Rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ về quen cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán tích phân hàm

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tích phân phần kiến thức quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12 Để hồn thành tốt kiến thức phần thực không đơn giản Đặc biệt hàm dấu tính phân khơng phải hàm cụ thể Trong dạng tích phân ta thường gặp số dạng: hàm dấu tích phân hàm f ( x ) ; f ( t ( x ) ) ; f ' ( x ) Để giải dạng tốn ta sử dụng hai phương pháp tính tích phân quen thuộc hữu hiệu đổi biến số tích phân phần Tuy nhiên vận dụng hai phương pháp để giải tốt tốn tích phân hàm ẩn thực gây khơng khó khăn cho học sinh Do với chất dạng toán lạ, đòi hỏi suy luận cao, tư lơgic cộng với việc tính tốn nhanh thách thức học sinh lớp 12 Từ lý với kinh nghiệm giảng dạy định chọn đề tài: “Rèn luyện phương pháp tư quy lạ quen cho học sinh lớp 12 thơng qua lớp tốn tích phân hàm ẩn” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm thân năm học 2018 – 2019 Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài hình thành cách tính nhanh, xác số dạng tốn tích phân hàm ẩn chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện kỹ toán học định hướng phát triển cho học sinh lực sau: - Năng lực tư quy lạ quen, lực tính tốn, lực tự học giải vấn đề - Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin (máy tính cầm tay casio) - Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học - Kỹ vận dụng kiến thức phương pháp tính tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp tích phân đổi biến số tích phân phần - Chương III - Giải tích 12 để rèn luyện kỹ phát triển lực Toán học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu sử dụng đề tài bao gồm - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần tích phân hàm ẩn trường THPT Triệu Sơn để từ thấy tầm quan trọng việc áp dụng hai phương pháp tính tích phân quen thuộc việc nâng cao chất lượng dạy học - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, sách tập Giải tích 12 - Nâng cao Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê xử lý số liệu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để qua thấy hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm lời giải lớp tốn Trong dạy học giáo viên người có vai trò thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Nguyên hàm tích phân” sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính tích phân đổi biến số phần Đây hai phương pháp nhất, giải nhiều tập nguyên hàm tích phân quen thuộc Không số dạng tập tích phân “lạ” – dạng tích phân mà hàm dấu tích phân khơng phải hàm cụ thể mà hàm ẩn hai phương pháp cơng cụ hữu ích Vì vậy, tơi nhận thấy cần thiết rèn luyện phương pháp tư quy lạ quen, giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường học xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để làm tốt, nhanh phần tích phân hàm ẩn cần phải nắm vững kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích dạng tốn, biết quy lạ quen Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại làm dạng tích phân khó, lạ 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Ôn tập số kiến thức cần dùng cho học sinh - Bảng nguyên hàm hàm số sơ cấp, hàm số hợp b b a a - Tính chất nguyên hàm tích phân, đặc biệt ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt - Phương pháp đổi biến số - Phương pháp tích phân phần - Cơng thức lượng giác - Đạo hàm hàm số lượng giác 2.3.2 Tìm hiểu tích phân hàm ẩn Tích phân hàm ẩn tích phân mà hàm dấu tích phân biểu thức cụ thể mà f ( x ) ; f ( t ( x ) ) ; f ' ( x ) … 0 Ví dụ: I = ∫ f ( 2019 x ) dx , I = ∫ xf ' ( x ) dx … 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng tích phân hàm ẩn phương pháp tư quy lạ quen Dạng 1: Sử dụng phép đổi biến tích phân Khi câu tích phân xuất biểu thức f ( x ) ; f ( t ( x ) ) đề dấu hiệu quan trọng giúp ta nghĩ đến phép đổi biến số 0 Bài 1: Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = 12 Tính I = ∫ f ( 3x ) dx A I = B I = 36 C I = D I = Đề thức mã 101– BGD – 2017 Phân tích: - Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân biểu thức cụ thể mà f ( x ) Yêu cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân f ( 3x ) - Yếu tố quen: Sự xuất f ( 3x ) lạ lại gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận tích phân giả thiết từ → cận tích phân cần tính → Vậy đặt t = 3x 16 16 f t dt = ( ) ∫ ∫ f ( x ) dx = 30 30 Hướng dẫn: Đổi biến t = 3x ⇒ I = Đáp án D 0 Bài 2: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I =1 B I =3 C I =2 D I =4 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường chuyên ĐH KHTN Hà Nội Phân tích: Sự xuất f ( x ) gợi ý quan trọng để ta nghĩ đến phép đổi biến t = x 12 Hướng dẫn: Đổi biến t = x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx =2 ⇒ ∫ f ( x ) dx =1 20 0 Đáp án A 0 Bài 3: Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = a Tính theo a tích phân I = ∫ xf ( x + 1) dx A I = 4a a B I = a C I = D I = 2a Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa Phân tích: - Yếu tố lạ: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân biểu thức cụ thể mà f ( x ) u cầu tính tích phân có hàm dấu tích phân xf ( x + 1) - Yếu tố quen: Sự xuất xf ( x + 1) lạ lại gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số Mặt khác cận tích phân giả thiết từ → cận tích phân cần tính → Vậy ta đặt t = x + Hướng dẫn: Đổi biến t = x + ⇒ I = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = a 20 Đáp án C 1 Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục ¡ Biết: f x 12 ( ) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ x dx −2 + A I = B I = C I = D I = Trích đề thi thử lần năm 2018 trường chuyên ĐH Vinh Phân tích: - Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho tích phân có hàm dấu tích phân khơng phải biểu thức cụ thể mà f ( x ) Yêu cầu tính tích phân có hàm dấu tích f ( x) x phân x Mặt khác mẫu ( + 1) gây khó khăn cho việc tính tích phân +1 Vậy để tính tích phân I cần khử mẫu - Yếu tố quen: giả thiết cho y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục ¡ nên  f ( x ) = f ( −x ) 2 gợi ý để nghĩ đến phép đổi biến số  f x dx = ( ) ∫ f ( x ) dx = ∫  −2 Mặt khác cận tích phân giả thiết từ → → cận tích phân cần tính −2 → Vậy ta đặt t = − x Hướng dẫn: 2 Ta có: ∫ f ( x ) dx = 1; ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = x f ( −t ) f ( −x ) f ( x) f ( x) Đổi biến: t = − x ⇒ I = ∫ x dx = ∫ − t dt = ∫ − x dx = ∫ x −2 + −2 −2 −2 + +1 +1 (3 ⇒ 2I = ∫ −2 x + 1) f ( x ) 3x + dx = ∫ f ( x ) dx = ⇒ I = −2 Đáp án B Bài 5: Cho hàm số f ( x ) , f ( − x ) liên tục ¡ thỏa mãn: I = f ( x) + f ( −x) = Tính ∫ f ( x ) dx + x2 −2 A I = π 20 C I = − π 10 B I = − π 20 D I = π 10 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa Phân tích: Sự xuất f ( − x ) nhắc đổi biến t = − x 2 −2 −2 Hướng dẫn: Đổi biến t = − x Ta có: I = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx 1 x π π ⇒ 5I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ dx = arctan  ÷ = ⇒ I = 2 20   −2 −2 −2 −2 + x 2 2 Đáp án A 1  Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  ;2  thỏa mãn: 2  f x ( ) 1 f ( x ) + f  ÷ = 3x, ∀x ∈¡ * Tính I = ∫1 x dx  x A I = B I = 4ln + 15 C I = D I = 4ln − 15 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa Phân tích: 1 - Yếu tố lạ, khó: Giả thiết cho f ( x ) + f  x ÷ = 3x, ∀x ∈¡ * Yêu cầu tính tích   f ( x) phân có hàm dấu tích phân Cả giả thiết kết luận toán x chứa hàm ẩn 1 - Yếu tố quen: Sự xuất f ( x ) , f  ÷ lạ từ giả thiết ta rút x 1 f ( x ) = −2 f  ÷+ 3x lại gợi ý quan trọng giúp ta việc đổi biến t = x  x Hướng dẫn: 1 Đổi biến: t = Ta có: f ( x ) = −2 f  x ÷+ 3x x   ⇒I=∫ f ( x) dx = ∫ x   x f  ÷ x dx = 3x − ∫  dx = − A x 2 2 Tính −2 f  ÷+ 3x x A= ∫ 2 2 f ( x) f ( t ) dt f ( t ) = dt = dx = I ⇒ 3I = ⇒ I = ∫ ∫ t 1 t x 2 2 t Đáp án C π  −π π   Bài 7: Biết hàm số y = f  x + ÷ hàm số chẵn  ,  và: 2   2 π π f ( x ) + f  x + ÷ = sin x + cos x Tính tích phân I = ∫2 f ( x ) dx 2  A I = B I = C I = D I = −1 Phân tích: Sự xuất f  x + π ÷ khiến nhiều em học sinh đổi biến 2  π t = x + gặp khó khăn Đây “bẫy” Để ý giả thiết cho π π π −π π y = f  x + ÷ hàm số chẵn nên f  x + ÷ = f  − x + ÷ , x ∈  ;  đổi 2 2 2     2 π biến hợp lý phải t = − x + π Hướng dẫn: Đổi biến t = − x + π π π π 2 π π I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f  − t ÷dt = ∫ f  + t ÷dt ⇒ 2I = ∫ ( sin x + cos x ) dx = ⇒ I = 2  2  0 Đáp án B Bài 8: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ f 2x ( ) dx f ( ln x ) I = ∫ Tính x ∫ tan x f ( cos x ) dx = 1, ∫ x ln x dx = 1 e π e2 A I = B I = C I = D I = Trích đề thi thử năm 2019 trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2 Phân tích: Bài tốn xuất nhiều hàm ẩn f ( cos x ) , f ( ln x ) nhiên hàm ẩn lại giúp ta nghĩ đến việc đổi biến t = cos2 x , u = ln x Hướng dẫn: π Xét tích phân A = ∫ tan xf ( cos x ) dx = , đổi biến t = cos2 x π f x ( ) dx = 1 f (t) 1 f ( x) A = ∫ tan xf ( cos x ) dx = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ 21 t 21 x x 2 f ( ln x ) Xét tích phân B = ∫ dx = , đổi biến t = ln x x ln x e e2 f x f ( ln x ) f ( x) ( ) dx = B = e∫ dx = = ∫ dx ⇒ ∫ x ln x 21 x x e e2 Xét tích phân I = ∫1 f ( 2x ) dx , đổi biến v = x x 4 I=∫ f ( x) f ( v) dv = ∫ dx = + = v x Đáp án D Một số dạng thường gặp: b d a c Giả thiết cho tích phân ∫ f ( x ) dx = m Tính ∫ f ( kx ) dx, k ∈ ¡ d Phương pháp: Đặt t = kx biến đổi tích phân ∫ f ( kx ) dx theo biến t c b d a c Giả thiết cho tích phân ∫ f ( kx ) dx = m , k ∈ ¡ Tính ∫ f ( x ) dx b Phương pháp: Đặt t = kx biến đổi tích phân ∫ f ( kx ) dx = m theo biến t a để suy tích phân cần tính Giả thiết cho α f ( x ) + β f ( − x ) = g ( x ) , ( α , β ∈ ¡ ) g ( x ) hàm cụ b thể f ( x ) hàm số chẵn Tính ∫ f ( x ) dx a b Phương pháp: Đặt t = − x biến đổi tích phân ∫ f ( x ) dx theo biến t a b Giả thiết cho α f ( x ) + β f ( u ( x ) ) = g ( x ) , ( α , β ∈ ¡ ) Tính ∫ f ( x ) dx a b f u ( x) ( ) ∫ v x dx , ( v ( x ) ≠ ) ( ) a b Phương pháp: Đặt t = u ( x ) biến đổi tích phân ∫ f ( x ) dx a b f u ( x) ( ) ∫ v x dx , ( v ( x ) ≠ ) theo biến t ( ) a b1 Giả thiết cho hai tích phân dạng: ∫ v1 ( x ) f ( u1 ( x ) ) dx = m1 a1 b d d f P ( x) ) dx , Q x ≠ ∫ v2 ( x ) f ( u2 ( x ) ) dx = m2 Tính ∫ f ( x ) dx ∫ ( ( ( ) ) Q ( x) a c c 2 Phương pháp: Đặt t1 = u1 ( x ) ; t2 = u2 ( x ) biến đổi hai tích phân b1 b2 a1 a2 ∫ v1 ( x ) f ( u1 ( x ) ) dx = m1; ∫ v2 ( x ) f ( u2 ( x ) ) dx = m2 theo biến t1; t2 Đặt: t = P ( x ) để suy tích phân cần tính theo hai tích phân Dạng 2: Sử dụng tích phân phần Khi câu tích phân xuất đạo hàm hàm dấu tích phân giúp ta nghĩ đến việc sử dụng cơng thức tính tích phân phần Bài 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ f ( 3) = 21 , ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( 3x ) dx A I = B I = C I = 12 D I = 15 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất hàm ẩn f ( x ) ; f ' ( 3x ) đề - Yếu tố quen: Yêu cầu tính tích phân có chứa hàm f ' ( 3x ) lại gợi cho ta nghĩ đến cơng thức tích phân phần   f ' ( 3x ) dx = dv v = f ( x ) ⇒ Hướng dẫn: Đặt  x = u   du = dx 1 11 11 Ta có: I = ∫ x f ′ ( 3x ) dx = x f ( 3x ) − ∫ f ( 3x ) dx = f ( 3) − ∫ f ( 3x ) dx 30 30 0 Mà: 13 13 f x dx = f t dt = f x dx =3 ⇒ I = ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ x f ′ ( 3x ) dx = −1 = ∫0 ∫0 0 Đáp án A Bài 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f ( 1) = , 1 x f x dx = ( ) Tính ∫ x f ' ( x ) dx ∫ 0 A −1 B C D −3 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Ngô Sỹ Liên - Bắc Giang Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất f ' ( x ) thừa số nhân với f ' ( x ) x3 Từ nhận u; v để sử dụng cơng thức tích phân phần  f ' ( x ) dx = dv Hướng dẫn: Đặt  x = u v = f ( x ) ⇒  du = 3x dx 1 1 ⇒ ∫ x3 f ' ( x ) dx = x f ( x ) − 3∫ x f ( x ) dx = f ( 1) − = −1 0 Đáp án A Bài 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 f (1) − f (0) = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = −8 B I = C I = 12 D I = −12 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng Phân tích: Hàm dấu tích phân giả thiết xuất f ' ( x ) thừa số nhân với f ' ( x ) ( x +1) Từ nhận u; v để sử dụng cơng thức tích phân phần v = f ( x )  f ' ( x ) dx = dv ⇒ Hướng dẫn: Đặt  x + = u   du = dx 1 Ta có: ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) − I = 10 0 ⇒ I = f ( 1) − f ( ) − 10 = −8 Đáp án A π Bài 4: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ sin xf ( x ) dx = f ( ) = Tính: π I = ∫ cos xf ' ( x ) dx A I = B I = −1 C I = D I = Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất f ' ( x ) thừa số nhân với f ' ( x ) cosx Từ nhận u; v để sử dụng cơng thức tích phân phần v = f ( x )  f ' ( x ) dx = dv ⇒ Hướng dẫn: Đặt cos x = u   du = − sin xdx π π Ta có: I = cos x f ( x ) + ∫ sin x f ( x ) dx = − f ( ) + = 0 Đáp án D Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( 1) = f ( ) = Biết: x 2019 2019 ∫ e  f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b Tính Q = a + b A Q = B Q = C Q = −1 D Q = −2 Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất hai hàm ẩn f ( x ) ; f ' ( x ) tích phân - Yếu tố quen: Sự xuất f ' ( x ) dấu tích phân giả thiết thừa số nhân với f ' ( x ) e x giúp ta nghĩ đến cơng thức tích phân phân quen thuộc Hướng dẫn: 1 x Ta có: ∫ e  f ( x ) + f ' ( x ) dx = ae + b ⇔ ∫ e f ( x ) dx + ∫ e f ' ( x ) dx = ae + b x  f ' ( x ) dx = dv Đặt  e = u x x v = f ( x ) ⇒ x  du = e dx 10 Khi đó: 1 0 1 x x x x x ∫ e f ( x ) dx + ∫ e f ' ( x ) dx = ∫ e f ( x ) dx + e f ( x ) − ∫ e f ( x ) dx = ef ( 1) − f ( ) ⇒ ∫ e x  f ( x ) + f ' ( x ) dx = e −1 ⇒ a = 1; b = −1 ⇒ Q = a 2019 + b 2019 = 0 Đáp án B Bài 6: Cho hàm số y = F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) đoạn 4 F x ( ) dx = 1;4  Biết F ( 1) = 1; F ( ) = ∫ Tính I = ∫ ln ( x + 1) f ( x ) dx 1 x +1 A I = 10 B I = 3ln3 − 10 C I = 3ln3 − D I = ln3 − Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Quảng Xương 1- Thanh Hóa Phân tích: - Yếu tố lạ: Sự xuất hàm ẩn F ( x ) giả thiết hàm ẩn f ( x ) tích phân cần tính - Yếu tố quen: Ta có F ' ( x ) = f ( x ) nên sử dụng cơng thức tích phân phần để biến đổi tích phân giả thiết tích phân cần tính Hướng dẫn: F ( x) = u  du = F ' ( x ) dx = f ( x ) dx   ⇒ Cách1: Đặt    x + dx = dv v = ln ( x + 1) Khi đó: F x ( ) dx = F x ln x + − ln x +1 f x dx = F ln − F ln − I ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ x +1 1 ⇒ I = 3ln − 10  ln ( x + 1) = u dx  du = 2x +1 Cách 2: Đặt  f x dx = dv ⇒   ( ) v = F ( x ) 4 F x ( ) dx = 3ln3 −10 Khi đó: I = ∫ ln ( x + 1) f ( x ) dx = F ( x ) ln ( x + 1) − 2∫ 1 2x +1 ⇒ I = 3ln − 10 Đáp án B Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn ∫ xf ' ( x ) e f ( x ) dx = 8, f ( 3) = ln f ( x) Tính I = ∫ e dx 11 A I = B I = 11 C I = − ln D I = + ln3 Phân tích: f x - Yếu tố lạ: Sự xuất f ' ( x ) ; e ( ) ' - Yếu tố quen:  e f ( x )  = f ' ( x ) e f ( x ) gợi ý sử dụng cơng thức tích phân   phần Hướng dẫn: x = u du = dx Đặt  ⇒ f ( x) f ( x) v = e  f ' ( x ) e dx = dv 3 3 0 ⇒ ∫ xf ' ( x ) e f ( x ) dx = xe f ( x ) − ∫ e f ( x ) dx = ⇒ ∫ e f ( x ) dx = 0 Đáp án A Một số dạng thường gặp: b d a c Giả thiết cho tích phân A = ∫ f ( x ) dx = m Tính I = ∫ xf ' ( kx ) dx, k ∈ ¡  f ' ( kx ) dx = dv Phương pháp: Đặt  x = u d biến đổi tích phân I = ∫ xf ' ( kx ) dx c b d a c Giả thiết cho tích phân ∫ xf ' ( kx ) dx = m , k ∈ ¡ Tính I = ∫ f ( x ) dx  f ' ( kx ) dx = dv Phương pháp: Đặt  x = u b biến đổi tích phân ∫ xf ' ( kx ) dx = m để a suy tích phân cần tính b b a a Giả thiết cho ∫ P ( x ) f ( x ) dx = m Tính ∫ Q ( x ) f ' ( x ) dx biết Q ' ( x ) = P ( x )  f ' ( x ) dx = dv  v = f ( x ) ⇒ Phương pháp: Đặt Q x = u biến đổi tích phân  ( )  P ( x ) dx = du b b a a ∫ Q ( x ) f ' ( x ) dx theo tích phân ∫ P ( x ) f ( x ) dx = m Dạng 3: Sử dụng phối hợp hai phương pháp tích phân phần đổi biến Khi câu tích phân xuất đạo hàm hàm dấu tích phân biểu thức f ' ( x ) ; f ( t ( x ) ) giả thiết dấu hiệu giúp ta nghĩ đến việc dùng hai phương pháp đổi biến số tính tích phân phần 12 Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn có đạo hàm liên tục ¡ , f ( ) = π π f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈¡ Tính ∫2 xf ' ( x ) dx 2  A π C − π B D − Trích đề thi thử lần năm 2018 trường chuyên ĐH Vinh Phân tích: Hàm dấu tích phân cần tính xuất f ' ( x ) thừa số nhân với f ' ( x ) x Từ nhận u; v để sử dụng cơng thức tích phân phần π  Mặt khác giả thiết cho f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈¡ gợi ý để ta sử 2  dụng phương pháp đổi biến số π π π v = f ( x )  f ' ( x ) dx = dv ⇒ ⇒ ∫2 xf ' ( x ) dx = xf ( x ) − ∫2 f ( x ) dx Hướng dẫn: Đặt  x = u   du = dx 0 π π 2 Đổi biến: t = π − x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ 0 π π π π π f  − t ÷dt = ∫ f  − x ÷dx 2  2  π π π π 1 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f  − x ÷dx = ∫ sin x.cos xdx = cos x 02 = − 4 2  0 0 Lại có: π f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x , ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( ) + 2  π π f  − ÷ = ⇒ 2  π f  ÷ = 2 π Suy ra: ∫ xf ' ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = −  − ÷= 4 π   Đáp án B Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục 0;2  2 ( x − 3x ) f ' ( x ) x −4 x f = , ∀x ∈ 0;2 Tính ∫ dx Biết ( ) f ( x ) f ( − x ) = e f ( x) A − 14 B − 32 C − 16 D − 16 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa Phân tích: Sự xuất f ' ( x ) ; f ( − x ) nhắc sử dụng cơng thức tích phân phần phép đổi biến số 13  f '( x ) dx = dv v = ln f ( x )  ⇒ f x Hướng dẫn: Đặt  ( ) du = ( 3x − x ) dx  x − 3x = u  Ta có: ∫ (x − 3x ) f ' ( x ) dx = −3∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = −3J f ( x) Đổi biến: t = − x ⇒ J = ∫ ( − t ) − ( − t )  ln f ( − t ) d ( − t )   2 = ∫ ( − x ) − ( − x )  ln f ( − x ) d ( − x ) = ∫ ( x − x ) ln f ( − x ) dx 2 32 ⇒ J = ∫ ( x − x ) ln f ( − x ) f ( x ) dx = ∫ ( x − x ) ( x − x ) dx = 15 2 0 Suy ra: ∫ (x − 3x ) f ' ( x ) 16 dx = − f ( x) Đáp án C π sin 2019 x Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) = Tính I = ∫ xf ' ( x ) dx 2019 2019 cos x + sin x B I = π A I = C I = 3π D I = π Phân tích: Sự xuất f ' ( x ) gợi ý để ta sử dụng cơng thức tích sin 2019 x phân phần Tuy nhiên y = f ( x ) = gợi cho ta tư cos2019 x + sin 2019 x để sử dụng tích phân liên kết thơng qua phép đổi biến số v = f ( x )  f ' ( x ) dx = dv ⇒ Hướng dẫn: Đặt  x = u  du = dx π π Ta có: I = ∫ xf ' ( x ) dx = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = π − J π 0 Đổi biến t = π π − x , ta được: π sin x cos 2019 x π dx = dx = K ⇒ J = K = ∫ 2019 2019 2019 2019 x + sin x x + sin x cos cos π π π ⇒I= − = 4 J=∫ 2019 Đáp án D 14 Một số dạng thường gặp: Giả thiết cho f ( x ) có đạo hàm liên tục D thỏa mãn α f ( x ) + f ( α − x ) = g ( x ) ;α > f ( ) = a Tính I = ∫ xf ' ( x ) dx α  f ' ( x ) dx = dv Phương pháp: Đặt  x = u biến đổi tích phân I = ∫ xf ' ( x ) dx  Tiếp tục biến đổi tích phân cách đặt t = α − x để suy kết Giả thiết cho f ( x ) có đạo hàm liên tục D thỏa mãn α f '( x ) dx f ( x ) f ( α − x ) = g ( x ) ;α > f ( ) = a Tính I = ∫ t ( x ) f ( x)  f '( x ) α dx = dv f '( x )  I = f x Phương pháp: Đặt  ( ) biến đổi tích phân ∫ t ( x ) f x dx ( ) u = t ( x )  Tiếp tục biến đổi tích phân cách đặt t = α − x để suy kết 2.3.4 Hệ thống tập tích phân hàm ẩn giúp học sinh rèn luyện 2017 0 Bài 1: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn: ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( 2017 x ) dx A I = 2017 B I = C I = 2017 D I = Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa Bài 2: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục  0;1 thỏa mãn: 1 0 mf ( x ) + nf ( − x ) = g ( x ) ; m, n ∈¡ * ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = Tính m + n A m + n = B m + n = C m + n = 1 Bài 3: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ A I = B I = C I = D m + n = f ( x) x dx D I = Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa (đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Phan Bội Châu - Nghệ An) 15 Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 0;1 thỏa mãn: f ( x ) + f ( − x ) = − x Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = B I = C I = D I = 15 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Đào Duy Từ - Thanh Hóa  π Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) hàm số chẵn liên tục 0;  , thỏa mãn:   π π π π f  ÷ = , ∫4 f ( x ) dx = ∫4 sin x tan x f ( x )  dx = Tính I = ∫4 sin xf ' ( x ) dx   4 0 cos x B I = + 2 A I = C I = + 2 D I = Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ −π ;π ] , thỏa mãn: π π f ( x) ∫ f ( x ) dx = 2019 Tính I = ∫ 2019 x + dx −π B B I = 2019 A I = C I = 2019 D I = 4038 Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn điều kiện: 2 f ' x + ( ) − f ( x ) +  dx f ( 1) = 1; f ( ) = Tính I = ∫  ÷ x x2  1 A I = + ln C I = ln − B I = − ln D I = + ln Bài 8: Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục  −4;4  biết: −2 ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( −2 x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = −6 B I = −10 C I = 10 D I = Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa Bài 9: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 0;1 thỏa mãn: f ( x ) + f ( − x ) = − x Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = π 20 C I = π B I = π 16 D I = π Bài 10: Cho ∫ f ( x + 1) x dx = Khi I = ∫ f ( x)dx A B C D −1 16 Trích đề thi thử năm 2019 Sở Giáo Dục Hà Nội năm 2019 Bài 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn: π f ( x2 ) f ( x) dx bằng: ∫ ∫ tan xf (cos x)dx = ∫ x dx = Khi x A 10 B C D Bài 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  2;3 và: 3 ∫ ( x − ) f ' ( x ) dx = a ; f ( 3) = b Tính I = ∫ f ( x ) dx theo a ; b 2 A I = −a − b B I = b − a C I = a − b D I = a + b Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa Bài 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  −1;1 và: f ( − x ) + 2019 f ( x ) = e x , ∀x ∈  −1;1 Tính I = ∫ f ( x ) dx −1 A I = e −1 e2 B I = C I = e2 −1 2020e D I = e2 −1 2019e Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Nho Quan – Ninh Bình Bài 14: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ và:  x ∫ f ( x ) dx = ; f ( ) = 16 Tính ∫ xf '  ÷dx 2 A 144 B 12 C 28 D 112 Trích đề thi thử năm 2019 Sở GD Bắc Ninh Bài 15: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục a > Giả sử ∀x ∈  0; a  ta có: dx f ( x ) > f ( x ) f ( a − x ) = Tính ∫ 1+ f ( x ) A a B a C 2a D a ln ( + a ) Bài 16: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn: f ( ) = 3; f ( x ) + f ( − x ) = x − x + 2, ∀x ∈¡ Tính ∫ xf ' ( x ) dx A − B C D − 10 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường chuyên ĐH Vinh 17 Bài 17: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn: 8 f x ( ) ∫ f x + + x dx = 2019 ∫ dx = Tính ∫ f ( x ) dx x 4 ) ( A I = 2019 B I = 2020 C I = 4022 D I = 4038 Trích đề thi thử lần năm 2019 trường THPT Kinh Môn – Hải Dương Bài 18: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm ¡ thỏa mãn: f ( x ) − f ( − x ) = ( x − x ) , ∀x ∈¡ Biết tích phân I = ∫ xf ' ( x ) dx = − a b a Trong − phân số tối giản Tính T = 8a − 3b b A T = B T = C T = 16 D T = −16 Trích đề thi thử năm 2019 Sở Giáo Dục tỉnh Kiên Giang 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Thông qua việc đưa lớp tốn tích phân hàm ẩn đồng thời nêu dạng tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ biết cách áp dụng vào tốn cụ thể tơi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tập hơn, tính nhanh độ xác cao Từ kết kiểm tra tốt rõ rệt Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh lớp 12D3 12D4 đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt rõ rệt Kết khảo sát thực nghiệm cụ thể sau: Kết kiểm tra lần Lớp Số HS thực nghiệm 12D3 12D4 Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 43 11,63 % 19 44,19% 16 37,21% 6,98% 43 18,61 % 20 46,51% 14 32,56% 2,32% Kết kiểm tra lần Lớp Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 18 thực nghiệm SL % SL % SL % SL % 12D3 43 0 10 23,26% 23 53,49% 10 23,25% 12D4 43 0 14 32,56, % 21 48,84% 18,6% KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên vài điều làm nhận thấy có kết rõ rệt Không giúp cho em nắm vững kiến thức mà giúp em có thói quen tư quy lạ quen kiến thức học cách linh hoạt đặc biệt giúp học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia Tuy nhiên khơng có cơng thức vạn theo nghĩa áp dụng cho toán Song cách làm mang lại cho học sinh kết định, giúp học sinh cảm thấy u q Tốn tích phân hàm ẩn đồng thời chúng tơi thu nhiều điều bổ ích phục vụ tốt cho q trình dạy Tốn trắc nghiệm Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm đề tài mà tơi nghiên cứu hạn chế, chắn không tránh khỏi sai sót, mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Qua tơi xin có số đề xuất sau: Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi phương pháp, cơng thức, thủ thuật giải nhanh Toán trắc nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học Tôi hy vọng vấn đề trình bày sáng kiến dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp giảng dạy lớp 12 trường phổ thông dạy bồi dưỡng ơn thi Tốn trắc nghiệm Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Lan Hương 19 20 ... Giải tích lớp 12 đưa hai phương pháp tính tích phân đổi biến số phần Đây hai phương pháp nhất, giải nhiều tập ngun hàm tích phân quen thuộc Khơng số dạng tập tích phân lạ – dạng tích phân mà hàm. .. phân mà hàm dấu tích phân hàm cụ thể mà hàm ẩn hai phương pháp cơng cụ hữu ích Vì vậy, tơi nhận thấy cần thiết rèn luyện phương pháp tư quy lạ quen, giúp học sinh dễ dàng giải dạng toán 2.2 Thực... suy tích phân cần tính theo hai tích phân Dạng 2: Sử dụng tích phân phần Khi câu tích phân xuất đạo hàm hàm dấu tích phân giúp ta nghĩ đến việc sử dụng cơng thức tính tích phân phần Bài 1: Cho hàm