Tứ giác ( BDHSG )

Bài sọan Bồi dỡng HSG lớp 8 Tứ giác * Kiến thức cơ bản: 1) Định nghĩa + Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC. CD, AD trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên một đờng thẳng. + Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đờng thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Từ nay khi nói đến tứ giác mà không nói gì thêm ta hiểu đó là tứ giác lồi. 2) Tính chất: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360 à à à à 360A B C D + + + = +Bổ sung: Tổng bốn gócngoài ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 360 Bài tập 1: Tứ giác ABCD có à à 110 , 100A B= = . Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đờng phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính ã ã ,CED CFD 12 2 1 F E A B C D Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung Giải: Theo định lí về tổng bốn góc của tứ giác có: à à à à ( ) à ả 1 1 360 . 360 210 150 . 75 C D A B C D + = + = = = + = = ( Theo tính chất tia phân giác của góc ) Bài sọan Bồi dỡng HSG lớp 8 Tam giác CED có ã à ả ( ) 1 1 180 105CED C D= + = Vì DE, DF là các tia phân giác của hai góc kề bù nên DE DF. Tơng tự CE CF. Xét tứ giác CEDF: à à ã ã 360 75F E ECF EDF= = = Bài tập 2: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đờng chéo lớn hơn nửa chu vi nhng nhỏ chu vi của tứ giác ấy. Giải: Đặt AB= a, BC= b, CD = c, AD =d Theo định lí về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ta có: AC + BD > a + c AC + BD > b + d 2( AC + BD) > a + b +c + d Nên AC + BD > 2 a b c d+ + + Vậy tổng hai đờng chéo lớn hơn nửa chu vi Xét tam giác ABC, ta có AC < a+ b Xét tam giác ADC, ta có AC < c + d Suy ra 2 AC < a + b + c+ d hay AC < 2 a b c d+ + + (1) Tơng tự: BD < 2 a b c d+ + + (2) Từ (1) và (2) suy ra AC + BD < a+ b+c+d Vậy tổng hai đờng chéo nhỏ hơn chu vi. Bài tập 3: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và DC kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của góc CED và BMC cắt nhau tại K. Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD ( Đề thi HSG Hà nội ) Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung a b c d A B C D Bài sọan Bồi dỡng HSG lớp 8 ã ả ả ả ả ( ) 2 2 3 3 180MKE M E M E = + + + (*) Ta có: ả ã à à ( ) 2 180 2 2 B C BMC M + = = ( 1) ( Định lí phân giác, tổng 3 góc 1 tam giác) (2) ( Định lí phân giác, tổng 3 góc 1 tam giác) ả ả à 3 3 180M E D+ = (3) ( Định lí tổng 3 góc 1 tam giác) Thay (1), (2), (3) vào (*) ta có: ã à à à à ã à à 180 2 2 A C MKE B D B D MKE + = + + + = Giáo viên soạn: Vũ Thành Trung 1 3 2 1 3 2 K D B E M C A ả ã à à ( ) 2 180 2 2 B A BEA E + = = . (2 ) ( Định lí phân giác, tổng 3 góc 1 tam giác) ả ả à 3 3 180M E D+ = (3 ) ( Định lí tổng 3 góc 1 tam giác) Thay (1 ), (2 ), (3 ) vào (* ) ta có: ã à à à à. ả ả ( ) 2 2 3 3 180MKE M E M E = + + + (* ) Ta có: ả ã à à ( ) 2 180 2 2 B C BMC M + = = ( 1) ( Định lí phân giác, tổng 3 góc 1 tam giác) (2 ) ( Định