Học sinh giỏi toán hải phòng 1819

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

STRONG TEAM TỐN VD-VDC SỞ GD&ĐT HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) ( C) Gọi A, B hai điểm cực trị ( C) a) Cho hàm số y = x + 3x - 9x +1 có đồ thị Tính diện tích tam giác OAB , O gốc tọa độ Câu 2 b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu (2,0 điểm) 2sin x  sin x  cos x 0 tan x  a) Giải phương trình � �2 x   y   x  xy  m �2 x  x  y   2m m b) Tìm tất giá trị thực tham số để hệ phương trình � có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a , SA  2a vng góc với mặt phẳng  ABCD  a) Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  SM  x,   x  2a   BCM  chia b) Cho M điểm nằm cạnh SA cho Mặt phẳng hình chóp thành hai phần tích V1 V2 (trong V1 thể tích phần chứa đỉnh S ) V1  V x Tìm để Câu (1,0 điểm) Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở ô xuất phát Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm E , gọi G trọng K  7; 2  tâm tam giác ABE Điểm thuộc đoạn ED cho GA  GK Tìm tọa độ đỉnh A Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 viết phương trình cạnh AB , biết đường thẳng AG có phương trình 3x  y  13  đỉnh A có hồnh độ nhỏ Câu u  (1,0 điểm) Cho dãy số n Ta thành lập dãy số tính giới hạn Câu   u 3 � �1 � un 1  � xác định � với    un2  5un  un , n  �, n 1 1   � 2 u1 u2 un Chứng minh dãy số   có giới hạn (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x �y; x �z; x  yz �xz  xy P Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x y  x y  z 2z  x    y x y yz xz Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu (2,0 điểm) ( C) Gọi A, B hai điểm cực trị ( C) a) Cho hàm số y = x + 3x - 9x +1 có đồ thị Tính diện tích tam giác OAB , O gốc tọa độ b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu Lời giải a) � x =1 D = � y �= 3x + 6x - � y �= � � � x =- � +) Tập xác định +) ( C) có hai điểm cực trị A(- 3;28), B(1;- 4) uuu r uuu r OA = (- 3;28),OB = (1; - 4) � SOAB = | - � (- 4) - 1.28 |= +) b) x +2 D = �; y �= + m x + 4x + +) Tập xác định +) Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục � nên hàm số có cực tiểu phương trình y' = phải có nghiệm y' = � m = - x + 4x + ,(x �- 2) x +2 +) Xét phương trình - x + 4x + g �(x) = > 0, " x �- g(x) = , x ��\ {- 2} 2 (x + 2) x + 4x + x +2 Đặt Ta có lim g(x) =- 2; lim g(x) = x �- � Ngồi ta có x �+� , từ ta có bảng biến thiên hàm số y = g( x) sau Từ bảng biến thiên suy phương trình y' = có nghiệm m �(- �; - 2) �(2; +�) +) Xét trường hợp m > Phương trình y' = có nghiệm x , ta có: lim y' = + m > 0; lim y' = - m < x �+� x �- � nên ta có bảng biến thiên hàm số có dạng Từ bảng biến thiên suy hàm số có cực tiểu +) Trường hợp m (2,0 điểm) 2sin x  sin x  cos x 0 tan x  a) Giải phương trình b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình nghiệm � �2 x   y   x  xy  m �2 �x  3x  y   2m có Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc �  x �  k � � �� �tan x  �0 �x �  k � cos x � � a) Điều kiện: � , k �� Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: 2sin x  sin x  cos x  � sin x  2sin x  1  cos x  �  sin x cos x  cos x  �  sin x  1 cos x  �  x   k 2 � �� sin x  �   � �� x  k � cos x  � Kết hợp với điều kiện xác định phương trình phương trình cho có nghiệm 3 x  k , k �� �  x2  x   2x  y   m � � x   y   x  xy  m � �� �2  x  x    x  y    2m � x  x  y   2m � b) Ta có � a  x2  x � Đặt a  x  x , b  x  y với điều kiện a.b  m � � a  b   2m Hệ phương trình cho có dạng � t    m  t  m   * Suy a , b hai nghiệm phương trình t �  * có nghiệm Hệ ban đầu có nghiệm phương trình �1 � t  t t ��  ; �� � m   g t   *  �4 � 2t  Ta có , Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC g�  t  HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 2t  2t   2t  1 � 1  t � �� � 1  t g�  t   � 2t  2t   � �  lo�i (th� a m� n) Bảng biến thiên: - + 2 m� Từ bảng biến thiên suy Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a , SA  2a vng góc với mặt phẳng  ABCD  a)Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  SM  x,   x  2a   BCM  chia b)Cho M điểm nằm cạnh SA cho Mặt phẳng hình chóp thành hai phần tích V1 V2 (trong V1 thể tích phần chứa đỉnh S ) V1  Tìm x để V2 Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team toán vd - vdc  SBC  a) Gọi  góc hai mặt phẳng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB SC Ta có BC   SAB  � BC  AH Tương tự AK   SCD  Ta có Vậy  SBC   SCD  AH  AK  HK � cos   cos HAK  AH AK góc hai SA.AB 2a SA AC 2a  , AK   SB SC Mặt khác SHK : SCB nên cos   AH  SB � AH   SBC  Do góc hai mặt phẳng đường thẳng AH AK , hay AH  Ngoài HK  BC.SH 4a  SC 30 15  BCM  cắt cạnh SD N Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng b) Mặt phẳng  BCM  hình thang BCNM Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 VS ABC  V , V  V  V S BCM S CNM ; Gọi V thể tích khối chóp S ABCD Ta có S BCNM VS ACD  V k VS BCM SM SM   k � VS BCM  k V SA SA suy ra: VS BCA ; Đặt VS CMN SM SN   k � VS CMN  k V VS CAD SA SD V1 1 � �1  � V1  V V1  � k  k � V � Mà V2 �3 Từ suy � �1 V  � k  k2 � V � k  � x  a � �3 Suy Câu Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở xuất phát Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Mỗi bước quân vua đến ô xung quanh, từ suy số phần tử không gian n     83 mẫu Cách Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua cho vị trí ban đầu quân vua gốc tọa độ, ô  x; y  Mỗi bước di chuyển quân vua từ điểm  x; y  đến bàn ứng với điểm có tọa độ  x  x0 ; y  y0  x0 ; y0 � 1;0;1 ; x02  y02 �0 Ví dụ x0  1; y0  điểm có tọa độ qn vua di chuyển đến bên phải, x0  1; y0  1 di chuyển xuống đường chéo Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019  0;0  , sau bước tọa độ quân vua Giả sử tọa độ ban đầu  x1  x2  x3 ; y1  y2  y3  ; x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 � 1;0;1 Để vị trí ban đầu �x1  x2  x3  � �y1  y2  y3  +)  x1; x2 ; x3  Suy  x1; x2 ; x3   y1; y2 ; y3 hoán vị  1;0;1  x ;x ;x   y ;y ;y  có cách chọn, với cách chọn có cách chọn  xi ; yi  , i  1;3 không đồng thời Do số kết thuận lợi cho biến cố 24 xác suất cần tìm p 24  83 64 Cách Nhận xét để quân vua trở vị trí xuất phát sau bước sau bước II quân vua phải ô xung quanh ô ban đầu Trường hợp Sau bước I quân vua ô chung cạnh với ô ban đầu Từ quân vua có cách cho bước II (đi ngang chéo) Ở bước III, quân vua có cách vị trí xuất phát Vậy số cách TH1: �4 �1  16 cách Trường hợp Sau bước I quân vua ô chung đỉnh với ô ban đầu Từ quân vua có cách cho bước II (đi ngang dọc) Ở bước III, quân vua có cách vị trí xuất phát Vậy số cách TH2: �2 �1  cách Xác suất cần tìm: Câu p 16   83 64 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm E , gọi G trọng tâm tam K  7; 2  giác ABE Điểm thuộc đoạn ED cho GA  GK Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh AB , biết đường thẳng AG có phương trình x  y  13  đỉnh A có hồnh độ nhỏ Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 +) Ta có GA  GB  GK nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK �� AGK  � ABK  2.45o  90o ⇒ tam giác AGK vuông cân G K  7; 2  +) Đường thẳng GK qua vuông góc với AG � GK : x  y   Ta có G  GK �AG � G  4; 1 A  t ;3t  13 , t  Do AG có phương trình 3x  y  13  nên Có GA  GK  d  K ; AG   10 Từ GA  10 �  t     3t  12  �  tan MAG t 3 � ��  �  10 t 5 � t 4 t Vậy A  3; 4  MG � cos MAG �   10 AM +) Ta có ur uu r n1   a; b  ,  a  b   n   3; 1 Gọi VTPT đường thẳng AB VTPT AG đường thẳng �  cos MAG Khi đó: b0 3a  b � 3 �  � 6ab  8b  � � 3a  4b 10 10 10 a  b � +) Với 3a  4b � AB : x  y  24  Thấy d  K ; AB    d  K ; AG   10 (loại) +)Với b  � AB : x   Ghi chú: Nếu học sinh công nhận ngộ nhận chứng minh kết bước làm bước lại cho 0.5 điểm Câu u  Cho dãy số n u 3 � �1 � un 1  � xác định �   un2  5un  un , n  �, n Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TỐN VD-VDC Ta thành lập dãy số tính giới hạn HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019   với  1   � 2 u1 u2 un Chứng minh dãy số   có giới hạn Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc * Ta dễ có un  0, n �� un 1  Ngoài   12   un2  5un  un  un2  un  un , n ��* Do dãy  un  tăng Giả sử  un  bị chặn, lim un  a, a �3  u1, a �� Cho qua giới hạn hệ thức un 1    un2  5un  un � a  Từ suy Ta có un 1    a  5a  a � a   un  không bị chặn  lim un  �, lim vô lý 0 un  un2  5un  un � 2un 1  un  un2  5un � 4un21  4un 1un  5un , (vì un 1  un  ) � u n 1 Suy Câu �1 � �1 � �1 �  4�  ��  �  ��   �  � u1 �u1 un � �un un 1 � un 1 �un un 1 � lim  17  � 45 Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x �y; x �z; x  yz �xz  xy P Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x y  x y  z 2z  x    y x y yz xz Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team toán vd – vdc +/ Ta chứng minh: 1  � Với a , b dương ab �1  a  b  ab (*) Thật vậy: (*) �  a b +/ Ta có: Đặt t   ab  �0 (luôn đúng) Đẳng thức xảy a  b ab  x  yz �xz  xy �  x  z   x  y  �0 � x  y �0 x �z � x  z �0 x � t � 1;9 y Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P  9t  Khi HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 t2 y z t2 1 1 1  9t  2  z x t 1 yz xz t 1 1 1 y z Áp dụng bất đẳng thức chứng minh, ta có: P �3  t  t2 2 t 1 f (t )   t  Xét hàm số 1 f '(t)    t từ suy   t  1 P t2 2 t 1 1 t t2 2 , t � 1;9 t 1 1 t có  P �f (t) �f(9)  Dấu xảy Vậy z x yz 1  9t   t 1 t   0, t � 1;9 18 �x �y  � �x  y �x  y ��x z �� �� ��  �z  y �xy  z ��z y ��x z ��  ��z y �x  y 18 � �z  y Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 11  ... đến ô bên phải, x0  1; y0  1 di chuyển xuống đường chéo Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ... cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu (2,0 điểm) ( C) Gọi A, B hai điểm cực trị... cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB SC Ta có BC   SAB