Vted vn mở đầu NGUYÊN hàm và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN MỞ ĐẦU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có www.vted.vn Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian giao đề) Mã đề thi 132 Họ, tên thí sinh: Trường: A – PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Xuất phát từ đạo hàm hàm số tích, ta có ⎡u(x).v(x)⎤ ′ = u′(x).v(x) + v ′(x).u(x) ⎣ ⎦ Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ′ ∫ (u(x)v(x)) dx = ∫ ⎡⎣u′(x)v(x) + u(x)v′(x)⎤⎦ dx ⇔ u(x)v(x) = ∫ u′(x)v(x) dx + ∫ u(x)v ′(x) dx ⇒ ∫ u(x)d(v(x)) = u(x)v(x)− ∫ v(x)d(u(x)) Lấy tích phân hai vế, ta được: b ∫ a b ⎡u(x).v(x)⎤ ′ dx = ⎡u′(x).v(x) + v ′(x).u(x)⎤ dx ∫⎣ ⎣ ⎦ ⎦ a b ⇔∫ a b hay ∫ a b b u(x)d(v(x)) = u(x)v(x) − ∫ v(x)d(u(x)) a a b b u(x).v ′(x) dx = u(x)v(x) − ∫ v(x).u′(x) dx a a Tổng quát sử dụng tích phân phân có kết hợp loại hàm chẳng hạn f ( x,e x ), f ( x,sin x), f ( x,ln x) đơn giản có F(x), f (x), f ′(x), f ′′(x) Câu Cho F(x) = (x −1)e x nguyên hàm hàm số f (x)e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f ′(x)e2 x ∫ C ∫ A 2− x x e + C f ′(x)e2 x dx = (x − 2)e x + C f ′(x)e2 x dx = Câu Cho F(x) = ∫ D ∫ B f ′(x)e2 x dx = (4− 2x)e x + C f ′(x)e2 x dx = (2− x)e x + C f (x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x 2x f ′(x)ln x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN A ∫ C ∫ ln x + + C x 2x ⎛ ln x ⎞ f ′(x)ln x dx = −⎜⎜ + ⎟⎟⎟ + C ⎜⎝ x 2x ⎟⎠ f ′(x)ln x dx = B ∫ D ∫ ln x + + C x2 x ⎛ ln x ⎞⎟ f ′(x)ln x dx = −⎜⎜ + ⎟⎟ + C ⎜⎝ x x ⎟⎠ f ′(x)ln x dx = Câu Cho F(x) = x nguyên hàm hàm số f (x)e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f ′(x)e2 x ∫ C ∫ ∫ D ∫ f ′(x)e2 x dx = 2x − 2x + C A B f ′(x)e2 x dx = −x + x + C f ′(x)e2 x dx = −2x + 2x + C f ′(x)e2 x dx = −x + 2x + C Câu Cho hàm số f (x) thoả mãn ∫ (3x +1) f ′(x) dx = f (1)− f (0) = 2017 Tính tích phân I = ∫ f (x) dx A I = 2016 B I = 672 C I = −2016 D I = −672 Câu Cho hàm số f (x) thoả mãn ∫e x f ′(x) dx = ef (1)− f (0) = Tính tích phân I = ∫ e x f (x) dx A I = B I = −1 C I = D I = −3 Câu Cho hàm số f (x) thoả mãn ∫ ln(x +1) f ′(x) dx = A I = 1 B I = 2ln 2−1 f (1) = Tính tích phân I = ∫ Câu Cho ∫ A I = −1 C I = −1 f (x) dx x +1 D I = 1− 2ln (x +1) f ′(x) dx = f (1)− f (0) = Tính I = ∫ xf (x) dx B I = C I = − D I = 1 Câu Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f (x) thoả mãn ∫ (x +1) f (x) dx = 2F(1)− F(0) = Tính I = ∫ xF(x) dx 1 D I = A I = − B I = C I = 2 Câu Cho F(x) = e x cos x nguyên hàm hàm số f (x)e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f ′(x)e2 x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ∫ B ∫ C ∫ D ∫ A f ′(x)e2 x dx = −e x (sin x + cos x) + C f ′(x)e2 x dx = e x (sin x + cos x) + C f ′(x)e2 x dx = −e x (sin x −cos x) + C f ′(x)e2 x dx = e x (sin x −cos x) + C Câu 10 Cho ∫ f ′(x)cos x dx = f (1)cos1− f (0) = 2018 Tính I = ∫ f (x)sin x dx A I = 2017 B I = 2019 C I = −2019 D I = −2017 f (x) Câu 11 Cho F(x) = − nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x 3x f ′(x)ln x ln x ln x A ∫ f ′(x)ln x dx = + + C B ∫ f ′(x)ln x dx = − + C x 3x x 5x ln x ln x C ∫ f ′(x)ln x dx = − + + C D ∫ f ′(x)ln x dx = + + C x 3x x 5x x e Câu 12 Cho F(x) = nguyên hàm hàm số f (x) Tìm nguyên hàm hàm số x ( f (x) + f ′(x))ex A ∫ ( f (x) + f ′(x)) e x dx = C ( e x xe x − e x x ∫ ( f (x) + f ′(x))e dx = − x2 e2 x + C x ) + C e2 x + C x e x xe x − e x x ′ D ∫ ( f (x) + f (x)) e dx = − + C x2 B x ∫ ( f (x) + f ′(x))e dx = ( ) Câu 13 Cho hàm số f (x) thoả mãn ef (1)− f (0) = 10, ∫ e x f ′(x) dx = Tính I = ∫ e x f (x) dx 0 A I = 11 B I = −11 C I = −9 D I = Câu 14 Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục nửa khoảng [0;+∞) thoả mãn f (x) + f ′(x) = e−x 2x +1 Mệnh đề ? 26 C e4 f (4)− f (0) = A e4 f (4)− f (0) = 26 D e4 f (4)− f (0) = − B e4 f (4)− f (0) = − BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 15 Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f (x) thoả mãn 2F(1)− F(0) = ∫ F(x) dx = 10 Tính I = ∫ (x +1) f (x) dx A I = 11 B I = C I = −9 D I = −11 Câu 16 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f ′(x)g(x) = x(x − 1)e x ,∀x ∈[0;1] f ′(0) f ′(1) ≠ Tính tích phân I = ∫ f (x) g ′(x) dx A I = e − B I = C I = e Câu 17 Cho hàm số y = f (x) thoả mãn ∫ A I = D I = 3− e f ′(x) f (x) dx = f (1)− f (0) = Tính I = ∫ dx x +1 (x +1)2 B I = C I = −1 D I = 1 Câu 18 Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f (x) với F(1) = 1, ∫ F(x) dx = −1 Tính A ∫ xf (x) dx = B ∫ xf (x) dx = −1 C ∫ xf (x) dx ∫ xf (x) dx = −2 D ∫ xf (x) dx = Câu 19 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục ! thoả mãn f (1)sin1= 10 Tính I = ∫ ( f (x)cos x + f ′(x)sin x) dx A I = 20 C I = −20 D I = 10 f (x) Câu 20 Cho F(x) = x e x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số x f ′(x)ln x ∫ C ∫ A ( f ′(x)ln x dx = e ( x x f ′(x)cos x ∫ B ∫ C ∫ ) ln x − x ) + C f ′(x)ln x dx = e x x ln x + 2x ln x + x + C Câu 21 Cho F(x) = A B I = −10 ln x − 2x 2 ∫ D ∫ B ( ) f ′(x)ln x dx = −e x x ln x + 2x ln x − x + C ( ) f ′(x)ln x dx = e x x ln x + 2x ln x − x + C cos x nguyên hàm hàm số f (x)sin x Tìm nguyên hàm hàm số x cos x cos x − + x cos x + C x x sin x cos x cos x f ′(x)cos x dx = − − − x cos x + C x x sin x cos x cos x f ′(x)cos x dx = + + x cos x + C x x sin x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN f ′(x)cos x dx = − BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN D ∫ f ′(x)cos x dx = cos x cos x + − x cos x + C x x sin x a Câu 22 Cho < a < π b = ∫ x tan xdx Mệnh đề ? ⎛ x ⎞⎟2 ∫ ⎜⎜⎜⎝ cos x ⎟⎟⎟⎠ dx = a tan a − 2b a A 0 a ⎛ x ⎞⎟2 ∫ ⎜⎜⎜⎝ cos x ⎟⎟⎟⎠ dx = b− a tan a a B ⎛ x ⎞⎟2 ⎟ dx = a tan a − b D ∫ ⎜⎜ ⎜⎝ cos x ⎟⎟⎠ a ⎛ x ⎞⎟ ⎟ dx = a tan a − 2b C ∫ ⎜⎜ ⎜⎝ cos x ⎟⎟⎠ 0 Câu 23 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! Mệnh đề ? ∫ (x −1) f ′(x) dx = (x −1) f (x)− ∫ C ∫ (x −1) f ′(x) dx = (x −1) f (x) + ∫ A f (x) dx f (x) dx ∫ (x −1) f ′(x) dx = −(x −1) f (x)− ∫ f (x) dx D ∫ (x −1) f ′(x) dx = −(x −1) f (x) + ∫ f (x) dx B Câu 24 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! Mệnh đề ? xf (x) A ∫ dx = f (x) x +1− ∫ x +1 f ′(x) dx x +1 xf (x) 1 B ∫ dx = f (x) x +1− ∫ x +1 f ′(x) dx 2 x +1 C ∫ D ∫ xf (x) x +1 xf (x) x +1 dx = f (x) x +1 + ∫ dx = x +1 f ′(x) dx 1 f (x) x +1 + ∫ 2 x +1 f ′(x) dx π Câu 25 Cho < a < π b = ∫ x cot xdx Mệnh đề ? a π π ⎛ x ⎞⎟2 ⎟ dx = −a cot a + 2b A ∫ ⎜⎜ ⎜⎝ sin x ⎟⎟⎠ ⎛ x ⎞⎟2 ⎟ dx = a cot a − 2b B ∫ ⎜⎜ ⎜⎝ sin x ⎟⎟⎠ a π a π 2 ⎛ x ⎞⎟2 ⎟ dx = a cot a + 2b D ∫ ⎜⎜ ⎝⎜ sin x ⎟⎟⎠ ⎛ x ⎞⎟ ⎟ dx = −a cot a − 2b C ∫ ⎜⎜ ⎝⎜ sin x ⎟⎟⎠ a a π Câu 26 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ sin x f (x) dx = f (0) = Tính A I = B I = −1 C I = π I = ∫ cosx f '(x) dx D I = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 27 Cho hàm f ( x) có đạo hàm f ′(x) liên tục ! thỏa mãn f (0) = f (1) = Biết ∫ e ( f (x) + f '(x)) dx = ae + b Tính S = a x 2017 + b2018 A S = B S = −1 C S = D S = Câu 28 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! Mệnh đề ? ⎛ x ⎞⎟2 ⎛ x ⎞⎟2 xf (x) ⎜ ⎟⎟ f ′(x) dx = ⎜⎜ ⎟⎟ f (x) + ∫ A ∫ ⎜ dx ⎜⎝ x + ⎟⎠ ⎝⎜ x + ⎟⎠ (x + 2)3 ⎛ x ⎞⎟2 ⎛ x ⎞⎟2 xf (x) ⎜ ⎟ f ′(x) dx = ⎜⎜ ⎟ f (x)− ∫ B ∫ ⎜ dx ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ (x + 2)3 ⎛ x ⎞⎟2 ⎛ x ⎞⎟2 xf (x) ⎜ ′ ⎟ ⎟ f (x) + ∫ C ∫ ⎜ f (x) dx = ⎜⎜ dx ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ (x + 2)3 ⎛ x ⎞⎟2 ⎛ x ⎞⎟2 xf (x) ⎜ ⎟ f ′(x) dx = ⎜⎜ ⎟ f (x)− ∫ D ∫ ⎜ dx ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ ⎜⎝ x + ⎟⎟⎠ (x + 2)3 Câu 29 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! thoả mãn f (x) + f ′(x) = x + Mệnh đề ? 5e2 −3 5e2 −3 A ef (1)− f (0) = B e2 f (1)− f (0) = 4 D ef (1)− f (0) = 2e−1 C e2 f (1)− f (0) = 2e−1 Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! Mệnh đề ? f (x) A ∫ f ′(x)ln (sin x) dx = f (x)ln (sin x) − ∫ dx sin x f (x) B ∫ f ′(x)ln (sin x) dx = f (x)ln (sin x) − ∫ dx cos x C ∫ f ′(x)ln (sin x) dx = f (x)ln (sin x) − ∫ f (x)cot x dx D ∫ f ′(x)ln (sin x) dx = f (x)ln (sin x) − ∫ f (x) tan x dx a Câu 31 Cho số thực a >1 b = ∫ a A ∫ a C ∫ ln(x +1) dx Mệnh đề ? x x ln x dx = ln a.ln(a +1)− b x +1 x ln x 1 dx = − ln a.ln(a +1) + b 2 x +1 a B ∫ a D ∫ x ln x 1 dx = ln a.ln(a +1)− b 2 x +1 x ln x dx = −ln a.ln(a +1) + b x +1 Câu 32 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai f ′′(x) liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1) = f (0) = 1, f ′(0) = 2018 Mệnh đề ? BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN A ∫ f ′′(x)(1− x) dx = −2018 B ∫ f ′′(x)(1− x) dx = 1 C ∫ f ′′(x)(1− x) dx = 2018 D ∫ f ′′(x)(1− x) dx = −1 Câu 33 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục ! Mệnh đề ? A ∫ (x − x) f ′(x) dx = f (1)− f (0)− ∫ (2x −1) f (x) dx B ∫ (x − x) f ′(x) dx = −∫ (2x −1) f (x) dx 0 C ∫ (x − x) f ′(x) dx = ∫ (2x −1) f (x) dx − f (1) + f (0) D ∫ (x − x) f ′(x) dx = ∫ (2x −1) f (x) dx Câu 34 Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai f ′′(x) liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1) + f (0) = ∫ f (x) dx = 2018 Mệnh đề ? A ∫ (x − x) f ′′(x) dx = 2018 B ∫ − x) f ′′(x) dx = −4036 C ∫ (x (x − x) f ′′(x) dx = −2018 D ∫ (x − x) f ′′(x) dx = 4036 Câu 35 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0;1] thoả mãn f (1)g(1) = f (0)g(0) f ′(x)g(x) = 2x + 2,∀x ∈[0;1] Tính tích phân I = ∫ f (x) g ′(x) dx A I = Câu 36 Cho F(x) = f ′(x)ln x B I = x 2018 ( 4− ) C I = nguyên hàm hàm số 2018ln x + 2018 + C 2018 x x 2018ln x ln xf ′(x) dx = + 2018 + C 2018 x x ( 2−4 ) D I = f (x) Tìm nguyên hàm hàm số x 2018ln x − 2018 + C 2018 x x 2018ln x ln xf ′(x) dx = − 2018 + C 2018 x x A ∫ ln xf ′(x) dx = − B ∫ ln xf ′(x) dx = − C ∫ D ∫ BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 8 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN a π Câu 37 Cho < a < b = ∫ tan xe x dx Mệnh đề ? a A ∫ a C ∫ a ex dx = ea tan a − b cos x B ∫ a x e dx = −ea tan a − b cos x D ∫ ex dx = ea tan a + b cos x ex dx = −ea tan a + b cos x π Câu 38 Cho < a < π A ∫ a π C ∫ a π b = ∫ cot xe x dx Mệnh đề ? a π x e dx = ea cot a − b sin x B ∫ a π x e dx = ea cot a + b sin x D ∫ a ex dx = −ea cot a − b sin x ex dx = −ea cot a + b sin x Câu 39 Cho hai hàm số y = f (x), y = g(x) có đạo hàm f ′(x), g ′(x) liên tục ! Mệnh đề ? A ∫ f (x) g ′(x) dx = f (x)g(x) + ∫ g(x) f ′(x) dx ∫ C ∫ D ∫ B f (x) g ′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ g(x) f ′(x) dx f (x) g ′(x) dx = − f (x)g(x)− ∫ g(x) f ′(x) dx f (x) g ′(x) dx = − f (x)g(x) + ∫ g(x) f ′(x) dx a Câu 40 Cho a >1 b = ∫ ex dx Mệnh đề ? x a A ∫ a ln xe x dx = ea ln a + b B ∫ x dx = −ea ln a − b a C ∫ ln xe a ln xe x dx = −ea ln a + b D ∫ ln xe x dx = ea ln a − b CÁC KHOÁ HỌC MƠN TỐN DÀNH CHO 2K – 2K1 – 2K2 – 2K3 TẠI VTED BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN PRO XMAX – VẬN DỤNG CAO 2018 MƠN TỐN CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmaxchinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-montoan-kh266161831.html PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thptquoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 MƠN TỐN https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyende-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toankh644451654.html PRO XMIN –BỘ ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 MƠN TỐN TRƯỜNG THPT CHUN VÀ CÁC SỞ ĐÀO TẠO https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thithu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truongchuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-taokh084706206.html PRO Y NỀN TẢNG TOÁN 11 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-bam-sattoan-dien-chuong-trinh-toan-11-plus-11kh968641713.html PRO O CHƯƠNG TRÌNH HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 CHO TEEN 2K1 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/olympic-toan-11kh071103157.html BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 10 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN PRO Z NỀN TẢNG TOÁN 10 VỮNG CHẮC CHO TEEN 2K2 https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-hoc-pro-z-nentang-toan-hoc-10-vung-chac-cho-teen-2k2kh546669683.html ĐỘI NGŨ HỖ TRỢ VTED ĐÁP ÁN Thi xem lời giải chi tiết khoá học PRO X https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thithpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html 1D 2C 3B 4B 5A 6B 7C 8A 9A 10D 11A 12A 13D 14A 15C 16D 17A 18D 19D 20D 21A 22C 23A 24A 25D 26C 27D 28D 29B 30C 31B 32A 33B 34D 35C 36B 37A 38C 39B 40D 10 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X & PRO XMAX CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN  ... 2018 MƠN TỐN TRƯỜNG THPT CHUN VÀ CÁC SỞ ĐÀO TẠO https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-xmin-bo-de-thithu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toan-cac-truongchuyen-va-cac-so-giao-duc-dao-taokh084706206.html PRO Y NỀN... https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xmaxchinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-cao-2018-montoan-kh266161831.html PRO X LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN 2018 CHO TEEN 2K https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thptquoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html... https://vted.vn/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thptquoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html PRO XPLUS – LUYỆN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2018 MƠN TỐN https://vted.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-xplus-luyende-thi-thu-thpt-quoc-gia-2018-mon-toankh644451654.html