Chuyên đề: Số phức môn toán THPT

Thực hiện SKKN này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong SKKN này tôi đề cập đến một số phương pháp giải một số dạng toán liên quan đến số phức, qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.

MỤC LỤC PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG A: KIẾN THỨC CƠ BẢN B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN 10 Bài tập luyện tập DẠNG : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC 11 Bài tập luyện tập 18 DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 19 Bài tập luyện tập 24 PHẦN III: KẾT LUẬN 26 PHỤ LỤC 27 Số phức đề thi đại học năm 28 Số phức đề thi cao đẳng năm 30 Số phức đề thi tốt nghiệp năm 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 SỐ PHỨC PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU Trong trình dạy học, phương pháp dạy thầy, việc tiếp thu kiến thức học trò vấn đề đặc biệt quan tâm Chuyên đề đặc biệt dành tặng em học sinh có lực học trung bình lại có khát vọng vươn lên sống, tâm thay đổi số phận đường học tập, bước chân vào ngưỡng Đại học Kể từ chương trình tốn THPT bổ sung nội dung số phức, ki` thi đại học năm gần đây, có 01 điểm dành cho nội dung So với phần khác, 1,0 điểm dễ lấy nhiều, nội dung khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Dễ cho người dạy người học Trong nhiều năm gần đây, tốn số phức thường có đề thi Đại học, Cao đẳng Chuyên đề giúp em rèn luyện kĩ giải toán liên quan tới số phức, lấy 01 điểm thuộc số phức thi, để em tiến gần đến ngưỡng ĐH – CĐ Thực SKKN muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong SKKN đề cập đến số phương pháp giải số dạng toán liên quan đến số phức, qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải toán Từ học sinh thấy thích thú say mê học tập, đem lại kết cao SỐ PHỨC PHẦN II: NỘI DUNG A: KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa số phức: + Dạng đại số: z = a + bi ( a, b ∈ R, i2 = - 1) Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có: + Phần thực a, phần ảo b, đơn vị ảo i + Môđun số phức : | z |= a + b + Số phức liên hợp : z = a − bi + Điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ Oxy : M(a ; b) + Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng Các phép toán số phức Phép cộng, trừ nhân số phức thực tương tự cộng, trừ nhân số thực với ý i2 = - • Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i • Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i * Phép chia hai số phức Phép chia số phức z1 cho số phức z2 thực theo quy tắc sau : SỐ PHỨC z1 z2 = z1 z z z = z1 z | z |2 Chú ý : Tất tính chất mà với phép toán số thực số phức Phương trình bậc hai với hệ số thực * Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có ∆ =b2 – 4ac −b± ∆ + Nếu ∆ > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1, = 2a + Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu ∆ < 0, PT có nghiệm phức x1, = −b 2a −b±i | ∆| 2a * Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ∆' =b’2 – ac − b'± ∆' + Nếu ∆' > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1, = a + Nếu ∆' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu ∆' < 0, PT có nghiệm phức x1, = − b' a − b'±i | ∆' | a Một số kết cần nhớ : 1) i0 = ⇒ i4n = 2) i1 = i ⇒ i4n + = i 3) i2 = - ⇒ i4n + = - 4) i3 = - i ⇒ i4n + = - i 5) (1 – i)2 = - 2i 6) (1 + i)2 = 2i SỐ PHỨC B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN Với dạng tập bên cạnh việc kiểm tra kĩ làm phép tốn số phức giúp HS ghi nhớ khái niệm liên quan tới số phức Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của: z = (1 + i)(3 − 2i ) + 3+i Giải: 3−i 3−i Ta có : z = + i + (3 + i)(3 − i) = + i + 10 Suy số phức liên hợp z là: z = 53 − i 10 10 Ví dụ 2: Tìm mơ đun số phức z = Giải: Ta có : z = (1 + i )(2 − i) + 2i − 5i = 1− i Vậy, mô đun z bằng: z = + ( −1) = 2 *Trong tính tốn số phức, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo i sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N* SỐ PHỨC Vậy in∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N −n −n 1 Nếu n nguyên âm, i = (i ) =  ÷ = ( −i ) i n -1 -n Như theo kết trên, ta dễ dàng tính phép tốn lũy thừa số phức với số mũ lớn, ví dụ đây: Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết: z = i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Z = i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Vậy phần thực z 2; phần ảo Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 16 1+ i   1− i  Ví dụ 5: Tính số phức sau: z =  ÷ + ÷  1− i   1+ i  Giải: Ta có: + i (1 + i )(1 + i ) 2i = = =i 1− i 2 SỐ PHỨC ⇒ 16 1− i 1+ i   − i  16 = −i Vậy  + ÷ ÷ =i +(-i) = 1+ i  1− i   1+ i  Hay đề thi khối A -2010 thực chất toán khai thác kiểm tra làm tính với số phức khái niệm số phức liên hợp, phần ảo số phức Ví dụ 6( A-2010): Tìm phần ảo số phức z, biết z = ( + i) (1 − 2i) Giải: ) ( − 2i ) = ( + 2i + i ) ( − 2i ) = ( + 2i ) ( − 2i ) z= ( +i 2 = − 2i + 2i − 4i = + 2i ⇒ z = − 2i Vậy phần ảo z b = − Ví dụ 7: Cho z1 = 1+i; z2 = -1-i Tìm z3∈ C cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Giả sử z3 = x+yi (x,y số thực) Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác  4+4 =  z1 − z2 = z1 − z3  ⇔   z1 − z2 = z2 − z3  4+4 =  ( x − 1) + ( y − 1) ( x + 1) + ( y + 1) 2 ( x − 1) + ( y − 1) = ⇔  x + y = ⇒ 2y2 = ⇒ y = ± ⇒ x = m Vậy có hai số phức thoả mãn yêu cầu toán: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) SỐ PHỨC Từ năm 2014, nội dung số phức cho điểm khiêm tốn đề thi đại học, 0,5 điểm Tuy vậy, kì thi quan trọng kì thi THPT Quốc gia 0,5 điểm “ăn chắc” đáng quý Hay nói cách khác, nội dung số phức phần cho điểm thí sinh Ví dụ (B-2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm modun z Giải: Giả sử z = x+yi (x,y số thực) Vậy modun số phức z Trong đề thi cao đẳng năm 2014, Bộ Giáo dục giữ nguyên 1,0 điểm cho phần số phức Ví dụ 9(Cao đẳng năm 2014): Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực phần ảo z Giải: Giả sử z = x + yi (x, y số thực) SỐ PHỨC Vậy số phức z có phần thực 3, phần ảo Ví dụ 10 (Kì thi THPT Quốc Gia năm 2015): Cho số phức z thỏa mãn Tìm phần thực phần ảo z Giải: Ta có Vậy số phức z có phần thực 3, phần ảo -2 SỐ PHỨC Bài tập luyện tập : Bài Thực phép tính sau: 1) (3 – 5i) + (2 + 4i) 2) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) 3) ( + i ) + ( − i ) 2 4) 5) 3i (1 + 2i ) + – 3i 12i 6) + 7) (1 + i) 8) (1 + i )2009 9) (1 – i)2006 Bài Xác định phần thực, phần ảo môđun số phức sau 1) z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2 3) z = (1 – i)(2 – i)(3 + i) 2) z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3 4) z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010 5) z = 6) z = + i + 2i − − 2i − i 7) z = + 3i − (4 − i ) (1 + i ) 9) z2 – 2z + 4i Bài 3: Cho z = (1 + i )(1 − 2i ) − (3 − 2i ) + 2i z +i 8) iz + 10) z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i) + 2i − (1 − i )3 1+ i Tính |z| tìm z DẠNG : BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC Trong dạng tơi chia nhỏ thành dạng : SỐ PHỨC 10 Bài tập luyện tập: Bài Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + 3i = + 8i b) ( − 3i ) z + ( + 3i ) = − 5i c) ( + i ) z + = 2i − z d) z − ( + 2i ) = − 6i + 3i Bài Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z + z + = b) z − z + 20 = c) −3z + z − = d) z + = Bài Giải phương trình sau tập hợp số phức: a) z − = b) z + z + z + = c) z − z + z − z − 16 = d) z − z − 12 = Bài Giải ptrình sau tập số phức: z4 – z2 – = Bài Giải ptrình: z + z − = tập số phức Bài : Tìm số thực x, y trường hợp sau ( z số phức) 1) 2(x + i) + – 5yi = – 8i 2) x(1 + 3i) + y(i – 2) = + i 3) x(1 + 4i) + (y – 5)I = 3y + 4) x(3 + 5i)+ y(1 – 2i)2 = + 14i 5) x(1 + i) + 4y – – (3y + 5)I = Bài : Tìm số phức thỏa điều kiện sau  z +i 1)   =1  z −i z −1 z − 3i = =1 3) z −i z +i 2) z = z 4) − 3i + 2i z −1 z − 2i = =1 z −3 z +i Bài 8: Tìm số phức z biết z2+ |z| = Bài 9: Tìm số phức z= x+yi biết x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3+5i) + y(1-2i)3 = + 14i SỐ PHỨC 18 DẠNG 3: QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN CÁC SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐK CHO TRƯỚC Phương pháp: Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Một số quỹ tích thường gặp: Với z = x+yi (x, y số thực) nếu: * x= a : Quỹ tích z đường thẳng x = a (song song với Oy) * y= b: Quỹ tích z đường thẳng y = b (song song với Ox) * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z đường tròn tâm I(a.b) bán kính R * (x-a)2 +(y-b)2 ≤ R2 Quỹ tích z hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể biên) * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z điểm nằm ngồi đường tròn tâm I(a.b) bán kính R Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z – 2+3i| = Giải: Giả sử z = x + yi, : |z – 2+3i| = 3 ⇔ |(x-2) +(y+3)i|= 2 ⇔ (x-2)2 + (y+3)2 = SỐ PHỨC 19 ⇒ Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện cho đường tròn tâm I(2;-3) bán kính 3/2 Ví dụ : Trên mặt phẳng phức (Oxy).tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: z − + i =2 2 + z = − i + z > z − 1≤ z + − i ≤ Giải: 1) Xét hệ thức: z − + i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = ⇒ Tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2) Xét hệ thức + z = z − i (2) Giả sử z = x + yi, đó: (2) ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| ⇔ (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2⇔ 4x + 2y + = tập hợp điểm cần tìm đường thẳng 4x + 2y + = 3) Xét: + z > z − (3) SỐ PHỨC 20 Giả sử z = x + yi, đó: (3) ⇔ |2+x+yi| > |x+yi-2| ⇔ (x+2)2 +y2> (x-2)2 +y2⇔ x > ⇒ Tập hợp điểm cần tìm nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm (x;y) mà x > 4) Xét hệ thức 1≤ z + − i ≤ ⇔ 1≤ z − (−1 + i ) ≤ Giả sử z = x +yi (5) ⇔ ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ ⇔ ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ ⇒ Quỹ tích cần tìm hình vành khăn có tâm A(-1;1) bán kính lớn nhỏ Ví dụ 3: Tìm quỹ tích điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |z + z +3|=4 |z + z + - i| = 2|z-i|=|z- z +2i| Giải: 1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1) Đặt x = x + yi ⇒ z = x – yi, (1) ⇔ |(x+yi)+(x-yi)+3|=4  x = ⇔ |2x+3|=4 ⇔  x = −  SỐ PHỨC 21 Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung x = x = − 2 2) Xét hệ thức: |z + z + - i| = Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi Khi đó:  1+ y = (2) ⇔ |1+(2y-1)i| = ⇔ + (2y-1)2 = ⇔ 2y2 -2y-1 = ⇔   1− y =  Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1± 3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i| Đặt z = x + yi ⇒ z = x – yi Khi đó: (3) ⇔ |x+(y-1)i| = |(x+y)i| ⇔ x2+(y-1)2 = (x+y)2⇔ x2 – 4y = ⇔ y = Vậy tập hợp điểm M parabol y = x2 x2 Ví dụ (D-2009): Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z − (3 − 4i ) = Giải: Giả sử z = x + yi, : z − (3 − 4i) = ⇔ ( x − 3) + ( y + 4)i = ⇔ ( x − 3) + ( y + 4)2 = SỐ PHỨC 22 Vậy quỹ tích cần tìm đường tròn tâm I(3;-4) bán kính R=2 x2 Vậy tập hợp điểm M parabol y = Ví dụ (B-2010): Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = (1 + i ) z Giải: Giả sử z = x + yi, : z − i = (1 + i ) z ⇔ x + ( y − 1)i = (1 + i )( x + yi ) ⇔ x + ( y − 1)i = ( x − y ) + ( x + y )i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) ⇔ x2 + y2 + y = ⇔ x + ( y + 1) = 2 Vậy quỹ tích cần tìm đường tròn tâm I(0; -1) bán kính R= SỐ PHỨC 23 Bài tập luyện tập : Bài Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: a) Phần thực z b) Phần ảo z thuộc khoảng ( −1;3) c) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [ −2; 2] Bài Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: a) z = b) z ≤ c) < z ≤ d) z > Bài Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau : 1) |z – – i| = 3) | z - z + i| = 5) |z - z + + i| = 7) |2i - z | = | 2z – 1| 9) |z2 - z | = 11) |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20 13) | z – 2| - | z + 2| = 15) (2 – z)(i + z ) số thực tùy ý 2) |z + 3i + 4| < 4) |z + z + – i| > 6) 2|z – i| = |z - z + 2i| 8) |2iz – 1| = 2|z + 3| 10) |z + 2| + |z – 2| = 12) |z – 2| = x + 14) | z + 4| = y – 16) (2 – z)(i + z ) số ảo tùy ý 17) 18) z +i số thực z +i z = k , k số thực dương ? z −i Bài Tìm số phức thỏa điều kiện sau :  z +i 1)   =1  z −i 2) z = z − 3i + 2i SỐ PHỨC 24 3) z −1 z − 3i = =1 z −i z +i 4) z −1 z − 2i = =1 z −3 z +i Bài 5: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: a) |z-2| = e) Phần thực b) |z+i| d) z + z−2 z −1 1+ z ∈R z =2 z Bài Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng toạ độ thoả mãn điều kiện sau a) z +1 = z − i b ) z + 3z + 3z = PHẦN III: KẾT LUẬN SỐ PHỨC 25 Mục đích quan trọng đề tài muốn lấy làm tài liệu phục vụ trình giảng dạy thân, đồng thời tài liệu để trò tơi tự tin lấy trọn điểm phần số phức Chuyên đề giúp học sinh định hướng giải tốt tốn số phức Thơng qua việc hệ thống phân dạng, phương pháp giải dạng toán số phức nhằm phát triển tư linh hoạt cho học sinh Từ mang lại cho em say mê hứng thú học Toán Bản thân soạn chuyên đề này, nhận thấy nhiều nội dung liên quan đến số phức chưa khai thác hết Với thời gian lực có hạn tơi xin trình bày toán đơn giản nhất, bám sát nội dung thi trung học phổ thông quốc gia Hi vọng chuyên đề tài liệu hữu ích cho em học sinh Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo em học sinh để chun đề tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Bình Xun ngày 22 tháng 10 năm 2015 Đào thị Tươi PHỤ LỤC SỐ PHỨC 26 Trong chuyên đề nhỏ này, xin trình bày nội dung số phức liên quan đến nội dung thi chương trình So với chương trình học nâng cao, HS học theo phân ban học nội dung dạng lượng giác số phức, phương trình bậc hai với hệ số phức Theo PPCT mới, ban tập tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức khơng có Tơi xin trích dẫn đề thi đại học , đề thi cao đẳng , đề thi tốt nghiệp năm từ 2009 đến khối A, B, D hai chương trình và nâng cao, để trao đổi Từ có định hướng giảng dạy bám sát nội dung thi Phụ lục 1: Số phức đề thi đại học năm Khối Năm CT CT nâng cao A 2009 Gọi z1, z2 nghiệm PT z Khơng có +2z +10 =0 Tính GT BT: A = z1 + z2 2010 Tìm phần ảo số phức z, biết Cho z = ( + i) (1 − 2i) z= 2011 Tìm tất số phức z biết z2 = z + z 2012 Không có số phức z thỏa mãn (1 − i 3)3 Tìm modun số 1− i phức z + iz Tính modun số phức z, biết (2 z − 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 − i) = − 2i Cho số phức z thỏa mãn 5( z − 1) = 2−i z −1 Tính modun số phức 1+ z + z2 2013 Không có Cho số phức Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức SỐ PHỨC 27 2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện B Tìm phần thực phần ảo z 2009 Tìm số phức z thỏa mãn Khơng có z.z = 25 2010 Trong mp(Oxy) tìm tập hợp Khơng có điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z − i = (1 + i ) z 2011 Tìm số phức z− z, biết Tìm phần thực phần ảo số 5+i −i = z  1+ i  phức z =  ÷ ÷  1+ i  2012 Khơng có Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z − z − = 2013 Khơng có 2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện D Viết dạng lượng giác z1, z2 Khơng có Tìm modun z 2009 Trong (Oxy) tìm tập hợp điểm Khơng có biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 − 4i ) = 2010 Tìm số phức z, biết Khơng có z − (2 + 3i ) z = − 9i 2011 Tìm số phức z thỏa mãn z = Khơng có z2 số ảo 2012 Cho số phức z thỏa mãn Giải phương trình SỐ PHỨC 28 (2 + i ) z + 2(1 + 2i ) = + 8i 1+ i Tính modun số phức z2 +3(1+i)z +5i = tập số phức w = z+1+i 2013 Cho số phức z thỏa mãn điều Khơng có kiện: (1+i)(z-i) + 2z = 2i Tính modun số phức 2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2015 Tìm modun z Cho số phức z thỏa mãn (1-i)z-1+5i Tìm phần thực, phần ảo z SỐ PHỨC 29 Phụ lục 2: Số phức đề thi cao đẳng năm Năm 2009 CT Cho số phức z thỏa mãn (1+i)2(2-i)z =i+I +(1+2i)z Tìm 2010 z − − 7i = − 2i z −i = tập số phức Tìm phần thực phần ảo z Tìm modun số phức z biết Tìm phần thực, phần ảo số (−3 + 4i ) z + z = 4i − 20 2012 phức: phần thực, phần ảo z Cho số phức z thỏa mãn điều Giải phương trình z2–(1+i)z + 6+3i kiện (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i) 2011 CT nâng cao Giải phương trình sau tập số phức 1/z biết z nghiệm phương trình z2 -2(1+i)z +2i =0 Cho số phức z thỏa mãn Gọi z1, z2 hai nghiệm phức 2−i (1 − 2i ) z − = (3 − i) z 1+ i phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 Tìm tọa độ điểm biểu diễn z 2013 mặt phẳng Oxy Cho số phức z thỏa mãn điều Giải phương trình kiện tập C số phức Tìm phần thực, phần ảo số phức 2014 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực phần ảo số phức z SỐ PHỨC 30 Phụ lục 3: Số phức đề thi tốt nghiệp năm Năm 2009 CT CT nâng cao Giải phương trình 8z -4z + = Giải phương trình 2z2 -iz + = 2010 tập số phức tập số phức Cho hai số phức z1= 1+2i z2 Cho hai số phức z1= 2+5i z2 = 3= 2-3i Xác định phần thực, 4i Xác định phần thực, phần ảo 2011 2012 2013 phần ảo số phức z1 -2z2 Giải phương trình số phức z1.z2 Giải phương trình (1- i)z+(2-i)=4-5i tập số C (z-i)2+4 =0 tập số Tìm bậc hai số phức Tìm số phức z + z , 25i biết z + 9i − 5i 1− i z = 3-4i z= Cho số phức z thỏa mãn Giải phương trình (1+i)z – – 4i = 2014 Tìm số phức liên hợp z Khơng có tập số phức TÀI LIỆU THAM KHẢO SỐ PHỨC 31 Lê Hồng Đức (chủ biên), “ Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 12”, NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009 Trần Văn Cơ, “Các đề thi theo hình thức tự luận mơn Tốn”, NXB đại học sư phạm, 2009 Nguyễn Đức Huyên (chủ biên) “Giải toán 12 hàm số mũ, logarit số phức”, NXB giáo dục Việt Nam, 2010 Lê Hồng Đức, “Tuyển tập đề thi đại học cao đẳng từ năm 2006 đến năm 2011”,NXB Tuổi trẻ, 2011 Trần Phương, “ Số phức ”, NXB đại học sư phạm, 2009 SỐ PHỨC 32 ... Cho số phức z thỏa mãn điều Giải phương trình kiện tập C số phức Tìm phần thực, phần ảo số phức 2014 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực phần ảo số phức z SỐ PHỨC 30 Phụ lục 3: Số phức. .. modun số phức 1+ z + z2 2013 Khơng có Cho số phức Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức SỐ PHỨC 27 2014 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện B Tìm phần thực phần ảo z 2009 Tìm số phức. .. số phức Phép chia số phức z1 cho số phức z2 thực theo quy tắc sau : SỐ PHỨC z1 z2 = z1 z z z = z1 z | z |2 Chú ý : Tất tính chất mà với phép tốn số thực số phức Phương trình bậc hai với hệ số