VỀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CẠNH TRANH TRONG KHÔNG GIAN LIÊN TỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————— Trần Thị Thu Hiền VỀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CẠNH TRANH TRONG KHÔNG GIAN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ CAO HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————— Trần Thị Thu Hiền VỀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH CẠNH TRANH TRONG KHƠNG GIAN LIÊN TỤC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ CAO HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS LÊ VĨ Hà Nội - 2019 Lời cảm ơn Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Vĩ - người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho tơi để hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Học viên Trần Thị Thu Hiền i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình Markov 1.2.2 Quá trình Levy 1.2.3 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ trường 1.2.5 Xác suất có điều kiện 1.2.6 Martingale 1.3 Tích phân ngẫu nhiên 1.3.1 Một số khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.3.3 Công thức Ito 1.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.5 Bài toán martingale 2 2 10 24 28 30 31 32 35 37 37 38 39 46 Quá trình phân nhánh 2.1 Quá trình phân nhánh thời gian rời rạc 2.1.1 Hàm sinh 48 49 50 ii 2.2 2.1.2 Tính cộng tính 51 2.1.3 Moment 51 2.1.4 Các tính chất hàm sinh 52 2.1.5 Xác suất tuyệt chủng 53 Q trình phân nhánh khơng gian liên tục - CBP (continuousstate branching process) 54 2.2.1 Biến đổi Lamperti 55 2.2.2 Động thái dài hạn 58 2.2.3 Q trình bảo tồn 59 2.2.4 Xác suất tuyệt chủng 60 2.2.5 Hàm sinh 64 2.2.6 Dạng phương trình vi phân CBP 67 Quá trình phân nhánh cạnh tranh 3.1 Định nghĩa 3.2 Hàm sinh 3.3 Định lý tồn nghiệm 69 69 70 71 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 iii MỞ ĐẦU Q trình ngẫu nhiên có lịch sử bắt nguồn từ nghiên cứu GaltonWalson tuyệt chủng quần thể Trong đó, q trình phân nhánh trình ngẫu nhiên quan trọng tốn lý thuyết tốn ứng dụng Q trình phân nhánh mô tả diễn biến theo thời gian quần thể giống loài, nơi mà cá thể sinh sản chết độc lập với Tuy nhiên, thực tế, điều kiện độc lập lý tưởng Chính vậy, mơ hình phân nhánh cạnh tranh bắt đầu quan tâm nghiên cứu Luận văn "Về trình phân nhánh trình phân nhánh cạnh tranh khơng gian liên tục" gồm : • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Quá trình phân nhánh • Chương 3: Q trình phân nhánh cạnh tranh không gian liên tục Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta trình bày số định nghĩa, kết không gian xác xuất, biến ngẫu nhiên số trình ngẫu nhiên để làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau 1.1 Không gian xác suất biến ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất Tập hợp kết phép thử ngẫu nhiên (mà kết khơng dự đốn được) gọi khơng gian mẫu ký hiệu Ω Mỗi tập hợp A ⊂ Ω biến cố Ta giả định Ω tập khác rỗng • Một họ biến cố F gọi trường (đại số) nếu: (i) F chứa không gian mẫu, hay Ω ∈ F (ii) F kín phép lấy phần bù Tức A ∈ F → Ac ∈ F , Ac = Ω \ A (iii) F kín phép lấy hợp hữu hạn Tức Ak ∈ F, k = 1, 2, , n n Ak ∈ F k=1 • Một họ biến cố F gọi σ - đại số nếu: (i) F chứa không gian mẫu, Ω ∈ F (ii) F kín phép lấy phần bù A ∈ F Ac ∈ F , Ac = Ω\A (iii) F kín phép lấy hợp đếm Tức An ∈ F, n = 1, 2, ∞ An ∈ F n=1 • Khơng gian đo cặp (Ω, F), Ω khơng gian mẫu đó, F σ - đại số • Giả sử C tập mà phần tử tập Ω Khi ta nói C lớp Ta ký hiệu 2Ω lớp gồm tất tập Ω Đó σ - đại số lớn Trong lớp gồm hai tập: (Ω, ∅) σ - đại số bé Giao σ - đại số chứa C σ - đại số chứa C Vì thế, tồn σ - đại số bé chứa C Ta ký hiệu σ - đại số σ(C), gọi σ - đại số sinh từ C • Ta nói dãy (hữu hạn vô hạn) tập (An ) phân hoạch Ω, hợp chúng Ω chúng rời cặp, tức là, Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j Trong trường hợp ta viết Ω= An n Dễ dàng thấy, σ - đại số sinh từ phân hoạch lớp tất tập dạng An , n ∈ I I tập {1, 2, } • Cho An dãy tập Ω Ký hiệu ∞ ∞ lim sup An = n ∞ Ak , ∞ lim inf An = n n=1 k=n Nếu lim sup An = lim inf An n n Ak n=1 k=n ta nói (An ) có giới hạn, ký hiệu tập lim An • Khi Ω không gian metric, ta ký hiệu B σ - đại số sinh từ tập mở, gọi B σ - đại số Borel • Độ đo σ - đại số F ánh xạ µ : F → [0, ∞] cho tồn A = ∅, A ∈ F với µ(A) < ∞ An ∈ F, n = 1, 2, dãy tập rời cặp ∞ ∞ µ An = n=1 µ(An ) n=1 Độ đo µ hữu hạn µ(Ω) < ∞ Độ đo µ σ - hữu hạn hay hữu hạn đếm ∞ Ω= An , An ∈ F, µ(An ) < ∞, ∀n = 1, 2, n=1 Tập B ⊂ Ω gọi tập có µ - độ đo khơng tồn A ∈ F cho B ⊂ A, µ(A) = Độ đo µ gọi đủ F chứa tất tập có µ - độ đo không σ - đại số bổ sung F µ định nghĩa theo cơng thức sau : Fµ = C ⊂ Ω|tồn A1 , A2 ∈ F, A1 ⊂ C ⊂ A2 , µ(A1 \ A2 ) = • Giả sử F σ - đại số tập F Mỗi phần tử F gọi biến cố Nếu A biến cố A xảy kết phép thử thuộc vào A Không gian mẫu Ω biến cố chắn tập ∅ biến cố Ánh xạ P : F → R thỏa mãn điều kiện: (i) ≤ P (A) ≤ 1, (ii) P (Ω) = 1; P (∅) = 0, (iii) Nếu dãy (An ) biến cố đôi xung khắc với : ∞ P ∞ An n=1 = P (An ) n=1 • Khi P độ đo chuẩn hóa, tức P(Ω) = Ta gọi P (A) xác suất biến cố A Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Như vậy, không gian xác suất khơng gian có độ đo, độ đo P(A) thỏa mãn P(Ω) = Độ đo P(A) gọi độ đo xác suất (Ω, F) Xác suất có điều kiện định nghĩa theo công thức : P(A|B) = 1.1.2 P(A ∩ B) , P(B) P(B) > Biến ngẫu nhiên kỳ vọng Biến ngẫu nhiên Là đại lượng mà giá trị phụ thuộc vào kết phép thử Biến ngẫu nhiên ánh xạ X : Ω → R cho (X ≤ x) = {ω ∈ Ω|X(ω) ≤ x} ∈ F, ∀x ∈ R • Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X xác định theo công thức F (x) = P {X ≤ x} , x ∈ R với tính chất sau: (i) Khơng giảm (ii) Liên tục bên phải (iii) lim F (x) = lim F (x) = x→−∞ x→+∞ Biến ngẫu nhiên X gọi rời rạc tập tất giá trị hữu hạn hay đếm Ký hiệu (x1 , x2 , ) giá trị X Dãy phân phối xác suất X pn = P(X = xn ) với n = 1, 2, Dãy có tính chất : (i) Khơng âm, pn ≥ 0, ∀n = 1, 2, pn = (ii) n Biến ngẫu nhiên X gọi liên tục hàm phân phối xác suất có đạo hàm Khi đó, f (x) = F (x), x ∈ R hàm mật độ Hàm số có tính chất: Ngược lại, cố định tích phân, lấy giới hạn − θ ↑ ∞ ut (∞) < ∞ Giả sử 2.18 , ta có ut (θ) dξ θ ψ(ξ) = t ∞ dξ = t ut (∞) ψ(ξ) (2.19) Vì Px (Yt = 0) đơn điệu tăng đến p(x) ut (∞) = −x−1 log Px (Yt = 0), ∞ ta có ut giảm đến số lớn c ≥ t ↑ ∞ cho c ψ(ξ) dξ tiến đến vô hạn Với mức độ lồi mịn ψ , số c cần dựa nghiệm ψ [0, ∞) Có nhiều hai điểm thỏa mãn, giá trị lớn c = Φ(0) ∈ [0, ∞) Cuối cùng, rõ ràng p(x) = lim e−xut (∞) = e−Φ(0)x t↑∞ Hệ 2.2.1 Mỗi q trình phân nhánh khơng gian liên tục với chế ψ thỏa mãn ψ(∞) = ∞ ∞ < ∞, ψ(ξ) ta có p(x) < với x > ψ (0+) < Cuối cùng, ta có trường hợp cho xác suất tuyệt chủng p(x) sau Điều kiện p(x) ψ(∞) < 0 ψ(∞) = ∞, ∞ dξ ψ(ξ) =∞ ψ(∞) = ∞, ψ (0+) < 0, ∞ dξ ψ(ξ) < ∞ eΦ(0)x ∈ (0, 1) ψ(∞) = ∞, ψ (0+) ≥ 0, ∞ dξ ψ(ξ) 0 với ∆x(s) = x(s) − x(s−) Đặt N (ds, dz) phần bù độ đo khả đoán N (ds, dz) Khi N (ds, dz) = x(s−)dsΠdz (3b) Đặt     N (ds, dz) = N (ds, dz) − N (ds, dz)     t → Mtσ martingale địa phương liên tục biến phân bậc hai σ x(t)dt       t → Mt = t ∞ z N (ds, dz) martingale địa phương không liên tục 0 Ta có : t x(t) = x(0) + Mtσ + Mt + bx(s)ds (4) Với f ∈ C (R+ ), ta có t f (x(t)) = f (x(0)) + Lf (x(s))ds + martingale địa phương 65 Chứng minh Hiển nhiên (1) {x(t) : t ≥ 0} q trình Markov tương thích với lọc Ft ma trận xác suất chuyển (Qt )t≥0 (Xem công thức (2.21) (1) ⇒ (2) Giả sử (1) Khi {x(t) : t ≥ 0} trình Markov với ma trận chuyển Theo tính chất Markov, ta có: t Xt (λ) := e −λx(t) x(s)ψ(λ)e−λx(s) ds − martingale Áp dụng tích phân phần cho Zt (λ) := e−λx(t) Wt (λ) := e t −x(s)ψ(λ)ds ta có dHt (λ) = e−λx(t−) dWt (λ) + Wt (λ)de−λx(t) = Wt (λ)dXt (λ) Khi đó, {Ht (λ)} martingale địa phương (2) ⇒ (3) Với λ ≥ 0, ta xác định Zt (λ) Wt (λ) theo công thức Ta có Zt (λ) = Ht (λ)Wt (λ)−1 dZt (λ) = Wt (λ)−1 dHt (λ) + Zt− (λ)x(t−)ψ(λ)dt Theo cơng thức Ito, q trình {Zt (λ)} semi-martingale đặc biệt Ta định nghĩa độ đo ngẫu nhiên N (ds, dz) [0, ∞] × R sau: N (ds, dz) = 1{∆x(s)=0} δ(s,∆x(s)) (ds, dz) s>0 với ∆x(s) = x(s) − x(s−) Đặt N (ds, dz) phần bù độ đo khả đoán N (ds, dz), N (ds, dz) phần bù độ đo ngẫu nhiên Ta có x(t) = x(0) + Ut + Mtσ + Mt , 66 với {Ut } trình khả đoán biến phân bị chặn; {Mtσ } martingale địa phương liên tục; ∞ t Mt = z N (ds, dz), t≥0 martingale địa phương khơng liên tục Gọi {Ct } q trình biến phân bậc hai {Mtσ } Theo công thức Ito, ta có t Zt (λ) = Z0 (λ) − λ t Zs− (λ)dUs + λ2 Zs− (λ)dCs t Zs− (λ)(e−zλ − + zλ)N (ds, dz) + martingale địa phương + R Từ hệ thức sau, ta dễ dàng nhận tính chất (3) x(t)ψ(λ)dt = λ2 dCt − λdUt + (e−zλ − + zλ)N (dt, dz) R (3) ⇒ (4) Dễ dàng thu từ công thức Ito 2.2.6 Dạng phương trình vi phân CBP Trên khơng gian xác suất có lọc (Ω, F, Ft , P), cho {Xt , t ≥ 0} trình giới hạn trái liên tục phải R+ (ψ) biểu diễn (2.20) Π(dz) độ đo hữu hạn (0, ∞) Cho (Qt )t≥0 nửa nhóm chuyển xác định (2.21) (2.22) Giả sử σ ≥ b số Đặt: - {W (ds, du)} chuyển động Brownian (0, ∞)2 độ đo Lebesgue dsdu - {N (ds, dz, du)} độ đo Poisson ngẫu nhiên (0, ∞)3 với cường độ dsΠ(dz)du Ta giả sử chuyển động Brownian trình Poisson độc lập với Ta có N (ds, dz, du) phần bù độ đo {N (ds, dz, du)} Với x ≥ 0, tồn quỹ đạo không âm lời giải phương trình ngẫu nhiên: 67 t Xt = x + t Xs bXs ds + σ ∞ t Xs− W (ds, du) + 0 z N (ds, dz, du), 0 (2.23) Nhận xét 2.2.1 Mỗi nghiệm X(x) = {Xt (x) : t ≥ 0} có tính chất: (i) Với x ≥ 0, t → Xt (x) trình giới hạn trái liên tục phải [0, ∞) (ii) Với t ≥ 0, x → Xt (x) q trình giới hạn trái, liên tục phải, khơng âm không giảm [0, ∞) Áp dụng công thức Ito cho {Xt } t f (Xt ) = f (x) + σ2 f (Xs− )dXs + t f (Xs− )ds (2.24) (∆f (Xs ) − f (Xs− )∆Xs ) + s≤t Từ đó, {Xt } có tốn tử L hàm sinh Do tính chất nghiệm tốn Martingale, {Xt } q trình phân nhánh theo chế ψ 68 Chương Quá trình phân nhánh cạnh tranh Trong tự nhiên, quần thể sinh học lồi, sinh sống khoảng khơng gian thời gian xác định ln có xu hướng đạt đến trạng thái cân (mặc dù trạng thái dao động) Thực tế, cá thể không phát triển độc lập mà có xu hướng hỗ trợ vừa cạnh tranh với để đảm bảo tính ổn định Chính vậy, cần thiết để mở rộng q trình phân nhánh thành trình phân nhánh cạnh tranh Đây hướng nghiên cứu đại, thú vị Trong chương này, tơi trình bày khái niệm, định lý tồn nghiện, hàm sinh q trình phân nhánh cạnh tranh khơng gian liên tục 3.1 Định nghĩa Xét trình phân nhánh khơng gian liên tục viết dạng phương trình vi phân sau : t Xtx = x+ Zsx t bXs ds + σ x Zs− ∞ t W (ds, du) + 0 z N (ds, dz, du), 0 với W chuyển động Brownian, N phần bù độ đo ngẫu nhiên Poisson Một cách để mở rộng trình phân nhánh thay hàm tuyến tính bXs thành hàm khơng tuyến tính f (Xs ) 69 Ta xác định trình phân nhánh cạnh tranh: t Xtx Xsx t f (Xsx )ds+σ = x+ x Xs− ∞ t W (ds, du)+ 0 z N (ds, dz, du) 0 (3.1) Sự ảnh hưởng tác động qua lại làm tăng khả sinh sản giảm số lượng cá thể quần thể, đặc biệt giống loài quý Ta giả định quy mô, số lượng cá thể lớn giới hạn, tương tác thuộc loại cạnh tranh Câu hỏi đặt là: trường hợp tương tác đủ mạnh để dẫn đến tuyệt chủng Hàm khơng tuyến tính f (Xs ) làm tính độc lập cá thể thỏa mãn giả thuyết sau: Giả thuyết Giả sử f ∈ C(R+ , R), f (0) = Tồn số θ ≥ thỏa mãn: f (x + y) − f (x) ≤ θy ∀x, y ≥ Hàm θy − f (y) hàm tăng Tỷ lệ cạnh tranh tùy ý mức độ cộng sinh phụ thuộc số θ: f (y) ≤ θy y ≥ 3.2 Hàm sinh Áp dụng công thức Ito cho trình ngẫu nhiên Xt , ta có: t g(Xtx ) = g(x) + g (Xtx )dXs σ2 + t g (Xs− )ds (3.2) (∆g(Xs ) − g (Xs )∆Xs ) + s≤t Quá trình Xtx : t ≥ nghiệm toán Martingale với hàm sinh L xác định: σ2 Lg(x) = f (x)g (x) + xg (x) + [∆g(y) − g (y)∆y] 70 (3.3) 3.3 Định lý tồn nghiệm Trước tiên ta trình bày định lý tồn nghiệm Người đọc tham khảo báo [1] Donald A Dawson Zenghu Li Định lý 3.3.1 Xác định nghiệm khơng âm q trình ngẫu nhiên t Xt = x+ t Xs− f (Xs− )ds+σ ∞ t Xs− W (ds, du)+ 0 z N (ds, dz, du) 0 Quá trình {Xt : t ≥ 0} trình phân nhánh với chế ψ Ta chứng minh số kết phương trình ngẫu nhiên trình chiều có bước nhảy dương độ đo ngẫu nhiên Poisson Gọi E, U không gian topo tách rời định nghĩa khơng gian metric đủ Giả sử π(dz), µ(du), độ đo σ− hữu hạn Borel E, U tương ứng Ta nhận tham số (σ, b, g) nếu: • x → b(x) hàm liên tục R+ thỏa mãn b(0) ≥ 0; • (x, u) → σ(x, u) hàm Borel R+ × E thỏa mãn σ(0, u) = với u ∈ E ; • (x, u) → g(x, u) hàm Borel R+ × U thỏa mãn g(0, u) = g(x, u) + x ≥ với x > u ∈ U ; Đặt: - {W (ds, du)} chuyển động Brownian (0, ∞) × E với cường độ dsπ(dz) - {N (ds, du)} độ đo ngẫu nhiên Poisson (0, ∞) × U với cường độ dsµdu Giả sử {W (ds, du)}, {N (ds, du)} định nghĩa không gian xác suất đủ (Ω, F, P) độc lập với Đặt N (ds, dz, du) phần bù độ đo {N (ds, dz, du)} Một trình giới hạn trái liên tục phải 71 {x(t) : t ≥ 0} gọi nghiệm của: t x(t) = x(0) + σ (x(s), u) W (ds, du) E t + (3.4) t b (x(s)) ds + g (x(s), u) N (ds, du) U q trình thỏa mãn phương trình ngẫu nhiên hầu chắn chắn với t ≥ Ta xây dựng điều kiện sau: (2a) Xác định số K ≥ thỏa mãn: b(x) ≤ K(1 + x), ∀x ≥ (2b) Xác định hàm không giảm x → L(x) R+ hàm Borel (x, u) → g (x, u) R+ × U thỏa mãn sup |g(y, u)| ≤ g(x, u) 0≤y≤x σ(x, u)2 π(du) + E g(x, u) ∧ g(x, u)2 µ(du) ≤ L(x), ∀x ≥ U (2c) Với m ≥ 1, xác định hàm không âm, không giảm z → ρm (z) R+ cho 0+ ρmdz(z)2 = ∞, |σ(x, u) − σ(y, u)| π(du) ≤ ρm (|x − y|)2 E µ(du) U l(x, y, u)2 (1 − t)1{|l(x,y,u)|≤n} ρm (|(x − y) + tl(x, y, u)|) dt ≤ c(m, n) Tại đó, l(x, y, u) = g(x, u) − g(y, u) hệ số c(m, n) ≥ 0, 1, ≤ x, y ≤ m ∀n≥ Định lý 3.3.2 Giả sử (σ, b, g) tham số thỏa mãn điều kiện (2a) − (2c) Khi đó, nghiệm (3.4) quỹ đạo 72 Chứng minh Ta cố định số nguyên m ≥ Đặt a0 = chọn ak → cho ak−1 ak dz = k, k ≥ ρm (z)2 Gọi x → ϕk (x) hàm liên tục không âm khoảng (ak , ak−1 ) R thỏa mãn: ak−1 ϕk (x)dx = 1, ak ≤ ϕk (x) ≤ , với ak < x < ak−1 kρm (x)2 Với k ≥ ta định nghĩa hàm không âm, liên tục khả vi hai lần : |z| y dy ψk (z) = z ∈ R ϕk (x)dx, (3.5) Khi k → ∞, ψk (z) → |z| hàm không giảm ≤ ψk (z) ≤ với z ≥ Theo điều kiện (2b) cách chọn x → ϕk (x), với ≤ x, y ≤ m ψk (x − y) E |σ(x, u) − σ(y, u)| π(du) ≤ ϕk (|x − y|)ρm (|x − y|) ≤ (3.6) k Khi đó, vế trái tiến dần ≤ x, y ≤ m k → ∞ Dh không gian chứa h− điểm dịch chuyển cuả chuyển động Brownian Wt : Dh := {x = (x1 , , xh ) ∈ R : ≤ x1 ≤ · · · ≤ xh ≤ 1} Với h, ζ ∈ R, theo mở rộng Taylor ta có: 1 h2 ϕk (|ζ + th|)(1 − t)dt h ψk (ζ + th)(1 − t)dt = Dh ψk (ζ) = 0 ⇒ Dh ψk (ζ) ≤ k h2 1−t dt ρm (|ζ + th|)2 (3.7) Khi Dh ψk (ζ) = ∆h ψk (ζ) − ψk (ζ)h ≤ 2|h| 73 (3.8) Từ (3.7) (3.8), với điều kiện ≤ x, y ≤ m n ≥ 1, ta có: Dl(x,y,u) ψk (x − y)µ(du) U ≤ k µ(du) U l(x, y, u)2 (1 − t)1{|l(x,y,u)|≤n} ρm (|(x − y) + tl(x, y, u)|) |l(x, y, u)|1{|l(x,y,u)|>n} µ(du) +2 dt (3.9) U ≤ c(m, n) + g(m, u)1{g(m,n)> n } µ(duν) k U Từ điều kiện (2b) - (2c), ta thấy vế phải tiến dần ≤ x, y ≤ m k → ∞ Vậy quỹ đạo x(t) Ta đưa điều kiện tương tự (2c) hàm không giảm số trường hợp đặc biệt: (2d) Với u ∈ U , hàm x → g(x, u) không tăng, với m ≥ 1, tồn hàm không âm, không giảm z → ρm (z) R+ thỏa mãn −2 0+ ρm (z) dz = ∞ và: |σ(x, u)−σ(y, u)|2 π(du)+ E |l(x, y, u)|∧|l(x, y, u)|2 µ(du) ≤ ρm (|x−y|)2 U với ≤ x, y ≤ m l(x, y, u) = g(x, u) − g(y, u) Định lý 3.3.3 Giả sử (σ, b, g) tập tham số thỏa mãn điều kiện (2a), (2b), (2d) Khi đó, xác định nghiệm cho (3.4) Đầu tiên, ta xây dựng q trình ngẫu nhiên x(t) khơng âm nghiệm yếu Từ định lý (3.3.2), hệ bổ đề Fu Li (2010), ta chứng minh phương trình có nghiệm Vậy nên q trình ngẫu nhiên ban đầu nghiệm thỏa mãn Hệ 3.3.1 Khi tham số (σ, b, g) thỏa mãn điều kiện (2a), (2b), (2c) (2d) tồn q trình {Xt } nghiệm (3.1) 74 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề trình phân nhánh trình phân nhánh cạnh tranh không gian liên tục Trong đó, luận văn đưa cơng thức q trình phân nhánh cạnh tranh Điều quan trọng luận văn trình bày cách hệ thống trình xây dựng khái niệm làm rõ công cụ tốn học cần thiết cho việc tìm hiểu nội dung Việc hiểu rõ q trình phân nhánh cạnh tranh không gian liên tục tạo tảng vững cho việc nghiên cứu mở rộng lên mơ hình phân nhánh tổng qt Ngày nay, vấn đề mở rộng nhiều khía cạnh để mô tả thực chất phát triển quần thể Do việc nghiên cứu khơng có điểm dừng ngày phức tạp 75 Tài liệu tham khảo [A] Bài báo đăng tạp chí khoa học [1] Donald A Dawson and Zenghu Li (2012), Stochastic equations, flows and measure - values processes , The Annals of Probability, 2012 , Vol.40, No.2, 813-857 [B] Sách tiếng Việt [2] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng , Phần IXích Markov ứng dụng, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia [3] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng , Phần III- Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia [4] Đặng Hùng Thắng, Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên , Nhà xuất Đại Học Quốc Gia [C] Sách tiếng Anh [5] Athreya K.B, Ney P.E (1972) Branching Processes ,Springer-Verlag, New York [6] Harris, T.E (1963) The Theory of Branching Processes, Springer, Berlin [7] Robert B Ash (2008) Basis Probability Theory, Dover Publications, INC, Mineola, New York [8] Sheldon M Ross.(2010) A first course in Probability, Eighth Edition, Pearson Education, INC, River, New Jersey 76 [9] Sheldon M Ross (2010) Introduction to Probability Models, Tenth Edition, Elsevier INC [10] Sheldon M Ross (1996) Stochastic Process, Second Edition, John Wiley and Sons, INC, New York [11] Andreas E Kyprianou (2006) Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications, Springer [12] Zenghu Li (2012) Continuous - state branching processes, Beijing Normal University [D] Luận văn Thạc sĩ [13] Nguyễn Thị Thu (2017), Quá trình phân nhánh ứng dụng , Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Việt Nam [14] Vũ Đức Thắng (2014), Giải tích ngẫu nhiên ứng dụng thị trường tài , Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội, Việt Nam 77 ... ngẫu nhiên 1.5 Bài toán martingale 2 2 10 24 28 30 31 32 35 37 37 38 39 46 Quá trình phân nhánh 2.1 Quá trình phân nhánh thời gian rời rạc 2.1.1... trình phân nhánh cạnh tranh 3. 1 Định nghĩa 3. 2 Hàm sinh 3. 3 Định lý tồn nghiệm 69 69 70 71 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76... Tích phân ngẫu nhiên 1 .3. 1 Một số khái niệm liên quan đến q trình ngẫu nhiên 1 .3. 2 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1 .3. 3 Công thức Ito 1.4 Phương