Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 ĐỀ THI KHAI BÚT ĐẦU XN NĂM 2014 Mơn thi: TỐN; Khối A khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Ta có PT hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị (C) : x = x3 − 3x + 3x − = k ( x − ) ↔ ( x − ) x − x + − k = ↔ x − x + − k = (1) Để đường thẳng cắt đồ thị A, B, C phương trình (2) phải có nghiệm phân biệt khác ∆ = 4k − > k > Ta có điều kiện : ⇔ ( *) 4 − + − k ≠ k ≠ Do A(2 ; 0) nên hoành độ B, C nghiệm phương trình (1) x1 + x2 = Giả sử B ( x1 ; k ( x1 − ) ) , C ( x2 ; k ( x2 − ) ) với x1, x2 nghiệm phương trình (1) x1 x2 = − k 2 Ta có BC = + k ( x2 − x1 ) = + k ( x2 + x1 ) − x2 x1 = + k ( 4k − 3) → BC = + k ( 4k − 3) k − − 2k k+2 MH khoảng cách từ M đến đường thẳng kx − y − 2k = nên MH = = k +1 k +1 k +2 ↔ + k ( 4k − ) = ↔ k + 4k − = Theo giả thiết MH = BC k +1 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ↔ 4k + 13k + 4k − 92 = ↔ ( k − ) 4k + 21k + 46 = ↔ k = Đối chiếu với điều kiện (*) ta k = giá trị cần tìm Câu 2: Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ PT ↔ ( cos x − sin x ) + 2sin x cos x = cos x ↔ ( cos x − sin x ) = cos x (1 − sin x ) ↔ ( cos x − sin x ) = cos x ( cos x − sin x ) ↔ ( cos x − sin x ) (( cos x − sin x ) ) − cos x = ↔ ( cos x − sin x ) (1 − sin x − cos x ) = π + kπ(k ∈ Z ) (thỏa mãn) π x = + kπ π +) sin x + cos x = ↔ sin x + = ⇔ k ∈Z 4 x = kπ +) cos x − sin x = ↔ tan x = ⇔ x = Kết hợp với điều kiện suy phương trình có nghiệm x = π + kπ với k ∈ ℤ Câu 3: 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y (1) x +1 Giải hệ phương trình 1 x +3 y + = ( 2) 4 2 3( x + y ) −1 2 = −9 ( x + y ) + Ta có (1) ⇔ x + y − x + y + = −9 ( x + y ) + ⇔ x + y + x + y +1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 1 ⇔ ( ( x + y ) − 1) + ( x + y ) + 1 = ⇔ x + y = x + y + x + y +1 Khi đó: ( ) ⇔ x +1 1 + 2 x +1 = ⇔ t − 2t + = , ( t = x +1 t = > ) ⇔ −1 + t = x = −1 +) Với t = ⇒ y = ( ) x = log − − −1 + +) Với t = ⇒ y = − log − ( ) Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm Câu 4: π Ta có I = ∫ sin x + sin x cos x + (1 + cos x ) π +) Tính H = ∫ sin x (1 + cos x ) (1 + cos x ) π dx = ∫ sin x (1 + cos x ) (1 + cos x ) π dx + ∫ (1 + cos x ) dx = H + K dx Đặt t = + cosx → dt = − sin xdx; đổi cận x = → t = 2; x = π → t =1 2 t − 2t + 2 2 dt = ∫ 1 − + dt = t − ln t − = − ln ⇒H =∫ t t t 1 t 1 2 π π π x dx = ∫ 1 + tan x 0 cos x (1 + cos x ) cos 2 x dx π Đặt t = tan → dt = Khi x = → t = 0; x = → t = 2 cos x 2 +) Tính K = ∫ dx = ∫ dx t3 ⇒ K = 2∫ + t dt = t + = 0 14 Vậy I = H + K = − ln + = − ln 3 Câu 5: +) Thể tích khối tứ diện EHB'C' Ta có BE // ( A ' B ' C ') nên d ( E;( A ' B ' C ') ) = B ' H ( ) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Tam giác B ' H ' C ' vuông H nên B ' H = BB '2 − B ' H = ⇒ S A ' B 'C ' = Facebook: LyHung95 a 3 A ' B '.B ' C '.sin 600 = a ⇒ S HB 'C ' = a 1 a a a3 ⇒ VEHB 'C ' = B ' H S HB 'C ' = = 3 16 +) Tính khoảng cách: 3V 3a a a Ta có d ( B, ( A ' C ' C ' A ')) = B ACC ' A ' ; VB ACC ' A ' = VABC A ' B 'C ' − VB A ' B 'C ' = − = S ACC ' A ' 8 A ' I ⊥ AB, IJ ⊥ AC ⇒ A ' J ⊥ AC , S ACC ' A ' = A ' J AC a3 a 15 = a 15 A ' J = A ' A2 − IJ = ⇒ d ( B, ( ACC ' A ') = a 15 a a a 15 Vậy VEHB 'C ' = ; d ( B, ( ACC ' A ') = 16 Câu 6: Từ điều kiện suy ( x − y ) − ( x − y ) ≤ ⇔ < x − y ≤ ( x ≠ y ) Ta ln có 4xy ≥ − ( x − y ) nên P = ( x − y ) + xy − ( x − y ) + Xét f ( t ) = t − t − 7t + 4 ≥ ( x − y) − ( x − y) − 7( x − y) + x− y x− y (0; 4] t Suy ra: f ' ( t ) = 3t − 2t − − ; f '(t ) = ⇔ t = t2 Tìm f ( t ) = f ( ) = −8 t∈(0;4] Vậy P = −8 x = 1; y = −1 Câu 7a: Đường tròn (C1) có bán kính R1 = tâm O1 ( −2;1) , đường tròn O2 ( t; − t ) SO1 AO2 B = ⇒ SO1 AO2 = SO1 AO2 B = O1 A.O2 A.sin O1 AO2 = O1 AO2 = 600 ⇒ Nên suy sin O1 AO2 = O1 AO2 = 1200 +) Trường hợp O1 AO2 = 600 O1O2 = 13 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 13 2 t = ⇔ 2t − 2t = ⇔ Chọn t = suy O2(1; 3) t = Vậy (C2): ( x − 1) + ( y − 3) = 16 2 +) Trường hợp O1 AO2 = 1200 O1O2 = 21 ⇒ ( t + ) + ( − t ) = 21 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng ⇔ 2t − 2t − = ⇔ t = Facebook: LyHung95 + 17 − 17 + 17 Suy O2 ; 2 + 17 − 17 Vậy (C2 ) : x − + y − = 16 Câu 8a: Giả sử I ( x; y; z ) → MI ( x − 1; y − 1; z ) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n = ( −1;1; −1) x = 1− t Ta có MI , n phương nên MI = tn ↔ y = + t suy I (1 − t ;1 + t ; −t ) z = −t Do I thuộc (P) nên ta có phương trình: –1 + t + + t + t – = ta t = nên I (0; 2; −1) ( Ta có OI = ( 0; 2; −1) Gọi nQ = ( a; b; c ) véc tơ pháp tuyến (Q), a + b + c ≠ ) Do (Q) chứa O, I nên nQ ⊥ OI ↔ nQ OI = ↔ 2b − c = ↔ c = 2b → nQ = ( a; b; 2b ) Phương trình (Q) có dạng ax + by + 2bz = 17 a 17 17 ↔ = ↔ a = a + 5b ↔ a = ±2b Theo giả thiết ta có d ( K , ( Q ) ) = 2 3 a + 5b +) Với a = 2b chọn b = ⇒ a = ⇒ (Q) : x + y + z = +) Với a = –2b chọn b = −1 ⇒ a = ⇒ (Q) : x − y − z = Vậy có hai phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 9a: +) Tìm số phần tử E: Gọi abc số có chữ số khác Khi a có cách chọn từ → b có cách chọn (trừ số chọn cho a), c có cách chọn Vậy có tất x x = 120 số thuộc E Gọi Ω không gian mẫu Do chọn phần tử thuộc E nên n ( Ω ) = 120 +) Gọi A biến cố: “chọn số mà chữ số chẵn” → A = {246, 264, 462, 426, 642, 624} → n(A) = Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = n ( A) n (Ω) = = 120 20 Câu 7b: x = mt Đường thẳng d qua M(0; 2) có phương trình (m2 + n ≠ 0) y = + nt m2 m2t 2 + ( + nt ) = ⇔ + n2 t + 4nt + = Để d cắt elip điểm phân biệt điều kiện phương trình m2 + n ≠ có nghiệm phân biệt Điều kiện là: ∆ = n − 3m > Xét A ( mt1 , + nt1 ) ; B ( mt2 , + nt2 ) , MA = ( mt1 , nt1 ) , MB = ( mt2 , nt2 ) Ta có MA − 5MB = ⇔ 3t1 = 5t2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 −4 n t1 + t2 = m + n2 Theo định lí Vi- et có ⇒ m2 = n2 t t = m2 + n2 Cho m = suy n = n = –1 x = t x = t Phương trình d y = 2+t y = 2−t Câu 8b: Gọi tâm mặt cầu cần tìm I(a, b, c) IM + AM = AH + IH Ta có: ⇒ AM − BN = AH − BH 2 2 IN + BN = BH + IH ⇒ AM − BN = AH − HB ⇒ AM = AH (do AM + BN = AB) ⇒ IM = IH = IN Vậy mặt cầu cần tìm qua điểm M, N, H ( a − ) + ( b + )2 + ( c − 1)2 = ( a + )2 + b + ( c − 1)2 a = 2 2 Ta có ( a − ) + ( b + ) + ( c − 1) = a + ( y − 1) + ( z − ) ⇔ b = 2a + 2b + c − = c = −7 Vậy mặt cầu (S) có tâm I (2;3; −7) , bán kính R = 89 có phương trình: ( x − ) + ( y − 3) + ( z + ) = 89 Câu 9b: Đặt z = a + bi 2 ( a, b ∈ ℝ ) số phức cần tìm Theo ta có: 2(a + b ) + (a + (b + 1)i ).(1 + i ) = a + b + 8a a + b − 7a − b − = ⇔ a + b − 8a + a + − (b − 1) + b + 1)i = ⇔ a + b + = 2− 2+ a = a = 2 Giải hệ phương trình ta được: − + − − b = b = 2 2+ 4+ 2− 4− i ;z = i số phức cần tìm Vậy z = − − 2 2 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2014! ...Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 1 ⇔ ( ( x + y ) − 1) + ( x + y ) + 1 = ⇔ x + y = x +... − ln t − = − ln ⇒H =∫ t t t 1 t 1 2 π π π x dx = ∫ 1 + tan x 0 cos x (1 + cos x ) cos 2 x dx π Đặt t = tan → dt = Khi x = → t = 0; x = → t = 2 cos x 2 +) Tính K = ∫ dx = ∫... cao kỳ TSĐH 2014! Khóa học Luyện thi – 10 mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng Tam giác B ' H ' C ' vuông H nên B ' H = BB '2 − B ' H = ⇒ S A ' B 'C ' = Facebook: LyHung95 a 3 A ' B '.B ' C '.sin 600