Dạy học bài toán chứng minh bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực

LỜI CẢM ƠN Lời em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ em thực đề tài, hồn thành khóa luận Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo khoa Tốn Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực có hạn chế, có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý Thầy bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Hương LỜI CAM ĐOAN Với hướng dẫn tận tình Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà, sau thời gian nghiên cứu thực đề tài, tơi hồn thành khóa luận Để thực đề tài, sử dụng tham khảo kết nhà khoa học, số sách tham khảo bất đẳng thức Tôi xin cam đoan khóa luận với đề tài “ Dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trường trung học phổ thơng theo phương pháp dạy học tích cực” nghiên cứu tôi, không trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Hương DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU TỐN HỌC BBT: Bảng biến thiên GV: Giáo viên GTNN: Gía trị nhỏ HS: Học sinh PPDH: Phương pháp dạy học THPT: Trung học phổ thông VT: Vế trái cyc  f a, b, c  f a, b, c  f b, c, a  f c, , b, a KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học tích cực 1.2 Lý luận chung toán 1.3 Những kiến thức liên quan đến bất đẳng thức CHƯƠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 13 2.1 Phương pháp tích cực vận dụng chứng minh bất đẳng thức 13 2.2 Vận dụng phương pháp tích cực chứng minh bất đẳng thức 18 2.2.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức 18 2.2.2 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào hàm số 28 2.2.3 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào cách đặt ẩn phụ 47 2.2.4 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách kết hợp nhiều phương pháp khác 51 2.2.5 Khai thác toán chứng minh bất đẳng thức 54 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học có vai trò quan trọng trình hình thành phát triển tư học sinh Trong tốn học phổ thơng, tốn bất đẳng thức chiếm vị trí đặc biệt quan trọng, xuất hầu hết kỳ thi tuyển sinh cấp, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán cấp tỉnh, cấp Quốc Gia, Quốc Tế… thường xuất dạng tốn khó đề Đề toán bất đẳng thức phát biểu ngắn gọn, sáng sủa, đẹp đẽ học sinh lại gặp nhiều khó khăn tìm lời giải khó khăn kỹ khai thác chúng Trước vấn đề tơi nhận thấy cần tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề Nhưng biết khơng có chìa khố vạn “mở khố” tốn Trong việc giảng dạy tốn học, làm cho học sinh giải vấn đề đặt tốn cách sáng tạo, hồn chỉnh khai thác tốn cần thiết Bất đẳng thức nội dung hay Tốn phổ thơng, nội dung quan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức nhiều phương diện khác giúp học sinh linh hoạt lựa chọn hình thức thể nội dung Điều kích thích tư biện chứng, tư sáng tạo cho em Tuy nhiên, bất đẳng thức nội dung khó, khơng đổi phương pháp dạy học dẫn đến tình trạng truyền thụ chiều Định hướng đổi phương pháp dạy học tích cực hóa việc học người học Để giải mâu thuẫn người thầy cần tăng cường giao lưu thầy trò q trình dạy học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho em Có vừa tích cực hóa việc học người học vừa rèn luyện tính linh hoạt nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau, nhằm nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh Từ lý trên, đề tài chọn : “Dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trường trung học phổ thông theo phương pháp dạy học tích cực” KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu vận dụng số phương pháp dạy học tích cực dạy học tốn chứng minh bất đẳng thức cho học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu phương pháp dạy học gợi mở vấn đáp, phát giải vấn đề - Vận dụng phương pháp dạy học tích cực dạy học toán chứng minh bất đẳng thức trường THPT Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toán chứng minh bất đẳng thức trường trung học phổ thông Phạm vi nghiên cứu: Một số lớp toán thường gặp bất đẳng thức trường trung học phổ thông Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề liên quan đến đề tài định hướng cho việc nghiên cứu; phân tích tổng hợp quan điểm dựa tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học mơn Tốn tài liệu bất đẳng thức Ý nghĩa đề tài Góp phần đổi phương pháp giảng dạy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo cho học sinh Từ nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức trường THPT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Phương pháp dạy học tích cực 1.1.1 Phương pháp dạy học tích cực gì? a Định hướng đổi phương pháp dạy học Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định Nghị Trung ương khóa VII (1 - 1993), Nghị Trung ương khóa VIII (12 - 1996), thể chế hóa Luật Giáo dục (12 - 1998), cụ thể hóa thị Bộ Giáo dục Đào tạo, đặc biệt thị số 15 (4 - 1999) Luật Giáo dục, điều 24.2, ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Có thể nói cốt lõi đổi dạy học hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động b Phương pháp dạy học tích cực Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) thuật ngữ rút gọn, dùng nhiều nước để phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học "Tích cực" PPDH - tích cực dùng với nghĩa hoạt động, chủ động, trái nghĩa với không hoạt động, thụ động không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực PPDH tích cực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức người học Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy đạo cách học, ngược lại thói quen học tập trò ảnh hưởng tới cách dạy thầy Chẳng hạn, có trường hợp học sinh đòi hỏi cách dạy tích cực hoạt động giáo viên chưa đáp ứng được, có trường hợp giáo viên hăng hái áp dụng phương pháp dạy học tích cực khơng thành cơng học sinh chưa thích ứng, quen với lối học tập thụ động Vì vậy, giáo viên phải kiên trì dùng cách dạy hoạt động để xây dựng cho học sinh phương pháp học tập chủ động cách vừa sức, từ thấp lên cao.Trong đổi phương pháp dạy học phải có hợp tác thầy trò, phối hợp nhịp nhàng hoạt động dạy với hoạt động học thành cơng Như vậy, việc dùng thuật ngữ "Dạy học tích cực" để phân biệt với "Dạy học thụ động" 1.1.2 Đặc trưng phương pháp dạy học tích cực a Dạy học thông qua tổ chức hoạt động học tập học sinh KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Toán Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng hoạt động "dạy", đồng thời chủ thể hoạt động "học" - hút vào hoạt động học tập GV tổ chức đạo, thơng qua tự lực khám phá điều chưa rõ khơng phải thụ động tiếp thu tri thức GV đặt Được đặt vào tình đời sống thực tế, người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải vấn đề đặt theo cách suy nghĩ mình, từ nắm kiến thức kĩ mới, vừa nắm phương pháp "làm ra" kiến thức, kĩ đó, khơng rập theo khn mâu sẵn có, bộc lộ phát huy tiềm sáng tạo Dạy theo cách GV khơng giản đơn truyền đạt tri thức mà hướng dẫn hành động Chương trình dạy học phải giúp cho HS biết hành động tích cực tham gia chương trình hành động cộng đồng b Dạy học trọng rèn luyện phương pháp tự học Phương pháp tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho HS không biện pháp nâng cao hiệu dạy học mà mục tiêu dạy học Phải quan tâm dạy cho HS phương pháp học từ bậc Tiểu học lên bậc học cao phải trọng Trong phương pháp học cốt lõi phương pháp tự học Nếu rèn luyện cho người học có phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có người, kết học tập nhân lên gấp bội Vì vậy, ngày người ta nhấn mạnh mặt hoạt động học qúa trình dạy học, nỗ lực tạo chuyển biến từ học tập thụ động sang tự học chủ động, đặt vấn đề phát triển tự học trường phổ thông, không tự học nhà sau lên lớp mà tự học tiết học có hướng dẫn GV c Dạy học coi trọng hướng dẫn tìm tòi Thơng qua hướng dẫn tìm tòi, GV giúp em phát triển kĩ giải vấn đề khẳng định HS xác định phương pháp học thông qua hoạt động Dấu hiệu đặc trưng không đặc biệt có hiệu với HS lớn tuổi mà áp dụng cho HS nhỏ tuổi có tài liệu cụ thể quan tâm GV Kinh nghiệm cho thấy cách để người học tìm lời giải đáp cho vấn đề đặt Về phía người dạy cần có hướng dẫn kịp thời giúp cho tìm tòi người học đạt kết tốt d Tăng cường học tập cá thể, phối hợp với học tập hợp tác Trong lớp học mà trình độ kiến thức, tư học sinh khơng thể đồng tuyệt đối áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận phân hóa cường độ, tiến độ hồn thành nhiệm vụ học tập, học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn thiết kế thành chuỗi cơng tác độc lập Áp dụng phương pháp tích cực trình độ cao phân hóa lớn Việc sử dụng phương tiện KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Nguyễn Thị Lan Hương – K36B SP Tốn cơng nghệ thơng tin nhà trường đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu khả học sinh Tuy nhiên, học tập, tri thức, kĩ năng, thái độ hình thành hoạt động độc lập cá nhân Trong nhà trường, phương pháp học tập hợp tác tổ chức cấp nhóm, tổ, lớp trường Được sử dụng phổ biến dạy học hoạt động hợp tác nhóm nhỏ đến người Học tập hợp tác làm tăng hiệu học tập, lúc phải giải vấn đề gay cấn, lúc xuất thực nhu cầu phối hợp cá nhân để hoàn thành nhiệm vụ chung Trong kinh tế thị trường xuất nhu cầu hợp tác xuyên quốc gia, liên quốc gia, lực hợp tác phải trở thành mục tiêu giáo dục mà nhà trường phải chuẩn bị cho HS e Kết hợp đánh giá thầy với tự đánh giá trò Trong dạy học, việc đánh giá HS khơng nhằm mục đích nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động học trò mà đồng thời tạo điều kiện nhận định thực trạng điều chỉnh hoạt động dạy thầy Trong phương pháp tích cực, GV phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học GV cần tạo điều kiện thuận lợi để HS tham gia đánh giá lẫn Tự đánh giá điều chỉnh hoạt động kịp thời lực cần cho thành đạt sống mà nhà trường phải trang bị cho HS Theo hướng phát triển phương pháp tích cực để đào tạo người động, sớm thích nghi với đời sống xã hội, việc kiểm tra, đánh giá dừng lại yêu cầu tái kiến thức, lặp lại kĩ học mà phải khuyến khích trí thơng minh, óc sáng tạo việc giải tình thực tế Từ dạy học thụ động sang dạy học tích cực, GV khơng đóng vai trò đơn người truyền đạt kiến thức, GV trở thành người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn hoạt động độc lập theo nhóm nhỏ để HS tự lực chiếm lĩnh nội dung học tập, chủ động đạt mục tiêu kiến thức, kĩ năng, thái độ theo yêu cầu chương trình Trên lớp, HS hoạt động chính, GV nhàn nhã trước đó, soạn giáo án, GV phải đầu tư công sức, thời gian nhiều so với kiểu dạy học thụ động thực lên lớp với vai trò người gợi mở, xúc tác, động viên, cố vấn, trọng tài hoạt động tìm tòi hào hứng, tranh luận sơi HS GV phải có trình độ chun mơn sâu rộng, có trình độ sư phạm lành nghề tổ chức, hướng dẫn hoạt động HS mà nhiều diễn biến tầm dự kiến GV + Mối liên hệ bình phương x  y x  y , bình phương z  t z  xác định nào? t x  y 2  x  y 2  x  y  2a   z  t 2  z  t 2  2z  t   2b + Như cặp số x  y, x  y  , z  t, z  t  có tổng bình phương khơng phụ thuộc vào biến số + Để trình đánh giá có đẳng thức này, cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với cặp số ? Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số x  y, x  y  , z  t, z  t  Ta có (x  y)(z  t)  (x  y)(z  t)2   x  y     (x  y) (z  t)  (z  t)  2a 2b  4a b  2ab  (x  y)(z  t)  (x  y)(z  t)  2ab Ví dụ 3: Cho a,b,c  0;a,b  c Chứng minh c(a  c)  c(b  c)  ab Hướng dẫn Cách 1: Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxki + Hãy viết lại bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ax  by 2  a  b x   y2 + Mối liên hệ bình phương c a  c , bình phương c b  xác định nào? c  c   ac    a, c    bc   b, + Như cặp số ( c , a  c ) ( c b  c ) có tổng bình phương , khơng phụ thuộc vào biến số c + Để trình đánh giá có đẳng thức ta cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với cặp số nào? Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số ( b  c , c ) ( c , a  c ), ta có  c ac  b c   c  c    ac    c   2  bc    ab  c(a  c)  c(b  c)  ab Cách 2: Lượng giác + Hãy xác định mối liên hệ bình phương phương c ac ? c b  c , bình  c   ac    a, c    bc  b + Với liên hệ đại lượng biểu diễn qua hàm lượng giác ? c a.cos  , ac  a.sin  , c  b.cos , bc  b.sin  + Bất đẳng thức cần chứng minh chuyển bất đẳng thức lượng giác ? b cos  a sin   a cos  b.sin   ab + Chứng minh bất đẳng thức lượng giác nào? ab cos  sin   ab cos  sin   ab cos  sin   cos  sin   sin    đpcm Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức diện tích trong hình học B a a H A c C c b b D VT = AC BD = SABCD = 2SBCD  BC.CD  ab 2.2.5.2 Một số ví dụ sáng tạo bất đẳng thức Sáng tạo bất đẳng thức cách nhìn bất đẳng thức có theo phương diện Khi sáng tạo toán mới, người ta thường đặc biệt hoá, tổng quát hoá mở rộng kết có Tuy nhiên khơng phải tốn làm vây Phần lớn tốn bất đẳng thức có điều kiện biến ta sử dụng yếu tố để thay đổi phương diện bất đẳng thức, sáng tạo nhiều toán Sau toán minh hoạ Ví dụ 1: Cho a,b, c, số thực dương tùy ý d abc b2 c2   Chứng minh rằng: a  ab bc ca Nhận xét: Bài toán chứng minh đơn giản nhờ đánh giá dựa vào bất đẳng thức BunhiaCopski Sáng tạo bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức ban đầu y z t , c  , d  Khi ta có bất đẳng thức Ta đặt a  x,b  2 3y 2x  2x  y y  4z  2z 6z  3t  6x  3y  2z  t t  6t  36x 12 Bất đẳng thức phức tạp biến đổi che dấu chất tốn Có nhiều cách đổi biến để sáng tạo bất đẳng thức mới, kỹ thuật biến đổi phức tạp vấn đề khó tìm Ví dụ 2:Cho số dương a,b, c, d thoả mãn hệ thức abcd 1 1 1     1a 1 1 1d 2 b c y z t x Đặt a  ;b  ;c  ; d  , ta phải chứng minh x y z t Hãy chứng minh 1  x y  x y  t z  z y y x  1 z  y z  2 x t  z  t t  ( bất đẳng thức Nestbit) tx    Ví dụ 3: Ta có kết x  y  z  x  y  z  x  y  z Bất đẳng thức dễ dàng chứng minh tương đương với x  y  x  y   y  z  y  z   z  x z  x     4   3   Nhận xét: Bất đẳng thức tương đương với  x    y  z  x  y   xy z      z       x  y  z   x    y   yz  x   y  z   x   x  y  z  Bằng cách coi biểu thức số x  xy  z a ; x y y  z b ; z c, xyz Ta có tốn Chứng minh: 3a  b  c   a  b3  c ,a,b,c;a  b  c  Ví dụ 4: Xuất phát Bất đẳng thức Vasile Cirtoaje x  xy 1 Thay x  y yz 1  x, y, z  0; x  y  z  zx 1  z 3a 3b ;y ab ab c c đẹp khó z 3c a,b,c  Tác giả có kết ;z abc  Đề thi chọn đội dự tuyển toán Đại học Sư phạm năm 2007-2008 Chứng minh bất đẳng thức a  b  c  9ab  (a  b  c) a, b, c  9bc  (a  b  c) 2(a  b  c) 9ca  (a  b  c) x2 y2 z2    yz zx xy Ví dụ 5: Xuất phát:Với x, y, z  ta có x  y  z  Thay x  1 ;y ;z a b c Ta có tốn: Chứng minh  1  1 1 1 a2 (  ) b2 (  ) c2 (  ) b c c a a b 1 Khi abc 1 , thay  bc;  ca;  ab a b c  a,b, c  0; a  b  c 3 Ta có tốn 1    a b  c  b c  a  c  a  b  Cho a,b,c  abc 1 Chứng minh: Ví dụ 6: Xuất phát từ bất đẳng thức sin n  cos n Khai triển sinn   cosn đặt cos =x, sin =y ta có loạt bất đẳng thức với hai biến x, y thoả mãn x  y 1 2 Bài 1: Cho x  y 1 Chứng minh 2xy  x  y  Bài 2: Cho x  y 1 Chứng minh 3(x  y)  4(x  y )  2 3 Bài 3: Cho x  y 1 Chứng minh 8x  8x  4xy(x  y 2 1 ) Ví dụ 7: Xuất phát từ bất đẳng thức cos A  cos B  cosC 1 ABC Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác có ba góc B  C ; C  A ; A  B 2 Ta có tốn Cho tam giác ABC, chứng minh bất đẳng thức: sin A  sin 2 B  sin C  Chuyển sang phương diện hình học Ta có tốn Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I,r) Chứng minh bất đẳng thức    IA IB IC r Ví dụ 8: Xuất phát: tan  A  tan B  tan C ABC x 2sin x  cos x   Sử dụng công thức tan  x sin x sin x 2sin cos x 2  cot x Ta có tốn Chứng minh bất đẳng thức: AB C sin A  sin B  sin C  cot A  cot B  cot C  2 a b c ; Nhận xét: Áp dụng công thức cot A  cot B  cot C  4S bc ca ab    sin C 2S ; ; sin A 2S sin B 2S Ta có tốn: Chứng minh 2ab  2bc  2ca  a  b  c 3S ABC 4 KẾT LUẬN Trong chương trình Tốn phổ thơng, bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng Tuy nhiên, thực tế nhiều học sinh học bất đẳng thức chưa tốt, gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải tốn, điều làm cho em khơng hứng thú với chúng Mặt khác, nhiều giáo viên phổ thông lúng túng phương pháp giảng dạy bất đẳng thức, chưa vận dụng tốt phương pháp dạy học tích cực vào giảng dạy, làm cho việc dạy học chưa đạt hiệu cao Trước vấn đề đặt ra, khóa luận mình, tơi nêu ra: - Sự cần thiết phải đổi phương pháp giảng dạy toán chứng minh bất đẳng thức nhờ vào phương pháp dạy học tích cực, đó, chủ yếu hai phương pháp thường vận dụng trường phổ thông mang lại hiệu cao phương pháp gợi mở vấn đáp phương pháp dạy học phát giải vấn đề - Hệ thống câu hỏi gợi mở cho dạng tốn chứng minh bất đẳng thức, qua giúp em trước hết nhận dạng toán, phát giải vấn đề đặt - Hệ thống tập cho em thực hành vận dụng, nhằm tạo lập niềm tin vào khả giải tốn trước mắt, bên cạnh nhận xét nhỏ sau dạng tốn góp phần khắc sâu kiến thức, giúp em dần hình thành kỹ biết tự rút kinh nghiệm cho thân, giúp em thấy vẻ đẹp bất đẳng thức, ham thích, say mê nghiên cứu, tìm tòi, sáng tạo, giải tốn chứng minh bất đẳng thức, khám phá, khai thác sâu tốn Do thời gian kiến thức kinh nghiệm thân hạn chế, có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận nhận xét, góp ý Thầy cơ, bạn để khóa luận tơi hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng năm 2014 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Hà (1999), Phương pháp toán sơ cấp, NXB ĐHSP Hà Nội Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo Bất đẳng thức, NXB Tri thức Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học mơn Tốn , NXB ĐHSP Trần Thị Tuyết Oanh (Chủ biên) – Phạm Khắc Chương – Phạm Viết Vượng – Bùi Minh Hiền – Nguyễn Ngọc Bảo – Bùi Văn Quân – Phan Hồng Vinh – Từ Đức Văn (2012), Giáo trình Giáo dục học – Tập 1, NXB ĐHSP Trần Thị Tuyết Oanh – Phạm Khắc Chương – Phạm Viết Vượng – Nguyễn Văn Diện – Lê Tràng Định (2013), Giáo trình Giáo dục học – Tập 2, NXB ĐHSP Ngô Thế Phiệt (2007), Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, NXB GD Trần Phương (2000), Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB TP HCM Trần Phương (2012), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức ... DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 2.1 Phương pháp tích cực vận dụng chứng minh bất đẳng thức Một nhà khoa học nói phát minh khoa học. .. chứng minh bất đẳng thức 13 2.2 Vận dụng phương pháp tích cực chứng minh bất đẳng thức 18 2.2.1 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức 18 2.2.2 Phương pháp chứng minh. .. thức liên quan đến bất đẳng thức CHƯƠNG VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO DẠY HỌC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ở TRƯỜNG THPT 13 2.1 Phương pháp tích cực vận dụng chứng