Một số đồng qui thẳng hàng mang tính đối xứng Group Hình Học Phẳng Ngày 27 tháng 11 năm 2017 Mục lục Một số kiến thức 1.1 Một số định lí thẳng hàng đồng qui tam giác 1.2 Một số định lí thẳng hàng đồng qui tứ giác 1.3 Từ thẳng hàng đến conic 1 2 Bài tập kì thi Gợi ý 4 Một số tập khác 1.1 Một số kiến thức Một số định lí thẳng hàng đồng qui tam giác Định lí Sodat: Cho tam giác ABC tam giác DEF thỏa đường thẳng qua A, B, C vuông với EF, DF, DE đồng qui X Các đường thẳng qua D, E, F vuông BC, AC, AB đồng qui Y Các đường AD, BE, CF đồng qui Z Chứng minh X, Y, Z thẳng Định lí Terquem Cho tam giác ABC điểm M Giao AM, BM, CM BC, AC, AB D, E, F Giao (DEF ) BC, AC, AB X, Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng qui Định lí cực đối cực: cực thẳng hàng tương dương đối cực đồng qui Định lí cevian nest Cho tam giác ABC Điểm P tam giác giao AP, BP, CP BC, AC, AB D, E, F Trong DEF lấy Q Giao DQ, EQ, F Q EF, DF, DE X, Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng qui Tổng quát: Cho tam giác ABC Trên BC, AC, AB lấy D, E, F Trên EF, DF, DE lấy X, Y, Z Chứng minh điều sau suy điều lại đúng: (1): AD, BE, CF đồng qui (2): DX, EY, F Z đồng qui (3): AX, BY, CZ đồng qui Định lí orthotransversal Cho tam giác ABC Điểm P vất kì Đường thẳng qua P vuông AP, BP, CP cắt BC, AC, AB X, Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng Định lí cực trực giao Cho tam giác ABC Đường thẳng d Hình chiếu A, B, C lên d X, Y, Z Chứng đường thẳng qua X, Y, Z vuông BC, AC, AB đồng qui Định lí trillinear pole Cho tam giác ABC Đường thẳng d cát BC, AC, AB D, E, F Trên đường thẳng BC lấy X thỏa (DXBC) = −1 tương tự dựng Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng qui Định lí Monge D’Alembert: Tâm vị tự ngồi đường tròn đồng qui Định lí Jerabek: Cho tam giác ABC điểm P, Q Giao AP, BP, CP với (ABC) X, Y, Z Giao AQ, BQ, CQ (ABC) D, E, F Chứng minh tam giác tạo bới XD, Y E, ZF thấu xạ với ABC Định lí Steinbart: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, AC, AB D, E, F Điểm Q DEF Giao DQ, EQ, F Q với (I) X, Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng qui 1.2 Một số định lí thẳng hàng đồng qui tứ giác Định lí cực trực giao: Cho tứ giác ABCD Chứng minh cực trực giao tam giác ABC, BCD, CDA, DAB thẳng hàng 1.3 Từ thẳng hàng đến conic Bổ đề 1: Cho tam giác ABC Nếu P Q qua tâm ngoại tiếp ABC thi đẳng giác P, Q nằm đường hyperbola nhật Hệ quả: Nếu P, Q ảnh qua (ABC) đẳng giác chúng qua tâm hyperbola Bài tập kì thi Bài :(ELMO shortlist 2014) Cho tam giác ABC Điểm Lemoine K Trên BC lấy A1 thỏa A1 K, BC, AB, AC tạo thành tứ giác ngoại tiếp Tương tự dựng B1 , C1 Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng Mở rộng: (Telv Cohl) Cho điểm P, Q nằm hyperbola nhật Đường thẳng qua Q vuông AP, BP, CP cắt BC, AC, AB X, Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng Bài 2: (ELMO shortlist 2014) Cho tam giác ABC BC, AC, AB lấy D, E, F thỏa AD, BE, CF vuông EF, DF, DE Tâm (DEF ) O Giao (DEF ) BC, AC, AB R, S, T Giao AR, BS, CT Y Các đường thẳng qua D, E, F vuông BC, AC, AB đồng qui X Chứng minh X, O, Y thẳng Tính chất phụ (Telv Cohl) Điểm dẳng giác Y ABC nằm dường thẳng Euler Bài 3: (ELMO shortlist 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB D, E, F Giao (AEF ), (BF D), (CDE) (ABC) X, Y, Z Chứng minh đường thẳng qua A, B, C vuông AX, BY, CZ đồng qui Bài 4: (ELMO shortlist 2011) Cho tam giác ABC Cho đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) thỏa (O1 ) tiếp xúc với AB, AC tương tự cho đường tròn Tâm vị tự (O2 ) (O3 ) PA tương tự ta PB , PC Chứng minh APA , BPB , CPC đồng qui Bài 5: (USA TST 2015) Cho tam giác ABC Trung điểm BC, AC, AB MA , MB , MC Điểm S nằm đường thẳng Euler Giao MA S, MB S, MC S với (MA MB MC ) X, Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng qui Tổng quát: (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC điểm dẳng giác P, P Hình chiếu P lên BC, AC, AB D, E, F Điểm Q P P Giao DQ, EQ, F Q (DEF ) X, Y, Z Chứng AX, BY, CZ đồng qui Tổng quát cho conic (Telv Cohl) Cho tam giác ABC điềm P, Q Giao AP, BP, CP với BC, AC, AB D, E, F Giao AQ, BQ, CQ với BC, AC, AB X, Y, Z Conic qua D, E, F, X, Y, Z gọi ω Điểm R nằm P Q Giao DR, ER, F R ω M, N, L Chứng minh AM, BN, CL đồng qui Bai 6: (USA TST 2017) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trên BC lấy T thỏa T AO = 90 Giao (AT ) (BOC) A1 , A2 Tương tự ta có B1 , B2 , C1 , C2 i) Chứng minh AA1 BB1 , CC! đồng qui ii) Chứng minh AA2 , BB2 , CC2 đồng qui đường thẳng Euler Bài 7: (China TST 2017) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) Trung điểm BC, AC, AB D, E, F Đường thằng qua D tiếp xúc (I) khác BC cắt EF X Tương tự ta dựng Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng Bài 8: (China TST 2012) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB D, E, F Đối xứng D qua EF X Giao AX vả BC A1 Tương tự dựng B1 C1 Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng Bài 9: (China TST 2005) Cho tam giác ABC Đường đối trung AD với D ∈ BC Đường thẳng qua D song song AB, AC cắt AC, AB E, F i) Chứng minh B, C, E, F thuộc đường tròn ii) Gọi tâm (BCE) A1 Tương tự ta dựng B1 , C1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng qui Bài 10: (China south east MO 2011) Cho tam giác ABC Giao đường phân giác BC, AC, AB D, E, F Đương thẳng qua D song song BE, CF cắt AC, AB GH Giao GH BC X Tương tự ta dựng Y, Z Chứng minh ràng X, Y, Z thẳng Tổng quát: (Luis Gonzales) Cho tam giác ABC Điểm P Giao AP, BP, CP BC, AC, AB D, E, F Qua D dựng đường thẳng song song BE, CF cắt AC, AB G, H Giao GH BC X Tương tự dựng Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng Bài 11: (North Korea TST 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB D, E, F Giao AI (ABC) A1 Giao EF BC A2 Giao A1 A2 (ABC) A3 Tương tự dựng B3 , C3 Chứng minh AA3 , BB3 , CC3 đồng qui Bài 12 (Iran MO (3rd) 2010): Cho tam giác ABC Tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp I, O Đối xưng I qua O X Hinh chiếu X lên BC, AC, AB D, E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng qui Bài 13 (Iran MO (3rd) 2011): Cho tam giác ABC Phân giác ngoại A cắt BC D Đương tròn bàng tiếp góc A (J) Tâm dường tròn nội tiếp I Đương thẳng qua I vuông JD cắt (ABC) A1 Tương tự ta có B1 , C1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng qui Bài 14 (Korea MO 2010) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB D, E, F Đường tròn qua B, C tiếp xúc (I) X Tương tự ta Y, Z Chứng minh DX, EY, CZ đồng qui Bài 15 (Tuymaada 2007) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF Đường tròn qua E, F tiếp xúc (ABC) cung BC không chứa A A1 Tương tự ta dựng B1 , C1 Chứng minh ràng AA1 , BB1 , CC1 đồng qui Bài 16 (Romanian Master of Mathematics 2012) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường tròn nội tiếp (I) Đương tròn qua B, C tiếp xúc (I) (OA ) Tương tự ta có (OB ), (OC ) Giao (OB ), (OC ) A1 Tương tự B1 , C1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng qui OI Gợi ý Bài : Dùng định lí cực đối xứng cho đường tròn Lemoine thứ Bài : Dùng định lí Terquem Sodat Bài : Dựng điểm đối xứng I qua O (O tâm đường tròn ngoại tiếp ) Bài : Dùng định lí Monge D’Alembert Bài : Dùng định lí cevian nest Pascal Bài : i) Đồng qui điểm lemoine ii) Nghịch đảo Bài : Dung trillinear pole Bài : Chúng nằm đường thẳng Euler DEF Bài : i) Trung điềm EF nằm AD ii) Dùng đường tròn Lemoine thứ Bài 10 : Dùng định lí trillinear pole Bài 11 : Dung định lí cevian nest Bài 12 : Dùng định lí cevian nest Bài 13 : Dựng thêm đường tròn Mixtillinear Bài 14 : Đưng thêm tâm bàng tiếp dùng định lí cevian nest Bài 15 : Dùng định lí steinbart 4 Một số tập khác Bài toán : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi (Oa ),(Ob ),(Oc ) đường tròn Mixtilinear nội góc A, B, C Gọi (X) đường tròn qua B, C tiếp xúc với (Oa ) D ( (X) Khác (O)) Tương tự ta E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy điểm Bài toán : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) có Ge điểm Gergonne Gọi (O1 ), (O2 ), (O3 ) đường tròn qua B, C tiếp xúc (I); qua C, A tiếp xúc (I); qua A, B tiếp xúc (I) (O1 ) cắt CA, AB U, V Gọi D cực U V với (I) Tương tự xác định E, F Khi AD, BE, CF đồng quy IGe Bài toán : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC có tâm Euler N Gọi Na , Nb , Nc tâm Euler N BC, N CA, N AB Đường thẳng qua Na vng góc với N Na cắt BC X Tương tự có Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Bài toán : (Tổng quát từ điểm Feuerbach) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm P Gọi AP, BP, CP cắt (O) D, E, F Gọi U, V, W đối xứng D, E, F qua BC, CA, AB Gọi P U, P V, P W cắt BC, CA, AB X, Y, Z Chứng minh X, Y, Z nằm đường thẳng qua điểm Poncelet Bài toán 5: (Morendo) Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp O tâm nội tiếp I Gọi Ka điểm Lemoine BIC, tương tự có Kb , Kc Gọi X trung điểm AI xác định Y, Z tương tự Chứng minh XKa , Y Kb, ZKc, OI đồng quy Bài toán 6: (Unknown) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD, BE, CF ba phân giác Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) đường tròn Mixtilinear nội ứng với góc A, B, C ABC Tiếp tuyến E, F tới (Oa ) khác AC, AB cắt X Tương tự có Y, Z Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy điểm Bài toán : (Luis González) Cho tam giác ABC có O, H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm ABC Gọi AD, BE, CF ba đường cao ABC Gọi la , lb , lc đường thẳng qua D, E, F vng góc với OD, OE, OF Gọi XY Z tam giác tạo la , lb , lc Chứng minh DX, EY, F Z đồng quy OH (*Lưu ý : X = lb giao lc ; Y = lc giao la ; Z = la giao lb ) Bài toán 8: (Phan Quang Trí) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi (Oa ) đường tròn qua E, F tiếp xúc với (O) A1 Tương tự tìm B1 , C1 Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy đường thẳng Euler ABC Bài toán 9: (Mở rộng Feuerbach) Cho tam giác ABC điểm P Gọi D, E, F hình chiếu P lên BC, CA, AB Gọi AP, BP, CP cắt BC, CA, AB X, Y, Z Gỉa sử EF cắt Y Z A Tương tự có B , C Chứng minh DA , EB , F C đồng quy điểm Bài toán 10 : (AOPS) Cho tam giác ABC với P điểm Gọi Q điểm đẳng giác P với tam giác ABC Gọi XY Z , DEF tam giác Cevian P ABC tam giác pedal Q ABC Đường thẳng qua P vng góc với P D cắt Y Z A1 Tương tự B1 , C1 Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng Bài toán 11 : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi (Oa ), (Ob ), (Oc ) đường tròn Mixtilinear nội góc A, B, C (Oa ) tiếp xúc (O) AB, AC X, Y, Z Đường thẳng qua X vng góc với Y Z cắt (Oa ) D Tương tự có E, F Chứng minh AD, BE, CF đồng quy điểm ... AX, BY, CZ đồng qui 1.2 Một số định lí thẳng hàng đồng qui tứ giác Định lí cực trực giao: Cho tứ giác ABCD Chứng minh cực trực giao tam giác ABC, BCD, CDA, DAB thẳng hàng 1.3 Từ thẳng hàng đến... định lí Monge D’Alembert Bài : Dùng định lí cevian nest Pascal Bài : i) Đồng qui điểm lemoine ii) Nghịch đảo Bài : Dung trillinear pole Bài : Chúng nằm đường thẳng Euler DEF Bài : i) Trung điềm EF... Giao AR, BS, CT Y Các đường thẳng qua D, E, F vuông BC, AC, AB đồng qui X Chứng minh X, O, Y thẳng Tính chất phụ (Telv Cohl) Điểm dẳng giác Y ABC nằm dường thẳng Euler Bài 3: (ELMO shortlist 2013)