Cho tam giác đều ABC.. Tìm tập hợp tất cả các điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho nếu hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F thì các đờng thẳng AD, BE, CF đồng qu
Trang 1Toán học và tuổi trẻ
T1/279 Tìm mọi số tự nhiên a (a > 1) sao cho nếu p là ớc số nguyên tố bất kỳ của a thì
số các ớc số của a mà nguyên tố với p bằng số các ớc số của a mà không nguyên tố với p
T2/279 Chứng minh nếu các số thực x, y, a, b thoả các điều kiện x + y = a + b và x4 +
y4 = a4 + b4 thì xn + yn = an + bn với mọi số nguyên dơng n
T3/279 Chứng minh: (x2 + y2)n ≥ 2n.xnyn + (xn - yn)2, trong đó x, y là các số dơng và n là
số nguyên dơng
T4/279 Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp tất cả các điểm M nằm trong tam giác
ABC sao cho nếu hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB lần lợt là D, E, F thì các
đờng thẳng AD, BE, CF đồng quy
T5/279 Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác Gọi X, Y, Z lần lợt
là điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng các tam giác ABC và XYZ
có cùng trọng tâm
T6/279 Tìm mọi số nguyên dơng n sao cho n < tn, trong tn là số các ớc số dơng của n2
T7/279 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P = 2 2 2
1 + x 1 + y 1 + z trong đó x,
y, z là các số thực thoả điều kiện x + y + z = 1
T8/279 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x2y + y2z + z2t + t2x - xy2 - yz2 - zt2 - tx2, trong đó x, y, z, t là các số thực thuộc [0;1]
T9/279 Trên mặt phẳng cho 3 đờng tròn đồng tâm O với bán kính lần lợt là r1 = 1, r2 =
2 , r3 = 5 Gọi A, B, C là ba điểm không thẳng hàng lần lợt nằm trên ba đờng tròn
đó Gọi S là diện tích ∆ABC Chứng minh S ≤ 3 Tính độ dài các cạnh ∆ABC khi S = 3
T10/279 Cho tứ diện ABCD sao cho các cạnh AB, BC, CA đều nhỏ hơn các cạnh DA,
DB, DC Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của PD, trong đó điểm P thoả mã điều kiện PD2 = PA2 + PB2 + PC2