Giải tích vectơ giáo trình lí thuyết và bài tập có hướng dẫn

/ \ NGUYỄN XUÂN LIÊM 01030 L ^ J NHÀ XUẮT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM N G U Y Ề N X U Â N LIÊM (GIÁO TRÌNH LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DAN) (Tái lân thứnhất) NHÀ XUẮT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM in ả iđ ẩ M s Giải tích vectơ phần Giải tích tập Giải tích tập tác giả Nội dung chủ yếu sách, tên gọi giải tích vectơ, bao gồm tnCờng vectơy tích phân đường tích phân mặt (theo cách hiểu thơng thường) Sách đề cập đến phép tính vi phân hàm vectơ nhiều biến số dạng vi phân Một vài giáo trình giải tích nước ngồi gọi phần nghiên cứu nâng cao Sách gồm bảy chương : Chương I HÀM VECTƠ, ĐƯỜNG THAM s ố VÀ MẬT THAM s ố Chương giới thiệu cách đơn giản song có hệ thống lí thuyết đường tham sơ" mặt tham sơ" Chúng tơi cơ" gắng trình bày vấn đề cách trực quan sử dụng kí hiệu hợp lí, dễ nhớ nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho bạn đọc việc nghiên cứu hai chương tích phân đường tích phân mặt Một sơ" ứng dụng vật lí lí thuyết đường tham số đề cập đến chương Đó ứng dụng hay lí thú Ta chưa nghiên cứu nhiều sâu đường tham sô' song bạn đọc thây với lí thuyết đơn giản ngắn gọn đường tham sơ', ta có cơng cụ hữu hiệu để tìm ứng dụng có ý nghĩa Bạn đọc nên dành thời gian đọc ứng dụng này, qua bạn hiểu vấn đề học cách sâu sắc bồi dưỡng cho thêm bước kĩ sử dụng phép tính đạo hàm nguyố n hàm hàm vectơ Chương II TRƯỜNG VECTƠ Trường vectơ trường hợp đặc biệt hàm vectơ hàm vectơ quan trọng Vì lẽ đó, giáo trình dành chương để nói trường vectơ Bạn đọc cần nắm khái niệm trường vectơ làm quen với số trường vectơ hay gặp trường vận tốc, trường hấp dẫn, điện trường, Từ trường vô hướng trường vectơ cho trước, người ta xây dựng trường vectơ građian (gradient), rôta (rotationnel) trường vơ hướng đivecgiăng (divergence) Đó trường vectơ trường vô hướng quan trọng nhắc nhiều sử dụng rộng rãi chương Dễ nghĩ khái niệm građian, rôta đivecgiăng phụ thuộc vào hệ toạ độ chọn Tuy nhiên Bạn đọc hướng dẫn chứng minh độc lập khái niệm hệ toạ độ tập Với kiến thức hàm vectơ, đường tham sô", mặt tham số trường vectơ trang bị hai chương I II, việc nghiên cứu hai chương Tích phân đường Tích phân mặt bạn đọc thuận tiện dễ dàng nhiều Chương III TÍCH PHẢN ĐƯỜNG Chương giới thiệu hai loại tích phân đường : Tích phân đường hàm sơ" (trường vơ hướng) tích phân đường trường vectơ Trong nhiều giáo trình giải tích, người ta gọi tích phân đường loại tích phân đường loại Trong định nghĩa, tích phân đường hàm số tích phân đường trường vectơ đưa tích phân lớp nhờ công thức đơn giản, dễ nhớ tiện dụng thực hành Trong nhiều giáo trình giải tích, sau định lí Grin (Green), người ta thường giới thiệu định lí bổn mệnh đề tương đương trường vectơ miền đơn liên R2 Trong giáo trình này, cách trình bày vấn đề có khác • Đầu tiên, ta giới thiệu định lí tích phân đường (định lí 6.1) Đây mở rộng định lí Niutơn^Laibnít (Newton-Leibniz) tích phân lớp • Tiếp theo “định lí ba mệnh đề tương đương” (định lí 7.2) trường vectơ miền (tức tập hợp mở đơn liên) R ?’ R • Cuối cùng, áp dụng cơng thức Grin, ta xây dựng điều kiện để trường vectơ miền đơn liên R trường Từ dễ dàng suy định lí bốn mệnh đề tương đương trường vectơ hai chiều • Trong chương IV, áp đụng công thức Xtốc (Stokes), ta xây dựng điều kiện để trường vectơ miền đơn liên R trường Từ suy định lí bốn mệnh đề tương đương trường vectơ ba chiều Chương IV TÍCH PHÂN MẶT Chương giới thiệu hai loại tích phân mặt : tích phân mặt hàm số* (trường vơ hướng) tích phân mặt trường vectơ, định lí Xtốc định lí Gaoxơ - Ơxtrơgrátxki (Gauss - Ostrogradski) Trong nhiều giáo trình giải tích người ta gọi tích phân mặt loại tích phân mặt loại Tích phân mặt trường vectơ khái niệm khó Để nắm khái niệm này, cần hiểu số khái niệm trừu tượng : phía mặt, mặt phía, mặt hai phía (mặt định hướng được) mặt định hướng Phía cua mặt khái niệm thông thường, dễ nhận biết Song phía mát xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị liên tục mặt íà điều không dễ tiếp nhận Chúng cố gắng trình bày vấn đề cách sáng sủa, mạch lạc đưa ví dụ từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp bạn đọc bước hiểu khái niệm nêu Cả hai tích phân mặt đưa sau xét tốn Vật lí Nên đọc tốn nhờ vậy, bạn thấy khái niệm xét tự nhiên, từ dễ nhớ khắc sâu Một vài giáo trình giải tích từ đầu đề cập đến mặt định hướng xem lớp tương đương mặt tham sơ" định nghĩa tích phân mặt trường vectơ mặt định hướng Trong chương này, không làm vậy, đơn giản lí SƯ phạm Theo chúng tơi, việc trình bày vấn đề theo cách từ đầu khơng gây hoang mang khiến cho người đọc phân tâm lúng túng Chương V PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN Mp Trong Giải tích tập 1, ta đề cập đến vi phân hàm sô' nhiều biến sô" thuộc lớp c 1, trường hợp đặc biệt hàm số khả vi Trong chương ta đưa định nghĩa vi phân hàm vectơ nhiều biến sô" nghiên cứu cách có hệ thống tính chất hàm khả vi Từ ta có điều kiện xét cực trị hàm sô' nhiều biến s0 1^3’^3 3^3 Vã (VĨ5 - >/3 VI5 + Vãl ; f(x,y) = f (x,y)sD Hướngdẫn Dễ thấy hàm sơ' f có điểm dừng điểm cực tiểu hàm số ; = 3^3 Hãy chứng minh tồn hình vng D = [a, b] X [a, b], < a < b cho flx, y) >3^3 với (x, y) Ể D Dễ thấy f(x,y) = f (x, y)eD 59 4\/a2 +b2 ; U 13 13) = 3\[s Từ suy f(x,y) = 3\/3 x>0, y>0 60 V37 -2737 ; 4^26 ; 13 64 Xét hàm số ítxi, x2 , 63 62 373 - V3 ; xn) = xix2 xn với ràng buộc g(x1, x2, x „ ) = Xi + x2 + + X n = a, Xi > , xn > Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrăng, ta tìm (Xi, x„) = —, —, Vn n — điểm cực trị có điều kiện hàm số”f với ràng buộc đả nêu Dễ thấy n) fỊa a n’ n’ _a Ị _ a n j ” nn giá trị lớn hàm số f tập hợp Xi + + xn = a, Xi > 0, an (x + + X )n Do với ràng buộc nêu, ta có X X xn £— = —-— —-— n n Từ suy bất đẳng thức Cơsi cho n sô' dương 452 xn > C r 3.2 + +ị~ 22 65 cin Hướng dẫn Hàm số f liên tục tập hợp compắc D nên đạt giá trị lớn D Vì hàm số f khơng có điểm dừng D nên hàm sô đạt giá trị lớn biên X* + y 12 f(x, y, z) = y[x2 + X, X= const X2 + y > , z * z y + y[ỹ2 + z2 + x 13 co A co = 2(fh- gk) dx A dy A dz A dt -14 XAa) df \ = _ ■^-dx ổf A + dĩ , ổf , -^ -d y + ^ -d z ; dx õy ôz 'af õg _ df_ôg Kdxdy õy ỡx, dx 0) = d f A d g = = Di dy b) d Cừ = d(df 454 A A , A dz + D2 dz dg) = d2f A _ ổg , dg ,ÔgA dz dg = Ị^ d x + ^2-dy + ^ -d z õx ôy dy + A ,dy A dz + dx + D3 dx dg + (-1)1 dí A A ; ị ẼLẼẴ-ẼLẼẵ ]dz \dz dx ổx õz) dy d2g = d2f = d2g = A dx c) d (0 = _ dx dx dy dz + ồy ị dDị | ÔP2 [ dP3' dx ^ ôx õy ôz , A A dz A dx + ^ dy A A ồz dz A dx A dy dy A dz = , ổDi ổDo ổDo Từ ta có — - + — —+ ——= ôx ôy 15 17 d co = (siny - sinx) dx 16 18 d co = 3dx dy A dz ; A (z - l)x 20 a) d co = dí — — \ Cù ơz y ] A 19 d Cừ = xy dx dy - dx A dz = -—-dx y ) dy A A A dy + yz dx A dz + xz dy A dz dz dy + —dz A dy - dx A dz * A y dạng đóng ; co khơng b) Ta có d(f 0)) = df A d f 0) = A + fd (0 ; co ỄLa Ể? a -^-dx + ^-dy ơx dy (z - l)x , , ^ (z - l)x ỡf , , df A , õf A dy - xdz = - a x A d y -x -—dx A dz - X — dy A dz dx y ỡx ày IA fd co = - —- fdx A dy - fdx A dz - —fdy A dz y y ( z - l) Do d(f co ) = ( dĩ X —- + f dx ôx A dy - dĩ X — + Õx dx A dz f r rõĩ x fN X — + — dy ^ dy y A dz Vì u tập hợp lồi mở R nên fco dạng d(fco) = 0, ỡx tức dí xf y X— -+ — ày (1) + f = 0, = (2) (1) “ ■(xf) = xf(x,y) = cp(y) f(x,y) = ơx Do (2) o (p'(y) + , X > 0, y > X = y cp'(y) + (p(y) = o y Ạ-(y ọ(y)) = dy o y cp(y) = X (p(y) = — , y t r o n g đ ó X l m ộ t h ằ n g s ố t h ự c L ấ y X * 1, t a đ ợ c f(x , y ) = — , X > , y > xy z -1 _ c) Ta có (f co )(x, y, z) = —õ-dy - —dz Ta tìm hàm sơ' g : Ư -> R thuộc lớp c 1trên cho (3) ậ (x, y, z) = 0; ặ (x, y, z) = —2“ * — = ởx Vì Qơ= ởx ơz ày nên g có dạng g(x, y, z) = h(y, z), y > ỡh ày j r (y>z):= Do đó, từ (3), ta có z- y2~ ỄL = _ Ỉ ổz y Từ phương trình đầu hệ trên, ta có h(y, z) 1- z + ọ(z) 455 Do từ phương trình thứ hai hệ suy ——(y,z) = - —+ cp'(z) = o cp'(z) = cp(z) = X, không đổi với z G R ỡz y y Vậy g(x y, z) = h(y, z) = 1- z + X, Xkhông đổi, nguyên hàm dạng vi phân f(D Ư 21 a) co khơng đóng, không b) 2 iỵ • (1) ậổx - ?ổy = -3z Lây nguyên hàm hai phương trình đầu hệ trên, ta có Q íx y , z) = - * „+ — Z + X (x,y), P(x, y, z) = — ^ x2 + l + f )y z + n (x,y) (X2 + 1)2 Do ỒQ_ỞP ơx ôy -1 + 2x2 - õk z + -~(x,y)~ à*(x2 + 1)2 x (x + ) ù ' d u , „ dk, d ụ , Từ (1) (2), ta ậ - ( x ,y ) - ặ ( x ,y ) = ỡx ơy Hiển nhiên hàm s ố X(x, y) = Ị i(x ,y ) = thoả mãn (3) Khi P(x, y, z) = 2x l x yz Q(x, y, z) = - x + 3x z (X2 + 1)2 Vậy 456 Y (x, y, z) = 2x^íx^ + 3) - yzdx (x +1 r X2 + X3 + 3x X2 + , ,0 S ■„ z - ~ ( x ,y ) = -3z+ ^ ( x , y ) - ^ ( x , y ) (2) +lf dy Sx ổy zdy nguyên hàm co R (3) Từ suy r ă n g nguyên hàm y + d (p , t r o n g đ ó (p l m ộ t h m số b ấ t kì th u ộ c lớ p c2 trê n R t ấ t c ả co R* co k h ô n g p h ả i l m ộ t d n g đ ú n g t r ê n R 25 a (x, y, z) = xyz dx + ydy + x2dz p (x, y, z) = (xyz - 2xz)dx Hướng dẫn Tìm nguyên hàm co có dạng a (x, y, z) = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy ,2 ì Chú ý a (x, y, z) - p (x, y, z) = 2xz dx + ydy + X2 dz = d V 2 tứ c a = p + d(p v i (p (x , y , z ) = X z + 26 (ổ dạng 27 a (x, y , z) = 28 a (x, y, y3 + z - X z ' dx + R 3 X + z 2_ - o - y z dy z) = (exz - 3eyz)dx - (3xeyz + 2eyz)dy p (x, y, z) = exzdx - 2eyzdy + 3xeydz a ) (p*0) (u, v ) = - s i n 3u co s3vd u - co su sinv c o s 2v ( l + s in 2u )d v b) cp*(0 (u, v ) = cosu s in v c o s 2v du A dv 30 cp*03(t) = [ab cos2t - (a2 + b2) sint cost] dt 31 (p*0)(t) = (t3 + 5t6) dt (p*co(u, v) = (u - V2) du A dv 33 cp*co(t) = (t + sint cost) dt 34 (p*co (u, V, w ) = U2W du - u3w d v + u3dw 35 (p*co (u, v) = -3u2du A dv 36 ' Jco = f II Kx, y) = x2y3 ; V £ + ’ 16 f(x, y, z) = X2Z + xsiny ; - f ( , l ) = / Í - - 16 ì + V / J(0 = f(—1,0,7t) —f(1,0,0) = 71 c 10 ílx, y, z) = exsiny + xyz - zcosy ; J*(ử= f(0,71,3) - f(2,0,1) = Xx2+ 2xy + 5y2 11 a) Dễ thấy d co(x, y) = d I ) (x + y) dx + d rx2-2xy + y2^ A d y l (x + y)3 COlà dạng đóng D d co(x, y) = X= b) Vì nửa mặt phẳng X + y > l)x dx A dy (X + y ) tập hợp lồi mở R2 vàco đóngnênnó làm ộ t dạng J(0 không phụ thuộc vào đường Ta lấy c đoạn thẳng từ nửa mặt phăng Do c điểm (0, 2) đến điểm (2, 0) Biểu diễn tham số đoạn thẳng Ị*x2 + 2x(2 - x) + 5(2 - x)2 dx + X2 X - 2x(2 - x) + (2 - x)2"(-dx) = X, y = - X, ^ X < 2 (2 - x)dx = ■ J í - ì0 ó 32 12 3(X - 14 8 7ia^ Hướng dẫn Ta có d co (x, y) = d(y2) A dx + dx A dy = (1 - 2y) dx A dy 15 — j*co = ịJ*dco = jj(l-2y)dxdy = ịịdxdy = |D|, |D| diện tích miền D D ƠD D D 2ĩt |D| = — |*-ydx + xdy = — í(-asin^ t)d(acos^ t) + acos3 td(asin3t) = í ( l - cos 4t)dt = —Tia2 J J 16 J ab 17 16 19 Giả sử r(t) = x(t)ĩ + y(t)j, a < t £ b biểu diễn tham sô' ỔD T/n,: Khi \ A k r _= n(t) = níf4 T(t) r '(t) Ỵ ~ — Ị rA k_ r'(t) ỔD \ ?(t) 7j ?(t) A k = x'(t) y'(t)T J+ ?(t) ?(t) b b dt = j|vf(r(t)).n(t) r'(t) dt = j ! “ (r(t))y'(t)-f-(r(t))x'(t) (*■(t))y''(t) ỡx ây a a 458 x 'ft) T " 1y +W -p = íỉíd y -ítd x J âx * ởy ỠD í ị ĩ đ í — ì 't d y - d ị — ' JJ D (d x j J lởy )Adx]= Ệ D v v ) ' dXAdy = W D v2fdxdy J 20 Chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Dễ chứng minh với đường cong kín định hướng trơn khúc c R^\{(0, 0)}, ta có J(1) = ế 21 Biểu diễn tham số mặt mặt cầu cho r(0, (p) = (s in co s (p, s in s in