Tich phan (LT)

CHUYÊN ĐỀ 5: Tích phân. 1. Đònh nghóa: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là ∫ b a dxxf )( . Ta cũng dùng ký hiệu b a xF )( để chỉ hiệu số F(b) - F(a). Theo đònh nghóa ta có: )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ : công thức Newton - Laipnit. Trong đó: + f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân. + f(x): hàm số dưới dấu tích phân. + f(x)dx: vi phân của mọi nguyên hàm của f(x). + a, b: các cận của tích phân, a: cận trên, b: cận dưới. + x: biến số tích phân. 2. Các tính chất của tích phân: 2.1. 0dxxf a a = ∫ )( 2.2. ∫∫ −= a b b a dxxfdxxf )()( 2.3. )()(.)(. Rkdxxfkdxxfk b a b a ∈∀= ∫∫ 2.4. [ ] ∫∫ ∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 2.5. ∫∫∫ += c b b a c a dxxfdxxfdxxf )()()( 2.6. f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b] ⇒ 0dxxf b a ≥ ∫ )( 2.7. f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a;b] ⇒ ∫∫ ≥ b a b a dxxgdxxf )()( 2.8. m ≤ f(x) ≤ M trên đoạn [a;b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫ b a dxxf )( ≤ M(b - a) 2.9. t biến thiên trên đoạn [a;b] ⇒ G(t) = ∫ t a dxxf )( là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. 3. Các phương pháp tính tích phân: 3.1. Phương pháp đổi biến số: 3.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1: + B1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] và u(α) = a, u(β) = b. + B2: Biến đổi f(x)dx = f[u(t)].u'(t)dt = g(t)dt. + B3: Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t). + B4: Tính β α β α = ∫ )()( tGdttg . 3.1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2: + B1: Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục. + B2: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử: f(x)dx = g(t)dt. + B3: Tìm một nguyen hàm G(t) của g(t). + B4: Tính )( )( )( )( )()( bv av bv av tGdttg = ∫ . 3.2. Phương pháp tích phân từng phần: Đònh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì: ∫∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(')())().(()(')( hay ∫∫ −= b a b a b a duxvxvxudvxu )())().(()( * Chú ý: + Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm ln(fx) thì ta đặt u = lnf(x), phần còn lại là dv. + Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm đa thức P(x) và một hàm số khác (lượng giác, hàm số mũ,…) thì ta đặt u = P(x), phần còn lại là dv. 4. Ứng dụng của tích phân: 4.1. Tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng của hình được giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f 1 (x), y = f 2 (x) và các đường x = a, x = b, được cho bởi công thức: S = =− ∫ dxxx b a 21 ff )()( S = dxxxdxxxdxxx b 2121 a 21 ffffff ∫∫∫ β β α α −=−=− ))()(())()(())()(( (với α, β ∈[a;b] là các nghiệm của phương trình f 1 (x) - f 2 (x) = 0) 4.2. Diện tích của hình tròn và hình elip: S = R x R x R 2 R 0 2 2 R R 2 2 dx4dx2 π==−=− ∫∫ − .)()(. S = abdx a b 4 a 0 22 xa == .)( 4.3. Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay: = b a 2 dxS y (vaọt theồ quay xung quanh Ox) hay = b a 2 dyS x (vaọt theồ quay xung quanh Oy)