TỔ CHỨC các HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ có HƯỚNG dẫn TRONG dạy học GIẢI bài tập HÌNH học lớp 9

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI NHẤT PHI TRUNG TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁ CÓ HƯỚNG DẪN TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP 2003 Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan quan điểm hoạt động dạy học môn Toán 1.1.1 Hoạt động Hoạt động phạm trù, khái niệm mà nhà khoa học nghiên cứu từ lâu Nổi trội công trình triết học tâm lý học Theo triết học: “Hoạt động trình tác động chủ thể vào khách quan để tạo sản phẩm nhằm thỏa mãn nhu cầu chủ thể Hoạt động phương thức giúp người tồn phát triển” Theo quan điểm nhà tâm lý học: “Hoạt động hiểu tổ hợp trình người tác động vào đối tượng nhằm đạt mục đích thỏa mãn nhu cầu định kết hoạt động lại kích thích tạo hoạt động kết cụ thể hóa nhu cầu chủ thể” Từ khái niệm này, rút kết luận sau: - Hoạt động trình tác động, tương tác, định vận động, phát triển lẫn thành phần hoạt động chủ thể khách thể Mối quan hệ chủ thể khách thể mối quan hệ biện chứng Có nghĩa mối quan hệ chủ thể khách thể ảnh hưởng tương tác lẫn nhau, thúc đẩy vận động phát triển - Sản phẩm hoạt động có hai phía chủ thể đối tượng Ngoài việc chủ thể tác động vào đối tượng nhằm chiếm lĩnh đối tượng, biến đổi đối tượng theo mục đích hoạt động, để từ biến đổi đối tượng thành sản phẩm thỏa mãn nhu cầu thân Ngược lại, trước, sau trình hoạt động, chủ thể dần vận động phát triển theo thành tố cấu trúc tâm lí, ý thức nhân cách thân chủ thể Đây tính chiều hoạt động: chiều chủ thể hóa đối tượng chiều ngược lại đối tượng hóa chủ thể Như vậy, khẳng định: tâm lí, ý thức, nhân cách người hình thành, phát triển, hoàn thiện hoạt động 1.1.1.1 Đặc điểm hoạt động Tính đối tượng: Hoạt động có đối tượng, gắn với đối tượng Đối tượng mà hoạt động hướng tới, để chiếm lĩnh, cải biến thành sản phẩm nhằm thỏa mãn nhu cầu người Đối tượng hoạt động sinh thành quan hệ sinh thành hoạt động thông qua hoạt động chủ thể Với cách hiểu đối tượng hoạt động vậy, cần nhận thức đối tượng hoạt động không vật chất cụ thể mà đối tượng, quan hệ trừu tượng cần hình dung, tư bộc lộ với tư cách động hoạt động, với tư cách đối tượng mang tính nhu cầu Trong dạy học Toán trường phổ thông, đối tượng hoạt động họ tình (các vật, kiến thức đối tượng, quan hệ, qui luật, phương pháp…) Tính mục đích: Hoạt động có mục đích Mục đích hình ảnh sản phẩm tương lai Nó vừa đóng vai trò định hướng, vừa thành tố hình thành hoạt động, đồng thời thành tố quan trọng trình điều chỉnh hoạt động Tính chủ thể: Hoạt động người thực hiện, người thực hoạt động đóng vai trò chủ thể hoạt động với tích cực, tự giác từ trình chuẩn bị, tổ chức điều khiển kết thúc trình hoạt động Tính gián tiếp: Hoạt động phát triển, phức tạp tính gián tiếp tăng Có nghĩa người sử dụng công cụ, phương tiện tác động vào đối tượng nhằm đạt mục đích hoạt động đề 1.1.1.2 Cấu trúc hoạt động Chức chuyển hóa chức chất tâm lí cấu trúc hoạt động, chìa khóa để giải mã phương diện phản ánh tâm lí hoạt động đơn vị phần tử Cấu trúc chức hoạt động bao gồm thành tố, mô hình hóa sau: Hoạt động Động Hành động Mục đích Nhiệm vụ Phương tiện Thao tác Sản phẩm Trong mô hình này, thấy thành tố cấu trúc hoạt động có mối quan hệ dọc, ngang, đồng thời có khả tác động biện chứng chuyển hóa cho nhau: - Hoạt động bao gồm nhiều hành động cấu thành; - Hành động bao hàm tổ hợp thao tác hợp nên; - Động chứa đựng nhiều mục đích việc thực mục đích lại phải nhờ hệ thống công cụ, phương tiện cụ thể, phù hợp; - Hoạt động thúc đẩy động định để đạt động phải có hệ thống hành động cụ thể Mỗi hành động lại phải nhằm đạt mục đích định Vì thế, người ta khẳng định: hành động – mục đích “hạt nhân” cấu trúc hoạt động; - Mỗi hành động cấu thành hệ thống thao tác Trong để đạt mục đích cần phải sử dụng công cụ, phương tiện phù hợp Phương tiện công cụ lại định đến hệ thống thao tác, kĩ sử dụng cách hiệu Ngay trình hoạt động lại có chuyển hóa lẫn nhau, biểu chỗ: Một hoạt động hình thành có khả trở thành hành động chí thao tác cho hoạt động cao phức tạp Ví dụ: Hoạt động viết, đọc, thực phép toán hình thành trở thành hành động cho HS hoạt động nhận thức hệ thống thao tác cho nhà khoa học trình nghiên cứu 1.1.2 Hoạt động dạy học 1.1.2.1 Khái niệm hoạt động dạy học Quá trình dạy học trình thống biện chứng hoạt động dạy GV hoạt động học HS (gọi chung hoạt động dạy học) Có nhiều quan điểm khác trình dạy học, tiếp cận quan điểm dạy học sở lí luận hoạt động Theo quan điểm ấy, hoạt động dạy học trình mà vai trò chủ đạo người dạy, người dạy định hướng, tổ chức, điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức người học Trong trình ấy, người học phải chủ động, tự giác, tích cực, tự lực, tự điều khiển, điều chỉnh hoạt động nhận thức thân nhằm đạt mục đích đề Như vậy, hoạt động dạy học có tương tác biện chứng hai chủ thể (người dạy – người học) Đối tượng người dạy nhân cách người học, đối tượng người học vốn kinh nghiệm nhân loại có tri thức người dạy cung cấp, vốn kinh nghiệm tài liệu tất vốn kinh nghiệm xã hội, lịch sử nhân loại bảo tồn, cô động văn hóa (vật thể, phi vật thể) Cả hoạt động dạy hoạt động học hướng vào mục đích tạo điều kiện cách phù hợp nhất, tối ưu để hình thành, phát triển hoàn thiện nhân cách người học sở thỏa mãn yêu cầu mục đích dạy học, đòi hỏi xã hội 1.1.2.2 Khái niệm hoạt động dạy Dạy học hoạt động mà qua hệ trước truyền cho hệ sau tri thức khoa học lịch sử, xã hội Đối tượng hoạt động dạy nhân cách toàn diện người học, phù hợp với yêu cầu điều kiện đất nước Nhân cách thể tính cách mạng, tính động, tính sáng tạo Nhiệm vụ dạy học nâng cao nhận thức, nâng cao khả độc lập, tích cực, chủ động học tập, công tác bồi dưỡng phát huy tư sáng tạo cho người học Phân tích tượng chất PPDH dựa sở tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học, khẳng định: - Về tượng: PPDH vận động có định hướng GV xác định, hình thành yếu tố khách quan, đặc điểm đa dạng nội dung, mục tiêu, trình độ học vấn, hình thức tổ chức, phương tiện dạy học phụ thuộc vào yếu tố chủ quan GV (phong cách, chuyên môn, lực, nghệ thuật sư phạm) - Về chất: PPDH cấu trúc có tính tự giác tham gia vào tiến trình dạy học, làm cho nội dung dạy học tồn vận động mối quan hệ biện chứng với 1.1.2.3 Hoạt động học tập HS Theo Phạm Minh Hạc, vấn đề nói lên chất hoạt động học tập, bao gồm: - Đối tượng hoạt động tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; - Mục đích hoạt động hướng vào việc làm thay đổi chủ thể hoạt động; - Hoạt động học tập hoạt động lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo; - Hoạt động học tập hoạt động tiếp thu tri thức, kĩ năng, kĩ xảo mà hướng vào việc tiếp thu tri thức thân hoạt động (những hành động học tập thích hợp nhằm đạt hiệu cao học tập); - Hoạt động dạy hoạt động học có mối quan hệ khăng khít, chặt chẽ Trình tự bước hoạt động học hoàn toàn thống với trình tự bước hoạt động dạy, hướng tới mục đích đào tạo người đạt tiêu chí chất lượng định, phù hợp với yêu cầu xã hội Theo Nguyễn Bá Kim: “Mỗi nội dung dạy học liên hệ mật thiết với hoạt động định Đó hoạt động tiến hành trình hình thành vận dụng nội dung đó” Phát hoạt động tiềm tàng nội dung vạch đường để truyền thụ nội dung thực mục đích dạy học khác, đồng thời để truyền thụ nội dung cách kiểm tra việc thực mục đích Cho nên điều PPDH khai thác hoạt động tiềm tàng nội dung để đạt mục đích dạy học Khi PPDH giúp người học có đường chiếm lĩnh nội dung đạt mục đích dạy học khác Quan điểm thể mối liên hệ mục đích, nội dung PPDH Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm giáo dục học Mác – xít: “Con đường phát triển hoạt động học tập diễn hoạt động” Như tổ chức hoạt động dạy học cách thức điều hành GV đưa HS vào trình thực hoạt động học hệ thống thao tác xác định thông qua việc cụ thể sau: - Xác định nội dung dạy học hoạt động tương thích; - Đưa mục tiêu, yêu cầu nghĩa xác định sản phẩm học tập tiêu chuẩn sản phẩm (thường gọi yêu cầu cụ thể kiến thức, kĩ năng, thái độ) tiết học, học hay môn học; - Lựa chọn PPDH phù hợp với nội dung cách thức tổ chức hoạt động học HS; - Cung cấp phương tiện, điều kiện cho HS thực hoạt động học (sách giáo khoa, tài liệu, phương tiện dạy học); - Vạch trình tự thực hoạt động, thao tác (qui trình) qui định chặt chẽ phải tuân theo thực thao tác theo qui trình đó; - Hướng dẫn HS thực theo qui trình, đồng thời giúp đỡ HS gặp khó khăn; - Đánh giá hướng dẫn HS tự đánh giá 1.1.3 Các thành tố sở PPDH theo quan điểm hoạt động Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, quan điểm hoạt động PPDH Toán thể tư tưởng chủ đạo sau đây: 1.1.3.1 Cho HS thực hiện, luyện tập hoạt động hoạt động thành phần tương thích với nội dung mục tiêu dạy học Nội dung tư tưởng cho HS thực tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tương thích với nội dung mục tiêu dạy học Hoạt động gọi tương thích với nội dung tiến hành trình hình thành vận dụng nội dung Hoặc nói cách khác, hoạt động tương thích với nội dung việc nắm nội dung điều kiện hay kết (đọng lại chủ thể) hoạt động Trong việc phát hoạt động tương thích với nội dung ta cần ý xem xét dạng hoạt động khác bình diện khác Đặc biệt ý đến dạng hoạt động sau: - Nhận dạng thể hiện; - Những hoạt động Toán học phức hợp; - Những hoạt động trí tuệ chung riêng môn Toán; - Những hoạt động ngôn ngữ Tư tưởng cụ thể hóa sau: a) Phát hoạt động tương thích với nội dung Mỗi nội dung dạy học liên hệ với hoạt động định Trước hết hoạt động tiến hành trình lịch sử hình thành ứng dụng tri thức bao hàm nội dung này, hoạt động để người học kiến tạo ứng dụng tri thức nội dung Trong trình dạy học, ta phải kể tới hoạt động có tác dụng củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ hình thành thái độ b) Phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần Trong trình hoạt động, nhiều hoạt động xuất thành phần hoạt động khác Phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần biết cách tiến hành hoạt động toàn bộ, nhờ vừa quan tâm rèn luyện cho HS hoạt động toàn vừa ý cho họ tập luyện tách riêng hoạt động thành phần khó quan trọng cần thiết Để chọn hoạt động tương thích ta phải phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần Chẳng hạn, cho HS chứng minh định lí, giải tập (hoạt động Toán học phức hợp) mà gặp khó khăn ta phải tách thành hoạt động nhỏ hơn: - Từ giả thiết ta suy điều gì? - Muốn có kết luận ta cần có điều kiện gì? - Hãy xét trường hợp đặc biệt, trường hợp tương tự Những hoạt động thành phần giúp HS tìm đường lối giải toán (hoạt động mang tính chất điều kiện) mà hiểu sâu (mang tính chất kết quả) c) Lựa chọn hoạt động dựa vào mục tiêu Mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều hoạt động Tuy nhiên dạy học cần sàng lọc hoạt động phát để tập trung vào 10 hoạt động với mục đích định Việc tập trung vào mục đích vào tầm quan trọng mục đích việc thực mục đích lại d) Tập trung vào hoạt động Toán học Trong lựa chọn hoạt động, để đảm bảo tương thích hoạt động mục đích dạy học, ta cần nắm chức mục đích, chức phương tiện hoạt động mối liên hệ hai chức Đương nhiên hai cần thiết quan trọng, cần ý đến chức mục đích dạy Toán Chẳng hạn, để dạy định lí, giải toán ta xét trường hợp cụ thể, hình vẽ, mô hình, quan sát, nhận xét, (chức phương tiện) ta cần đặc biệt lưu ý đến chức Toán học chứng minh, phương pháp giải toán, nhận dạng, thể hiện, 1.1.3.2 Gợi động cho hoạt động học tập Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đòi hỏi HS phải có ý thức mục tiêu đặt tạo động lực bên thúc đẩy thân học hoạt động để đạt mục tiêu Điều thực dạy học không việc nêu rõ mục tiêu mà quan trọng gợi động Gợi động làm cho HS có ý thức ý nghĩa hoạt động Gợi động nhằm làm cho mục tiêu sư phạm biến thành mục tiêu cá nhân HS vào bài, đặt vấn đề cách hình thức Gợi động việc làm ngắn gọn lúc bắt đầu dạy tri thức (thường học) mà phải xuyên suốt trình dạy học Vì phân chia thành giai đoạn gợi động sau: a) Gợi động mở đầu Có thể gợi động mở đầu xuất phát từ thực tế từ nội Toán học Việc xuất phát từ thực tế có tác dụng gợi động mà 104 Câu 8: Em nhận xét khả sáng tạo cách giải toán mình? A. Tốt B. Còn hạn chế Câu 9: Em nhận xét khả tự học mình? A. Tốt B. Còn hạn chế Câu 10: Em nhận xét khả tự khám phá kiến thức mình? A. Tốt B. Còn hạn chế Cám ơn em dành thời gian tham gia trả lời phiếu khảo sát Chúc em vui học tốt KẾT QUẢ PHỎNG VẤN CÂU HỎI NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG Đáp án Câu A B 10 7 5 10 105 PHỤ LỤC GIÁO ÁN Giáo án 1: Luyện tập toán chứng minh tổng hợp A Mục tiêu giảng Trên sở kiến thức tổng hợp đường tròn, cho HS luyện tập số toán tổng hợp chứng minh Rèn luyện cho HS kĩ phân tích, tổng hợp kiến thức để giải tập, rèn luyện kĩ vẽ thêm đường phụ toán hình học đồng thời rèn luyện cách trình bày toán có sở B Chuẩn bị GV: Giáo án, hệ thống tập HS: Ôn tập lí thuyết làm đầy đủ tập yêu cầu C Quá trình lên lớp Bài 1: Cho (O, R)và điểm S nằm đường tròn cho OS = 2R Từ S kẻ tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B tiếp tuyến), vẽ cát tuyến SDE a Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn, xác định tâm I đường tròn b Chứng minh SA2 = SD.SE c Vẽ OG vuông góc với ED G Chứng minh ngũ giác SAGOB nội tiếp đường tròn d Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt AB H cắt EB K Chứng minh H trung điểm DK A E G D O H K B I S 106 Hoạt động GV Hoạt động HS a Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp HS vẽ hình vào nêu cách đường tròn, xác định tâm I chứng minh đường tròn Xét tứ giác SAOB, ta có : SAO =900   SBO =90   SAO+SBO=1800  Tứ giác SAOB nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm OS b Chứng minh SA2 = SD.SE HS nêu cách chứng minh Xét  SAD  SEA, ta có : ASD = ASE   SAD =SAE    SAD ∽  SEA (g – g)  SA SE = SD SA  SA2 = SD.SE c Chứng minh ngũ giác SAGOB nội tiếp đường tròn - Ta có dấu hiệu nhận biết ngũ giác - Ta có dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn không ? nội tiếp đường tròn - Qua điểm xác định - Qua điểm xác định nhất đường tròn ? - Vậy ta tìm hai tứ giác có chung đỉnh chứng minh hai tứ giác nội tiếp đường tròn đường tròn 107 - Ta chứng minh hai tứ giác - Ta chứng minh tứ giác SAOB tứ nội tiếp ? giác SAGO nội tiếp - Yêu cầu HS trình bày làm ? - HS trình bày giải : Xét tứ giác SAGO, ta có : SAO =900   SGO =90   Tứ giác SAGO nội tiếp  S, A, G, O thuộc đường tròn Mà S, A, O, B thuộc đường tròn Nên S, A, O, G, B thuộc đường tròn Vậy ngũ giác SAGOB nội tiếp đường tròn - Hoạt động khám phá : Như vậy, - Muốn chứng minh ngũ giác nội muốn chứng minh ngũ giác nội tiếp đường tròn, ta chứng minh hai tứ tiếp, ta làm ? giác có chung ba đỉnh chứng minh hai tứ giác nội tiếp đường tròn d Chứng minh H trung điểm DK - Muốn chứng minh trung điểm, ta có - Chứng minh hai đoạn thẳng phương pháp ? nhau, dùng định lí đường trung bình, định lí Thales - Ở này, ta thấy có G trung - Ta dùng định lí đường trung điểm DE G, H nằm bình  DEK 108 hai cạnh  DEK nên ta nên chọn cách ? - Ta cần phải chứng minh điều ? - Ta chứng minh GH // EK - Dùng phương pháp để chứng - Ta chứng minh DGH = DEB minh GH // EK ? - Mà DEB với góc ? - DEB= DAH - Như ta cần có điều ? - Ta cần chứng minh tứ giác DAGH nội tiếp - Đến đây, toán trở nên dễ - HS trình bày giải : dàng HS GV yêu cầu HS trình bày giải GAB= GSB  Ta có :  GDH = GSB   GAH =GDH  Tứ giác GADH nội tiếp  DGH = DAH Mà DAH = DEB nên DGH = DEB Do GH // EK Xét  DEK, ta có: G trung điểm DE GH // EK H  DK Vậy H trung điểm DK Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh AB.CD + AD.BC = AC.BD (Định lí Ptôlêmê) 109 A B O D C Hoạt động GV Hoạt động HS Không tính tổng quát, ta giả sử HS vẽ hình vào tập ACD> ACB Khám phá - Nhìn vào biểu thức cần chứng minh - Lấy E BD thực thấy vế trái có số hạng, vế phải có phép phân phối số hạng, tìm cách tách vế phải AC.BD = AC.(BE + ED) = AC.BE + thành số hạng AC.ED - Để chứng minh vế trái vế phải - Ta chứng minh ta cần chứng minh số hạng AB.CD= AC.DE  hai vế nhau, nghĩa ta cần AD.BC= AC.BE chứng minh điều gì? Khám phá - Đến trở toán quen thuộc, - Ta chứng minh hai cặp tam giác ta cần sử dụng kiến thức để đồng đạng chứng minh hai đẳng thức trên?  ABC ∽  DEC  ADC ∽  BEC - Như vậy, điểm E ta không - BAC= EDC ( tính chất tứ giác nội 110 lấy tùy ý Để ý  ABC tiếp ABCD)  DEC có sẵn góc nhau? - Ta nên chọn điểm E thỏa điều kiện - Chọn E cho ECD= ACB để  ABC ∽  DEC ? A B O E D C - Đến toán trở nên dễ dàng - HS trình bày giải vào tập với HS Trên cạnh BD lấy E cho ECD= ACB Xét  ABC  DEC, ta có: DCE = ACB   EDC= BAC    ABC ∽  DEC ( g – g )  AB AC = DE CD  AB.CD = AC.DE (1) Ta có ECD= ACB 111  ECD+ECA= ECA+ACB  DCA = ECB Xét  ADC  BEC, ta có: DCA = ECB   DAC= EBC    ADC ∽  BEC (g – g)  AD AC = BE BC  AD.BC = AC.BE (2) (1), (2)  AB.CD+AD.BC=AC.DE+AC.BE  AB.CD+AD.BC=AC.(DE+BE)  AB.CD+AD.BC=AC.BD đpcm GV giới thiệu kết toán nội dung định lí Ptôlêmê, phát biểu sau: “Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện” Có thể áp dụng định lí để giải toán sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC có cạnh a Trên AC lấy điểm Q di động, tia đối tia CB lấy điểm P di động cho AQ.BP = a2 Gọi M giao điểm BQ AP Chứng minh AM + MC = BM Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông A có AC > AB Gọi D điểm cạnh BC, E điểm cạnh AB kéo dài phía điểm A cho BD = BE = CA Gọi P điểm cạnh AC cho E, B, D, P nằm đường tròn Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp  ABC Chứng minh rằng: AQ + CQ = BP 112 Giáo án 2: Luyện tập toán quĩ tích A Mục tiêu - HS luyện tập toán chứng minh tổng hợp quĩ tích - Rèn luyện khả phân tích tư cho HS gặp toán quĩ tích B Chuẩn bị - GV: Bài tập, hệ thống câu hỏi phần mềm Geometer’s Sketchpad - HS: Ôn tập lí thuyết chuẩn bị tập giao trước C Quá trình dạy học Xét toán sau: Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định điểm A cố định cho OA = 2R; BC đường kính quay quanh O (đường thẳng BC không qua A) Đường tròn qua A, B, C cắt đường thẳng OA A I Tia AO cắt (O) M N a Chứng minh OA.OI = OB.OC b Trường hợp đường thẳng AB, AC lại cắt đường tròn (O, R) D, E Nối DE cắt đường thẳng OA K Chứng minh bốn điểm E, I, K, C nằm đường tròn tính độ dài AK theo R c Chứng minh tâm J đường tròn qua A, D, E di chuyển đường cố định BC quay quanh O B D I K A M O N E C 113 HS vẽ hình vào tập a Chứng minh OA.OI = OB.OC (?) Muốn chứng minh tích hai cạnh tích hai cạnh kia, ta dùng kĩ thuật gì? (!) Muốn chứng minh tích hai cạnh tích hai cạnh kia, ta dùng kĩ thuật chứng minh hai tam giác đồng dạng với (?)Ta chứng minh hai tam giác đồng dạng với nhau? (!)Ta chứng minh  OAB ∽  OCI HS trình bày làm: Xét  OAB  OCI, ta có: OAB= OCI   AOB= COI    OAB ∽  OCI (g - g)  OA OB = OC OI  OA.OI = OB.OC b Chứng minh E, I, K, C thuộc đường tròn tính AK (?) Để chứng minh E, I, K, C thuộc đường tròn ta chứng minh điều ? (!) Để chứng minh E, I, K, C thuộc đường tròn ta chứng minh tứ giác EKIC nội tiếp (?) Ta chọn dấu hiệu để chứng minh ? (!) Ta chứng minh tứ giác EKIC nội dấu hiệu tứ giác có góc góc đối diện HS trình bày làm : 114 AED = DBC  Ta có  DBI = KIC   AED= KIC  Tứ giác EKIC nội tiếp đường tròn Vậy E, K, I, C thuộc đường tròn Tính AK (?) Ta vừa chứng minh tứ giác EKIC nội tiếp Để ý thấy KI cắt EC A Như ta có điều ? (!) Ta có AK.AI = AE.AC (?) Như AK = AE.AC AI (?) Để ý thấy AE.AC biểu thức ? (!) Ta có AE.AC = AM.AN Đến toán đơn giản HS, HS trình bày vào tập : Xét  ACM  ANE, ta có : MAC= NAE   ACM = ANE    ACM ∽  ANE (g – g)  AC AM = AN AE  AC.AE = AM.AN Chứng minh tương tự ta có AC.AE = AI.AK Suy AI.AK = AM.AN Ta có AM.AN = (OA – OM)(OA + ON) = 3R2 OI = OB.OC R = OA 115 AI = OA + OI = 5R AM.AN 3R Vậy AK = = = R 5R AI c Chứng tỏ tâm J đường tròn qua A, D, E di chuyển đường cố định BC quay quanh O B D A J M I K O N E C GV gợi ý cho HS cách sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad cho HS khám phá quĩ tích cần tìm Hình 3.5 (?) Dựa vào hình trên, ta thấy có điểm cố định BC quay quanh O? 116 (!) Điểm A, M, O, N, K giao điểm (J) với AO điểm cố định (?) Ta đặt giao điểm (J) với AO H (?) Dựa vào hình trên, ta dự đoán J di động đường nào? (!) Dựa vào hình ta dự đoán J di động đường trung trực AH (?) Ta có A cố định, cần chứng minh điều gì? (!) Cần chứng minh điểm H cố định (?) Gợi ý chứng minh K cố định độ dài KH không đổi (?) Cần lập biểu thức tính KH theo KM, KN KA (!) Chứng minh tương tự câu b, ta có: KD.KE = KM.KN  KD.KE= KH.KA  KM.KN = KH.KA  KH = KM.KN (*) KA Ta có KA = R không đổi A cố định nên K cố định Vì K, M, N cố định nên KM.KN có giá trị không đổi (*) cho ta KH có giá trị không đổi H cố định Ta có JH = JA ( J tâm (ADE)) A, H cố định Vậy tâm J đường tròn ngoại tiếp  ADE di động đường cố định đường trung trực đoạn thẳng AH 117 PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM Thời gian làm bài: 45 phút Cho  ABC có góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b Chứng minh AE.AB = AF.AC c Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK tứ giác BHOC nội tiếp BC d Cho HF = 3cm; HB = 4cm; CE = 8cm HC > HE Tính HC ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA A F E B H D O K C BEC= BFC=900 (  BEC  BFC nội tiếp đường tròn đường kính BC)  tứ giác BEFC nội tiếp  ABC có BF CE đường cao nên H trực tâm  ABC Vậy AH vuông góc với BC Hai tam giác vuông AFB AEC có A chung nên  AFB ∽  AEC  AE AF = AC AB 118  AE.AB = AF.AC Tứ giác BHOC nội tiếp cho ta BHC= BOC BHC=1800 -A  Mà  BOC= 2A  nên 2A =1800 -A  A = 600  BOK =600  OK = BK Vậy OK = BC Đặt HC = x; HE = y (x > y > 0) Ta có  HEB ∽  HFC (g – g)  HE.HC = HF.HB  x + y =8 Ta có   x.y =12 x, y nghiệm phương trình X2 – 8X + 12 =  x = (cm), y = (cm) Vậy HC = 6cm