SKKN rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị y= f(x)

I MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong kỳ thi THPT Quốc gia mơn tốn năm học 2017-2018 có toán: Câu 50(MĐ132).Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) 3  Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ đồng biến khoảng đây?  A  5;    B  ;3 ÷ 4  31  ÷ 5 2  31   25  C  ; +∞ ÷ D  6; ÷      Đây tốn khiến học sinh bối dối từ trước đến học sinh lớp 12 biết đến toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = ax + bx + cx + d , y = ax + bx + c , y = ax + b cx + d chưa quen toán liên quan đến đồ thị hàm số y = f ( x ) Nên phương pháp giải toán nào?.Hệ thống tập chưa có tài liệu đề cập đến Đây vấn đề cần phải giải đáp ứng nhu cầu học tập học sinh / Chính Tơi chọn đề tài:“Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) ” để giúp học sinh lớp 12 hệ thống kiến thức học phát triển ý tưởng tạo để giải toán Giúp em học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2018-2019 1.2.Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 2018-2019 - Làm tài liệu học tập cho em học sinh yêu thích mơn tốn - Phát triển ý tưởng sáng tạo toán dựa kiến thức học 1.3.Đối tượng nghiên cứu -Hệ thống kiến thức học cho học sinh đồ thị từ lớp 10 đến lớp 12 -Giúp học sinh rèn luyện kỹ vẽ đọc đồ thị để giải toán liên quan đến đồ thị Tính đơn điệu,Cực trị,Giá trị lớn nhât giá trị nhỏ nhất,… 1.4.Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thông tin / - Phương pháp thông kê,sử lý số liệu - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Có sức hấp dẫn với học sinh bạn u mơn tốn - Từ kiến thức học Học sinh phát triển ý tưởng sáng tạo xây dựng toán 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Để giải toán liên quan đến đồ thị không nói đến phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ.Hàm số chẵn,hàm số lẻ Định lý:(Đại số nâng cao lớp 10 trang 43): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Cho đồ thi (G) hàm số y=f(x) ,p,q hai số dương tùy ý.Khi đó: 1/ Tịnh tiến (G) lên q đơn vị ta đồ thị y=f(x)+q 2/ Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị ta đồ thị y=f(x)-q 3/ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta đồ thị y=f(x+p) 4/ Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta đồ thị y=f(x-p) Định lý:(Đại số nâng cao lớp 10 trang 41): Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Bên cạnh hướng dẫn học sinh giải toán đối xứng tâm,đối xứng trục,phép tịnh tiến.phép vị tự….Trên hệ tọa độ vng góc Oxy thể đồ thị 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Đối với học sinh dạng toán dựa kiến thức tổng hợp học - Hệ thống tập vận dụng sách giáo khoa chưa đề cập đến sách bồi dưỡng khơng có - Một số đề thi thử THPT Quốc gia mạng Internet có đề cập số đồ / thị hàm số: y = f ( x ) song khơng có lời giải chi tiết học sinh khơng có điều kiện,phương tiện để tiếp cận - Trong qua trình dạy học lớp hệ thống tập phương pháp giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm Thầy,Cô chưa ý đến có nhiều lý 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Để làm sáng kiến kinh nghiệm Tôi sử dụng số toán mạng chủ yếu phải tự làm.Sau xếp tập theo trình tự hệ thống kiến thức Giải tích 12 chương I hành - Trong q trình làm đề tài Tơi có cho học sinh làm để điều chỉnh tốn cho phù hợp với mức độ yêu cầu học sinh đề thi THPT Quốc gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN KIẾN KINH NGHIỆM a/ Các toán tính đơn điệu hàm số: Ví dụ 1:Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ thỏa f ( ) = f ( −2 ) = đồ thị hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng khoảng sau: 3  A  −1; ÷  2 C ( −1;1) B ( −2; −1) D ( 1; ) Lời giải:Chọn D Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng xét dấu: Suy y = f ( x) < 0, ∀x ≠ ±2 Lại có: x = y = ( f ( x) ) ⇒ y ' = f ( x) f '( x) ⇒ y ' = ⇔ f ( x) f '( x) = ⇔ − f '( x ) = ⇔   x = ±2  f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2;1) 2 f ( x ) f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2;1) =>  Do   f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 1; ) 2 f ( x ) f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 1; ) Từ suy hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến khoảng ( 1; ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) xác định, liên tục ¡ f ' ( x ) y có đồ thị hình vẽ bên.Khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) đồng biến ( −∞;1) x B Hàm số f ( x ) đồng biến ( −∞;1) ( 1; +∞ ) O C Hàm số f ( x ) đồng biến ( 1; +∞ ) D Hàm số f ( x ) đồng biến ¡ Lời giải: Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) , ta thấy f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) suy hàm số f ( x ) đồng biến ( 1; +∞ ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e ( a ≠ ) Biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Khi nhận xét sau sai? A.Trên ( −2;1) hàm số f ( x ) ln tăng B.Hàm f ( x ) giảm đoạn [ −1;1] C.Hàm f ( x ) đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) D Hàm f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) y x -2 -1 O Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy:  −2 < x < f ' ( x ) >   → f ( x ) đồng biến khoảng ( −2;1) , ( 1; +∞ ) x > Suy A C f ' ( x ) < x < −2  → f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) Suy D đúng, B sai Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số f ′ ( x ) ¡ Biết hàm số y = f ′ ( x − ) + có đồ thị hình vẽ bên Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng nào? A ( −∞; ) B ( −1;1)   C  ; ÷ 2  D ( 2; +∞ )  Lời giải.Chọn B Dựa vào đồ thị ( C ) ta có: f ′ ( x − ) + < 2, ∀x ∈ ( 1;3) ⇔ f ′ ( x − ) < 0, ∀x ∈ ( 1;3) Đặt x* = x − f ′ ( x *) < 0, ∀x* ∈ ( −1;1) Vậy: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) Cách khác:Tịnh tiến sang trái hai đơn vị xuống đơn vị từ đồ thị ( C ) thành đồ thị hàm y = f ′ ( x ) Khi đó: f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −1;1) Vậy: Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;1) b/Các tốn cực trị hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Số điểm cực đại hàm số y = f ( ) x + x + là: A B Lời giải.Chọn D Tập xác định hàm số ¡ Ta có y′ = x +1 x + 2x + 2 f ′ ( C D ) x2 + 2x + , x +1 =   x = −1  x + x + = −1  y′ = ⇔  ⇔  x = −1 −  x + 2x + =  x = −1 +    x + 2x + = Đặt g ( x) = x + x + Bảng biến thiên g ( x) : −∞ x −1 −1 − +∞ −1 + +∞ +∞ g ( x) 3 Bảng biến thiên hàm số y = f x −∞ x +1 − f′ ( x2 + 2x + ) y′ ( ) x2 + 2x + : −1 −1 − +∞ −1 + + + − − + − + − + y Từ BBT thấy hàm số có cực đại Ví dụ 2:Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − ) ( x + 3) Số điểm cực trị hàm số f ( x ) là: A B Lời giải.Chọn B C D  x = −1  Ta có f ′ ( x ) = ⇔  x =  x = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f ( x ) f ( x ) x f ′( x) f −∞ −1 −3 + − +∞ − + ( x) x f −∞ −2 +∞ ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị hàm số f ( x ) Ví dụ 3:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x − 1) ( 13x − 15 ) Khi số  5x  cực trị hàm số y = f  ÷  x +4 A Lời giải:Chọn D B C '  5x   5x  Ta có g ( x ) = f  x + ÷⇒ g ' ( x ) =  x + ÷ ' f     D ( )  5x  − x ' f ÷= 2  x +4 x +4 ( )  5x  ' ÷  x +4 25 x  x  5x    65 x  f ' = − 1÷  − 15 ÷  Mà  x + ÷  x2 +  x +   x + ( = Do g ' ( x ) = ) (x +4 ( ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( 15 x − 20 ) 25 x ) 125 x − x (x x2 + +4 ) 3 ) ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( 15 x − 20 ) ( x + 4) 3 4  Suy hàm số y = g ( x ) có điểm cực trị x = ±2;1; 4;3;   3 Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) xác định R Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình 3 cực tiểu hàm số g ( x ) đoạn [ −3;1] là: A xCT = −1 B xCT = C xCT = −2 D xCT = vẽ bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 Điểm Lời giải: Đáp án A 3 2 x = 3 ⇔ f ' ( x ) = x + x − ⇔  x = −1 2  x = −3 Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) − x − x + = 3 Khi x < ta có: f ' ( x ) > x + x − ⇒ g ' ( x ) > 0, 3 Khi x > ta có f ' ( x ) < x + x − ⇒ g ' ( x ) < Qua x = 1, g’(x) đổi dấu từ dương sang âm ⇒ x = điểm cực đại đồ thị hàm số y = g ( x ) Chứng minh tương tự ta x = −1 điểm cực tiểu x = −3 điểm cực đại đồ thị hàm số y = g ( x ) c/Các toán giá trị lớn nhỏ Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) hình vẽ sau: 3 Xét hàm số g ( x ) = x3 + x − x − f ( x ) mệnh đề đúng? g ( x ) = g ( −3 ) g ( x ) = g ( −1) A max B max [ −3;1] [ −3;1] g ( x ) = g ( 1) C max [ −3;1] g ( x) = D max −3;1 [ g ( −3) + g ( 1) ] Lời giải.Chọn B 3 3 Ta có g ′( x) = x + x − − f ′ ( x ) = ⇔ f ′( x) = x + x − 2 2 ′ g ( x ) = Số nghiệm phương trình số giao 3 điểm y = f ′( x) y = x + x − 2 3 Ta thấy y = f ′( x) cắt y = x + x − ba điểm phân biệt ( −3;3) ; ( −1; −2 ) ; ( 1;1) 2 Khi ta có BBT y = g ( x ) sau: g ( x ) = g ( −1) Do max [ −3;1] Ví dụ 2.Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Xét hàm 3 số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 , mệnh đề đúng? g ( x ) = g ( −3 ) g ( x ) = g ( −1) A B [ −3;1] [ −3;1] g ( x ) = g ( 1) C [ −3;1] g ( x) = D −3;1 [ g ( −3) + g ( 1) ] Lời giải.Chọn B 3 3  g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) −  x + x − ÷ = 2 2   x = −3 3   3 ⇔ f ' ( x ) =  x + x − ÷ ⇒  x = −1 2   x = Dựa vào đồ thị ta có g ( x ) = g ( −1) Vậy [ −3;1] Ví dụ 3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hình vẽ Đặt hàm số y = g ( x ) = f ( x + x − 1) + m Tìm m để max[ 0;1g] ( x ) = −10 A m = −13 B m = C m = −12 D m = −1 Lời giải Chọn A Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) Ta có hàm số đạt cực trị x = ±1 nên f ′ ( x ) = ⇔ x = ±1 Ta có: g ′ ( x ) =  f ( x + x − 1) + m ′ = f ′ ( x3 + x − 1) ( x + 1) ( )  f ′ x3 + x − = 2 x3 + x − =  x = a ≈ 0,8 g′ ( x) = ⇔  ⇔ ⇔  x + = ( VN ) x =  x + x − = −1 Ta có bảng biến thiên sau: Do hàm số đạt giá trị lớn x = x = Suy max[ 0;1g] ( x ) = −10 ⇔ m + = −10 ⇔ m = −13 Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) Mệnh đề đúng? g ( x ) = g ( 1) g ( x ) = g ( 1) A B max [ −3;3] [ −3;3] g ( x ) = g ( 3) C [ −3;3] D Không tồn giá trị nhỏ g ( x ) [ −3;3] Lời giải Đáp án B  x = −3  Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x + 1) = ⇔  x =  x = Với x < −3 ta có: f ' ( x ) < x + suy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −3) Tương tự ta suy hình dạng đồ thị hàm số g ( x ) bên dưới, ta cần so sánh g ( −3) g ( 3) Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x + 1) ; ∀x ∈ ¡  x = ±3 (Dựa vào ĐTHS y = f ' ( x ) ) x = Phương trình g ' ( x ) =⇔ f ' ( x ) = x + ⇔  Bảng xét dấu g ' ( x ) x -3 g’(x) + g ( x ) = g ( 1) Dựa vào bảng xét dấu, ta max [ −3;3] Dựa vào hình vẽ lại có −3 - ∫ 2 f ' ( x ) − x  dx > −∫ 2 f ' ( x ) − x  dx Do g ( 1) − g ( −3) > g ( 1) − g ( 3) ⇔ g ( 3) > g ( −3) d/Các toán tương giao đồ thị Ví dụ 1.Cho hàm số y = f ( x ) = ax + b , ( a , b , c , d ∈ ¡ , c ≠ , d ≠ ) có đồ thị ( C ) cx + d hình vẽ Biết ( C ) cắt trục tung Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) điểm có tung độ Tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục hồnh có phương trình A x − y + = B x + y + = C x + y − = D x − y − = y Lời giải.Chọn C x −2 −1 ( ad − bc ) ax + b Xét hàm số y = f ( x ) = có f ′ ( x ) = cx + d ( cx + d ) O −3 Ta có đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ nên f ( ) = ⇔ b = ⇔ b = 2d d Từ đồ thị y = f ′ ( x ) nhận đường thẳng x = −1 làm tiệm cận đứng nên ad − 2d a − 2d d ′ ⇒ f x = = ( ) − = −1 ⇔ d = c 2 c ( dx + d ) d ( x + 1) Mặt khác ta lại có đồ thị y = f ′ ( x ) qua điểm ( −2; −3) nên f ′ ( −2 ) = −3 a − 2d = −3 ⇔ a = − d d −dx + 2d − x + = Vậy f ( x ) = Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm ( 2;0 ) f ′ ( ) = − dx + d x +1 ⇒ Vậy phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) trục Ox ( x − 2) ⇔ x + y − = Ví dụ 2:Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) hình vẽ: y=− Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  A m ≥ f ( 5) B m ≥ ( ) f − C m ≥ f ( 0) D m ≤ f ( 5) Lời giải.Chọn A 2 Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) + x − ; g ′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = −3x + ⇔ x = ∨ x = ± Ta thấy g ′ ( x ) ≥ , ∀x ∈  − 5;  nên hàm số g ( x ) đồng biến  − 5;  g ( x) ≤ Do đó, để g ( x ) ≤ , ∀x ∈  − 5;  −max 5;  ⇔g ( ) ≤ ⇔ m ≥ 23 f ( ) Ví dụ 3:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −3;3] đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Biết f (1) = ( x + 1) Kết luận sau đúng? f ( x) − g ( x) = A Phương trình B Phương trình C Phương trình D Phương trình g ( x) = có hai nghiệm thuộc [ −3;3] g ( x) = khơng có nghiệm thuộc [ −3;3] g ( x) = có nghiệm thuộc [ −3;3] g ( x) = có ba nghiệm thuộc [ −3;3] Lời giải.Chọn C Ta có : g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) ⇒ g ′ x = f ′ x − x + ( ) ( ) ( ) Vẽ đường thẳng y = x + hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) (như hình vẽ bên) Từ đồ thị ta thấy: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) > , ∀x ∈ ( −3;1) (do đường cong nằm phía đường thẳng), g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x + 1) < , ∀x ∈ ( 1;3) (do đường cong nằm phía đường thẳng) Ta có: g ( 1) = f ( 1) ( + 1) − 2 = 6−2 = Bảng biến thiên: 10 Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích S1 lớn (trong phần bên trái có nhiều ơ, có diện tích ), đó: < S1 = ∫ g ′ ( x ) dx ⇔ < g ( x ) −3 −3 ⇔ < g ( 1) − g ( −3) ⇔ g ( −3) < Mặt khác: diện tích = R tan 30° nhỏ (trong phần bên phải có ơ), > S2 = − ∫ g ′ ( x ) dx ⇔ > − g ( x ) ⇔ > g ( 1) − g ( 3) ⇔ g ( 3) > Vậy phương trình g ( x ) = có nghiệm thuộc đoạn [ −3;3] (nghiệm nằm khoảng ( −3;1) ) Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm R có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt g ( x ) = f  f ( x )  Tìm số nghiệm phương trình g ′ ( x ) = A B C D y −2 −1 −1 O x −2 −3 −4 −5 −6 −7 Lời giải.Chọn.B  f ′( x) = ′ ′ ′   g x = f f x f x = ⇔  Ta có ( )  ( ) ( )  f ′  f ( x )  = x = f ′( x) = ⇔   x = x3 ∈ ( 2;3)  x = x1 ∈ ( −1;0 )  + f ( x) = ⇔ x =  x = x ∈ ( 3; )   f ( x) = f ′  f ( x )  = ⇔   f ( x ) = x3 ∈ ( 2;3)  x = x2 > x1 + f ( x ) = x3 ∈ ( 2;3) ⇔   x = x3 ∈ ( 0;1) Vậy phương trình g ′ ( x ) = có nghiệm phân biệt e/ Các tốn nhận dạng đồ thị Ví dụ 1.Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈ ¡ ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho hàm số hàm số đây? A y = x3 − x − B y = − x3 + x − x − C y = − x3 + x − x + D y = − x3 + x + x + Lời giải.Chọn C Nhìn đồ thị y = f ′ ( x ) ta suy a < f ′ ( x ) = vô nghiệm nên chọn y = − x3 + x − x + 11 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) = f ′ ( x ) , y = h ( x ) = g ′ ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A g ( −1) > h ( −1) > f ( −1) B f ( −1) > g ( −1) > h ( −1) C h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) D h ( −1) > f ( −1) > g ( −1) Lời giải Chọn C -Nếu ( 1) đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ′ ( x ) g ′ ( x ) > ∀x ∈ ( 0; ) ⇒ g ( x ) đồng biến ( 0; ) , hai đồ thị lại khơng có đồ thị thoả mãn đồ thị hàm số y = g ( x) = f ′( x) -Nếu ( ) đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ′ ( x ) g ′ ( x ) > 0∀x ∈ ( −1,5;1,5 ) ⇒ g ( x ) đồng biến ( −1,5;1,5) , ( 1) đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ′ ( x ) f ′ ( x ) > 0∀x ∈ ( 0; ) ⇒ f ( x ) đồng biến ( 0; ) , ( 3) không thoả mãn đồ thị hàm số y = f ( x ) -Nếu ( 3) đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ′ ( x ) g ′ ( x ) > 0∀x ∈ ( −∞;1) ⇒ g ( x ) đồng biến ( −∞;1) , ( ) đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ′ ( x ) ( 1) đồ thị hàm số y = f ( x ) Dựa vào đồ thị ta có h ( −1) > g ( −1) > f ( −1) Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ( y = f ' ( x ) liên tục ¡ ) Xét hàm số g ( x ) = f ( x − ) Mệnh đề sai ? A Hàm số g ( x ) , nghịch biến ( −∞; −2 ) B Hàm số g ( x ) , đồng biến ( 2; +∞ ) C Hàm số g ( x ) , nghịch biến ( −1;0 ) D Hàm số g ( x ) , nghịch biến ( 0; ) Lời giải.Đáp án C Xét hàm số g ( x ) = f ( x − ) ¡ , có g ' ( x ) = ( x − ) f ' ( x − ) = x f ' ( x − ) ' x = x = x =   Phương trình g ' ( x ) = ⇔ x f ' x − = ⇔  f ' x − = ⇔  x − = −1 ⇔  x = ±1   x2 − =  x = ±2  Với x > ⇔ x − > mà f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) suy f ' x − > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ( ) ( ) ( ) Bảng biến thiên x ( f ' x −2 g ( x) ) −∞ −2 + − + −1 − + − 0 − − − − +∞ + + 12 Từ bảng biến thiên ta có hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm cấp hai ¡ Đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) đường cong hình vẽ bên : A ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) B ( C1 ) , ( C3 ) , ( C2 ) C ( C3 ) , ( C2 ) , ( C1 ) D ( C3 ) , ( C1 ) , ( C2 ) Lời giải.Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy: ( C2 ) có cực trị, ( C1 ) có hai cực trị ( C3 ) có ba cực trị Nên suy đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) ( C3 ) , ( C1 ) , ( C2 ) x Ví dụ 5: Cho đồ thị ba hàm số y = f ( x), y = f ′( x), y = ∫ f ( t ) dt hình Xác định xem ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) tương ứng đồ thị hàm số nào? x A y = f ′( x), y = f ( x), y = ∫ f ( t ) dt x B y = f ( x), y = ∫ f ( t ) dt , y = f ′( x) x C y = f ( x), y = ∫ f ( t ) dt , y = f ′( x) x D y = ∫ f ( t ) dt , y = f ′( x), y = f ( x) Lời giải:Đáp án C Dựa vào đồ thị ta có: ( C3 ) đạo hàm ( C1 ) f/Các tốn tính giá trị hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ∈¡ ; a ≠ ) , có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) qua gốc tọa độ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ Tính giá trị H = f ( ) − f ( ) A H = 58 B H = 51 C H = 45 D H = 64 Lời giải.Chọn A Giả sử f ′ ( x ) = Ax + Bx + C , có đồ thị Parabol với đỉnh I ( 0;1) nên B = C =1 Ta có f ′ ( x ) = Ax + , Parabol qua điểm M ( 1; ) nên suy A = 2 Vậy f ′ ( x ) = 3x + Suy f ( x ) = ∫ ( 3x + 1) dx = x + x + D Do đồ thị (C) qua gốc tọa độ nên D = Vậy f ( x ) = x + x Từ suy H = 68 −10 = 58 13 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c với ( a ≠ ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = −2 đồng thời qua điểm M ( 2; −14 ) Giá trị biểu thức P = a + b + c là? A P = a + b + c = − B P = a + b + c = − C P = a + b + c = − D P = a + b + c = Lời giải: Đáp án A Từ hình vẽ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) = 4ax + 2bx cho ta nhận thấy rằng: f ' ( 1) = −4 ⇔ 4a + 2b = −4 ⇔ 2a + b = −2 Hơn nữa, ta có a < 0, b < đồ thị hàm số có điểm cực đại để đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y = −2 c = −2 Mặt khác đồ thị hàm số qua điểm M ( 2; −14 ) nên 16a + 4b + c = −14 Do ta tìm a = − , b = −1, c = −2 nên P = a + b + c = − Học sinh tưởng tượng hình dáng đồ thị hàm số hình vẽ bên Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x ) − x Mệnh đề sau đúng? g ( −2 ) > g ( ) > g ( −1) g ( ) > g ( −2 ) > g ( −1) A B C g ( −1) > g ( −2 ) > g ( ) D g ( −1) > g ( ) > g ( −2 ) Lời giải:Chọn B Ta thấy đồ thị hàm số y = x cắt đồ thị hàm số y = f ' ( x ) điểm có tạo độ ( −2; ) , ( −1;1) , ( 2; ) Căn vào diện tích hình −1 −2 −1 phẳng hình vẽ ta có: ∫  x − f ' ( x ) dx < ∫  f ' ( x ) − x dx x  −1  x  ⇔  − f ( x)  <  f ( x) −   −1 3  −2  x − f ( x ) −1 f ( x ) − x −1 ⇔ < ⇔ −g ( x) < g ( x) −2 −1 −2 −1 3 3 ⇔ − g ( −1) + g ( −2 ) < g ( ) − g ( −1) ⇔ g ( −2 ) < g ( ) (1) Mặt khác từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau: 14 −∞ x y’ y -2 + -1 g ( −2 ) - +∞ + g ( 2) - g ( −1) ⇒ g ( ) > g ( −2 ) > g ( −1) Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên Đặt M = max f ( x ) , m = f ( x ) , T = M + m [ −2;6] [ −2;6] y Mệnh đề đúng? A T = f ( ) + f ( −2 ) B T = f ( ) + f ( −2 ) C T = f ( ) + f ( ) D T = f ( ) + f ( ) −3 −2 −1 O x −2 Lời giải.Chọn B Gọi S1 , S2 , S3 , S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) với trục hồnh y Quan sát hình vẽ, ta có S1 −3 −2 −1 O −2 ∫ −2 ⇔ f ( x) S3 S4 S2 x −2 > f ( x) ⇔ f ( −2 ) < f ( ) 2 f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) < f ( x ) ⇔ f ( ) − f ( ) < f ( 5) − f ( ) 0 5 ∫ f ′ ( x ) dx > ∫ − f ′ ( x ) dx ⇔ f ( x ) > f ( x ) ⇔ f ( 5) − f ( ) > f ( 5) − f ( ) ⇔ f ( ) < f ( ) 5 Ta có bảng biến thiên f ( x ) = f ( ) x = Dựa vào bảng biến thiên ta có M = max [ −2;6] Khi T = f ( ) + f ( −2 ) h/ Các toán liên quan đến đạo hàm cấp 15 Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f '' ( x ) hình vẽ, đặt g ( x ) = f ( x ) + x Mệnh đề sau đúng?  g ' ( −3) > g ' ( 3)  g ' ( ) > g ' ( 1)  g ' ( −3) > g ' ( 3)  g ' ( ) < g ' ( 1) A  B   g ' ( −3) < g ' ( 3)  g ' ( ) > g ' ( 1) C   g ' ( −3) < g ' ( 3)  g ' ( ) < g ' ( 1) D  Lời giải: Đáp án A g ( x ) = f ( x ) + x ⇒ g ' ( x ) = f ' ( x ) + 3x g '' ( x ) = f '' ( x ) + x =  f '' ( x ) + x   x = −3 x = ⇒ g '' ( x ) = ⇔ f '' ( x ) = − x ⇔  x =  x = 1 Theo hình vẽ ta có: ∫ − x − f '' ( x )  dx > ∫  f '' ( x ) + x  dx > ∫ − x − f '' ( x )  dx −3  −x  ⇔ − f '( x)      −x  x  >  f '( x) +  >  − f '( x)  ⇔ −g '( x) 21    −3  g ' ( −3) > g ' ( 3) ⇔ g ' ( −3) − g ' ( 1) > g ' ( ) − g ' ( 1) > g ' ( ) − g ' ( ) ⇔   g ' ( ) > g ' ( 1) 2 −3 > g '( x) > −g '( x) Ví dụ 2: Một số đồ thị đồ thị hàm số g ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn g ' ( ) = 0, g '' ( ) > 0∀x ∈ ( −1; ) Hỏi đồ thị nào? A B C D Lời giải:Đáp án A Lập bảng biến thiên đồ thị y = g ( x ) đáp án ta thấy có đáp án A thỏa mãn Ví dụ 3:Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp f '( x) đạo hàm cấp hai f ''( x) ¡ Biết đồthị hàm số y = f ( x), y = f '( x), y = f ''( x) đường cong (C1 ), (C2 ), (C3 ) hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ), y = f '( x), y = f ''( x) theo thứ tự nàodưới đây? A (C2 ), (C1 ), (C3 ) B (C1 ), (C3 ), (C2 ) C (C2 ), (C3 ), (C1 ) D (C3 ), (C1 ), (C2 ) Hướng dẫn giải.Chọn C Dựa vào đồ thị ta thấy 16 -Hàm số có đồ thị ( C1 ) nhận giá trị dương (đồ thị ( C1 ) nằm phía trục hồnh) hàm số có đồ thị ( C3 ) đồng biến khoảng Do hàm số có đồ thị ( C1 ) đạo hàm hàm số có đồ thị ( C3 ) -Hàm số có đồ thị ( C3 ) nhận giá trị dương (đồ thị ( C3 ) nằm phía trục hồnh) hàm số có đồ thị ( C2 ) đồng biến khoảng Do hàm số có đồ thị ( C3 ) đạo hàm hàm số có đồ thị ( C2 ) Ví dụ 4.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai ¡ Biết f ′ ( ) = , f ′ ( ) = −2018 bẳng xét dấu f ′′ ( x ) sau: Hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018 x đạt giá trị nhỏ điểm x0 thuộc khoảng sau đây? A ( −∞; − 2017 ) B ( 2017; +∞ ) C ( 0; ) D ( −2017;0 ) Lời giải.Chọn A Ta có bảng biến thiên: y = f ( x + 2017 ) + 2018 x ⇒ y′ = f ′ ( x + 2017 ) + 2018  x + 2017 =  x = −2015 y ′ = ⇔ f ′ ( x + 2017 ) = −2018 ⇔  ⇔  x + 2017 = a <  x = a − 2017 < −2017 Ta có bảng biến thiên: Hàm số y = f ( x + 2017 ) + 2018 x đạt giá trị nhỏ điểm x0 = a − 2017 ∈ ( −∞; −2017 ) 2.5.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm đối học sinh -Trước hướng dẫn đề tài:Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số y = f / ( x) Tôi cho học sinh làm kiểm tra 15 phút 17 Câu 1:Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ¡ Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) , ( y = f ′ ( x ) liên tục ¡ ) Xét hàm số g ( x ) = f ( x − ) Mệnh đề sai? y A Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; − ) −1 O B Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) x −2 C Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( −1;0 ) −4 D Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0; ) 2 2 Câu 2.Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 16 ) Hỏi phương trình f ′ ( x ) = có nghiệm? A B C D + Câu 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ + thỏa mãn f ' ( x ) ≥ x + 1, ∀x ∈ ¡ , f ( ) = Tìm giá trị nhỏ f ( 1) ? A B C D Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm hàm số liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f ( x ) có điểm cực trị? A B C D Câu 5.(Đề minh họa BGD2018) Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau x Bất phương trình f ( x ) < e + m với x ∈ ( −1;1) A m ≥ f ( 1) − e e B m > f ( −1) − e C m ≥ f ( −1) − D m > f ( 1) − e Kết học sinh lúng túng không làm / Sau hướng dẫn đề tài: “Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số y = f ( x ) ”.Tôi cho học sinh hai lớp 12A 12B làm lại kiểm tra thu kết sau: Điểm – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 Lớp 18 Lớp 12A 4,0% 11% 60% 15% 10,0% ( 28 HS ) Lớp 12B 10% 12% 58% 12% 8% ( 30 HS ) 2.6.Bài tập tham khảo: Câu 1.Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực tiểu hàm số g ( x ) = f ( x − 1) A B C D Câu 2.Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục R có f ( 1) − 1, f ( −1) = − Đặt g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) Cho biết đồ thị y = f ′ ( x ) có dạng hình vẽ đây.Mệnh đề sau đúng? A Hàm số g ( x ) có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ R B Hàm số g ( x ) có giá trị nhỏ khơng có giá trị nhỏ R C Hàm số g ( x ) có giá trị lớn giá trị nhỏ R D Hàm số g ( x ) khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ R Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục ¡ đồ thị hàm số f ′ ( x ) đoạn [ −2;6] y hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau −2 O −1 x A maxx∈[f−2;6( x] ) = f ( −2 ) C maxx∈[f−2;6( x] ) = f ( ) B maxx∈[f−2;6( x] ) = f ( ) D maxx∈[f−2;6( x] ) = f ( −1) Câu 4.Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên Để hàm số y = f (2 x − x + 3) đồng biến với 19 x > m (m ∈ R ) a, b, c ∈ ¥ * , c > 2b m ≥ a sin bπ c b phân số tối giản) c Tổng S = 2a + 3b − c A B −2 C D −9 Câu 5.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên dưới.Chọn khẳng định A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −1;1) B Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 1;3) C Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( 0; ) D Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −1;1) khoảng ( 3; ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) , biết hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x + 1) Kết luận sau đúng? A Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (3;4) B Hàm số g ( x ) đồng biến khoảng (0;1) C Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng (4;6) D Hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) Câu 7.Cho hàm số f ( x ) Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình bên Trên đoạn [ −4;3] , hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( − x ) đạt giá trị nhỏ điểm A x0 = −4 B x0 = −1 C x0 = D x0 = −3 3.KẾT LUẬN: 3.1.Kết luận: Sau thời gian giảng dạy lớp 12A,12B.Tôi có nhận xét: - Đề tài em học sinh u tốn đón nhận làm say mê - Số học sinh có học lực trung bình thờ - Một phần tập đòi hỏi kỷ vận dụng kiến thức ba khối đòi hỏi sáng tạo.Nếu khơng có người hướng dẫn khó làm tập Tuy nhiên đề tài có ích cho em muốn điểm tối đa kỳ thi THPT Quốc gia 2019 tài liệu tham khảo cho Thầy,cô giáo ôn luyện cho học sinh 20 Trong khn khổ trình bày có hạn nên việc trình bày khơng tránh thiếu sót.Rất mong góp ý Thầy,cơ giáo em học sinh để đề tài hoàn Tôi xin cam kết đề tài tự làm xin chịu trách nhiệm với đề tài minh Xác nhận Ban giám hiệu Thanh hóa,Ngày 25 tháng năm 2019 Người viết Lê Nguyên Thạch 21 ... số y =f(x) ,p,q hai số dương tùy ý.Khi đó: 1/ Tịnh tiến (G) lên q đơn vị ta đồ thị y =f(x)+ q 2/ Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị ta đồ thị y =f(x)- q 3/ Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta đồ thị y=f(x+p)... vào đồ thị ta thấy 16 -Hàm số có đồ thị ( C1 ) nhận giá trị dương (đồ thị ( C1 ) nằm phía trục hồnh) hàm số có đồ thị ( C3 ) đồng biến khoảng Do hàm số có đồ thị ( C1 ) đạo hàm hàm số có đồ thị. .. -Nếu ( 1) đồ thị hàm số y = h ( x ) = g ′ ( x ) g ′ ( x ) > ∀x ∈ ( 0; ) ⇒ g ( x ) đồng biến ( 0; ) , hai đồ thị lại khơng có đồ thị thoả mãn đồ thị hàm số y = g ( x) = f ′( x) -Nếu ( ) đồ thị hàm