Lớp 12 - Tuyển tập 345 bài toán tích phân LTĐH

HTTP://BUIPHAN.NET 1 345 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x). Lưu ý:  Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C.  Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là ()f x dx  ; Vậy ( ) ( )f x dx F x C  2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng: 11 1 ( ) 1. ; . ; ; ( ) . 11 x ax b dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C a                        1 1 1 1 1 1 ln | | ; .ln | | ; 2 ; .2 ;dx x C dx ax b C dx x C dx ax b C x ax b a a x ax b                     22 1 1 1 1 1 1 ; . ; ; . ; () x x ax b ax b dx C dx C e dx e C e dx e C x x ax b a ax b a                     11 cos sin ; cos( ) .sin( ) ; sin cos ; sin( ) .cos( ) ;xdx x C ax b dx ax b C xdx x C ax b dx ax b C aa                       22 22 1 1 1 tan ; .tan( ) ; cos cos ( ) 1 1 1 cot ; .cot( ) ; sin sin ( ) dx x C dx ax b C x ax b a dx x C dx ax b C x ax b a                     3. Phương pháp tìm nguyên hàm: a) Phương pháp đổi biến: [ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C  b) Phương pháp từng phần: .udv u v vdu  4. Công thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a    5. Phương pháp đổi biến số: Xét [ ( )]. '( ) b a I f t x t x dx   Đặt t=t(x)dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=bt=t(b); x=at=t(a).  Thay vào: () () () tb ta I f t dt  và tính tích phân mới này (biến t). Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng '( ) () b a tx dx tx  Đặt t=t(x) Mẫu () ( ). '( ) b tx a f e t x dx  Đặt t=t(x) Mũ ( ( )). '( ) b a f t x t x dx  Đặt t=t(x) Ngoặc ( ( )). '( ) b n a f t x t x dx  Đặt t= () n tx Căn 2 1 (ln ). b a f x dx x  Đặt t=lnx Lnx (sin ).cos b a f x xdx  Đặt t=sinx Cosxdx đi kèm biểu thức theo sinx (cos ).sin b a f x xdx  Đặt t=cosx Sinxdx đi kèm biểu thức theo cosx 2 1 (tan ). cos b a f x dx x  Đặt t=tanx 2 1 cos dx x đi kèm biểu thức theo tanx 2 1 (cot ). sin b a f x dx x  Đặt t=cotx 2 1 sin dx x đi kèm biểu thức theo cotx ( ). b ax ax a f e e dx  Đặt t=e ax . e ax dx đi kèm biểu thức theo e ax . Đôi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn. 6. Phương pháp tích phân từng phần: () bb b a aa udv uv vdu  Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:  ( ).sin( ) b a P x ax b dx  ta đặt () sin( ) u P x dv ax b dx      ta có '( ). 1 cos( ) du P x dx v ax b a           ( ).cos( ) b a P x ax b dx  ta đặt () cos( ) u P x dv ax b dx      ta có '( ). 1 sin( ) du P x dx v ax b a         () ( ). b ax b a P x e dx   ta đặt () ax b u P x dv e dx       ta có '( ). 1 ax b du P x dx ve a          ( ).ln( ) b a f x ax b dx  ta đặt ln( ) () u ax b dv f x dx      ta có . () a du dx ax b v F x         7. Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C 1 ):y=f(x), (C 2 ):y=g(x), x=a, x=b. Khi đó diện tích của hình phẳng (H) là: | ( ) ( ) | b a S f x g x dx  8. Thể tích vật thể tròn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b. Thể tích vật thể do hình (H) quay quanh trục Ox là: 2 [ ( )] b a V f x dx    Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(ab). Nếu f(x) và g(x) luôn cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là: 22 | ( ( )) ( ( )) | b a V f x g x dx    3 1/ I = 1 x xx 0 e dx ee    . 2/ I = 1 1 ln e x dx x   3/ I = 2 2 1 x 1 dx x x x    ( ). ln 4/I = 3 2 4 3tg xdx    5/I = 4 2 6 (2cotg x 5)dx     6/I = 2 0 1 cosx dx 1 cosx     7/ I =  2 0  sin 2 x.cos 2 xdx 8/I =  3 0  (2cos 2 x-3sin 2 x)dx 9 / I = 2 2 sin( x) 4 dx sin( x) 4        10 / I =   3 6   (tgx-cotgx) 2 dx 11/ I = 4 4 0 cos xdx   12 / I = 2 3 0 sin xdx   13*/ I = 3 3 2 3 sin x sin x cotgxdx sin x     14/I = 2 4 0 sin xdx   15/I =  3 4 22 2 cos 2 sin 1   xx dx 16/I =  4 6   cotg2x dx 17/I = 2 2 sin x 4 e sin2xdx    18/ I =   4 0 2 2 cos  x e tgx . 34/I = 1 22 3 1 dx x 4 x  35/I = 4 2 2 1 dx x 16 x  36*/I = 6 2 23 1 dx x x 9  4 19/ I =  2 4 4 sin 1   x dx 20/ I =  4 0 6 cos 1  x dx 21/I = dxxxnsix )cos(2cos 44 2 0    22/ I = 2 3 0 cos xdx   23/ I = 3 2 0 4sin x dx 1 cosx    24/ I = 1 32 0 x 1 x dx  25/I = 1 52 0 x 1 x dx  26/I = 1 0 x dx 2x 1  27/I = 1 x 0 1 dx e4  28/I = 2 x 1 1 dx 1e    29/I = 2x 2 x 0 e dx e1  30/I = x 1 x 0 e dx e1     31/I = e 2 1 lnx dx x(ln x 1)  32/I = 7 3 3 0 x1 dx 3x 1    37/I = 2 22 1 x 4 x dx    38/I = 2 23 0 x (x 4) dx  39/I = 2 4 43 3 x4 dx x   40*/I = 2 2 2 2 x1 dx x x 1      41/I = ln2 x 0 e 1dx  42/I = 1 0 1 dx 3 2x  43/I = 2 5 0 sin xdx   44*/I = 3 0 1 dx cosx   45/I = 2x 1 x 0 e dx e1     46/I = ln3 x 0 1 dx e1  47/I = 4 2 6 1 dx sin x cotgx    48/I = 3 2 e 1 ln x 2 ln x dx x   . 64/I = 2 0 sin x.sin2x.sin3xdx   5 33/I = 2 3 2 0 (x 3) x 6x 8dx    . 49/I = e 1 sin(lnx) dx x  50/I = 1 3 4 5 0 x (x 1) dx  51/I = 1 23 0 (1 2x)(1 3x 3x ) dx    52/I = 2 3 1 1 dx x 1 x  53/I = 3 22 6 tg x cotg x 2dx     54/I = 1 23 0 (1 x ) dx  55*/I = 1 2x 0 1 dx e3  56/I = x ln3 x3 0 e dx (e 1)  57/I = 0 2x 3 1 x(e x 1)dx    58/I = 2 6 35 0 1 cos x sin x.cos xdx    59*/I = 23 2 5 1 dx x x 4  60/I = 4 0 x dx 1 cos2x    61/I = 2x ln5 x ln2 e dx e1  65/I = 2 44 0 cos2x(sin x cos x)dx    66*/I = 2 33 0 ( cosx sin x)dx    67/I = 7 3 84 2 x dx 1 x 2x  68*/I = 2 0 4cosx 3sin x 1 dx 4sin x 3cosx 5     69/I = 9 3 1 x. 1 xdx  70/I = 2 3 0 x1 dx 3x 2    71*/I = 6 0 x sin dx 2   72*/I = 2 0 x dx 2 x 2 x    73/I = 3 32 0 x . 1 x dx  74**/I = 1 2 0 ln(1 x) dx x1    75/I = 2 0 sin x dx sin x cosx    76/I = e 1 cos(ln x)dx   77*/I = 2 2 0 4 x dx  78/I = 2 1 x dx 1 x 1  . 6 62/I = 2 e 1 x1 .lnxdx x   63/I = 2 1 0 x dx (x 1) x 1  79/I = e 1 1 3ln x ln x dx x   80/I = 3 2 2 ln(x x)dx  81/I = e 2 1 (ln x) dx  82/I = 2 e e lnx dx x  83/I = 2 e 1 lnx dx lnx  84/I = 2 2 1 xln(x 1)dx  85/I = 3 2 3 1 dx x3  86/I = 1 2 0 1 dx 4x  87/I = 2 4 0 sin xdx   88/I = 3 2 6 ln(sin x) dx cos x    89/I = 2 1 cos(ln x)dx  90*/I = 2 2 0 ln( 1 x x)dx  91*/I = 3 2 2 1 dx x1  94/I = 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x    95*/I = 2 e 2 e 11 ( )dx ln x ln x   96/I = 3 2 4 x 4 dx    97/I = 2 32 1 x 2x x 2 dx      98/I = 3 4 4 cos2x 1dx     99/I = 0 cosx sinxdx   100/I = 2 0 1 sinxdx    101/I = 3 4 4 sin2x dx    102/I = 0 1 sinxdx    103/I = 1 3 2 1 ln(x x 1) dx       104*/I = 2 0 xsin x dx 1 cos x    105*/I = 1 2x 1 1 dx (x 1)(4 1)    106*/I = 4 1 x 1 x dx 12    107/I = 2 4 0 xsin xdx   7 92/I = 3 8 1 x1 dx x   93/I = 3 3 2 1 x dx x 16  109/I = 6 2 0 x.sin xcos xdx   110*/I = 2x 1 2 0 xe dx (x 2)  111/I = 2x 2 0 e sin xdx   112/I = 2 2 1 1 x ln(1 )dx x   113/I = e 2 1 e lnx dx (x 1)  114/I = 1 2 0 1x x.ln dx 1x    115/I = 2 t 1 ln x dx I 2 x      116/I = 3 0 sin x.ln(cosx)dx   117/I = 2 e 2 1 cos (ln x)dx   118/I = 4 0 1 dx cosx   119*/I = 4 3 0 1 dx cos x   120/I = 2 1 3x 0 x e dx  108/I = 2 4 0 xcos xdx   123/I = 1 2 0 3 dx x 4x 5  124/I = 2 2 1 5 dx x 6x 9  125/I = 1 2 5 1 dx 2x 8x 26    126/I = 1 0 2x 9 dx x3    127/I = 4 2 1 1 dx x (x 1)  128*/I = 0 2 2 sin2x dx (2 sin x)    129/I = 1 2 0 x3 dx (x 1)(x 3x 2)      130/I = 1 3 0 4x dx (x 1)  131/I = 1 42 0 1 dx (x 4x 3)  132/I = 3 3 2 0 sin x dx (sin x 3)    133/I = 3 3 6 4sin x dx 1 cosx     134/I = 3 2 6 1 dx cosx.sin x    www.giaoducviet.net t 8 121/I = 2 2 sin x 3 0 e .sin xcos xdx   122/I = 2 4 0 sin2x dx 1 cos x    137/I = 3 4 2 2 5 0 sin x dx (tg x 1) .cos x    138/I = 3 22 3 1 dx sin x 9cos x      139/I = 2 2 cosx 1 dx cosx 2       140/I = 2 0 1 sin x dx 1 3cosx     141/I = 2 0 cosx dx sin x cosx 1    142/I = 4 2 1 1 dx x (x 1)  143/I = 1 3 3 1 dx x 4 (x 4)      144/I = 3 3 0 sin x dx cosx   145/I = 1 0 x 1 xdx  146/I = 6 4 x 4 1 . dx x 2 x 2    147/I = 0 2 1 1 dx x 2x 9    135/I = 3 0 sin x.tgxdx   136/I = 3 4 1 dx sin 2x    . 152/I = 1 4x 2x 2 2x 0 3e e dx 1e    153/I = 4 2 7 1 dx x 9 x  154/I = 2 x2 0 e sin xdx   155/I = 4 2 44 0 cos x dx cos x sin x    156/I = 1 0 3 dx x 9 x  157/I = 0 xsin xdx   158/I = 22 0 x cos xdx   159/I = 1 0 cos x dx  160/I = 1 0 sin x dx  161/I = 2 4 0 xsin x dx   162/I = 2 4 0 xcos x dx   [...]... 2 ) 2 0 1 3x 2 dx 261/I =  3 0 x 2 2 1  x5 dx 262*/I =  x(1  x 5 ) 1 sin 4 x  cos 4 x dx 271/I =  sin x  cos x  1 0  2 sin x cos x  cos x dx sin x  2 0 272/I =  1 1 x e 273/I =  3 a x dx 12  3 x 3  2x 2  10x  1 274/I =  dx 2 x  2x  9 0 1 x3 275/I =  2 dx 3 0 (x  1) 1 3 276/I =  3 dx x 1 0 1 4 x 1 277*/I =  6 dx x 1 0 1 x 278/I =  dx (2x  1)3 0 7 1 279/I =  dx 2 2  x 1... 280/I = x 1 x 1 2 1 281*/I =  x ln(x  1  x 2 ) 1 x2 0 4 2 295/I = 2 1 3 296/I = 3x dx x 2  2x  1 1 1 4x  1 285/I =  3 dx x  2x 2  x  2 0 1  1 (3  2x) 2 1 287/I =  0  2 288/I =  0 5  12x  4x 2 1 x  1 x dx cos x dx 2  cos 2x x3  3 0 2 3 1 2 x x 1 2 7 2 284/I =  1  2 3 283/I =  x ln(x  1) dx 0 2 dx 2 dx 282/I =  (x  1) ln x dx 286/I = 1  297*/I =  1 1 298/I =  x 1 x x3...  sin 2 x 309*/I =  x dx 3 1  307/I =  tg x dx  4 321*/I =  tg x dx  4  2 sin 4 x dx 311/I =  cos 4 x  sin 4 x 0 0  2 1  ln (cos x) 2 5 0 sin x 310*/I =  dx cos x  sin x 0 tgx 3 0  2 312* /I =  cos x  (1  cos x)2 dx 306/I = 1  2 1  2cos x  sin x  3 dx 322/I =  cotg x dx  6  3 323/I = dx sin x dx 313*/I =  cos x  sin x 0 1 1 314*/I =  x dx (e  1)(x 2  1) 1 3 4  tg x dx... 328*/I =  2 3 319*/I =  t gx  1 2 ) dx tgx  1 e 2 x dx ex 1 0  4 sin 4 x.dx 2 0 1  cos x 336/ I    3 dx    sin x sin  x   6 6  337/ I    2 339/ I   x cos 2 x.dx 0 3  2 341/ I   345/ I   ln( x 2  x).dx CHÚC CÁC CON HỌC TỐT! THÂN ÁI (1  2 sin 2 x)dx 1  sin 2 x 0 4 e 343/ I   1 1  3 ln x ln xdx x THE END! 15 . x=at=t(a).  Thay vào: () () () tb ta I f t dt  và tính tích phân mới này (biến t). Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng '( ) () b a tx dx tx  . lợi hơn. 6. Phương pháp tích phân từng phần: () bb b a aa udv uv vdu  Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng: Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây:  ( ).sin(. HTTP://BUIPHAN.NET 1 345 BÀI TOÁN TÍCH PHÂN LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm