Nguyên Hàm - Tích phân

NGUYÊN HÀM I. ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 1. Đònh nghóa a/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu x (a; b)" Ỵ ta có / F (x) f(x)= . b/ Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu x (a; b)" Ỵ ta có / F (x) f(x)= và / / F (a) f(a), F (b) f(b) + - = = . Nhận xét: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) C, C+ Ỵ ¡ cũng là nguyên hàm của f(x). Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác nhau hằng số C. Ký hiệu: f(x)dx F(x) C= + ò . 2. Tính chất a/ ( ) / f(x)dx f(x)= ò b/ a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ¹ ò ò c/ [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx± = ± ò ò ò . 3. Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng (a ≠ 0) a.dx ax C, a= + Ỵ ò ¡ 1 x x dx C, 1 1 a + a = + a ¹ - a + ò 1 (ax b) 1 (ax b) dx . C a 1 a + a + + = + a + ò dx ln x C, x 0 x = + ¹ ò dx 1 .ln ax b C ax b a = + + + ò 1 dx 1 C x ( 1)x a a- = - + a - ò 1 dx 1 1 C (ax b) a( 1)(ax b) a a- = - + + a - + ò x x e dx e C= + ò ax b ax b 1 e dx .e C a + + = + ò x x a a dx C lna = + ò x x 1 a a dx . C lna a +b a +b = + a ò cosxdx sinx C= + ò 1 cos(ax b)dx .sin(ax b) C a + = + + ò sinxdx cosx C= - + ò 1 sin(ax b)dx .cos(ax b) C a + = - + + ò 2 1 dx tanx C cos x = + ò 2 1 1 dx tan(ax b) C cos (ax b) a = + + + ò 2 1 dx cotx C sin x = - + ò 2 1 1 dx cot(ax b) C sin (ax b) a = - + + + ò 1 4. Bài tập Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1/ 5 f(x) (2x 3)= - 2/ f(x) sin xcosx= 3/ 3 f(x) (sin2x 1) cos2x= - 4/ 2 x f(x) x 1 = + 5/ 2 2x 3 f(x) x 3x 1 - = - + 6/ 2 x 2x 1 f(x) (x 1)5 + - = + 7/ lnx f(x) 2x = 8/ 3 (lnx 3) f(x) 2x + = 9/ 2 f(x) sin(ax b)cos (ax b)= + + 10/ f(x) tanx= 11/ 2 3 f(x) x x 1= + 12/ 3cosx f(x) e sinx= 13/ 2 2 f(x) 1 x = - 14/ 2 5 f(x) x 3x 2 = - + 15/ f(x) sin7xcos5x cosx= 16/ 2 17x f(x) 10x 13x 3 = + - 17/ cosx 3sinx f(x) sin x cosx + = + 18/ 3 2cosx f(x) (sin x cosx) = + 19/ 2 2 2 5sin x 3cotg x f(x) cos x - = 20/ ( ) 2 x x f(x) sin cos 2 2 = - 21/ ( ) 3 x 1 f(x) x x - = 22/ ( ) x 5 x 2 f(x) e 3 x e = - 23/ 2 4x 3 f(x) 2x 1 + = + 24/ 2 3x f(x) 3x 2 = + 25/ 2 1 f(x) xcos (lnx) = 26/ 2 2 sinx cosx f(x) cos x sin x = - Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau với điều kiện kèm theo: 1/ x x e f(x) e 2 = + , F(0) ln3= - 2/ 20 cosx f(x) sin x = , ( ) F 0 2 p - = 3/ 2 3 f(x) sin 2xcos 2x= , ( ) F 0 2 p = 4/ ( ) 2 2 f(x) 1 3x 1 = + - , ( ) 2 F 0 3 = 5/ 1x2x 1x3x3x )x(f 2 23 ++ −++ = , 3 1 F(1) = TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng ( ) ; a b và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó, với ( ) a, b ; Ỵ a b ta gọi hiệu F(b) F(a)- là tích phân từ a đến b của f(x). Ký hiệu: b b a a f(x)dx F(b) F(a) F(x)= - = ò (công thức Newton - Leibniz). + Hàm số f(x) được gọi là hàm dưới dấu tích phân. + f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x). 2 + a là cận dưới và b là cận trên của tích phân (a có thể lớn hơn hay bằng b). + x là biến số tích phân. Nhận xét: b b b a a a f(x)dx f(t)dt f(u)du . F(b) F(a)= = = = - ò ò ò . 2. Tính chất Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng ( ) ; a b và ( ) a, b, c ; Ỵ a b ta có 1/ a a f(x)dx 0= ò 2/ b a a b f(x)dx f(x)dx= - ò ò 3/ b b a a k.f(x)dx k f(x)dx k= " Ỵ ò ò ¡ 5/ b b b a a a [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ± ò ò ò 6/ [ ] b a f(x) 0 x a; b f(x)dx 0³ " Ỵ Þ ³ ò [ ] b a f(x) 0 x a; b f(x)dx 0£ " Ỵ Þ £ ò 4. Bài tập DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm Bài 1 : Tính các tích phân : 1/ dxxx )1( 2 1 0 + ∫ 2/ dxxxx )1( 2 16 1 − ∫ 3/ dx x xx ∫ +− 8 1 3 2 35 4/ dx xx x ∫ − 4 1 3 )1( Bài 2 : Tính các tích phân : 1/ dx x ∫ − 2 1 35 3 2/ dx x x ∫ − − 2 1 21 12 3/ dx x xx ∫ − +− 5 4 2 3 52 4/ dx xx x ∫ +− − 5 4 2 23 32 5/ dx xx ∫ +− 5 4 2 23 1 6/ dx xx x ∫ +− − 4 3 2 23 3 7/ dx xx ∫ +− 5 4 2 96 3 8/ dx xx x ∫ +− − 5 4 2 96 12 9/ dx x x 2 2 1 3 1 ∫       − + 10/ dx x x ∫ + 1 0 2 3 1 Bài 3 : Tính các tích phân : 1/ ∫ 2 0 cos3cos π xdxx 2/ ∫ 2 0 sin2sin π xdxx 3/ ∫ 2 0 3sincos π xdxx 4/ ∫ 2 0 5cos2sin π xdxx 3 5/ ∫ 2 0 4 cos π xdx 6/ ∫ 3 6 22 cossin 1 π π dx xx 7/ ∫ 3 6 22 cossin 2cos π π dx xx x 8/ dx x e e x x ) cos 3( 4 0 2 ∫ − + π DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2 * p dụng cho những tích phân có dạng ∫ b a dxxuxuf )(')].([ ( trong đó u(x) là hàm số biến x) *Phương pháp: + Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx + Đổi cận : Khi x = a ⇒ t = u(a), khi x = b ⇒ t= u(b) + Thay thế : Khi đó ∫ b a dxxuxuf )(')].([ = ∫ )( )( )( bu au dttf *Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập. Bài 1 :Tính các tích phân : 1/ ∫ + 8 3 1 dx x x 2/ ∫ + 1 0 815 1 dxxx 3/ ∫ + 1 0 1 dx x x 4/ ∫ − 2ln 0 1dxe x 5/ ∫ + 2 1 2 1 xx dx 6/ ∫ − 2 3 21 2 1 xx dx Bài 2 : Tính các tích phân : 1/ xdxe x ∫ +− 1 0 2 2 2/ xdxe x cos 2 0 sin21 ∫ + π 3/ dxee xe x ∫ 1 0 4/ ∫ e x x dxe 1 ln 5/ dx x e tgx ∫ 2 0 2 cos π Bài 3 :Tính các tích phân : 1/ dx x x ∫ + 2 0 cos21 sin π 2/ dx xx e e ∫ 2 ln 1 3/ ∫ 1 0 sin dxee xx 4/ ∫ − + 1 0 dx ee e xx x 5/ ∫ + 27 1 3 )1( dx xx dx 6/ ∫ π 0 4 cos xdx 7/ ∫ − −− 1 1 2 )1112( dxxx 8/ 2 3 6 cos sin x dx x π π ∫ 9/ ∫ − 2ln2 2ln 1 x e dx 10/ ∫ + 2 0 33 3 cossin sin π dx xx x 11/ ∫ + dx xx x 33 3 cossin cos 12/ ∫ − + 2ln 0 xx ee dx DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần * p dụng cho những tích phân có dạng ∫ b a dxxvxu )(').( ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x) *Phương pháp: 4 + Đặt    = = dxxvdv xuu )(' )( ta có    = = )( )(' xvv dxxudu Khi đó ∫ b a dxxvxu )(').( = b a xvxu )()( - ∫ b a dxxvxu )().(' *Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, … . - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv Bài tập : Tính các tích phân sau : 1/ ∫ 2 0 cos π xdxe x 2/ ∫ 2 4 2 sin π π dx x x 3/ ∫ π 0 2 cos sin dx x xx 4/ ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 5/ ∫ e dxx 0 2 )(ln 6/ ∫ + + 2 6 cos1 sin π π dx x xx 7/ ∫ 2 0 2 sin π xdxx 8/ ∫ − e dxx 1 2 )ln1( 9/ ∫ e e dxx 1 ln 10/ ∫ 2 0 sin π xdxe x 11/ ∫ + 1 0 )1ln( dxxx 12/ dx x x e e ∫       − 2 ln 1 ln 1 2 DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1 * p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức 22 xa − , 22 1 xa + mà không thể tính bằng các phương đã học . *Phương pháp: + Đặt biến mới -Dạng chứa 22 xa − : Đặt x = asint, t       −∈ 2 ; 2 ππ - Dạng chứa 22 1 xa + : Đặt x = atant, t       −∈ 2 ; 2 ππ + Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2 Bài tập : Tính các tích phân sau : 1/ ∫ − a dxxax 0 222 ( a > 0 ) 2/ dx x x ∫ − 1 22 2 2 1 3/ ∫ − e xx dx 1 2 ln4 4/ dxxx ∫ ++− 1 0 2 32 5/ ∫ + 3 0 2 9 1 dx x 6/ ∫ − ++ 1 1 2 52 1 dx xx 7/ ∫ − 3 1 22 4 1 dx xx 8/ ∫ − 1 0 22 1 dxxx 9/ ∫ + 2 1 22 4 1 dx xx BÀI TẬP ÔN TẬP 5 1) ∫ − 1 0 22 dxx4x 2) ∫ 9 1 x3 dxex 2 ∫ 2 0 5 sin)3 π xdx 4) dx x )xsin(ln e 1 ∫ 5) ∫ e 1 2 xdxln)x - (x 6) ∫ + 2 0 3 3 2 1 x dxx 7) ∫ − 2 1 2 9x dx 8) ∫ e e 1 dxlnx 9) ∫ 4 1 ln dx x x 10) ∫ π + 2 0 dx)xcos1ln(.xsin 11) ∫ e xdx 1 2 ln 12) 4 3 0 tan xdx π ∫ 13) ∫ ++ e xdxxx 1 2 ln).1( 14) ∫ −− − 2 1 2 6 )1(5 dx xx x 15) ∫ 2 0 sin π xdxe x 16) ∫ π 2 0 x xdxcos.e 17) ∫ + 4 0 2 cos 2sin21 π dx x x 18) ∫ 2 1 dx 5 x lnx 19) ∫ 4 0 2 sin π dxx 20) ∫ 4 0 2 cos π x xdx 21) ∫ −+ 2 0 2 32 dxxx 22) ∫ − π 0 2 sin1 dxx 23) ∫ −       + − 2 1 2 dx 2x 1x 24) ∫ + 4 0 4 2 cos sin32 π dx x x 25) ∫ 2 0 2 cos π xdxx 26) ∫ + 1 0 2 dx 1x x 27) ∫ 2 π 0 x.sin2xdx 28) ∫ + 1 0 2 dx1xx. 29) ∫ + 1 0 12x dxx.e 30) ∫ + 1 0 2 dx1)n(x.x l 31) ∫ 2 0 5 dxxin π s 32) ∫ e 1 dxlnx.x 33) ∫ 2 0 2 dx)in(x. π sx 34) ∫ + 2 0 53 dxx)2cosx(cos π 35) ∫ + 1 0 3 dx )1(x x 36) ∫ 2 6 2 3 dx sin cos π π x x 37) ∫ + + 1 0 2 dx 1 1 x x 38) 6 0 sin 5 sin 6x xdx π ∫ 39) ∫ − 2 0 2 dxxx 40) ∫ + 32 5 2 4xx dx 41) ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 42) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 43) ( ) ∫ π + 2 0 2 xdxcosxsinx 44) ∫ + = 1 0 2 dx 1x x I 45) ∫ 2 π 0 x.sin2xdx 46) ∫ + 1 0 2 dx1xx. 47) ∫ + 1 0 12x dxx.e 48) ∫ + 1 0 2 dx1)n(x.x l 49) ∫ 2 0 5 dxxin π s 50) ∫ e 1 dxlnx.x 51) ∫ 2 0 2 dx)in(x. π sx 52) ∫ 2 6 2 3 dx sin cos π π x x 53) ∫ + + 1 0 2 dx 1 1 x x 54) 3 6 1 tan 1 tan x dx x π π + − ∫ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY BÀI 1 : Tính diện tích hình phẳng: 1) Giới hạn bởi (P): y = x 2 và 2 tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2). 6 2) Giới hạn bởi (C ) : y = 1 2 − x x , đường tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2và x = λ ( λ > 2) Tính λ để diện tích S = 16 đvdt 3) Giới hạn bởi : y 2 = 4x và đường thẳng 2x – y – 4 = 0 4) Giới hạn bởi : y = x và y = sin 2 x + x (0 ≤ x ≤ π ). 5) Giới hạn bởi y = x 3 – 3x 2 + 2x ; y = 0 6) Giới hạn bởi y = x 2 – 2x ; y = x + 4 7) Giới hạn bởi : y 2 = 2x và 27 y 2 = 8 ( x- 1) 3 8) Giới hạn bởi các đường : y = x +1 ; y = x 3 – 3x 2 + x + 1. 9) Giới hạn bởi y = x 2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2. 10) Giới hạn bởi y 2 = x ; y = – x + 2. 11)Giới hạn bởi 2x 12x10x2 y 2 + −− = và đường thẳng y = 0 BÀI 2 : Cho Parapol (P). Hai điểm A, B di động trên Parapol sao cho AB = 2 . a) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. b) Xác đònh vò trí của A, B sao cho diện tích của phần mp giới hạn bởi parapol và cát tuyến AB đạt giá trò lớn nhất. BÀI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox 1) y = - x 2 + 2x và y = 0 2) y = sin x, y = 0, x = π 3) y = cosx , y = 0, x = 0, x = 2 π 4) y = x 4 và y = 5 – x 5) y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2 6) Cho hàm số y = f(x) được xác đònh trên đoạn [ ] 3,0 với : f(x) =      ≤≤− ≤≤ ≤≤ 32,3 21,1 10, xx x xx a/ Vẽ đồ thò hàm số y = f (x) b/ Tính diện tích của hình (H) chắn bởi đồ thò hàm số y = f(x) và trục Ox c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình (H) khi quay quanh Ox 7) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x 2 – 1 và y = 0. BÀI 4 : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cácđường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 ; y = x 2 – 2x 1) Tính diện tích hình (H). 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)xoay xung quanh trục Ox. 7 BÀI 5 : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x +1 ; y = x 3 – 3x 2 + x + 1. 2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x 2 – 1 và y = 0. BÀI 6 : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 + 2x +1 ; y = – x 2 và x = – 2 1 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : x = 0 ; x = 2 π ; y = 0 ; y = xsinx 8 . là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) C, C+ Ỵ ¡ cũng là nguyên hàm của f(x). Do đó nếu f(x) có một nguyên hàm thì sẽ có vô số nguyên hàm (họ nguyên hàm) khác. DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm Bài 1 : Tính các tích phân : 1/