Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 19 Năm 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2018-2019 SỞ THÁI BÌNH Câu 1.1 Cho hàm số thẳng (với d y= 2x + ( C ) đường thẳng x−1 cắt đồ thị ( C) d hai điểm phân biệt có phương trình: A, B y = x + m Tìm m cho diện tích tam giác OAB O gốc tọa độ) Lời giải + Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x ≠ x ≠ 2x + ⇔ ⇔ = 2x + m x + = x − x + m ( ) ( ) g ( x ) = x + ( m − ) x − ( m + 1) = x−1 + Đường thẳng d cắt đồ thị ( C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác ∆ = ( m − ) + ( m + 1) > ∆ = m + 24 > ∀ m ∈ ¡ ⇔ ⇔ g ( 1) = − ≠ g ( 1) = − ≠ ⇔ m2 + 24 > ( ∀ m ∈ ¡ + Gọi ) A ( x1;2 x1 + m ) ; B ( x2 ;2 x2 + m ) Khi x1 , x2 hai nghiệm phương trình m−4 x1 + x2 = − x x = − m + Theo định lý Vi-et ta có 2 + Ta có d : y = 2x + m ⇔ 2x − y + m = Mặt khác ta có: d ( O, d ) = m g ( x) = để đường Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 AB = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) 2 + Khi SOAB = SOAB 2 ( m + 24 ) m − m + 16 m + − x1 x2 = + ÷= 2 1 m ( m + 24 ) m m + 24 = d ( O, d ) AB = = 2 5 ⇔ m m + 24 = ⇔ m + 24m − 25 = ⇔ ( m2 − 1) ( m + 25) = ⇔ m = ±1 Vậy m = ± giá trị cần tìm ( ) ( ) Câu 1.2 Cho hàm số y = x + m + x + 8m − x + 8m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu có điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ hai, điểm thuộc góc phần tư thứ tư hệ trục tọa độ Oxy Lời giải Cách 1: Ta có y′ = 3x + ( m + 1) x + 8m − Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt 4+ m > ⇔ 4− ∆ ′ > ⇔ ( m + 1) − ( 8m − 3) > m < ( 1) Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình: y= (9 − 4m2 + 16m − 13) x + 92 ( − 8m2 + 31m − 24 ) − ( m + 1) x1 + x2 = x x = 8m − điểm cực trị đồ thị hàm số Ta có: Gọi ( x1; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) y1 = (9 − 4m2 + 16m − 13) x1 + 92 ( − 8m2 + 31m − 24 ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 y2 = (9 − 4m2 + 16m − 13) x2 + 92 ( − 8m2 + 31m − 24 ) ( ) ( ) Hàm số y = x + m + x + 8m − x + 8m − có hệ số a = > nên không xãy trường hợp đồ thị hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ nhất, điểm thuộc góc phần tư thứ ba hệ trục tọa độ Oxy Để điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ hai, điểm cực trị đồ thị x1.x2 < hàm số thuộc góc phần tư thứ tư hệ trục tọa độ Oxy y1 y2 < Với x2 x2 < ⇔ m < Với y1 y2 < ( 2) ⇔ ( −4m2 + 16m − 13) x1 + ( −8m + 31m − 24 ) ( −4m + 16m − 13) x2 + ( −8m + 31m − 24 ) < ⇔ ( −4m2 + 16m − 13) x1 x2 + ( −8m + 31m − 24 ) ( −8m2 + 31m − 24 ) ( x1 + x2 ) + ( −8m + 31m − 24 ) < 2 m > ⇔ − m + 4m − < ⇔ m < ( 3) Từ ( 1) ( 2) ( 3) suy m< thỏa đề Cách 2:Yêu cầu toán tương đương với hàm số có hai điểm cực trị trái dấu đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt + Ta có y′ = 3x + ( m + 1) x + 8m − , ⇔ ( 8m − 3) < ⇔ m < hàm số có hai điểm cực trị trái dấu + Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt ⇔ nghiệm phân biệt x3 + ( m + 1) x + ( 8m − 3) x + 8m − = 0(1) có x = −2 ⇔ Phương trình (1) ⇔ ( x + ) x + 2mx + 4m − = x + 2mx + 4m − = 0(2) ( ) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ∆ ′ = m − 4m + > ⇔ ⇔ ( − ) − 4m + 4m − ≠ m > m < ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 m > m < m < ⇔ m< Vậy 8 log 2018 ( − cos x ) Câu 1.3 Tính x →0 x2 lim Lời giải Ta có log 2018 ( − cos x ) log 2018 eln ( 2− cos x ) lim = lim x →0 x→ x2 x2 ln ( + 2sin x ) sin x = 2log 2018 e.lim ÷ x→ x 2sin x = 2log 2018 e 5π π sin − 3x ÷ − 16 = − 15sin + x ÷ Câu 2.1 Giải phương trình: 4 Lời giải Tác giả:; Fb: Đặt t= π π + x⇔ x= t− 4 Phương trình cho trở thành: 5π π sin − t − ÷ + 15sin t − 16 = 4 ⇔ − sin3t + 15sin t − 16 = ⇔ 4sin t + 12sin t − 16 = ⇔ ( sin t − 1) ( sin t + sin t + ) = ⇔ sin t = ⇔ t= π + k 2π Do ta có: x= π + k 2π , k ∈ ¢ Vậy nghiệm phương trình là: x= π + k 2π , k ∈ ¢ Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Câu 2.2 Cho A tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số thuộc tập suất để số chọn chia hết cho 13 có chữ số tận A Tính xác Lời giải Tác giả: Duyên Vũ; Fb: Duyên Vũ Cách Ω = 9.105 Số phần tử không gian mẫu là: Gọi B biến cố số chọn chia hết cho 13 có chữ số tận chữ số chia hết cho 13 là: 100009 , số lớn có Ta nhận thấy rằng: Số nhỏ có số chia hết cho 13 là: 999999 Ta có 100009 + 13 = 100022 , số có chữ số nhỏ chia hết cho 13 có tận số 100022 Nhận thấy hai số tự nhiên có chữ số chia hết cho 13 có chữ số tận hiệu chúng chia hết cho 13 có chữ số tận Số nhỏ ( lớn ) có chữ số tận Điều chứng tỏ tất số có chữ số chia hết cho 13 có chữ số tận u1 = 100022 , công sai d = 130 Công thức số hạng tổng quát dãy là: un = u1 + (n − 1)d Vì số cần tìm số có chữ số không vượt 100022 + ( n − 1) 130 ≤ 999999 ⇔ n ≤ 999999 nên ta có: 69230 = 6923,9 10 n số tự nhiên nên số hạng lớn dãy ứng với n = 6923 Vậy số phần tử biến cố Xác suất biến cố B là: B B = 6923 P ( B) = B 6923 = Ω 900000 Cách Số phần tử không gian mẫu là: chia hết cho 13 130 thành cấp số cộng có số hạng đầu Vì chữ Ω = 9.105 lập Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 19 Năm 2019 Gọi số chia hết cho 13 có chữ số tận Ta có Gọi k a1a2 a3a4 a5 a1a2a3a4a5 = 10.a1a2a3a4a5 + số dư phép chia Khi a1a2 a3a4a5 cho 13 ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) a1a2 a3a4a5 = 10.a1a2a3a4a5 + 2M13 ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) nên ta có: 10k + 2M13 ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) Do tồn số tự nhiên t cho 10k + = 13t ⇔ t = 10k + ∈ ¥ ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) , 13 Ta có bảng: k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k = 10 k = 11 k = 12 10k + 2 = ∉¥ 13 13 10k + 12 = ∉¥ 13 13 10k + 22 = ∉¥ 13 13 10k + 32 = ∉¥ 13 13 10k + 42 = = 4∈ ¥ 13 13 10k + 52 = ∉¥ 13 13 10k + 62 = ∉¥ 13 13 10k + 72 = ∉¥ 13 13 10k + 82 = ∉¥ 13 13 10k + 92 = ∉¥ 13 13 10k + 102 = ∉¥ 13 13 10k + 112 = ∉¥ 13 13 10k + 122 = ∉¥ 13 13 Loại Loại Loại Loại Thỏa mãn Loại Loại Loại Loại Loại Loại Loại Loại Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Từ bảng ta có k = số dư phép chia a1a2 a3a4a5 cho 13 Như vậy, tồn số tự 10000 − 99999 − ≤ t ≤ nhiên t để a1a2 a3a4 a5 = 13t + Vì 10000 ≤ a1a2a3a4a5 ≤ 99999 nên 13 13 , 9996 99995 ≈ 768,923 ≤ t ≤ ≈ 7691,923 hay 13 13 ⇒ 769 ≤ t ≤ 7691, t ∈ ¥ Gọi B biến cố số chọn chia hết cho 13 có chữ số tận Khi số phần tử biến cố Xác suất biến cố Câu B là: B P ( B) = B = 7691 − 769 + = 6923 B Ω = 6923 900000 Giải hệ phương trình y ( x + ) + x = + y ( 1) 2 2 + x − x + + x − x + 12 = y x − x + + x − x + 12 + ( ) ( ) Lời giải ĐK: x > −2 Ta thấy với Với y ≤ phương trình ( 1) vơ nghiệm y > ta có ( 1) ⇔ y ( x + 5) + x = + y ⇔ ( x + 5) + x = + y3 y 3 1 3 ⇔ ( x + 2) + x + + x = + ⇔ + x + + x = ÷ + y y y y 1 ⇔ = + x ⇔ y2 = ( 3) (vì hàm số f ( t ) = t + 3t có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀ t ∈ ( 0; +∞ ) ) y 2+ x ( Thế ( 3) vào ( 2) ta có + x − x + + x − x + 12 = ( ) ( x − x + + x − x + 12 + 2+ x ) ) ⇔ ( + x ) + x − x + + x − x + 12 = x − x + + x − x + 12 + Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 ⇔ ( + x ) x − x + + ( + x ) x − x + 12 − x − x + − x − x + 12 + x − = ⇔ ( x − ) x − x + + ( x − ) x − x + 12 + x − x + − x − x + 12 + ( x − ) = 4x − ⇔ ( x − ) x − x + + ( x − ) x − x + 12 + x − x + + x − x + 12 2 + ( x − 2) = ⇔ ( x − ) x − x + + x − x + 12 + + 2÷= x − x + + x − x + 12 x = ⇔ x − x + + x − x + 12 + + = ( PTVN ) x − x + + x − x + 12 y= Với x = ta có (thỏa điều kiện đề bài) 1 2; ÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu [0H3-1.6-3] Trong mặt phẳng tọa độ BC , N điểm thuộc cạnh CD x − y + = Tìm tọa độ điểm A Oxy , cho hình vng ABCD , M ( 1;0 ) trung điểm cạnh CN = ND , đường thẳng AN có phương trình cho biết A có hồnh độ dương Lời giải Tác giả: Phạm Sơn; Fb: Phạm Sơn + Ta có: · tan NAD = ND MB · = tan MAB = = AD , AB · · tan NAD + tan MAB · · ⇒ tan NAD + MAB = =1 · · = 45° ⇒ NAM · · tan MAB · ⇒ NAD + MAB = 45° − tan NAD ( + Đường thẳng ) AM qua M ( 1;0 ) nên có dạng: a ( x − 1) + by = ( a + b2 ≠ ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 cos ( AM , AN ) = a = = cos 45° ⇔ a + b2 = a − b ⇔ ab = ⇔ a + b b = a −b Với a = AM : y = Mà A = AM ∩ AN Với b = AM : x − = Mà A = AM ∩ AN nên A ( − 2;0 ) nên A ( 1;3) (loại) (nhận) A ( 1;3) + Vậy Cách + Ta có: · tan NAD = ND MB · = tan MAB = = AD , AB · · tan NAD + tan MAB · · ⇒ tan NAD + MAB = =1 · · = 45° ⇒ NAM · · · ⇒ NAD + MAB = 45° − tan NAD.tan MAB ( d ( M , AN ) = ) ⇒ MA = A ∈ AN ⇒ A x ; x + ⇒ AM = ( ) ( x − 1) + ( x + ) 2 x = MA = ⇔ ⇒ A ( 1;3) (vì x A > ) x = −2 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , SA = a , SB = SC = SD = a M trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối chóp S ABCM Tính khoảng cách SM BC Gọi Lời giải Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Gọi O tâm hình bình thoi ABCD Xét hai tam giác Suy ∆ ABD ∆ SBD ta có: AB = SB , AD = SD , BD chung ∆ ABD = ∆ SBD ⇒ AO = SO (hai đường trung tuyến tương ứng).Tương tự CO = SO Tam giác SAC có đường trung tuyến Từ ta tính tiếp HB = r = BC CD BD 3a = S∆ BCD r= ∆ BCD S ( ABCD ) Vì SB = SC = SD nên H hình chiếu ∆ BCD AO = CO = SO Do ∆ SAC vuông S BCD : S∆ BCD = a (cơng thức Hê-rơng) Bán kính đường tròn ngoại tiếp H AC = SA2 + SC = 2a , OD = CD − OC = a , BD = 2a Diện tích tam giác Gọi SO tâm đường tròn ngoại 3a a ⇒ SH = SB − HB = 2 3a 2 S = S ABCD − S AMD = S ABCD = Diện tích tứ giác ABCM : a3 V = S SH = S ABCM Tính khoảng cách SM BC Thể tích khối chóp Gọi N trung điểm Dễ thấy AB MN / / BC ⇒ BC / /(SMN ) nên d ( BC , SM ) = d ( BC ,(SMN )) = d (C ,(SMN )) Mà CO = HO ⇒ d (C ,( SMN )) = 2d (H,( SMN )) Kẻ HI ⊥ MN ( I ∈ MN ) , kẻ HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) Ta có: HK = d ( D, BC ) = d ( A, BC ) = HI HS HI + HS = ta có HK = d ( H , ( SMN ) ) 2S BCD 2a a = ⇒ HI = d ( H , MN ) = d ( A, BC ) = BC a a 2 a 6 a 3 ÷ + ÷ = a 66 a 66 ⇒ d (C ,( SMN )) = HK = 22 11 Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Vậy Câu d ( BC , SM ) = a 66 11 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ab ( a + c ) ( b + c ) − 32 + 4a + 4b + c ≥ −5 Lời giải Tác giả:Nguyên Dung; Fb: Dung Nguyen Cách Ta có: ab ( a + c ) ( b + c ) = ( a2 + ac ) ( b2 + bc ) ≤ cosi a + ac + b + bc a2 + b2 + c ( a + b ) ⇒ ab ( a + c ) ( b + c ) ≤ (1) 2 2 cosi c + ( a + b ) c2 + ( a + b ) 2 c ( a + b) ≤ ( a + b) ≤ ( a + b ) ⇒ c ( a + b) ≤ Lại có: (2) 2 cosi a +b + Từ (1), (2) ⇒ ab ( a + c ) ( b + c ) ≤ c + ( a2 + b2 ) 4a + 4b + c ⇔ ≥ 2 ⇔ ab ( a + c ) ( b + c ) ≤ ab ( a + c ) ( b + c ) 4a + 4b + c ⇔ ab ( a + c ) ( b + c ) P= Do đó: Đặt: ≥ 36 4a + 4b + c ab ( a + c ) ( b + c ) − 32 + 4a + 4b + c t = + 4a + 4b2 + c Vì a, b, c Suy ra: 4a + 4b2 + c = t − Xét hàm số f ( t) = 36 32 − t − t với ≥ 36 32 − 4a + 4b + c + 4a + 4b + c số thực dương nên t > t > 32 32t − 72t − 256t + 512 ( t − ) ( 32t + 56t − 32t − 128 ) ⇒ f ′( t) = + = = 2 2 2 t t − t − t ( ) ( ) ( t − 4) t −72t Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Ta có: 32t ) Do + 56t − 32t − 128 = ( 32t − 128) + ( 56t − 32t ) = 32 ( t − ) + 4t ( 14t − 8) > ( t > f ′( t) = ⇔ t = Bảng biến thiên: ⇒ f ( t ) ≥ −5 ⇒ ab ( a + c ) ( b + c ) − 32 + 4a + 4b2 + c ≥ −5 + 4a + 4b + c = 12a = 12 ⇔ a = b ⇔ a = b c = a + b c = 2a Dấu xảy a = b = c = Cách 2: Ta có: ab ( a + c ) ( b + c ) = ( ab + bc ) ( ab + ac ) ≤ ⇒ ab ( a + c ) ( b + c ) ≤ ab + bc + ab + ac 2ab + bc + ac Đồng thời: c2 c2 + 4a + 4b + c = + ( 2a + 2b ) + 2a + + 2b + ≥ + 4ab + 2ac + 2bc 2 2 2 2 ⇒ + 4a + 4b2 + c ≥ + ( 2ab + ac + bc ) Do đó: ab ( a + c ) ( b + c ) Đặt − t = + ( 2ab + ac + bc ) ⇒ 2ab + ac + bc = t2 − 32 + 4a + 4b + c Vì a , b, c ≥ 18 32 − 2ab + ac + bc + ( 2ab + ac + bc ) số thực dương nên t > Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Tơ l ân 19 Năm 2019 Xét hàm số: f ( t) = 36 32 − t − t với t > 32 32t − 72t − 256t + 512 ( t − ) ( 32t + 56t − 32t − 128 ) ⇒ f ′( t) = + = = 2 ( t − 4) t ( t − 4) t ( t − 4) t −72t Ta có: 32t ) Do + 56t − 32t − 128 = ( 32t − 128 ) + ( 56t − 32t ) = 32 ( t − ) + 4t ( 14t − ) > f ' ( t) = ⇔ t = Bảng biến thiên: ⇒ f ( t ) ≥ −5 ⇒ ab ( a + c ) ( b + c ) − 32 + 4a + 4b2 + c ≥ −5 + ( 2ab + ac + bc ) = 12a = 12 a = ⇔ a = b ⇔ b = a = b c = a + b c = 2a c = Dấu xảy ( t> ... ) x − x + 12 − x − x + − x − x + 12 + x − = ⇔ ( x − ) x − x + + ( x − ) x − x + 12 + x − x + − x − x + 12 + ( x − ) = 4x − ⇔ ( x − ) x − x + + ( x − ) x − x + 12 + x − x + + x − x + 12 2 + ( x... 2) ta có + x − x + + x − x + 12 = ( ) ( x − x + + x − x + 12 + 2+ x ) ) ⇔ ( + x ) + x − x + + x − x + 12 = x − x + + x − x + 12 + Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Tô l ân 19 Năm 2019... ,0 ≤ k ≤ 12 ) a1a2 a3a4a5 = 10.a1a2a3a4a5 + 2M13 ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) nên ta có: 10k + 2M13 ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) Do tồn số tự nhiên t cho 10k + = 13t ⇔ t = 10k + ∈ ¥ ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ 12 ) ,