Tich phan LTDH hot

CHỦ ĐỀ 1 ĐẠO HÀM – VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO A. ĐẠO HÀM I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1) Định nghĩa ( ) ( ) ( ) o o o Δx 0 Δx 0 f x +Δx - f x Δy f x Δx Δx → → ′ = = lim lim 2) Các quy tắc tính đạo hàm a). Đạo hàm một tổng, hiệu: ( ) 1 2 n 1 2 n u ± u ± ± u = u ± u ± ± u ′ ′ ′ ' b). Đạo hàm một tích: ( ) / u.v = u .v + u.v ′ ′ * Trường hợp đặc biệt: v = k (k là hằng số) ta được: ( ) k.u k.u ′ ′ = c). Đạo hàm một thương: ( ) 2 u u v - u.v = v 0 v v ′ ′ ′   ≠  ÷   • Trường hợp đặc biệt: u =1 ta được: ( ) 2 1 v - v 0 v v ′ ′   = ≠  ÷   3) Các công thức tính đạo hàm ( ) ( ) n n-1 u nu u n R ′ ′ = ∈ * ( ) ( ) u u = u > 0 2 u ′ ′ ( ) sinu cosu.u ′ ′ = ( ) cosu -sinu.u ′ ′ = ( ) 2 uπ tgu u + kπ 2 cos u ′   ′ = ≠  ÷   ( ) ( ) 2 u cotgu - u kπ sin u ′ ′ = ≠ ( ) u u e e u ′ ′ = ( ) ( ) u u a a lnau 0 a 1 ′ ′ = < ≠ ( ) ( ) u lnu u 0 u ′ ′ = > ( ) ( ) a u log u 0 a 1 u 0 ulna ′ ′ = < ≠ >; II. BÀI TẬP 1. Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa B1: Tính số gia đối số và số gia hàm số B2: Lập tỉ số Δy Δx B3: Tính 0 Δy lim Δx x∆ → Trang 1 Ví dụ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa các hàm số sau a. y = x 2 tại x 0 = 2 b. y = e x tai x 0 = 1 2. Tính đạo hàm dựa vào công thức Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau a. y = (x 3 – 3x + 2)(x 4 + x 2 – 1) b. y = 3 2 2 1 x x x x − + + c. y = ln 3 x d. y = (5x 3 + x 2 – 4) 5 e. y = ax + b cx + d f. y = e sinx g. y = sin 2 (cos 3x) h. y = tan(2x + 3) i. y = 2 x +2x+1 a (0 < a ≠ 1) j. y = ln(x + 2 1 x + ) k. y = log 3 (x 2 – sin x) l. y = e 4x + 5 m. y = e x – ln(sinx) n. y = tg 2 x.sinx o. y = x tg 2 p. y = cotg (5x 2 + x – 2) q. y = cotg 2 x + cotg2x 3. Ứng dụng đạo hàm để giải toán Ghi nhớ Đối với các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức ( ) F x, y, y ,y ,y , ′ ′′ ′′′ , với y = f(x) là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) Tính y ,y ,y ,… ′ ′′ ′′′ (có khi ta phải rút gọn hàm số y = f(x) trước, sau đó mới tính đạo hàm) Thay y ,y ,y ,… ′ ′′ ′′′ vừa tìm được vào biểu thức F, thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán. Bài 1. Cho hàm số 2 lny x = . Giải bất phương trình 2 y + xy - x y 3 ′ ′′ ≤ Bài 2. Cho hàm số ( ) 2 -x y = e x +1 . Tìm các giá trị của x sao cho: y+ y +y +y 2 -1= 0 ′ ′′ ′′′ Bài 3. Cho hàm số ( ) x 2 y = ln e x +1     a. Giải phương trình ( ) 2 y + x +1 y = 0 ′ ′′ . b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y ′ . Bài 4. Cho hàm số -x y = xe . Chứng minh bất đẳng thức sau: y + y - y - y > 0, x R ′′′ ′ ′′ ∀ ∈ . Bài 5. Cho hai hàm số: f(x) = cos2x.cos 2 x; ( ) 2 2 1 g x = sin 2x +sin x 2 a. Tính f’(x), g’(x). b. Chứng minh rằng: f’(x) + g’(x) = 0. Bài 3. Cho hàm số ( ) 2 x y = x -1 2 . Giải phương trình y + xy = 0 ′ . Trang 2 Bài 4. Cho hàm số 2 x y = x e . Chứng minh đẳng thức: ( ) xy = x + 2 y ′ Bài 5. Cho hàm số 4 4 y = cos x - sin x a. Chứng minh rằng: y + 2sin2x = 0 ′ b. Giải phương trình 2y + y = 0 ′ . Bài 6. Cho hàm số 2 x y = cos 2 . Chứng minh đẳng thức: ycosx - y sinx = y ′ . Bài 7. Cho hàm số x y = e sinx . Chứng minh rằng: 2y - 2y + y = 0 ′ ′′ ′′′ . Bài 8. Cho hàm số ( ) 2 1 cosy x x= − . Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( ) ( ) x -1 y + y - y = 0 ′′ ′ B. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO ( ) ( ) ( ) dy = d f x = f xΔx ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' n n-1 f x = f x I. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐÁNG CHÚ Ý 1. ( ) ( ) ' d x +a = x +a dx = dx 2. ( ) ( ) ' d ax +b = ax +b dx = adx , ( ) a 0≠ 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 ' d ax + bx +c = ax +bx +c dx = 2ax + b dx ( ) 2 d x = 2xdx ⇒ 4. ( ) ( ) ' d sinx = sinx dx = cosxdx 5. ( ) ( ) ( ) 2 2 dx ' d tanx = tanx dx = = 1+ tan x dx cos x 6. ( ) ( ) ' dx d x = x dx = 2 x 7. 2 ' 1 1 dx d = dx = - x x x      ÷  ÷     8. 2 ' 1 1 1 d x + = x + dx = 1- dx x x x        ÷  ÷  ÷       II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VI PHÂN 1. ( ) d u ± v = du ±dv 2. ( ) d u.v = udv + vdu ( ) udv = d u.v - vdu⇒ ( ) d ku = kdu⇒ với k = const 3. 2 u udv- vdu d = v v    ÷   ⇒ 2 k kdu d = - u u    ÷   , với k = const 4. Nếu ( ) y = f u x     thì u u x dy = f .du = f .u .dx ′ ′ ′ Trang 3 III. MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG Bài 1. Tính vi phân của các hàm số sau ( ) 1. 2. 3. y = sin 2009x +1 sinx y = ln cosx +1 y = ln tanx sinx 4. y = e cosx + 2sinx 5. y = sinx + cosx 6. y = x + x +1 ( ) 2x-1 2 7. y = x +1 8. y = sin x +2 2x +1 9. y = x -1 10. y = tan 2 x 11. cosx y = 1-x 12. 1-x y = ln 1+ x Bài 2. Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau a. 1 1 y x = − b. y = tanx c. y = x 4 – x 2 + 3 d. y = cos 2 x Trang 4 CHỦ ĐỀ 2 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN A. NGUYÊN HÀM I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x ∈ (a; b), ta có: F ’ (x) = f(x) ( ) x a,b∀ ∈ Nếu thay khoảng (a; b) là đoạn [a; b] thì ta phải thêm F ’ (a + ) = f(a) và F ’ (b - ) = f(b) Ghi nhớ: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm số có dạng F(x) + C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x) và chỉ những hàm số có dạng F(x) + C mới là nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số f(x) và ký hiệu là ( ) f x dx ∫ Như vậy: ( ) ( ) f x dx = F x + C ∫ 2. Định lý F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a; b). Ta viết f(x)dx = F(x)+C ⇔ ∫ f(x)= F ’ (x) 3. Các tính chất của nguyên hàm a) ( ) ' f(x)dx = f(x) ∫ b) af(x)dx = a f(x)dx ∫ ∫ , (a ≠ 0) c) [f(x) + g(x)]dx ∫ = f(x)dx ∫ + g(x)dx ∫ d) f(t)dt = F(t) + C ∫ ⇒ f(u)du F(u) +C ∫ = 4. Bảng các nguyên hàm cơ bản a. Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp 1. 0dx = C ∫ 2. dx = x + C ∫ 3. α+1 α x x dx = α +1 ∫ + C 4. dx x ∫ = ln x + C 5. x e dx ∫ = e x + C 6. x a dx ∫ = x a lna + C , (0 < a ≠ 1) 7. cosxdx ∫ = sinx + C 8. sinxdx ∫ = - cosx + C 9. 2 dx cos x ∫ = tgx + C 10. 2 dx sin x ∫ = - cotgx + C 11. dx x = ln tg sinx 2 ∫ + C 12. dx xπ = ln tg( + ) cosx 2 4 ∫ + C 13. tgxdx ∫ = -ln cosx + C 14. cotgxdx ∫ = ln sinx + C 15. 2 2 dx 1 x -a = ln x -a 2a x +a ∫ + C 16. 2 2 2 2 dx = ln x + x ±a x ±a ∫ + C 17. 2 2 2 2 x x ±a dx = x ±a 2 ∫ 2 2 2 a ± ln x + x ± a 2 + C 18. 2 2 dx x = arcsin + C a a -x ∫ Trang 5 19. 2 2 2 2 x a -x dx = a -x + 2 ∫ 2 a x arcsin + C 2 a 20. 2 2 dx 1 x = arctg +C a + x a a ∫ b. Nguyên hàm mở rộng của các hàm số thường gặp 1) 1 cos(ax +b)dx = sin(ax +b)+C (a 0) a ≠ ∫ 2) 1 sin(ax + b)dx = - cos(ax + b)+C (a 0) a ≠ ∫ 3) ax+b ax+b 1 e dx = e +C a ∫ (a ≠ 0) 4. dx 1 = ln ax +b +C ax + b a ∫ c. Chứng minh một số công thức cơ bản : 11. dx x = ln tg sinx 2 ∫ + C 15. 2 2 dx 1 x -a = ln x -a 2a x +a ∫ + C 12. dx xπ = ln tg( + ) cosx 2 4 ∫ + C 16. 2 2 2 2 dx = ln x + x ±a x ±a ∫ +C 17. 2 2 2 2 x x ±a dx = x ±a 2 ∫ 2 2 2 a ± ln x + x ±a 2 + C 11. Ta có : 2 2 x x x x sin +cos sin cos 1 1 2 2 2 2 = = = + x x x x x x sinx 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x sin cos d(cos ) d(sin ) 1 1 x x x 2 2 2 2 I dx + dx = - + -ln cos +ln sin +C = ln tg +C x x x x 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ = = 12. Ta có: cosx = sin(x + π 2 ) = xπ x π 2sin( + )cos( + ) 2 4 2 4 ⇒ dx xπ = ln tg( + ) cosx 2 4 ∫ + C 15. Ta có : 2 2 1 1 1 (x +a)-(x -a) 1 1 1 = = - x -a (x -a)(x + a) 2a (x -a)(x +a) 2a x -a x +a             Do đó: I = 1 d(x -a) d(x + a) 1 x + a - = ln + C 2a x -a x +a 2a x -a       ∫ ∫ 16. Ta đặt : 2 2 2 2 2 2 2 x x+ x +a t = x + x + a dt = (1+ )dx = dx x +a x +a x +a dx dt dt dx = dt = I = = ln t +C = ln x + x +a + C t t t x +a    ÷  ÷   ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∫ 17. Ta đặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xdx du = u = x +a x +a dv = dx v = x x dx (x +a -a )dx I = x x +a - =x x +a - x +a x +a           ⇒ ⇒ ∫ ∫ Trang 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx = x x + a - x +a dx +a = x x +a -I+a ln x + x +a x +a x a I = x +a + ln x + x +a + C 2 2 ∫ ∫ ⇒ II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp 1: Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất Bài 1: Cho hai hàm số ( ) 1 1 F x = x + sin2x 2 4 ; ( ) 2 f x = cos x a. Chứng minh rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) b. Tìm nguyên hàm G(x) biết rằng π G = 0 4    ÷   . Bài 2: Cho hàm số ( ) 4 4 cosx + cos2x + cos3x f x = cos x -sin x Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x biết rằng ( ) Fπ = π . Bài 3: Cho hàm số ( ) 2 f x = 2cos xcos4x . Tìm hàm số G(x) biết rằng G’’(x) = f(x) và ( ) 29π 1 G 0 = - ; G = - 144 12 32    ÷   Bài 4: Cho hàm số ( ) f x = 8sinxcosxcos2xcos4x a. Giải phương trình ( ) ( ) f x + f x = 0 ′′ b. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm π M - ;0 8    ÷   . Bài 5: Biết rằng hàm số ( ) sinx F x = 1+ cosx là nguyên hàm của f(x) Hãy tìm các giá trị của x sao cho ( ) ( ) f x - f x = 0 ′ . Bài 6: Cho hàm số x y = xe . a. Tính y ′ và ( ) 2y ′ . b. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) x f x = x + 2007 e Bài 7: Cho hàm số ( ) x f x = e sinx Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) f x - f x ′ ′′ là nguyên hàm của hàm số ( ) 2f x Bài 8: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 3 2 2 x + 3x + 3x -1 f x = x + 2x +1 , biết rằng ( ) 1 F 1 = 3 . Bài 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x 3 biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = –2 Trang 7 Bài 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx biết nguyên hàm này bằng 5 khi π x = 3 Bài 11: Cho 2 f(x) = x.lnx + x , (x > 0) Tìm nguyên hàm của hàm g(x) = lnx biết rằng nguyên hàm này bằng – 2 khi x = 2. Bài 12: Cho 2 f(x) = xcosx + x . Tìm nguyên hàm của hàm g(x) = xsinx biết rằng nguyên hàm này bằng khi π x = 2 . Bài 13: Định m để hàm số F(x) = mx 3 + (3m + 2)x 2 – 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x 2 + 10x – 4 Bài 14: Cho f(x) = x 2 .e x . Định a, b, c để 2 x F(x) = (ax +bx +c).e là một nguyên hàm của f(x) Bài 15: Cho f(x) = x 3-x . Tìm a, b, c sao cho F(x) = (ax 2 + bx + c) 3 x− là một nguyên hàm của f(x). Bài 16: Xác định a, b, c để hàm số 2 F(x) = (ax + bx +c) 2x -3 với 3 x 2 > là một nguyên hàm của hàm số 2 20x -30x +7 f(x) = 2x -3 Bài 17: Cho hàm số : y = (2x 2 – 3x)e x . 1) Chứng minh rằng: y’’ – 2y’ + y = 4e x 2) Suy ra : 4e x + 2y – y’ là một nguyên hàm của y Bài 18: CMR: F(x) = (x – 2)e x là một nguyên hàm của f(x) = (x – 1)e x . Bài 19: CMR: F(x) = x -ln(1+ x ) là một nguyên hàm của x f(x) = 1+ x trên R Bài 20: CMR: 2 2 x x lnx - khi x > 0 F(x) = 2 4 0 khi x = 0      là 1 nguyên hàm của hàm số xlnx khi x > 0 f(x) = 0 khi x = 0    Phương pháp 2. Xác định nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm cơ bản Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số 1. f(x) = x 2 – 3x + 1 x 2. f(x) = 4 2 2x +3 x 3. f(x) = 2 x-1 x 4. f(x) = 2 2 2 (x -1) x 5. f(x) = 3 4 x + x + x 6. f(x) = 3 1 2 - x x 7. f(x) = 2 ( x -1) x 8. f(x) = 3 x-1 x 9. 3 1 x - x    ÷   10. 3 2 3 3x - x 2 +5x -3 x 11. 4 16x -9 2x - 3 12. 1 x + x 13. 2 3 x + x x x 14. 2 2 1 1 x - +2x x x     ÷ ÷    15. 3 5 2 x + x 2 x 16. x - x x -1 17. 2 4 3 1+5x -3x + x 2x 18. 4 -4 3 x + x + 2 x Trang 8 19. 2 1-x x    ÷   20. 6 (4x -5) 21. 2 1 (4-3x) 22. 3 2x +1 23. 3 4 1 (3x -2) 24. 1 6-5x 25. 1 x +1+ x -1 26. 2 2 3 2 3x - x    ÷   27. 2 2 x 2 x -13x + x e x 28. 2 x x -3 29. 2 x +1- 1-x 1-x 30. 2 2x x + x -1 31. 3 4 x x x 32. 4 -4 x + x + 2 33. 1 2x - 2x +1 34. 1 4+ x - x +3 35. 3 2 4 x -2 x +1 x 36. ( ) 2 3 2x - 3x x 37. 3 1 1 - x x    ÷   38. 3 1 x - x    ÷   39. 4 4 ( x -2 x)(x - x + x) 40. 5 1 (2x -3) 41. 2 2x -2x +1 3x +1 42. 3 3x - x +1 2x +1 Bài 2. Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 3. f’(x) = 4 x -x và f(4) = 0 4. f’(x) = x - 2 1 +2 x và f(1) = 2 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 6. f’(x) = ax + 2 b , f'(1) = 0, f(1) = 4, f(-1) = 2 x Phương pháp 3. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp phân tích Dạng 1 I = ( ) α x ax +b dx;(a 0)≠ ∫ ( ) 2 α x dx K = ,(a 0) ax + b ≠ ∫ Sử dụng đồng nhất thức: x = 1 1 ax = (ax +b)-b a a     hoặc: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x = a x = (ax +b)-b = (ax + b) -2b(ax +b)+ b a a a         VD1: Tính I = ( ) 2002 x 1- x dx ∫ Cách 1: Sử dụng cách đồng nhất thức: x = 1 - (1 – x) 2002 2002 2002 2002 2003 x(1-x) (1-x) = 1-(1-x) (1-x) = (1-x) -(1-x)     ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2002 2003 2002 2003 2003 2004 1 1 - 2003 2004 I = 1-x dx - 1- x dx = - 1-x d(1-x)+ 1-x dx = 1- x + 1- x +C ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ VD2: Tính J = ( ) 2005 x 1+ x dx ∫ Trang 9 Làm tương tự VD3 : Tính K = 2 dx x -4x +3 ∫ Cách 1 Ta có: 2 1 1 1 (x -1)-(x -3) 1 1 1 = = = - x -4x +3 (x-1)(x -3) 2 (x -1)(x -3) 2 x -3 x -1             1 d(x -3) 1 d(x -1) 1 1 1 x -3 K = - = ln x -3 - ln x -1 = ln +C 2 x -3 2 x -1 2 2 2 x-1 ⇒ ∫ ∫ Cách 2 Ta có ( ) 2 2 dx dx 1 x -3 K = = = ln +C x -4x +3 2 x -1 x -2 -1 ∫ ∫ VD4: Tính J = ( ) 3 xdx 1+3x ∫ Sử dụng đồng nhất thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1+3x -1 1 x 1 1 1 1 x = 1+3x -1 = - 3 3 3 (1+3x) (1+3x) 1+3x 1+3x       =         ⇒ -2 -3 2 3 -1 -2 1 d(1+3x) 1 d(1+3x) 1 1 I = - = (1+3x) d(1+3x)- (1+3x) d(1+3x) 9 (1+3x) 9 (1+3x) 9 9 1 1 = - (1+3x) + (1+3x) +C 9 18 ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ VD5: Tính K = 2 dx x -x-2 ∫ Sử dụng đồng nhất thức : 2 1 1 1 (x +1)-(x -2) 1 1 1 = = = - x -x -2 (x +1)(x -2) 3 (x +1)(x -2) 3 x-2 x +1 1 1 1 1 1 x -2 K = dx - dx = ln +C 3 x -2 3 x +1 3 x +1             ⇒ ∫ ∫ VD6: Tính H = 4 2 dx x + 4x +3 ∫ Sử dụng đồng nhất thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (x +3)-(x +1) 1 1 1 = = - (x +1)(x +3) 2 (x +1)(x +3) 2 (x +1) (x +3)             2 2 1 dx 1 dx H = - 2 x +1 2 x +3 ⇒ ∫ ∫ (Tích phân xác định thì ta đặt x = tant với x thoả điều kiện ) VD7: Tính A = 3 10 x dx (x -1) ∫ Cách 1: Sử dụng đồng nhất thức: x 3 = ((x – 1) + 1) 3 = (x – 1) 3 - 3(x – 1) 2 + 3(x – 1) – 1 Trang 10