Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN NGÀY THI 11/09/ 2018 TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu Câu Câu (6, điểm) y + y2 +1 ( x − y ) ( x + xy + y − ) = 2ln x + x2 + x y Giải hệ phương trình: 3 x = + y + (4,0 điểm) Xét hội tụ dãy số (6,0 điểm) Cho tam giác bình hành ABMN giao điểm giác ABC AQ GMQ , HNP ( xn ) x0 = , nội tiếp đường tròn tâm ACPQ BM , H E F (E AN đồng dạng với tam giác hình CAP Gọi G CP Đường tròn ngoại tiếp tam nằm đường tròn ( O ) ) thẳng hàng B, C , O, E Bạn Thanh viết lên bảng số ABN giao điểm A, E, F b) Chứng minh bốn điểm (4,0 điểm) + , ∀ n∈ ¥ xn xn O Dựng phía ngồi tam giác ABC cho tam giác cắt a) Chứng minh ba điểm Câu biết xn +1 = thuộc đường tròn 1,2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab Trên bảng viết thêm số a + b +1 Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln lại số 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (6, điểm) Giải hệ phương trình: y + y2 +1 2 x − y x + xy + y − = ln ( )( ) x + x2 + x y 3 x = + y + Lời giải Tác giả:Lê Thị Nguyên ; Fb: Ngọc Giang Nguyên y + y2 + 2 ( x − y ) ( x + xy + y − ) = ln x + x2 + x y 3 x = + y + x, y ∈ ¡ Điều kiện xác định: Phương trình (1) ( 1) ( 2) ) ( ( ⇔ x3 − y3 − ( x − y ) = 2ln y + y + − 2ln x + x + ) ( ( ⇔ x3 − x + 2ln x + x2 + = y − y + 2ln y + y + Xét hàm số ( f ( t ) = t − 2t + 2ln t + t + f ' ( t ) = 3t − + Suy Do Thay f ( t) t +1 = ( t + 1) + Nhận xét: t +1 hàm số đồng biến ( 1) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x= y ¡ ) , ta có: + t +1 + 2t − ≥ 2t ≥ , ∀t∈ ¡ x= y vào phương trình (2) ta : x= ) ) 3x (2 x − 1) = x + ( 3) không nghiệm (3) 3) ⇔ 3x − ( Do 2x + =0 2x − Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét hàm số g ( x ) = 3x − g ' ( x ) = 3x ln + Suy g ( x) Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 2x + x − , ta có: 1 ⇒ g ' ( x ) > ∀ x ∈ ( −∞ ; ) ∪ ( ; +∞ ) , (2 x − 1) 2 1 (−∞ ; ) ( ; +∞ ) đồng biến khoảng , Suy phương trình (3) có khơng q nghiệm Mà g ( 1) = g ( − 1) = (3) có hai nghiệm Vậy tập nghiệm hệ là: x = ±1 {( ; 1) ; ( − ; − 1) } Câu (4,0 điểm) Xét hội tụ dãy số ( xn ) biết x0 = , xn +1 = + , ∀ n∈ ¥ xn xn Lời giải Tác giả: Phan Thị Hiền; Fb: Phan Hiền Cách 1: +) Ta thấy xn > 0, ∀ n∈ ¥ x2 = 3 x = + = + ≈ 1, 433 x0 = ; ; 4 1+ + 3 1+ ÷ ≈ 2, 239 2 ′ f ( x) = + f x = − − < 0, ∀ x ∈ ( 0; + ∞ ) ( ) 0;+ ∞ ) có +) Xét nên y = f ( x ) x x ( x x3 nghịch biến +) Xét dãy số Dãy số ( x2n ) ( 0;+ ∞ ) ( x2n ) dãy dãy số ( xn ) dãy số tăng Thật vậy: -) x0 < x2 -) Giả sử x2 k − < x2k , k ∈ ¥ Vì y = f ( x ) x2 k + = f ( x2 k ) < f ( x2 k − ) = x2 k − ⇒ x2 k + = Theo nguyên lí quy nạp, +) Giả sử ( x2n ) , n∈ ¥ ∃ lim xn = a ⇒ lim x2 n = a ( 0;+ ∞ ) nên f ( x2 k + ) > f ( x2 k −1 ) = x2 k Vậy x2k < x2k + nghịch biến dãy số tăng và x2 n ≥ 2, ∀ n ∈ ¥ a≥ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC xn +1 = Do ( Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 3 3 lim xn +1 = lim + ÷÷ ⇒ a = + + , ∀ n∈ ¥ a a xn xn nên xn xn )( ) ⇔ a − a2 + a + = ⇔ a = Vậy giả sử sai Dãy số (mâu thuẫn với a ≥ ) ( xn ) dãy số phân kì Cách 2: +) Ta thấy xn > 0, ∀ n∈ ¥ x2 = 3 x = + = + ≈ 1, 433 x0 = ; ; 4 +) Ta chứng minh Thật vậy: Với Giả sử ( 1) 1+ + 3 1+ ÷ x0 = > ∀ n = k, k ∈ ¥ nên tức ( 1) với x2 k ≥ Ta có: Theo nguyên lí quy nạp ta có Giả sử Do ( ( x2n ) dãy dãy số 1+ + với 3 1 + ÷ n = k + >2 ( xn ) 3 3 lim xn +1 = lim + ÷÷ ⇒ a = + + , ∀ n∈ ¥ a a xn xn nên xn xn )( ) Vậy giả sử sai Dãy số (6,0 điểm) Cho tam giác bình hành ( 1) a≥ ⇔ a − a2 + a + = ⇔ a = Câu x2 n ≥ 2, ∀n ∈ ¥ ∃ lim xn = a ⇒ lim x2n = a xn +1 = ≈ 2, 239 n= ta chứng minh 3 x2 k ≥ ⇒ < x2k +1 ≤ + = 1+ ⇒ x2 k + ≥ 4 +) Xét dãy số x2n ≥ 2, ∀ n ∈ ¥ , ( 1) n= ABC ABMN (mâu thuẫn với ( xn ) dãy số phân kì nội tiếp đường tròn tâm a ≥ ) ACPQ O Dựng phía ngồi tam giác ABC cho tam giác ABN đồng dạng với tam giác Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! hình CAP Gọi G Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC giao điểm giác AQ GMQ , HNP BM , H cắt a) Chứng minh ba điểm E giao điểm A, E, F b) Chứng minh bốn điểm F (E Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 AN CP Đường tròn ngoại tiếp tam nằm đường tròn ( O ) ) thẳng hàng B, C , O, E thuộc đường tròn Lời giải Tác giả: Hồng Duy Thắng; Fb: Hoàng Duy Thắng Gọi ( O1 ) , ( O2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác đẳng phương Gọi Vì D GMQ , HNP suy EF trục ( O1 ) , ( O2 ) giao điểm BM CP suy AGDH hình bình hành ∆ ABN : ∆ CAP ⇒ ( AB, AN ) = ( CA, CP ) ( BA,BD ) = ( AB,AN ) = ( CA, CP ) = ( CA, CD ) ⇒ A, B, C , D Suy đồng viên ( CA, CB ) = ( DA, DG ) , ( AB, AC ) = ( DG, DC ) = ( GD, GA) Suy hai tam giác ⇒ ABC GAD đồng dạng AB GD AH = = AC GA AG Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Mà ∆ ABN : ∆ CAP ⇒ Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 AB CP = CA AN AH CP AQ = = AG AN AN ⇒ AH AN = AG AQ ⇒ PA/ ( O1 ) = PA/ ( O2 ) ⇒ Mà Vậy EF trục đẳng phương A, E, F ( O1 ) , ( O2 ) ⇒ A ∈ EF thẳng hàng b) Gọi F ′ = MN ∩ PQ Ta có: ( F ′M , F ′Q ) = ( AB, AC ) = ( GM , GQ ) Suy F ′ ∈ ( O1 ) Tương tự F ′ ∈ ( O2 ) Suy F ′ ≡ F Ta có E , F ′, M , G Suy A, B, E , G Tương tự Suy Mà ( GB, GE ) = ( GM , GE ) = ( FM , FE ) = ( AB, AE ) đồng viên ⇒ đồng viên A,C, E,H đồng viên ( EB, EC ) = ( EB, EA) + ( EA, EC ) = ( GB, GA) + ( HA, HC ) = ( DB, DC ) A, B, C , D đồng viên suy D ∈ ( O ) ⇒ ( OB, OC ) = ( DB, DC ) ⇒ ( EB, EC ) = ( DB, DC ) Suy B, C , O, E đồng viên Câu (4,0 điểm) Bạn Thanh viết lên bảng số 1,2,3, 2019 Mỗi bước Thanh xóa hai số a b ab Trên bảng viết thêm số a + b +1 Chứng minh dù xóa sau thực 2018 bước bảng ln lại số 2019 Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb:Ngọc Dung Cách Với tập T = { a1; a2 ; ; an } số viết bảng đặt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 ỉ1 ÷ ửổ1 ữ ổ1 ỗ ỗ ữ ữ ữ A(T ) = ỗỗ +1ữỗỗ +1ữ ỗỗỗ +1ữ ữ ữ ÷ ÷ a a a è øè ø è n ø ỉ ỉ1 ưỉ ÷ ỗỗ1 +1ữ ỗỗ ị A( {1; 2; ;2019} ) = çç +1÷ + = 2020 ÷ ÷ ÷ ữỗ2 ứ ữố ỗố1 ứố ỗ2019 ữ ứ ổ1 ửổ (a +1)(b +1) ỗỗ +1ữ ỗỗ1 +1ữ = = +1 ữ ữ ữ ữ ỗa ứố ỗb ứ ab è ab Ta thấy: a + b +1 Suy xóa hai số a ab b thay a + b +1 tập T biến thành tập T ' thì: A(T ) = A(T ') Giả sử sau thực 2018 bước ta số thực x ta có: 1 A({x}) = +1 = 2020 Þ x = x 2019 Vậy bảng ln lại số 2019 Cách ab ab ab = = a + b +1 a + b +1 + ab - ab (a +1)(b +1) - ab Ta có ab c abc (a +1)(b +1) - ab = ab ab ;c + c +1 (a +1)(b +1)(c +1) - abc (a +1)(b +1) - ab Thực xóa a + b +1 thêm 1.2.3 2019 = Sau 2018 lần thực hiện, bảng lại số là: 2.3.4 2020 - 1.2.3 2019 2019 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang ... STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét hàm số g ( x ) = 3x − g ' ( x ) = 3x ln + Suy g ( x) Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình -... a≥ Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC xn +1 = Do ( Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 3 3 lim xn... Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Mà ∆ ABN : ∆ CAP ⇒ Đề HỌC SINH GIỎI Ninh Bình - Năm 2019 AB CP = CA