Một số đề toán khó 6

T1/273. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho 2 a - 2 ab + 2 là số nguyên T2/273. Giải phương trình: 5x 5 + 5ax 3 + a 2 x + 5b = 0, trong đó a, b là các số cho trước và a ≥ 0. T3/273. Tìm GTNN của biểu thức: x 2 + 3x + y 2 + 3y + 2 2 9 x + y + 1 T4/273. Cho tam giác ABC và hai điểm phân biệt M, N nằm bên trong nó. Các tia AM và AN cắt BC tại A 1 và A 2 tương ứng. Các tia BM và BN cắt CA tại B 1 và B 2 tương ứng. Các tia CM và CN cắt CA tại C 1 và C 2 tương ứng. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AA 1 và B 1 C 1 , BB 1 và C 1 A 1 , CC 1 và A 1 B 1 . Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của AA 2 và BB 1 , BB 2 và CC 1 , CC 2 và AA 1 . Chứng minh rằng: a) AM BM CM + + 12 MD ME MF ≥ b) 2 2 2 AP BQ CR + + PA QB RC ≥ 6 T5/273. Trên mặt phẳng cho hai điểm cố đònh M, N và ∆ABC có BC < MN và ¼ BAC < 90 0 . Cho ∆ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài 3 cạnh AB, BC, CA không đổi, đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh đường thẳng BC luôn tiếp xúc một đường tròn cố đònh. T6/273. Chứng minh với mỗi số n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho số k.5 n = m m-1 1 a a .a viết trong hệ thập phân thoả mãn điều kiện: a i và i có cùng tính chất chẵn lẻ, với mọi i = 1, 2, ., m. T7/273. Xác đònh hàm số f(x) liên tục từ R + vào R + thoả mãn: 1) f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ R + . 2) f[f 2 (x)] = x.f(x), ∀x ∈ R + . 3) f(x) ∈ N * , ∀x ∈ N * . T8/273. Giải phương trình: 3arctgx - arctg3x = π/2 T9/273. Cho đường tròn (O, R) và một điểm P tròn đường tròn. Hai cạnh Px và Py của góc vuông xPy cắt đường tròn ở A và B, các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở điểm M. Tìm quỹ tích điểm M khi góc vuông xPy quay quanh P. T10/273. Cho hình trụ T 1 . Ta gọi hình trụ T 2 là nội tiếp ngang T 1 nếu mỗi đáy của T 1 chứa đúng một đường sinh của T 2 và mặt xung quanh của T 1 chứa bốn điểm của đường tròn đáy của T 2 . Hình trụ T 1 phải thoả mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ T 1 , T 2 , ., T n , . mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ đứng trước. . đường thẳng BC luôn tiếp xúc một đường tròn cố đònh. T6/273. Chứng minh với mỗi số n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho số k.5 n = m m-1 1 a a .a. các cặp số nguyên dương a, b sao cho 2 a - 2 ab + 2 là số nguyên T2/273. Giải phương trình: 5x 5 + 5ax 3 + a 2 x + 5b = 0, trong đó a, b là các số cho trước