn miễn phí+… Cho x=1 ta có: 2n= Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  A b Ta có : Cn1  n, Cn2 n! (n  1)!   n 1 Cn 2!(n  2)! n ! Cn3 n! 2!(n  2)!   n2 Cn 3!(n  3)! n! … p Cnp n! ( p  1)!(n  p  1)!  p  n  p 1 p 1 Cn p !(n  p )! n! n Cnn (n  1)!  n 1 n 1 Cn n! Do B=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= n(n  1) Bài 3: Chứng minh rằng: (Cn0 )2  (Cn1 )  (Cn2 )   (Cnn )2  C2nn Hướng dẫn giải Ta viết khai triển: (1+x)2n=(1+x)n.(1+x)n (1  x) n (1  x) n  ( Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n )( Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n    Cnn ) Hệ số xn (1  x)2 n C2nn Do C2nn  (Cn0 )2  (Cn1 )2  (Cn2 )   (Cnn ) Bài 4: Chứng minh Cn0  6Cn1  62 Cn2   6n Cnn  n Hướng dẫn giải Ta có: (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n Cho x=6 ta có : Cn0  6Cn1  62 Cn2   6n Cnn  n Bài 5: Chứng minh rằng: 4n Cn0  4n 1 Cn1  4n  Cn2   ( 1) n Cnn  Cn0  2Cn1  2 Cn2   2n Cnn Hướng dẫn giải Ta có: (2n  1) n  Cn0 (2 x) n  Cn1 (2 x) n1  Cn2 (2 x)n    (1) n Cnn Mua sách tham khảo Toán- Phát hành toàn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… Cho x=2 ta có : 3n  n 4n Cn0  4n 1 Cn1  4n  Cn2   (1)n Cnn (1) Ta lại có : (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n Cho x=2 ta có: 3n  Cn0  2Cn1  2Cn2   2n Cnn (2) Từ (1) và(2) ta có : 4n Cn0  4n 1 Cn1  4n Cn2   (1) n Cnn  Cn0  2Cn1  22 Cn2   2n Cnn 2.Chứng minh nhờ công thức: Cnk  Cnk1  Cnk11 Bài 1:Cho k n số tự nhiên cho  k  n CMR: Cnk  4Cnk 1  6Cnk   4Cnk 3  Cnk   Cnk Hướng dẫn giải Ta có cơng thức : Cnp  Cnp 1  Cnp1 Do VT= (Cnk  Cnk 1 )  3(Cnk 1  Cnk  )  3(Cnk   Cnk 3 )  Cnk 3  Cnk  = Cnk 41  3Cnk11  3Cnk12  Cnk13 = (Cnk1  Cnk11 )  2(Cnk11  Cnk12 )  (Cnk12  Cnk13 ) = (Cnk  2Cnk21 )  Cnk22  (Cnk1  Cnk21 )  (Cnk21  Cnk22 ) = Cnk3  Cnk31  Cnk (dpcm) Bài 2: Cho k n số tự nhiên cho  k  n Chứng minh rằng: Cnk  3Cnk 1  3Cnk   Cnk 3  Cnk3 Hướng dẫn giải Cmk  Cmk 1  Cmk 11 Do đó: Cnk3  Cnk  Cnk11 = (Cnk1  Cnk11 )  (Cnk11  Cnk12 ) = Cnk1  2Cnk11  Cnk12 = Cnk  Cnk 1  2(Cnk 1  Cnk  )  Cnk   Cnk 3 Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… = Cnk  3Cnk 1  3Cnk   Cnk 3 (đpcm) Chứng minh nhờ công thức đạo hàm Bài 1:Chứng minh đẳng thức : n 4n 1 Cn0  (n  1)4n  Cn1  (n  2)4n3 Cn2   (1)n 1 Cnn 1  Cn1  4Cn1   n2n1 Cnn Hướng dẫn giải Ta có : (2n  1) n  Cn0 (2 x) n  Cn1 (2 x) n1  Cn2 (2 x)n    (1) n Cnn Lấy đạo hàm hai vế ta có: 2n(2 x  1) n 1  2nCn0 (2 x) n 1  2( n  1)Cn1 (2 x) n    2(n  2)Cn2 (2 x) n 3   ( 1) n 1 Cnn 1 Cho x=2 ta có: n3n 1 = n 4n 1 Cn0  (n  1)4n  Cn1  (n  2)4n 3 Cn2   (1) n1 2Cnn 1 (1) Ta có: (1 x)n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n ,lấy đạo hàm hai vế có: n (1 x)n1  Cn0  Cn1  2Cn2 x   nCnn x n 1 Cho x=2 ta có: n3n1  Cn1  2Cn2   n n1 Cnn (2) So sánh (1) (2) ta có : n 4n 1 Cn0  (n  1)4n  Cn1  (n  2)4 n 3 Cn2   (1) n 1 Cnn 1  Cn1  4Cn1   n 2n 1 Cnn Bài 2: Tính A  Cn1  2Cn2  33n  4Cn4   (1) n 1 nCnn Hướng dẫn giải Ta có: (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3  Cn4 x  (1)n Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta có:  n(1  x)n 1  Cn1 Cn2 x  3Cn3 x  4Cn4 x3   (1) n Cnn x n 1 Cho x = ta có: = Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   (1) n nCnn Vậy A = Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   (1) n 1 nCnn Bài 3: Tính S  C22n C24n  C26n   C22nn Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… Hướng dẫn giải Ta có: (1  x)2 n  C20n  C21n x C22n x C23n x3   C22nn x n Cho x = , ta có: 22 n  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn (1) Ta có: (1  x )2 n  C20n  C21n x  C22n x  C23n x3   C22nn x n Cho x = ta có: 22 n  C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn (2) Cộng (1) (2) ta có: C20n  C22n  C24n   C22nn   2 n  C20n  C22n  C24n  C22nn  22 n 1  C22  C24n   C22nn  22 n 1  Bài 4: Chứng minh nCn0  (n  1)Cn1   Cnn 1  n2n 1 Hướng dẫn giải (1  x) n   C1x x  Cn2 x   Cnn x n Ta có: Lấy đạo hàm vế ta có: n(1  x) n 1  Cn1  2Cn2 x   nx n 1Cnn Chọn x = 1, ta được: n 2n 1 Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n 2n 1  Cnn 1  2Cnn  3Cnn 3  nCnn Cnk  Cnn k Vậy: nC Cn0 _  (n  1)Cn1   2Cnn   Cnn1  n2n1 Bài 5: Chứng minh n(n  1)2n 2  n(n  1)Cn0  (n  1)(n  2)Cn1   2Cnn 2 Hướng dẫn giải Ta có: (1  x) n   Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x Lấy đạo hàm theo x, lần thứ ta có: n(n  1)(1  x)n 2  2Cn2  3.2 xCn3   n(n  1) x n 2Cnn Chọn x = 1, ta được: n(n  1)2n  2Cn2  3.2Cn3   n(n  1)Cnn Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+…  2Cnn   3.2Cnn 3   n(n  1)Cn0 Cnk  Cnn  k Vậy: n(n  1)2n 2  n(n  1)Cn0  (n  1)(n  2)Cn1   3.2Cnn 3  2Cnn 2 4/ Chứng minh nhờ tích phân Bài 1: Chứng minh Cn0  Cn1 C2 Ck Cn n1   n   n  n  11 1 1 k 1 n n 1 Hướng dẫn giải Ta tính tích phân:  (2  x) n dx Đặt: u = + x => du = dx x  u   x   u    Đổi cận: Vậy:  (1  x) n dx    u n 1  n 1  u du     n 1  n  1 n Mặt khác ta có: (1  x)  Cn0  Cn1 x Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n Lấy tích phân vế ta có:  1 1 0 0 (1  x)n dx  Cn0  dx  Cn1  xdx Cn2  x dx   Cnn  x n dx = Cn0 x 10 Cn1 = Cn0  n 1 x2 x n x  C   C n n 2 n 1 Cn1 C2 Cn 2n 1   n   n  11 1 1 n n 1 Bài 2: Chứng minh Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   (1) Cnn  n 1 n 1 Hướng dẫn giải Ta tính tích phân:  1 (1  x) n dx Đặt: u = +x => du = dx x  u   x  1  u    Đổi cận: 1 0 Vậy:   u n du    u n du  u 1  n 1 n 1 (1) Mua sách tham khảo Toán- Phát hành toàn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… Ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n  1 1 1 1 1 0 0 (1  x) n dx  Cn0  dx  Cn1  xdx Cn2  x dx   Cnn  x n dx Vậy  (1  x)n dx = Cn0 x Cn1 = Cn0  Cn1  Cn2   x2 1 Cn2 x3 x n 1   Cnn n 1 (1) n 1 n Cn n 1 (2) Bài 3: a) Tính tích phân I   x(1  x n )n dx 1 1 (1)n n Cn  Cn  Cn   Cn  2(n  1) 2(n  1) b) Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải a) Ta có: 1 I =  x(1  x )n dx   1 (1  22 ) n1 1 n (1  x ) d (1  x )     20 (n  1) 2(n  1) (1) b) Theo khai triển Newton ta có: (1  x) n  Cn0  Cn1 x Cn2 x  Cn3 x3   Cnn x n  (1  x )n  Cn0 Cn1 ( x ) Cn2 ( x )2   Cnn ( x )n  x(1  x )n  xCn0  x 3Cn1  x 5Cn2   (1) n   x(1  x n )dx  x n 1 n Cn 2n  1 1 x n1 n x Cn   (1) n Cn 2n  (2) So sánh (1) (2) ta có: 1 1 (1)n n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn 2(n  1) 2(n  1) Bài 4: a) Tính tích phân: I   x (1  x )n dx b) Chứng minh rằng: 1 n 1 n 1  (1)n  2Cn0  22 Cn1  Cn2   (1)n Cn  n 1 n 1 Hướng dẫn giải Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chuyên đề toán miễn phí+… a) Ta có: : I   (1  x)dx Đặt: u = - x => du = -dx Đổi cận:  (1  x) x  u   x  1  u    n n dx    u du   u n du  0 1 1 1 u n1   1  (1)n 1   1  (1)n   n 1 n 1 n 1 b) Theo khai triển Newton ta có: (1  x)n  Cn0  Cn1 x Cn2 x  Cn3 x  Cn4 x  (1)n Cnn x n Lấy tích phân vế:  (1  x) n n dx  C 2 n 2 n n n n n  dx  C  xdx   x dxC  (1) C  x dx 0 0 2 1 (1) n n n 1  2Cn0  Cn1  x   Cn2  x    Cn  x  0 n 1 1 (1)2 n 1 n 2Cn0  22 Cn1  22 Cn2   Cn n 1 So sánh (1) (2) ta có: 1 n 1 n 1  (1)n  2Cn0  22 Cn1  Cn2   (1)n Cn  n 1 n 1 Bài 5: a) Tính tích phân: I   x(1  x)19 dx b) Chứng minh rằng: 1 1 1 S  C190  C19  C19  C1918  C1919 20 21 Hướng dẫn giải a) Ta có: : I   x(1  x)19 dx Đặt: u = -1 - x => -dt = -dx => x = - t Đổi cận: x  t   x  1   t    Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 (1) Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… 1 1  t 20 t 21  n n 19 19 19 20 (1  x ) dx   u du  I  x (1  x ) dx   (1  t ) t (  dt )  ( t  t ) dt      0 0 0 1 0  20 21  420 b) Theo nhị thức Newton ta có: x(1  x)19  x(C190  C191 x C192 x   C1918 x18  C1919 x19 C190 x  C191 x  C192 x3   C1918 x19  C1919 x 20 1  x2 x 21  1 1 19 1 x   x(1  x) dx  C190  C19   C1919   C19  C19   C19  21  21 420  19 Hết TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://goo.gl/FajWu1 Xem thêm nhiều sách tại: http://xuctu.com/ Hổ trợ giải đáp: sach.toan.online@gmail.com Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 Xuctu.com | Tài liệu- Sách- Video- Chun đề tốn miễn phí+… Xem video giới thiệu sách tính tại: https://www.youtube.com/watch?v=GHVgooBcnMg Xem trước tất sách tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/ Mua sách tham khảo Tốn- Phát hành tồn quốc tại: 0918.972.605 ... chữ số khác (gồm loại: có số khơng có số 3).trong số khơng có mặt chữ số là: A54  600 (số) Vậy số có chữ số khác có mặt số là:2160-600=1560 (số) d.Vì số có mặt lần nên ta viết lại tập số dạng: 0,1a1b2,3,4,5,6... Lập số có 8chữ số khác từ tập số có:7.P7=35280 (số) Trong số số 1a,1b trùng nên số bị lặp lại lần số số cần tìm là:35280:2=17640 (số) Bài 3: Từ số 1,2,3,4,5.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác... nhau.Tính tổng số Hướng dẫn giải Số chữ số cần tìm A45  120 (số) Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp cho tổng cặp 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với số có ! số tương ứng Vậy tổng