Học sinh giỏi toán hải dương

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH HẢI DƯƠNG 2018 - 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y 2x 1 x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt  C  hai P  2;5 điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết 2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  25m , chiều rộng AD  20m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C Câu II (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình �  3x  1  y  y  3x  1(1) � � � 3xy  x   x  3(2) 2) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đồn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 Câu III (2,0 điểm) 1) Cho dãy số  un   un2  u1  1, un 1  , n �1 un xác định Xét tính đơn điệu bị chặn  un  2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / / CD, AB  CD) có AD  DC , D(3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC Câu IV (3,0 điểm) B C D có đáy ABCD hình vng Cho hình hộp đứng ABCD A���� B C D SA , BC có trung điểm M N Tính 1) Gọi S tâm hình vng A���� thể tích Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 -  ABCD  góc 600 AB  a khối chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng  AB Gọi R , S nằm đoạn thẳng A� D , CD�sao cho RS vuông 2) Khi AA� góc với mặt a RS  �� CB D   B C D theo a Tính thể tích khối hộp ABCD A���� phẳng mp  P   AB  a Gọi G trung điểm BD� 3) Cho AA� , thay đổi qua G cắt đoạn thẳng AD� B tương ứng H , I , K , CD� , D�� Tìm giá trị lớn biểu thức Câu V T 1   D� H D � I D� I D� K D� K D� H (1,0 điểm) Cho P số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  ab  abc a bc HẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu I (2,0 điểm) 1) Cho hàm số y 2x 1 x  có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y   x  m cắt  C  hai P  2;5 điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết 2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB  25m , chiều rộng AD  20m chia thành hai phần vạch chắn MN ( M , N trung điểm BC AD ) Một đội xây dựng làm đường từ A đến C qua vạch chắn MN , biết làm đường miền ABMN làm 15m làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C Lời giải 1 Tác giả: Đoàn Thị Uyên ; Fb: Đoàn Uyên Cách 1: Hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C ) nghiệm phương trình 2x 1   x  m  x �1 � x  (m  3) x  m    1 x 1  1 có hai Đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt phương trình nghiệm phân biệt x �1 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - 0 � � m  6m   4m    m  1  12  � � �� ��  1    m  (1)   m �0 �3 �0 � (luôn đúng) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1), ta có: Giả sử �x1  x2  m  � �x1 x2  m  A  x1 ;  x1  m  B  x2 ;  x2  m  , Khi ta có: AB   x1  x2  PA   x1      x1  m     x1   PB   x2      x2  m     x2   2   x2   2   x1   Suy PAB cân P 2 Do PAB � PA  AB �  x1     x2     x1  x2  �  x1  x2    x1  x2   x1 x2   2 2 �m  � m  4m   � � m  5 Vậy giá trị cần tìm m  1, m  5 � Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C ) là: 2x 1   x  m  x �1 x 1 � x    x  x  mx  m � x  (m  3) x  m    *  * có nghiệm Đường thẳng d đồ thị (C ) cắt hai điểm phân biệt � phương trình phân biệt x �1 0 � � m  6m   4m    m  1  12  � � �� ��  1    m  (1)   m �0 �3 �0 � (ln đúng) Vậy phương trình Gọi  * ln có nghiệm phân biệt x �1 A  x1 ;  x1  m  ;  B  x2 ;  x2  m  giao điểm d  C  * nên áp dụng hệ thức Viet, ta có: Vì x1 ; x2 nghiệm phương trình �x1  x2  m  � �x1.x2  m  Vì PAB nên H trung điểm AB Do đó, tọa độ H là: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - x x m3 m3 m3 � � � � xH  A B xH  xH  xH  � � � � � � � � 2 2 �� �� �� � �y  y A  yB �y   x A  m  xB  m �y  m   m  m �y  m  H H H H � � � � �m  m  � �H� ; � � �2 uuur uuur �PH  AB � �� uuu r uuur �m  m  � AB  x  x ; x  x ; PH  � ;   PH  AB � 1 � � � với �2 PAB m7 �m  �  x2  x1    x2  x1    1 � �� 2 �m  � � 2� �  x2  x1    � �� �  1 ln nên hệ phương trình Do phương trình tương đương với: �  m     x2  x1  2 �  m  7  �  x2  x1   x1.x2 � � � 2 2 �  m  7  � �m  3   m  1 � � � m  14m  49   m  6m   4m   � m  14m  49  3m  18m  27  12m  12 � 2m  8m  10  m 1 � �� m  5 Vậy giá trị cần tìm m  1, m  5 � 2) Giả sử đường từ A đến C gặp vạch chắn MN E 2 đặt NE  x(m)( x �[0; 25]) � AE  x  10 ; CE  (25  x)  102 Thời gian làm đường từ A đến C là: AE CE t ( x)    15 30 t '( x)  x 15 x  100 (25  x)  100 x  100  ( h) 15 30  (25  x ) 30 (25  x)  100 ; t '( x )  � x (25  x)  100  (25  x) x  100 �x(25  x) �0 �� 2 2 �4 x [(25  x)  100]  (25  x) ( x  100) Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - �x �25 � �� 2 2 �4(25  x) ( x  25)  x [400  (25  x ) ]=0 �x �25 � �� 2 2 2 �4(25  x) ( x  )  x [20  (25  x) ]=0 �x �25 � �� 4(25  x) ( x  5)  x    x  20  25  x   20  25  x  = � � x � 25 � �� 2 �4(25  x) ( x  5)  x    x  x    45  x  = �x �25 � �� ( x  5)[4(25  x) ( x  5)  x (45  x)]=0 � � x  5; t (0)  20  725 10  725 , t (25)  , t (5)  30 30 � Thời gian ngắn làm đường từ A đến C (giờ) CâuII (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình �  3x  1  y  y  3x  1(1) � � � 3xy  x   x  3(2) Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Nga; Fb: Con Meo Cách 1: �y �0 � � x � � Điều kiện: �  1 �  x  1 Xét hàm số  x   y  y  * f  t   t  4t  t � 0;  �  f�  t   4t  ; f�  t  � t  ; từ  * ta có f   3x   f  y Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến  0;1 ; đồng biến  1;  � Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 y + Nếu 3x  3x   thuộc y � y  3x   0;1 thay vào  2 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 -  1;  � ta có : ta có :  x  3x  1  x   x  � x  x   x  � x   x   � � x �3 �3 x  x   � � x  �0 �� � 3x  x   � � � ��x  � x  � y  9x  7x   3x   x   � �� � �� x �� (thỏa mãn) + Nếu  x  y   không thuộc 3x �  � 1 �y  2 Từ � 3x  y  1  Vậy hệ có nghiệm  x; y 3x y 1 3x   y    0;1  x  y 1 x  1   1;  � vô lý  1;4  Cách 2: �y �0 � � x � � Điều kiện: �  1 � x   y   3x  1  y 2 3x   y 3x   y �  3x   y   3x   y   � � �  3x   y  � 3x   y  � � 3x   y � � �  * Vì Từ x � � VP    � xy  � x   2 � y  � 3x   y  Từ  * 4   3 x 3x 3x    1 x x2 y 0 � 3x   y  � y  3x  thay vào   ta có: x2  x   x  � x2    x  1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - �3x  x   �� � 3x  x   3x   x   � � � x �3 � � 3x  �0 �� � ��x  � x  9x  7x   � �� �� x � y 4 �� Vậy hệ có nghiệm  x; y  1;4  Cách 3: �y �0 � � x � � Điều kiện: � y �0; x � nên x   x   � 3xy  � x  � 3x   Vì 3xy  x   x   x � y  � y  Mặt khác, a  y b  x   a , b  1 Đặt ; , 4  1 � a  4a  b  4b �  a  b  �  a  b   a  b2   4� � �  * �a  b  �2 �  a  b   a  b2   a  b  a , b  � Vì nên  * � a  b hay y  3x  � y  3x  Từ ta có:  x  x  1  x   x  � x  x   x  � x2   x   � 3x   x  (vì x  ) � 3x   � x� � � �� ��  3x  1  x  �9 x  x   � � � � x � � � � ��x  � x  �� �� x � y 4 ��  x ; y   1;4  Vậy hệ có nghiệm CâuII 2) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12 Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - Lời giải Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên  Số phần tử không gian mẫu là: n     C125  792 Gọi A biến cố "Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12" Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A là: + tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 n  A  C42 C32 C51  C42 C31.C52  C43.C31.C51  330 A Số kết thuận lợi cho biến cố là: P Xác suất cần tìm n  A 330   n    792 12 Câu III (2,0 điểm) 1) Cho dãy số  un   un   un2  u1  1, un 1  , n �1 un xác định Xét tính đơn điệu bị chặn 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB / / CD, AB  CD) có AD  DC , D(3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC 1) Cho dãy số  un  Lời giải  u 1 u1  1, un 1  , n �1 u  u n xác định Xét tính đơn điệu bị chặn n un 1  n  un2  un Ta có  un  un2  1 u 1 n Mà u1   ; giả sử với n  k �1 ta có uk 1  Khi ta có un 1  un  + Xét uk 1 u 1 k  un2  un un  1 u 1 n uk  ; n �� uk 1 1 u k 1 1  0; k ��  0; k ��  un   un   un2   0, n �� 1 u 1 n  � un 1  un , n �� * * * u   �un 1,�n � �  un �1, n �� � dãy số Do dãy số n giảm nên un �u1 , n �  un  bị chặn Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB  CD) có AD  DC , D(3;3) Đường thẳng AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua M (1; 1) Viết phương trình đường thẳng BC Lời giải Kẻ CP // AD cắt AB tạo P , suy tứ giác ADCP hình thoi Gọi H  AC �DP ta có DH  AC suy đường thẳng DH có phương trình x  y   �x  y   � H  4;  � x  y   � H Khi toạ độ điểm nghiệm hệ sau uuur uuu r P  x; y  � P  5;1 Gọi ta có DH  HP Đường thẳng PM có phương trình x  y   Mặt khác đường thẳng DC // PM nên đường thẳng DC có phương trình là: x  y   �x  y   � C  6;  � Tọa độ điểm C nghiệm hệ �x  y   Xét tam giác BCP ta có AD  DC  CP  CB nên tam giác BCP cân C Vì B �PM � B  3t  2; t  Với Với t t B  5;1   P , ta có CP  CB � 10   3t     t  4 t 1 � � � 11 � t � (loại) 11 �43 11 � � B� ; � �5 � Vậy đường thẳng BC có phương trình x  13 y  106  Câu IV (3,0 điểm) B C D có đáy ABCD hình vng Cho hình hộp đứng ABCD A���� B C D SA , BC có trung điểm M N Tính 1) Gọi S tâm hình vng A���� thể tích  ABCD  góc 600 AB  a khối chóp S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng  AB Gọi R , S nằm đoạn thẳng A� D , CD�sao cho RS vuông 2) Khi AA� góc với mặt D  CB�� phẳng RS  a B C D theo a Tính thể tích khối hộp ABCD A���� Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - mp  P   AB  a Gọi G trung điểm BD� 3) Cho AA� , thay đổi qua G cắt đoạn thẳng AD� B tương ứng H , I , K , CD� , D�� Tìm giá trị lớn biểu thức T 1   D� H D � I D� I D� K D� K D� H Lời giải Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Đoàn Minh Triết 1) Gọi H trung điểm AC � SH trung tuyến tam giác SAC Mặt khác tam giác SAC cân S � SH đường cao � SH  AC  SAC    ABC  ;  SAC  � ABC   AC � � �� SH   ABC  SH � SAC  ; SH  AC � Gọi I trung điểm AH , mà M trung điểm SA � IM đường trung bình �IM / / SH � SAH � � IM  SH � � tam giác SH   ABC  � � � �� IM   ABC  � MNI  MN ,  ABC   60 IM / / SH �   Tam giác ABC vuông cân B , có AB  a � BC  a ; NC  AC  a � CI  3 AC  a 4 a BC  �  450 AC 2 ; tam giác ABC vuông cân B � � Xét tam giác CNI có �  a 10 � MI  IN tan 600  a 30 NI  CI  CN  2CI CN cos ICN 4 a 30 1 a 30 � SH  2MI  � VS ABC  SABC SH  AB.BC.SH  3 12 uuur ur ur r ur ur r r ur ur ur uuur ur uuuur r u �� A B  p � m  n  p  b m.n  n p  p.m  � �� AA  m A D  n 2) Đặt , , ; uuuu r uuur uuuu r uuur S  y.D� C R  x A� D ; D� Mặt khác A� ur ur uuu r uuur uuuur uuur ur r ur uuur ur r uuur D� S  y.m  y p � RS  RA�  A�� D  D� S   y  x m   1 x  n  y p � A R  x m  x n Ta có ; D  CB�� Do đường thẳng RS vng góc với mặt phẳng nên ta có: ur r ur ur r uuu r uuuu r �� y  x m   x n  y p� mn      � � RS B C  � �� � � r uuuu r ur r ur ur ur �uuu � � C 0 y  x m   x n  y p� m p      � �RS D� � ��     Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - � x �  y  2x  � � �� �� 2y  x  � �y  � uuur uuuu r uuur uuuu r A� R  A� D D� S  D� C 3 Vậy R , S điểm cho ; uuu r ur r ur b2 b a 3 � RS   m  n  p � RS  � RS   � b  a � VABCD A���� BCD  a 3 3 3  AB  a nên ABCD A���� B C D hình lập phương có G trung điểm BD�nên G 3) Vì AA� B C D Gọi E , F tâm ADD� C C � E , F A�và BB�� tâm ABCD A���� C ; G trung điểm EF D B� trung điểm A� uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur r uuuur uuur uuuu r uuuur � GA  GB�  GC  GD�  2GE  2GF  � D� G  D� A  D� C  D� B�   uuuur D� uuuur a uuur a uuuur a uuuur A uuuur D� C uuuur D� B�uuur � D� G D� H D� K D� I � D� G D� I D� K D� H  1 D� H D� K D� I D� I D� K D� H Vì bốn điểm H , I , K , G đồng phẳng nên: uuur uur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur GH  kGI  lGK � D� H  D� G  k D� I  D� G  l D� K  D� G  uuuur � D� G    uuur uuuur uuuur k l D� I D� K D� H  2 k  l 1 k  l 1 k  l 1 a a a uuur uuuur uuuur   1 I D� K D� H I , D� K , D� H không đồng phẳng nên từ     ta được: D� D� 1 1 �1 1 � T   � �   � � � � � � � � � � D H D I D I D K D K D H D I D H D K � � 3a Mặt khác �T  3a � D� H  D� I  D� K 3a Vậy giá trị lớn T 3a Câu V (1,0 điểm) Cho P số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  ab  abc a bc Lời giải Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết Vì a , b số dương nên: a� ��� 4b  a.4b a 4b ab ab a  4b  1 Đẳng thức xảy a  4b Vì a , b , c số dương nên: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 a  �4��� b 16c 3� a.4b.16c a 4b 16c 12 abc Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - abc a  4b  16c 12  2 Đẳng thức xảy a  4b  16c Từ  1  2 suy ra: a  ab  abc �a  a  4b a  4b  16c  � a  ab  abc �  a  b  c  12 ۳ a  ab  abc 4 a  b  c P�  4 a  b  c abc Do đó: Đặt: Xét: t  a  b  c  t  0 f (t )  6 12t   (t  0) � f '(t )     4t t 2t t 2t f '(t )  � t  Bảng biến thiên: t f '(t ) � _ � + � f (t ) 12 Từ bảng biến thiên ta có: P �f   a  b  c �f ( )  12, a, b, c  � �a  21 � �a  4b  16c � � � � �b  abc  � � 84 � � c � � 336 Đẳng thức xảy khi: Vậy P  12 HẾT Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 12 Mã đề X ... biệt x �1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - 0 � � m  6m ... độ H là: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 Đề HSG HẢI DƯƠNG Năm 2018 - x x m3 m3 m3... TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Mã đề X Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 2019 y + Nếu 3x  3x   thuộc y � y  3x   0;1 thay vào  2 Đề HSG HẢI DƯƠNG