T1/274. Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 x - xy + 2000y = 0 y - yx - 500x = 0 T2/274. Tìm giá trò nguyên dương nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 x + y 1997.1999 , x, y > 0 T3/274. Các số thực dương a, b, x, y thoả mãn các điều kiện a+b = 1, ax + by = 2, ax 2 + by 2 = 3. Chứng minh rằng: 4 < ax 3 + by 3 < 4,5. T4/274. Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q theo thứ tự trên các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho MA PD AD = = MB PC BC và QA NB AB = = QD NC CD Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ/ T5/274. Một nhóm học sinh đi cắm trại, trong đó có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Biết rằng mỗi nữ sinh quen ít nhất 1 nam sinh và không có nam sinh nào quen tất cả các nữ sinh. Chứng minh rằng có thể tìm được 2 nam sinh A, B và hai nữ sinh X, Y sao cho A quen X và B quen Y nhưng A không quen Y và B không quen X. T6/274. Chứng minh: x/2 2 2 x 1 + 2xarctgx 1 + e 2 + ln(1 + x ) 3 + e ≥ , x ∈R. T7/274. Tìm nghiệm dương của phương trình: 2 1 1 1 + 1 + 3 x x 2 1 1 xln(1 + ) - x ln(1 + ) = 1 - x x x T8/274. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng: A B C 1+cos 1+cos 1+cos 2 2 2 + + > 3 3 A B C T9/274. Cho ∆ABC. Gọi p là nửa chu vi ∆ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C. Chứng minh rằng: DE 2 + EF 2 + FD 2 ≥ 8 3 pR T10/274. Ba mặt cầu (O 1 , R 1 ), (O 2 , R 2 ), (O 3 , R 3 ) tiếp xúc với nhau từng đôi một và cùng tiếp xúc với mặt phẳng chứa tam giác ABC tại 3 đỉnh A, B, C. Gọi S là diện tích tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh rằng: R 1 + R 2 + R 3 ≥ 2S/R. Đẳng thức xảy ra khi nào? . Tìm giá trò nguyên dương nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 x + y 19 97. 1999 , x, y > 0 T3/ 274 . Các số thực dương a, b, x, y thoả mãn các điều kiện a+b = 1, ax. không quen Y và B không quen X. T6/ 274 . Chứng minh: x/2 2 2 x 1 + 2xarctgx 1 + e 2 + ln(1 + x ) 3 + e ≥ , x ∈R. T7/ 274 . Tìm nghiệm dương của phương trình: