Sử dụng giảng đồ vecto kết hợp để giải nhanh 1 số bài toán về giao động điều hòa

Tuy nhiên trong phạm vi bài học, các tác giả chỉ giới thiệu cách biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa trên một giản đồ véc tơ.. + Với thời lượng dành cho giờ bài tập về dao động đ

1 – MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:

“Dao động cơ” là một phần rất quan trọng trong chương trình vật lí lớp

12, có mặt trong tất cả các đề thi THPT Quốc gia Môn vật lí được sử dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan Để có thể đạt kết quả cao với hình thức thi này thì thí sinh phải giải nhanh được những câu hỏi trong đề thi Vì vậy đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kĩ năng, nhất là những kĩ năng biểu diễn những đối tượng vật

lí bằng những mô hình trực quan

Để giúp học sinh biểu diễn về một đại lượng biến thiên điều hòa, sách giáo khoa đã đưa ra một mô hình trực quan đó chính là véc tơ quay Tuy nhiên trong phạm vi bài học, các tác giả chỉ giới thiệu cách biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa trên một giản đồ véc tơ Chính vì vậy học sinh đã gặp phải không ít khó khăn khi giải bài toán có nhiều đại lượng biến thiên điều hòa

Mặt khác trong thực tế giảng dạy tôi thấy khi đưa ra phương pháp giản đồ véc tơ để giải bài toán thì ban đầu học sinh thường "ngại" dùng hoặc với một số thì hiệu quả không cao Thực ra nếu biết khai thác triệt để những tính chất hình học (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi…các hệ thức lượng trong tam giác) trong các giản đồ véc tơ thì việc tính toán thường ngắn gọn và không phức tạp, giảm bớt được sự nhầm lẫn vì tránh được việc phải giải các phương trình hoặc hệ phương trình phức tạp, cồng kềnh

Đặc biệt với các bài toán đại lượng biến thiên điều hoà, nhiều độ lệch pha giữa các đại lượng, thì việc giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thường đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp đại số và tránh được sự nhầm lẫn về sự nhanh pha hay chậm pha giữa chúng

Sở dĩ học sinh còn chưa "mặn mà" với phương pháp này vì:

+ Ngày nay việc sử dụng máy tính với nhiều chức năng tính toán, có thể giải được cả phương trình bậc hai, hệ phương trình… hỗ trợ nhiều cho việc học của các em Tuy nhiên cũng dẫn đến một hệ quả không tốt là các em "lười" tính toán, suy luận logíc bị hạn chế Vì vậy nếu phải chọn lựa giữa việc lập các phương trình để giải và một bên là vẽ hình và khai thác triệt để hình để tính toán thì cách thứ nhất vẫn sẽ được ưu tiên hơn

+ Kiến thức hình học đối với các hình có thể xuất hiện trong giản đồ véc

tơ của các em nhiều chỗ bị "hổng" hoặc do không dùng thường xuyên nên quên,

vì vậy việc học sinh lớp 12 không biết tính đường chéo hình thoi hoặc phải dùng

1

đến định lý Pitago để tính đường chéo hình vuông là không ít Cùng với đó là sự mai một về hệ thức lượng trong tam giác, các kiến thức về véc tơ… khiến các

em gặp khó khăn

+ Với thời lượng dành cho giờ bài tập về dao động điều hòa như hiện nay nếu giáo viên không có sự chuẩn bị, định hướng trước cho các em nắm vững phương pháp véc tơ quay thì đến giờ bài tập dù không muốn giáo vên cũng đành

ưu tiên hơn cho phương pháp đại số vì nó cũng gắn liền với các biểu thức đã rút

ra được từ bài lí thuyết (mà thực chất cũng được xây dựng trên chính giản đồ véc tơ), hơn nữa lại được nhiều học sinh hưởng ứng hơn

Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên

“Sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp để giải nhanh một số bài toán về dao động điều hòa” để giới thiệu đến đồng nghiệp cách biểu diễn các đại lượng biến thiên

điều hòa trên cùng một giản đồ véc tơ và cách thức sử dụng giản đồ véc tơ này trong việc giảng dạy nhằm bồi dưỡng kĩ năng cho học sinh, giúp các em có thể thành công hơn trong kì thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này giúp học sinh có kĩ năng giải nhanh được những bài toán về dao động điều hòa liên quan đến sự biến thiên đồng thời của các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu cách biểu diễn đồng thời sự biến của li độ, vận tốc và gia tốc trên cùng một giản đồ véc tơ (gọi là giản đồ véc tơ kết hợp), qua đó so sánh hiệu quả của nó với cách giải theo phương pháp thông thường (biến đổi đại

số kết hợp với sử dụng giản đồ véc tơ biểu diễn một đại lượng)

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Tìm đọc, nghiên cứu, phân tích các tài liệu liên quan Rút kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy Từ đó xây dựng cơ sở lí luận của đề tài

- Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin: Khảo sát kiến thức, thu thập kết quả khảo sát trước và sau khi áp dụng đề tài cho nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm

- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Sử dụng phương pháp thống kê để xử lí

số liệu, so sánh kết quả thu thập được ở nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

2 – NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lí luận:

Việc biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa bằng một véc tơ quay là một việc làm cần thiết và sáng tạo bởi những lí do sau:

Thứ nhất: Biến thiên điều hòa là một biến thiên không đều, lúc tăng lúc

giảm về độ lớn, lúc có chiều (dấu) này, lúc có chiều (dấu) khác Người ta đã chọn vec tơ quay để biểu diễn nó, vì véc tơ quay đều theo một chiều nhất định nên chắc chắn việc giải quyết vấn đề về biến thiên điều hòa sẽ đơn giản hơn

Thứ hai: Dùng véc tơ quay làm mô hình trực quan biểu diễn một đại

lượng biến thiên điều hòa sẽ thuận tiện hơn là chúng ta dùng phương trình biểu diễn đại lượng đó theo thời gian Vì học sinh có thể quan sát đại lượng mà các

em biểu diễn trên hình vẽ

Để biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Chọn một trục tọa độ nằm ngang gọi

là trục chuẩn, quy định là chiều dương của trục tọa độ

là chiều từ trái sang phải

Bước 2: Vẽ một véc tơ có gốc tại O, chiều dài

bằng biên độ A của đại lượng x, góc tạo bởi và trục

chuẩn bằng góc

Bước 3: Cho vec tơ này quay quanh O trong mặt

phẳng hình vẽ theo chiều dương với tốc độ góc

không đổi (Xem H.1).

Có thể chứng minh rằng hình chiếu của véc tơ này lên trục chuẩn có biểu thức

Như vậy có thể dùng véc tơ quay để biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa Thông qua mô hình véc tơ này ta nhận thấy:

Thứ nhất: Hình chiếu của véc tơ quay lên trục chuẩn tại một thời điểm là

giá trị của đại lượng biến thiên điều hòa mà nó biểu diễn tại thời điểm ấy

Thứ hai: Góc tạo bởi véc tơ quay và trục chuẩn tại một thời điểm bằng

pha của đại lượng biến thiên điều hòa mà nó biểu diễn tại thời điểm ấy

Trên đây là cách biểu diễn đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian, cụ thể là li độ Những đại lượng biến thiên điều hòa khác như vận tốc, gia tốc …

3

A -A  A 

Hình 1

cũng có thể biểu diễn bằng giản đồ véc tơ quay một cách tương tự Và bài toán liên quan đến đại lượng ấy có thể được giải nhanh trên giản đồ véc tơ đó

Cái khó khăn của việc biểu diễn đại lượng biến thiên điều hòa bằng véc tơ quay là véc tơ phải quay mà ta chỉ có thể biểu diễn bằng mô hình tĩnh Để giải quyết khó khăn này thì đa số các thầy cô giáo đều hướng dẫn các học sinh nhớ những vị trí quan trọng đặc biệt của véc tơ Đó chính là những vị trí đặc biệt để pha có cosin đặc biệt

Pha

0

Giá trị

x

Bảng 1: Bảng các giá trị đặc biệt của đại lượng biến thiên điều hòa theo pha của nó.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài:

a Thực trạng

Phần lớn các thầy, cô giáo đều hướng dẫn học sinh biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa bằng véc tơ quay vì những thuận lợi của nó trong việc giải bài tập đã nêu ở trên

Hình 2: Các vị trí đặc biệt của véc tơ quay thể hiện giá trị của đại

lượng biến thiên điều hòa theo góc tạo bởi véc tơ và trục chuẩn.









/ 6



/ 3

 / 2



/ 6



 / 4



 / 3











2

A

2 2

A

2

A

2

A

2 2

A



3 2

A



0

A

/ 2





x

Chúng ta chỉ có thể biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa trên một giản đồ véc tơ mà thôi Nhưng trong dao động điều hòa không chỉ có li độ mà còn nhiều đại lượng khác cũng biến thiên điều hòa với cùng tần số góc với li độ chẳng hạn như vận tốc, gia tốc…Đồng ý rằng ta có thể biểu diễn vận tốc, gia tốc trên những giản đồ véc tơ của chúng và tiến hành giải toán giống như giải toán đối với li độ

Tuy nhiên nếu gặp bài toán mang tính phối hợp giữa các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa thì đa số các thầy, cô giáo hướng dẫn học sinh làm theo các bước sau:

Trước tiên dùng các công thức đại số quy đổi về một đại lượng duy nhất thường là li độ x, cụ thể là 2 công thức và

Sau đó biểu diễn trên giản đồ vec tơ biểu diễn li độ x để giải bài toán

b Hệ quả của thực trạng

Tôi thấy dùng cách trên có thể tìm được đáp án nhưng có những hạn chế đáng kể như sau:

Thứ nhất: Trong quá trình tính toán quy đổi các đại lượng cho nhau dễ bị

sai sót

Thứ hai: Quá trình đó mất nhiều thời gian và đôi khi rất phức tạp.

Điều đó khiến cho việc giải bài tập có liên quan đến sự phối hợp các đại lượng li

độ, vận tốc và gia tốc là một sự khó khăn đối với học sinh, các em ngại làm, làm lâu, làm không đúng, thậm chí bỏ qua, ảnh hưởng xấu đến kết quả bài thi

2.3 Giải pháp thực hiện:

Vì những lí do trên, tôi đã đưa ra một mô hình giản đồ véc tơ, trên đó có thể biểu diễn đồng thời các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa, tạm gọi là “giản đồ vec tơ kết hợp” để giải nhanh bài toán có liên quan đồng thời đến các đại lượng này

a Đơn giản hóa giản đồ véc tơ

Trước khi tìm hiểu về giản đồ véc tơ kết hợp

thì học sinh phải nắm được giản đồ véc tơ biểu diễn

một đại lượng biến thiên điều hòa Để rút ngắn thời

gian làm bài thì học sinh phải nhớ được những vị trí

5

Hình 3: Giản đồ véc tơ

rút gọn

đặc biệt trên giản đồ véc tơ như tôi đã trình bày ở phần cơ sở lí luận Điều này không mấy khó khăn vì nó tương tự như khi các em học ở phần lượng giác trong môn toán học Vì thế khi làm bài học sinh chỉ cần thể hiện giản đồ véc tơ như hình 3 gọi là giản đồ véc tơ rút gọn Sở dĩ gọi là “giản đồ véc tơ rút gọn” vì:

- Không cần ghi các thông số lên giản đồ này

- Trục chuẩn đã mặc định là nằm ngang nên ta cũng không cần thể hiện

- Dùng các kí hiệu “/ ” và “” để đánh dấu các vị trí đặc biệt

- Nên kẻ đường thẳng đứng để “căn” các góc cho chính xác

Khi chỉ vào một vị trí nào đó của véc tơ thì học sinh phải đọc được pha và giá trị của đại lượng mà véc tơ đó biểu diễn Nếu làm được vậy thì học sinh đã nắm được giản đồ véc tơ rút gọn

b Biểu diễn giản đồ véc tơ kết hợp

Được trình bày như hình 4, cần chú ý các đặc

điểm quan trọng sau:

- Giản đồ véc tơ này gồm ba trục tọa độ Ox; Ov; Oa

- Phần âm của trục Ov dùng nét đứt để dễ phân biệt

các trục tọa độ (khi xoay giản đồ trình bày ở phần

cách sử dụng).

Sở dĩ tôi biểu diễn được như vậy là dựa vào 2

luận điểm:

Thứ nhất: Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc biến thiên điều

hòa với cùng một tần số góc Vận tốc nhanh pha hơn li độ một lượng còn gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một lượng

Thứ hai: Độ dài của véc tơ quay có thể biểu diễn đồng thời biên độ của

cả ba đại lượng x, v, a bởi vì chúng khác nhau về đơn vị và ba đại lượng biểu diễn trên 3 trục tọa độ khác nhau

c Cách sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp

Khi mô tả một đại lượng biến thiên điều hòa nào thì véc tơ biểu diễn phải được chiếu lên trục chuẩn cũng là trục tọa độ biểu diễn đại lượng ấy Tuy nhiên

ta thường vẽ trục chuẩn nằm ngang vì thế tôi đưa ra phương án sau:

Khi cần mô tả đại lượng nào thì ta xoay hình vẽ sao cho trục biểu diễn đại lượng đó nằm ngang theo trục chuẩn.

Điều này cũng thuận lợi vì học sinh có thể xoay giấy nháp một cách dễ dàng Cụ thể được minh họa bởi hình 5:

Hình 4: Giản đồ vec

tơ kết hợp

Hình 5: Cách thức sử

dụng giản đồ véc tơ kết hợp để biểu diễn các đại lượng biến thiên điều hòa.

c Biện pháp tổ chức thực hiện:

Tôi đã áp dụng dạy phần dao động điều hòa bằng véc tơ quay này cho học sinh lớp 12, các bước tiến hành cụ thể như sau:

Thứ nhất: Phải cho học sinh hiểu và vận dụng thành thạo giản đồ véc tơ

đơn giản, tức giản đồ véc tơ biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa, để các

em có thể biết cách vẽ một giản đồ véc tơ và ghi nhớ được những vị trí đặc biệt

Thứ hai: Giới thiệu cho học sinh một bài toán về dao động điều hòa có sử

dụng sự phối hợp giữa hai đại lượng li độ x và vận tốc v, cụ thể là một số bài tập sau:

Bài tập 1: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A, chu kì T Hãy xác định khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi li độ có giá trị bằng một nửa biên độ đến khi vận tốc có giá trị bằng một nửa vận tốc cực đại của vật.

Tôi để cho học sinh tự giải bài toán này bằng những kiến thức đã học và

sử dụng véc tơ quay đã học (véc tơ biểu diễn một đại lượng) thì thấy đa số các học sinh làm theo các bước sau:

Đầu tiên học sinh vẽ khung giản đồ véc tơ quay

Sau đó biểu diễn các véc tơ ứng với khi x= A/2 là

các vec tơ và

Tiếp theo học sinh dùng công thức

tốc đang dương nên chỉ được phép biểu diễn các véc

tơ quay ứng với thời điểm này là các véc tơ phía

dưới trục chuẩn chính là các véc tơ và

7



M 1

O

M 2

N 1

N 2

Hình 6: Minh họa bài tập 1

với cách giải thông thường

a) Sử dụng để biểu diễn

li độ b) Sử dụng để biểu diễnvận tốc

c) Sử dụng để biểu diễn

gia tốc

Rồi các em nhìn vào giản đồ véc tơ rồi khẳng định rằng khoảng thời gian ngắn nhất mà bài toán yêu cầu là khoảng thời gian véc tơ biểu diễn li độ x quay

từ vị trí đến vị trí được một góc nghĩa là khoảng thời gian là

Thứ ba: Tôi hỏi học sinh có khó khăn gì trong quá trình giải bài toán này

thì học sinh trả lời rằng khó khăn ở chỗ: việc chuyển đổi vận tốc sang li độ mất nhiều thời gian Việc nhận ra các véc tơ quay ứng với giá trị của vận tốc âm là phía trên, dương là phía dưới dễ gây nhầm lẫn Chính điều này làm thời gian làm bài của học sinh tăng thêm rất nhiều, khả năng nhầm lẫn tăng cao

Thứ tư: Tôi chỉ ra rằng để khắc phục những nhược điểm trên thì ta hãy áp

dụng một giản đồ véc tơ có thể thể hiện được cả hai đại lượng li độ x và vận tốc

v thậm chí cả gia tốc a rồi giới thiệu cho học sinh mô hình mà tôi đã nêu trên

Một vấn đề học sinh đã biết vận tốc v sớm pha hơn li độ x một góc nhưng các em có thể bỡ ngỡ về vị trí các trục Ov và Ox Lúc này hãy giới thiệu cho học sinh cách sử dụng giản đồ này bằng cách xoay cho các trục lần lượt nằm ngang như tôi đã trình bày Sau đó biểu diễn thử một véc tơ ở vị trí nào đó rồi lần lượt xoay và vẽ các góc biểu diễn pha của x, v và a

Hình 7: Minh họa cách vẽ các góc pha của li độ, vận tốc và gia tốc

Học sinh sẽ thấy rõ:

nghiệm đúng về sự lệch pha của li độ x và vận tốc v

nghiệm đúng về sự lệch pha của vận tốc v và gia tốc a

Ngoài ra còn thấy rõ nghiệm đúng về sự lệch pha của li độ x và gia tốc a

Thứ năm: Tôi hướng dẫn học sinh giải bài tập 1 ở trên bằng cách sử dụng

giản đồ véc tơ kết hợp như sau:

a) Góc pha b) Góc pha c) Góc pha

x

Đầu tiên vẽ khung giản đồ véc tơ kết hợp.

Xác định vị trí các véc tơ mà x = A/2 với trục Ox nằm ngang là các véc tơ

và

Sau đó xác định vị trí véc tơ mà với trục Ov nằm ngang là các véc tơ và Từ đó thấy được góc quay nhỏ nhất là

Hình 8: Minh họa cách giải bài toán số 1 bẳng véc tơ kết hợp

Thứ sáu: Học sinh khẳng định cách giải dùng giản đồ véc tơ kết hợp

nhanh hơn vì giảm được các bước chuyển đổi từ các đại lượng khác sang li độ Tôi chỉ ra rằng dùng loại giản đồ này giải được nhiều bài toán có hiệu quả về mặt thời gian làm bài và hướng dẫn thêm cho học sinh một vài bài tập khác Đặc biệt là bài tập sau:

Bài tập 2: Trong một dao động điều hòa có chu kì dao động là T Hãy xác định khoảng thời gian trong một chu kì mà li độ có giá trị chưa vượt qua A/2, đồng thời vận tốc có giá trị chưa vượt qua nhưng gia tốc không bé

Ở đây tôi chỉ trình bày cách giải có sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp

Đầu tiên xoay trục Ox nằm ngang gạch bỏ cung tròn

thể hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn li độ làm

cho li độ lớn hơn A/2

Sau đó xoay trục Ov nằm ngang gạch bỏ cung tròn thể

hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn vận tốc làm vận

tốc độ lớn hơn

9

M 1

M 2

O

N 1

N 2



Sau đó xoay trục Oa nằm ngang gạch bỏ cung tròn

thể hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn gia tốc làm

gia tốc độ nhỏ hơn

Cuối cùng chúng ta chỉ còn một cung tròn chưa bị

gạch có giá trị nghĩa là ứng với khoảng thời gian

T/4

2.4 Hiệu quả của đề tài:

a Phương pháp kiểm nghiệm hiệu quả:

Tôi đã vận dụng mô hình giản đồ véc tơ này cho học sinh lớp 12A1 Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2017 – 2018 và thu được các kết quả khả quan

Để kiểm chứng kết quả đạt được tôi đã tiến hành như sau:

Thứ nhất: Chọn hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 5 học sinh tương đương

nhau về học lực

- Nhóm thứ nhất là nhóm thực nghiệm, tôi tiến hành dạy cho các em mô hình giản đồ véc tơ kết hợp

- Nhóm thứ hai là nhóm đối chứng, tôi chưa dạy cho các em giản đồ véc tơ kết hợp

Cả hai nhóm đã sử dụng thành thạo giản đồ véc tơ đơn giản (biểu diễn một đại lượng) Để có thể nhận biết hai nhóm có lực học tương tương như nhau thì tôi dựa vào điểm khảo sát chất lượng môn vật lí đầu năm và quá trình theo dõi học tập của các em

Danh sách học sinh các nhóm:

Nhóm thực nghiệm:

Hình 9: Minh họa các bước

giải bài toán số 2