Một số đề toán khó 3

T1/270. Tìm tất cả các số nguên dương x, y, z sao cho: 3 x + 4 y = 7 z . T2/270. Chứng minh rằng: a b c 1 (1- )(1- )(1- ) b+c c+a a+b 8 ≤ T3/270. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2 (x + 16|x| + 48)(x + 12|x| + 27) x T4/270. Chứng minh điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp một đường tròn là các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh của tứ giác và vuông góc cạnh đối diện thì đồng quy. T5/270. Cho hai đường thẳng xx' và yy' vuông góc với nhau tại điểm A. Trên yy' lấy điểm B (khác A) cố đònh. Với mỗi điểm N trên xx' lấy điểm M trên yy' sao cho BM = AN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN khi N di động trên xx'. T6/270. Tìm số các nghiệm của hệ phương trình: 2 3 2 2 8 x = y x + y + 988 x y = 2000      T7/270. Dãy số (u n )(n ∈ N) xác đònh bởi: u 0 = 1, u 1 = -1, u n+1 = ku n - u n-1 . Tìm tất cả các giá trò hữu tỉ của k để (u n ) tuần hoàn. T8/270. Tìm tất cả các hàm số tăng thực sự f: N * → N * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) f(2n) = f(n) + n, ∀n ∈ N*. b) Nếu f(n) là số chính phương thì n là số chính phương. T9/270. Cho ∆ABC có ba góc nhọn và trực tâm H. Gọi diện tích các tám giác HAB, HBC, HCA lần lượt là S 1 , S 2 , S 3 . Chứng minh rằng ∆ABC đều khi và chỉ khi 3 1 2 3 1 2 3 8(S + S + S ) 4R = 27S S S r T10/270. Một điểm P nằm trong tứ diện ABCD. Ký hiệu d 1 , d 2 , d 3 , d 4 là khoảng cách từ P đến các đỉnh tứ diện và h 1 , h 2 , h 3 , h 4 là khoảng cách từ P đến các mặt tứ diện. Chứng minh: d 1 +d 2 +d 3 +d 4 ≥ 2( 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 h h + h h + h h + h h + h h + h h ) Đẳng thức xảy ra khi nào? . HCA lần lượt là S 1 , S 2 , S 3 . Chứng minh rằng ∆ABC đều khi và chỉ khi 3 1 2 3 1 2 3 8(S + S + S ) 4R = 27S S S r T10/270. Một điểm P nằm trong tứ diện. trên xx'. T6/270. Tìm số các nghiệm của hệ phương trình: 2 3 2 2 8 x = y x + y + 988 x y = 2000      T7/270. Dãy số (u n )(n ∈ N) xác đònh bởi: