Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
Trang 22
Trang 3Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
Trang 4GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1) x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1
2) x 5 15 x 3 45 x 27 0
3)
x 5 1
25 x
11
2
4) 4 x 24 x 4 x 2 4 4 x x x x 3 30
5)
0 x 500 yx
y
0 y 2000 xy
x
2 3
2 3
6) 5 27x10 x6 5864 0
7) x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2
8)
3 2
3 2
3 2
x 64
z 48 z
12
z 64
y 48 y
12
y 64
x 48 x
12
9)
20 0 1 5
1 9
2 0 01 5
19
2 0 0 1 5
1 9
y y
1890 x
z
x x
18 90 z
y
z z
189 0 y
x
10)
x x
x 1
z 2
z z
z 1
y 2
y y
y 1
x 2
2 3
2 3
2 3
11)x 18x 7x 35x 90 2001 x 2
12)2001 x4 2003 x4 2000
x 1
x x x
x 1
Đề xuất: 2 2
x a
x x c b cx
bx a
Với a ,b,c >0 14) x 2 4 x x2 x 1
2
a b 2 2
b a x 2
a b 2
a b x a b x b a x
2 2
(Với a + 2 < b )
15)3 x 2 x 2001 3 x 2 x 2002 3 x 2003 3 2002
2002
2001
17)
1 c b a b b
c x a x b a c a a
b x c x b c a c
c
b x a x
Trong đó a;b;c khác nhau và khác không
x 1978 1
1978 1
x
19) xx 2 1 2
20) x 2 x 2 x 2 x x
21) 1 x 2 4 x 2 x 1 6 1 x 1 0
22)
2
2 x 3
2 x
23)3 x2 2 2 x3
24) 1 1 x 2 1 x3 1 x3 2 1 x 2
1 y
4 2 x
36
26) x 4 10 x 3 2a 11x 2 25 a 6x 2 a a 2 0
27) Tìm m để phương trình :
x 2 1 x 3x 5 m
4
Trang 5Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
có 4 nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa mãn
1 x
1 x
1 x
1 x
1
4 3 2 1
28)
2 x
z 2 z
z
2 z
y 2 y
y
2 y
x 2 x
x
2 4
5
2 4
5
2 4
5
Tìm nghiệm dương của phương trình
29)18 x 2 18 x x 17 x 8 x 2 0
30)4 17 x 8 3 2 x 8 1 1
31)x 2 2 x x 2 2 x
8 xyz
z y x 8 z y
x 4 4 4
33)19 10 x 4 14 x 2 x 2 38 x 2 2
5
x 12 x
210 x
6125 5
x
2
2
35)
0 8
y 12 y
6 z
0 8
z 12 z
6 x
0 8
x 12 x
6 y
2 3
2 3
2 3
36)x 3 x 2x 9 x 18 168 x
37) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm
2 m y x
256 y
x
8 8
8
38)x 2 x 3 x 5 x 3 x 5 x 2 x
1 x
2
2
Đề xuất: x x a 1 ( a 1 )
1 x
a
40)13 x 1 9 x 1 16 x
2
27 1 3
28 x 24 x 27
.
42) x 1 3 9 x x2 x 1
43)
1 y x z y z y y x x z
y
1 z y
x
44)x 3 x 2 2 x 23 x 0
45)
y z c
y a z
xy a
x c y
xz c
z b x
a
Trong đó a;b;c R *
46)x 2 12 x 64x 2 30 x 125 8000 0
47)x 2 x 1 x 2 0
48)
n 8 x
8 x 8 x
n x
x x
n 2
1
n 2
1
49) Cho hệ phương trình:
1 b
; bn 1 b x
n x
n
1
i
2 i
n
1
CMR:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x1 = x2 = = xn
= 1
50) 3 x x 3 x
Tổng quát: bx c x px q với a ; b ; q ; p R & q 2 3 pb
x 1 1 x 2004
2 e x d
d x c b
ax với a;b;c;d;e là các hằng số cho trước
52)4 x 2 4 x 10 x 2 x 10
3 2 y x
1 y 3 2 x
3 3
54)
x 17 y y xy 8 x
49 xy 3 x
2 2
2 3
Trang 655)16 x 4 5 6 3 x 3 x
1 z
x 2 1
z z
1 y
z 2 1
y y
1 x
y 2 1
x x
3 2
3 2
3 2
57)3 x 1 35 x 3 x 9 3 x 3 0
3 2 1 3 2 1 3
3 3 3
2 2 3
1
1x b a x b a x b a a a x b b b
58)
2 x y
2 y x
3
3
Tổng quát: k N
2 x y
2 y x
3 k 3 k
59) x 2 x 1000 1 8000 x 1000
60)x 5 x 1 6
61) Tìm nghiệm dương của phương trình:
x
1 x 3 x
1 1 x
1 x x
62) x 4 x1 x2 4 1 x3 1 x 4 x 3 4 x 21 x
63)x 3 13 81 x 27
64)3 x1 3 x16 x2 1
65)2x 2 x 2 3 x 3 8
66)
0 27
z 27 z
9 x
0 27
y
2 7 y
9 z
0
2 7 x
27 x
9 y
2 3
2 3
2 3
67) 30 x x 2004 30060 x 1 1
2
15 2
68) x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
69)
2004 x
4 z
x 30
2004 z
4 y
z 30
2004 y
4 x
y 30
2 2 2
70) x 2 15 3 3 x 2 x 2 8
71) x 3 3 x 2 x 3 0
72)
0 8
z 12 z
6 x
0 8
y 12 y
6 z
0 8
x 12 x
6 y
2 3
2 3
2 3
73)3 x 2 x 2002 3 x 2 x 2003 3 x 2004 3 2003
74) x 3 1 3 3 3 x 1
75)x 2 x 2 x 2
Bài tập tương tự:
a)20 x 2 52 x 53 x 1
b) 18 x 2 17 x 8 1 x
c) 18 x 2 37 x 5 14 x 9
28
9
76)3x7 332 x2 3128 316 x3 1
77) Cho 0 a c d b ; a b c d
GPT: x a 2 x b 2 x c 2 x d 2
78)x 2 x 6 x 2 x 3 x 2 x 5
79)
x x
z z
2
z z
y y
2
y y
x x
2
2 2
80) x 2 x 19 x 2 x 13 13 x 2 17 x 7 3 3x 2
81) 4 x 2 x 1 x 2 y 2 y 3 4 x 4 16 5 y
82) x 2 x 816 x 2 10 x 267 2003
83)
1 xz yz xy
z
1 z 5 y
1 y 4 x
1 x
3
6
Trang 7Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
84)
2 2
2 2
x 1 x 21 y
y 1 y 21 x
85) 1 x2 x3 x
86) x2 x1 x2 x1m
Tìm m để phương trình có nghiệm
87) Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
a x x 8 x 4 x
88)
35 0 z
y x
10 z
y x
0 z y x
7 7
7
2 2
2
89)
2121 4
30 y 2001 x
2121 2001
y 4 30 x
90)3 2 x 2 1 1 x 1 x 8 2 x 2 1
91)2x 2 2 5 x 3 1 0
92)
8 xyz
4 xz
yz xy
2 z
y
93)
y 5 6 x 3 5 y
x
5 x 9 y x x
y x x
2 2 2 2
94)
6
5 1 x x
1 x x 1 x x
1 x x
2
2 2
2
606 z
1369 3
y
1 5 x
25
x 3
10 x
2
6
97)3 x 2 x 8 3 x 2 x 7 3 x 2 13 x 12 3
98) x 3 6 3 x 4 4 0
3
3 1 x
x2 4 2
100)
5
2 2 x
x 1
2
3
Trang 8HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT
1) ĐK: x 5
Chuyển vế rồi bình phương:
2
2
5x 14x 9 x 24x 5 10 x x 20 x 1
4x 10x 4 10 x 5 x 4 x 1
2x 5x 2 5 x 4x 5 x 4
2(x 4x 5) 3 x 4 5 x 4x 5 x 4
u= x 4x 5
v x 4
2)
2
x 3 x 3x 6x 18x 9 0
GPT : x 3x 6x 18x 9 0
x 3x x 1 9 x 1 0
Đặt: x- 1 = y
2
x 3x y 9y 0 2x 3y 3y 5
3) ĐK: x 0;x 5
Đặt x+5 = y 0 x y 5 2
2 2
PT y 10y 39y 250y 625 0
625 25
y 10 y 39 0
y y
4) ĐK: 2 x 4
x 2 4 x
2 6x 3x 2 27x 27 x
Áp dụng Bunhia: 4 x 2 4 4 x 2 2
x x y 2000y 1
y x y 500x 2
Nếu x = 0 y 0 0;0 là n o
8
Trang 9Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A
Nếu x 0.Rút x 2 y2 từ (1) thế vào (2) ta có:
y 0 2000y
y 500y
6) 5 27x10 x658640
Vì x = 0 không là nghiệm của pt nên chia cả 2 vế cho x6 ta được pt:
5 x
27 32 x
27 4 5 6
5 6
4
27
1 5 x
2
x
6 6
4 4 4 6
4
27
1 5 x
1 x
1 3
x 3
x 3
x x
2
x
7) x2 x1 x2 x1x2 x2
ĐK:
0 1 x x
0 1 x x
2 2
Áp dụng Cauchy:
2
2 x x 2
1 1 x x 1 x x
2
x x 2
1 1 x x 1 x
x
2 2
2
2 2
2
1 x 1 x x 1 x
x 2 2
Từ PT x 2 x 2 x 1
x 12 0
3 x
64 z
48 z
12
2 z
64 y
48 y
12
1 y
64 x
48 x
12
3 2
3 2
3 2
G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng
là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :
x = max{x; y; z}
Từ 12 x 2 48 x 64 12x 2 x 4 16 16
2 y 16
Tương tự x 2 ; z 2
Trừ (1) cho (3): y3 – x3 = 12(x2 – z2) – 48(x-z)
y3 – x3 = 12(x– z)(x+z-4)
VT 0 ; VT 0 Dấu “=” xảy ra xyz
9)
2 0 0 1 5
1 9
2 00 1 5
1 9
2 00 1 5
19
y y
1890 x
z
x x
1890 z
y
z z
1890 y
x
Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z
Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ( x; y; z) cũng là nghiệm của hệ
không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm Ví dụ:
x 0; y 0 Từ phương trình 1 z 0
Cộng từng vế phương trình ta có:
z20011890z x20011890x y20011890z z19z5 x19x5 y19y 5
Ta có: 0 t 1 t20011890t t 19t5
2000 18 4
t 1890 t t (đúng)
2001 19 5
t 1 t 1890t t t Thật vậy: t20011890 1 t 2000cô si2t1000
t18t4(đpcm) Vậy x = y = z
Trang 10Bài 10: + Nếu x < 0 từ 3 2z 1 0 z 1 y 1 x 1
Cộng 3 phương trình với nhau:
x 1 2 x 1 y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 0(*)
Với x 1; y 1;z 1 *
vô nghiệm
x 0; y 0;z 0
Gọi x; y;z là nghiệm của hệ phương trình, không mất tính tổng quát ta giả sử:
x max x;y;z
Trừ (1) cho (3) ta được:
2 x z y x x y xy x y 1
VT 0
VP 0
dấu " " x y z
Bài 11: PT x217x 630 x 283x 630 2001x 2
Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình chia 2 vế phương trình cho x2
Ta có: x 17 630 x 83 630 2001
Đặt: x 630 t
x
Bài 12: t/d: pt: x a 4x b 4 c
Đặt: y x a b
2
Bài 13: Đk: 0 x 1
PT 1 x 1 2x 12 (*)
+ x 1
2
là nghiệm pt (*)
+ 1 x 1
2 :
VP 1
VT 1
+ 0 x 1
2
: VT>1
VP<1
10
Trang 11Tuyển chọn 100 bài phương trình, hệ pt hay & khó lớp 10-NTP-Hoa Lư A