Rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị của hàm số để giải các bài toán về hàm số, nhằm nâng cao hiệu quả chất lượng ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ĐỌC ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ CHẤT LƯỢNG ÔN THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Lê Văn Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2020 I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài .1 2.2 Mục đích nghiên cứu 2.3 Đối tượng nghiên cứu .1 2.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận .2 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ 2.3.2 Một số ví dụ cụ thể .4 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  Hãy: Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình Bài toán 3: Dựa vào đồ thị xét dấu hệ số a, b, c, d hàm số bậc ba bậc bốn trùng phương 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 15 I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm qua trường THPT Như Xuân coi trọng công tác việc bồi dưỡng, nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên thơng qua nhiều hình thức như: Ứng dụng công nghệ thông tin tiết dạy; sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu học; phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm; nghiên cứu đề tài khoa học ứng dụng; tổ chức hoạt động ngoại khóa; vận dụng kiến thức liên môn để giải vấn đề thực tiễn; dạy học tích hợp qua tiết dạy; … Đối với mơn Tốn, năm gần hình thức thi có thay đổi dẫn đến có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên cần phải học tập, bồi dưỡng đổi phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Vì giáo viên cần phải trau dồi kiến thức phương pháp giảng trực quan, sinh động nhằm gây hứng thú cho học sinh để em dễ tiếp cận với kiến thức Qua phát triển tư Tốn học cách tồn diện Sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số để giải toán liên quan đến hàm số xu hướng dạy học, chiếm số lượng không nhỏ câu hỏi kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần gây khơng khó khăn cho học sinh THPT đặc biệt học sinh Huyện miền núi cao Tỉnh Thanh Hóa Qua thực tế giảng dạy tơi nghĩ hệ thống lại dạng tập đưa phương pháp giảng dạy phù hợp tơi tin có nhiều học sinh vượt qua rào cản dần tự tin học Tốn Với lý vậy, tơi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số để giải Toán hàm số, nhằm nâng cao hiệu chất lượng ôn thi THPT Quốc Gia” 2.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số hàm số - Giải tốn có sử dụng đồ thị hàm số 2.3 Đối tượng nghiên cứu - Các dạng tốn hàm số có liên quan đến đồ thị - Học sinh lớp 12B2, 12B6 trường THPT Như Xuân – Thanh Hóa 2.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu liên quan - Phương pháp điều tra, thống kê, phân tích - Quan sát tìm hiểu thực tế học tập học sinh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Có nhiều cách định nghĩa khác kỹ Tuy nhiên hầu hết thừa nhận kỹ hình thành áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ học trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Trong hoạt động dạy học mơn tốn nói riêng kỹ thể qua phương pháp dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong mơn tốn ngồi kỹ chung dạy học cịn thể qua yếu tố đặc thù mơn chẳng hạn: kỹ giải tốn, kỹ tính tốn kỹ đọc đồ thị hàm số kỹ ngoại lệ mà cịn có xu hướng khai thác nhiều đề thi năm gần 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12B2 12B6 trường THPT Như Xuân làm đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu 15 phút thu kết sau Điểm Lớp Sĩ số 0-2 3-4 5-6 7-8 - 10 12B2 38 12 18 12B6 39 19 Trước thực trạng cảm thấy cấp thiết phải có phương pháp để nâng cao chất lượng đại trà cho học sinh trường THPT Như Xuân đưa sáng kiến vào nghiên cứu lớp 12B6 2.3 Các giải pháp thực để giải vấn đề 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ * Định lý tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K � a) Nếu f  x   x �K hàm số f  x  đồng biến K � b) Nếu f  x   x �K hàm số f  x  nghịch biến K Chú ý: Đồ thị hàm số đồng biến khoảng  a; b  đường lên khoảng đó, đồ thị hàm số nghịch biến khoảng  a; b  đường xuống khoảng (theo chiều từ trái sang phải) * Định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \  x0  , với h  � � a) Nếu f  x   khoảng  x0  h; x0  f  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f  x  � � b) Nếu f  x   khoảng  x0  h; x0  f  x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f  x  Chú ý: Điểm x0 điểm cực trị hàm số y  f  x  đạo hàm đổi dấu qua điểm x0 - Điểm x0 điểm cực đại đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“, điểm cực tiểu đạo hàm đổi dấu từ “-“ sang “+” * Sự tương giao hai đồ thị hàm số � Cho hai đồ thị hàm số  C  : y  f  x   C  : y  g  x  Số nghiệm � phương trình f  x   g  x  số giao điểm hai đồ thị  C   C  y  ax  bx  cx  d  a �0  * Các dạng đồ thị hàm số bậc ba a0 a0 y 0 Phương trình y� có hai nghiệm phân biệt y x O x y y 0 Phương trình y� có nghiệm kép x x O O y y x 0 Phương trình y� vơ nghiệm x O O * Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c  a �0  a0 a0 y 0 Phương trình y� có ba nghiệm phân biệt y x O x O y y x 0 Phương trình y� có nghiệm O x O * Các dạng đồ thị hàm số ad  bc  y O y ax  b  ad  bc �0  cx  d ad  bc  y x O 2.3.2 Một số ví dụ cụ thể x Bài toán 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  Hãy: - Chỉ khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số - Chỉ điểm cực đại, cực tiểu hàm số đồ thị hàm số - Chỉ khoảng mà hàm số nhận giá trị dương, giá trị âm Phân tích tốn: Bài tốn học sinh có học lực giỏi đơn giản học sinh có học lực trung bình yếu tốn khơng đơn giản Vì để học sinh tiếp cận dạng giáo viên cần rõ phương pháp tư cho từ dạng toán +) Đối với câu hỏi “Chỉ khoảng đồng biến nghịch biến hàm số” giáo viên cần nhắc lại hình dạng đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến hàm số, qua hướng dẫn học sinh làm +) Đối với câu hỏi “Chỉ điểm cực đại, cực tiểu hàm số, đồ thị hàm số” giáo viên hình ảnh điểm cực đại, điểm cực tiểu hình vẽ giải thích rõ điểm cực đại, cực tiểu hàm số, đồ thị hàm số +) Đối với câu hỏi “Chỉ khoảng hàm số nhận giá trị âm, giá trị dương” cần rõ đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh khoảng khoảng hàm nhận giá trị dương; ngược lại hàm số nhận giá trị âm Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y x O - a) Hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng nào? b) Hàm số đạt cực đại điểm nào? c) Tìm giá trị x để y  Phân tích tốn: Dựa vào đồ thị ta thấy khoảng  �; 1  1;� đồ thị hàm số đường lên; khoảng  1;1 đồ thị đường xuống Đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh x � 1;1 � 1; � ; đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh x � 1;1 Lời giải: a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến khoảng  �; 1  1;� , hàm số nghịch biến khoảng  1;1 b) Hàm số đạt cực đại x  1 c) Ta có y  � x � 1;1 � 1; � Lời bình: Đây toán mở đầu để học sinh làm quen với cách đọc đồ thị hàm số Để học sinh hình thành nắm vững nên cho thêm ví dụ hàm bậc bốn trùng phương sau Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y x - O a) Hàm số đồng biến khoảng nào? b) Hàm số có điểm cực trị? Lời giải: a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến khoảng  �; 1  0;1 b) Hàm số cho có hai điểm cực đại điểm cực tiểu nên có điểm cực trị Lời bình: Qua hai ví dụ học sinh phần nắm kiến thức ta mở rộng tốn cho hàm số hợp để học sinh có nhìn tổng qt Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y O - x - a) Tìm khoảng nghịch biến hàm số g  x   f  x  3 b) Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3 Phân tích toán: Khi nêu bào toán cần giải rõ cách tính đạo hàm hàm số hợp, xét dấu đạo hàm hàm số hợp, từ hướng dẫn học sinh kết luận dựa vào định lý tính đơn điệu hàm số Lời giải: x   1 � x  1 � g� ��  x   f �  x  3 ; g �  x  � � 2x   x  2 � � Ta có Bảng biến thiên a) Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng  2; 1 b) Hàm số cho có cực đại cực tiểu nên có điểm cực trị Lời bình: Bài tốn áp dụng hàm bậc bốn trung phương trhì nào? Ta có ví dụ Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y x O - a) Hàm số g  x   f   x  nghịch biến khoảng nào? b) Hàm số g  x   f   x  có điểm cực đại? Phân tích tốn: Cũng tập ta làm cách lấy đạo hàm hàm số hợp xét dấu đạo hàm suy kết Lời giải:  x  1 � x3 � g� 2x0 � � x2  x   f �   x  ; g�  x  � � � � � �  x 1 x 1 � � Ta có Bảng biến thiên a) Vậy hàm số nghịch biến khoảng  1;2   3;� b) Hàm số có điểm cực đại Lời bình: Bài tốn mở rộng thêm cách cho hàm số hợp phức tạp Ví dụ 5: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y O - a) Tìm khoảng nghịch biến hàm số x g  x   f  x  3 g  x   f  x  3 b) Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3 c) Tìm x để nhận giá trị âm Phân tích tốn: Bài tốn có mức độ khó nhiều so với tốn ví dụ ví dụ Tuy nhiên dạy cho học sinh lối tư nâng cao dần học sinh phán đốn cách giải, tạo tị mị học sinh, cho học sinh thấy vẻ đẹp toán học Lời giải: x0 � x0 � � g� x   1 � � x�2  x   2x f �  x2  3 ; g� x   � � � � � x  �2 x2   � � Ta có Bảng biến thiên a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng  �; 2       2;0 2;2 và b) Hàm số cho có điểm cực trị f  x  3  � x   2 � x   � 1  x  c) Ta có Lời bình: Qua tốn phần hình thành cho học sinh hệ thống toán hàm số, nâng cao tư hàm số, khái quát số dạng tốn hàm số Từ tự tìm hiểu thêm toán dạng mức độ khó Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y O - x - - a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số f  x  b) Tìm đạt cực đại, cực tiểu hàm số f  x  c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số g  x   f  x  x  1 Bài Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y - x O - a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số f  x  b) Tìm khồng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số g  x   f  x  x  1 Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: a) Tìm số nghiệm phương trình f  x   b) Tìm m để phương trình f  x   m  có nghiệm phân biệt y x - O - Phân tích tốn: Đối với tốn cần rõ cho học sinh cách chuyển phương trình phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số hàm f  x  hàm lại đường thẳng song song trùng với trục hồnh Lời giải: a) Phương trình f  x  � f  x   * Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  y đường thẳng Do đo phương trình (*) có nghiệm phân biệt m f  x  m  � f  x  b) Phương trình 1  Phương trình có nghiệm phân biệt Vậy m � 2;2  phương trình có nghiệm phân biệt m  � 2  m  2 Lời bình: Đây tốn mức độ vừa phải nhiên học sinh cần phải hiểu rõ chất tốn tiếp tục nâng cao kỹ làm toán nâng cao Từ tốn mở rộng cho tốn khác sau Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y x - O a) Phương trình f  x   f  x    có nghiệm? b) Phương trình f   x    có nghiệm? Lời giải: �f  x   1 f  x  f  x   � � �f  x   a) Ta có Phương trình f  x   1 có nghiệm phân biệt Phương trình f  x   có nghiệm khác nghiệm Do phương trình cho có nghiệm phân biệt  2x  � f   2x   � f   2x  � �  x  x0  1 � b) Phương trình x2 � � �  x0 � x � rõ ràng hai nghiệm khác Vậy phương trình có hai nghiệm Lời bình: Bài tốn đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nào? Ta vào tìm hiểu ví dụ Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: 10 y x O - a) Phương trình f  x    có nghiệm? b) Phương trình f  x    có nghiệm? Lời giải: f  x   � f  x  a) Ta có Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng chung phương trình cho có nghiệm phân biệt �f  x   f  x   � � �f  x   2 b) Phương trình Phương trình f  x   có nghiệm y có điểm Phương trình f  x   2 có nghiệm Do phương trình f  x   có nghiệm Lời bình: Qua số ví dụ phần giúp học sinh phát triển tư hàm số, đặc biệt tư đồ thị hàm số Từ khái quát hóa để giải bào tốn khó Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y x O - a) Tìm số nghiệm phương trình f  x    f  x 1  b) Tìm số nghiệm phương trình 11 f  x  f  x  m  m c) Tìm để phương trình có nghiệm Bài 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y - x O - a) Số nghiệm phương trình f  x   3 f  x 1  b) Số nghiệm phương trình c) Tìm m để phương trình f  x   f  x   m   có nghiệm Bài toán 3: Dựa vào đồ thị xét dấu hệ số a, b, c, d hàm số bậc ba bậc bốn trùng phương Phân tích toán: Đối với dạng toán học trước hết giáo viên cần nhắc kỹ lại dạng đồ thị hàm số học, yêu cầu học sinh nhớ định lý Vi-et Ví dụ 1: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ sau y x O Hãy xác định dấu hệ số a, b, c, d Phân tích tốn: Đối với dạng tốn trước tiên giáo viên cần hơngs dẫn học sinh xác định dấu hệ số a, d (dấu hệ số a dựa vào dạng đồ thị hàm số, dấu hệ sô d dựa vào giao điểm đồ thị với trục tung) Sau hướng dẫn học sinh vận dụng định lý Vi-et để xác định dấu hệ số b, c (dựa vào hoành độ cực trị định lý Vi-et) Lời giải: Đồ thị cho đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ âm nên d  12  có hai nghiệm trái Hàm số có điểm cực trị trái dấu nên phương trình y� c 0�c0 a dấu (do a  ) Do nghiệm âm có trị tuyết đối lớn nghiệm dương nên tổng hai nghiệm âm 2b  0�b0 a (do a  ) Dó a  0, b  0, c  0, d  y  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ sau Ví dụ 2: Cho hàm số y x O Hãy xác định dấu hệ số a, b, c, d Lời giải: Đồ thị cho đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d   có hai nghiệm trái Hàm số có điểm cực trị trái dấu nên phương trình y� c 0�c0 a dấu (do a  ) Do nghiệm âm có trị tuyết đối lớn nghiệm dương nên tổng hai nghiệm âm 2b  0�b0 a (do a  ) Dó a  0, b  0, c  0, d  Lời bình: Qua ví dụ học sinh phần nắm phương pháp xác định dấu hệ số hàm bậc biết đồ thị y  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ sau Ví dụ 3: Cho hàm số y x O - Hãy xác định dấu hệ số a, b, c, d 13 Lời giải: Đồ thị cho đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d   có hai nghiệm trái Hàm số có điểm cực trị trái dấu nên phương trình y� dấu c  0�c  a (do a  ) Do nghiệm đối nên b  Dó a  0, b  0, c  0, d  Ví dụ 4: Cho hàm số y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ sau y x O Hãy xác định dấu hệ số a, b, c Phân tích tốn: Đối với dạng đồ thị giáo viên cần lưu ya số điều sau: Hệ số a, hệ số d điều kiện cần đủ để hàm số có điểm cực trị ab  Lời giải: Đồ thị đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có a  Đồ thị có cực trị nên ab  � b  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên c  Ví dụ 5: Cho hàm số y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ sau y x O Hãy xác định dấu hệ số a, b, c Lời giải: Đồ thị đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có a  Đồ thị có cực trị nên ab  � b  14 Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ dương nên c  Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d có đồ thị y hình vẽ Hãy xác định dấu hệ số a, b, c, d O Bài 2: Cho hàm số y  ax  bx  c có đồ thị hình vẽ x - y x O Hãy xác định dấu hệ số a, b, c 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nghiên cứu giảng dạy thực tế lớp khảo sát chất lượng 12B6 trường THPT Như Xuân kiểm tra đối chứng với lớp không áp dụng phương pháp tơi thấy có hiệu qua cải thiện rõ rệt sau: Điểm Lớp Sĩ số 0-2 3-4 5-6 7-8 - 10 12B2 38 10 16 10 12B6 39 10 15 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua công tác nghiên cứu giảng dạy nhận thấy phương pháp có hiệu cho em học sinh thuộc đối tượng trung bình trung bình nên tơi mạnh dạn đưa vào làm đề tài nghiên cứu để áp dụng lớp có nhiều học sinh có học lực mức trung bình đến trung bình Tuy nhiên, khơng thể tránh hết sai sót nên mong quy bạn đọc thơng cảm góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi dần hồng thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 3.2 Kiến nghị Xin đề xuất đến Nhà trường quan quản lý giáo dục có nhiều hội thảo khoa học để nghiên cứu đưa nghiên cứu khoa học giáo viên có nhiều kinh nghiệm vào áp dụng rộng rãi trường phổ thông nhằm nâng cao chất lượng đạo tào 15 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG CƠ QUAN Thanh hóa, ngày 28 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN thân viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Lê Văn Hùng 16 Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa Giải tích 12 [2] Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao [3] Sách BT giải tích 12 [4] Sách BT Giải tích 12 nâng cao [5] Báo Tốn học tuổi trẻ [6] Mạng Internet [7] Đề minh họa kỳ thi THPT Quốc Gia mơn Tốn lần 1, (Bộ GD&ĐT) [8] Đề thi thử THPT Quốc Gia trường toàn quốc 17 ... học Toán Với lý vậy, mạnh dạn chọn đề tài ? ?Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số để giải Toán hàm số, nhằm nâng cao hiệu chất lượng ôn thi THPT Quốc Gia? ?? 2.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện kỹ đọc đồ thị. .. cho học sinh hệ thống toán hàm số, nâng cao tư hàm số, khái quát số dạng tốn hàm số Từ tự tìm hiểu thêm tốn dạng mức độ khó Bài tập tự luyện Bài Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ sau: y O... hệ số hàm bậc biết đồ thị y  ax  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ sau Ví dụ 3: Cho hàm số y x O - Hãy xác định dấu hệ số a, b, c, d 13 Lời giải: Đồ thị cho đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  Đồ thị