Phát triển một số dạng toán lớp 7 từ dãy tỉ số bằng nhau

MỤC LỤC TT Đề mục Trang MỞ ĐẦU 2 Lí chọn đê tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm SKKN NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận SKKN Thực trạng vấn đề 10 Các giải pháp để giải vấn đề 11 Hiệu SKKN 20 12 21 KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ 13 Kết luân 21 14 1.1 21 Kiến nghị 15 Tài lieu tham khảo 22 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học chương trình THCS nói chung coi mơn khoa học Với vai trò mơn học cơng cụ, mơn Tốn góp phần tạo điều kiện cho em học sinh học tốt môn khoa học khác Đặc biệt chương trình mơn Tốn lớp tốn tỉ lệ thức dãy tỉ số dạng tốn bản, em khơng gặp dạng tốn chương trình tốn học THCS mà nhiều mơn học khác Vật lí, Hóa hoc, Địa lí… Trong thực tế giảng dạy vận dạng tốn vào thực tiễn thiếu tính đa dạng đôi lúc khiến học sinh thường ngộ nhận vấp phải nhiều sai sót đáng tiếc Mặt khác hệ thống tập vừa đa dạng, vừa phong phú đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ kiến thức bản, phương pháp phân tích hợp lí để tìm lời giải cho tốn Vì việc hướng dẫn học sinh cách phân tích, khai thác hướng tìm lời giải cho tốn, dạng tốn quan trọng Từ khơi dậy hứng thú học tập cho học sinh học toán, giúp học sinh học tự tin, hào hứng, đạt kết tốt Trong xu đổi giáo dục, đổi phương pháp dạy học đòi hỏi người dạy tốn khơng dạy kiến thức SGK, hướng dẫn cho HS giải tập cụ thể mà phải hướng dẫn cho em nắm cách giải dạng toán, cách phát triển toán từ toán gốc hay phát triển dạng tốn theo mảng kiến thúc Nếu làm tốt điều cho HS thấy việc học toán giải toán trở nên thú vị nhiều Trong năm học vừa qua thân giao nhiệm vụ giảng dạy mơn tốn bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi trường Tôi tích cực tự bồi dưỡng, xây dựng hướng dạy học cho em học sinh cách vận dụng khai thác toán, dạng toán để giải tập từ đến nâng cao đem lại kết tốt Vì lí mà chọn đề tài “Phát triển số dạng toán đại số từ tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau” Với mực đích chia sẻ trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp Mặc dù cố gắng song đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp, chun mơn góp ý 1.2 Mục đích nghiên cứu Bằng cách xây dựng hệ thống số dạng toán sách giáo khoa “Đại số 7” tỉ lệ thức dãy tỉ số Từ phát triển lên tốn khó nhằm phát triển tư duy, khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh tự tin, hào hứng, đạt kết tốt học toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 7A đơn vị cơng tác hai khóa học giảng dạy - Thời gian thực hiện: Các năm học: 2014 – 2015 2018 – 2019 - Chương trình tốn học lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp trình bầy lí thuyết SGK đại số xây dựng hệ thống tập SGK, SBT loại sách tham khảo, từ tổng hợp phân loại dạng tập nhiều mức độ khác nhau, có liên quan với để xây dựng đề tài - Khảo sát chất lượng học sinh trước sau triển khai đề tài dạng kiểm tra kiến thức trắc nghiệm tâm lí đề tài để lấy kết phân tích, thu thập thông tin mức độ, từ thống kê, so sánh rút kết luận 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy khai thác kiến thức thân tơi nhận thấy có nhiều học sinh chăm chỉ, thuộc lí thuyết giải tốn thụ động thiếu niềm tin, nghĩ yếu tố định đến kết học tập học sinh phương pháp “ Phương pháp dạy thầy phương pháp học trò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học phát triển tốn từ tốn Đây điểm đề tài NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Hiện nay, thực chương trình cải cách giáo dục với nội dung kiến thức ngày nâng cao Đòi hỏi học sinh khơng nắm vững kiến thức mà phải vận dụng, khai thác phát triển tốt tập thực tiễn Rèn luyện khả suy luận lơgic, khả quan sát dự đốn, phát triển trí tưởng tượng, luyện kĩ sử dụng ngơn ngữ xác Bồi dưỡng phẩm chất tư như: linh hoạt, độc lập sáng tạo Trong chương trình tốn học THCS nói chung phân mơn có dạng tốn riêng, kèm với phương pháp giải riêng Chính mà người dạy lẫn người học phải có phương pháp nghiên cứu cách hợp lí có kết tốt Khi giải tập tốn học khơng đòi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng công thức mà phải đào sâu khai thác, phát triển toán để tổng qt hóa dạng tốn Để đạt mục tiêu đó, thầy giáo cần trang bị cho học sinh khơng có kiến thức, kĩ làm tập mà phải khơi dậy em lòng say mê, tính tích cực, tự giác học tập Đây vấn đề Nhưng làm để đạt mục tiêu không dễ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Có thực trạng dễ nhận thấy học sinh học toán phần lớn đầu tư vào việc giải hết toán đến toán khó khác mà chưa tìm cho minh phương pháp nâng cao lực học toán Mặt khác tiết tập thường có thầy số học sinh giỏi hoạt động tích cực lại tham gia cách thụ động, phải em thiếu niềm tin, kiến thức kỹ học toán Qua quan sát theo dõi thân tơi nhận thấy có nhiều học sinh chăm chỉ, lí thuyết thuộc lòng giải tốn thụ động thiếu niềm tin, thân nghĩ yếu tố định đến kết học học sinh phương pháp “ Phương pháp dạy thầy phương pháp học trò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học toán trước dạy toán, cách vận dụng kiến thức, khai thác toán từ toán gốc… Trong Toán học bao gồm nhiều nội dung, nhiều dạng toán khác nhau, dạng tốn khơng liên quan với nhau, liên quan, liện quan mật thiết với song học sinh khó nhận điều Đặc biệt toán chứng minh, tính giá trị biểu thức… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề A - CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Lý thuyết học sinh cần nắm Tính chất tỉ lệ thức: 1.1 a c ⇔ ad = bc = b d 1.2 Từ tỉ lệ thức (b; d ≠ 0) a c = ta suy tỉ lệ thức sau: b d a b d c d b = ; = ; = c d b a c a (với a; b; c; d khác 0) Như với a; b; c; d khác từ năm đẳng thức nêu ta suy đẳng thức lại ad = bc a c = b d a d = c d Tính chất dãy tỷ số a c = ta suy b d a a+c = (b + d ≠ 0) b b+d a a−c = (b – d ≠ 0) b b−d Từ (2 1) (2 2) d c = b a d b = c a a c e * Mở rộng từ dãy tỉ số b = d = f ta suy a c e a+c+e a−c+e = = = = b d f b+d + f b−d + f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) 3.Tính chất phân số a a.m = b b.m Với m ≠ a a:n = với n ước chung a;b b b:n 4.Tính chất lũy thừa Nếu a = b => an = bn với n ∈ N B CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Thông qua việc nghiên cứu giảng dạy mơn tốn tốn tỉ lệ thức dãy tỉ số sách giáo khoa, sách tham khảo tiến hành phân loại thành số dạng đại số hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức có liên quan cần thiết để giải phát triển dạng toán Sau số dạng toán phát triển theo hướng trên: DẠNG CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC * Bài toán Bài toán Cho a c a+c a−c = Chứng minh = b d b+d b−d Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh xuất tổng hiệu số hạng số hạng + Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng (1.2); (3.1) (2.1) Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số Ta có: a c a+c = = b d b+d (1) a c a−c = = b d b−d (2) Từ (1) (2) ta có a+c a−c = b+d b−d ( ĐPCM) Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức để tính: Đặt a c = = k => a =kb; c = kd b d Ta có: a + c kb + kd k (b + d ) = = =k b+d b+d b+d (3) a − c kb − kd k (b − d ) = =k = b−d b−d b−d Từ (3) (4) ta có a+c a−c = b+d b−d (4) ( ĐPCM) Bài toán Chứng minh a2 = bc (với a ≠ b a ≠ c; a,b,c ≠ 0) Thì a+b c+a = a−b c−a (*) * Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm hướng giải tốn theo hướng phân tích Hướng giải Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức: a b = = k = >a = ck ; b = ak c a Đặt Ta có: a + b ck + ak c + a = = ( ĐPCM) a − b ck − ak c − a Cách 2: Dùng cách biến đổi tương đương: Từ a2 = bc => 2a2 = 2bc => a2 + a2 = bc + bc => a2 – bc = bc – a2 => ac – ab + a2 – bc = ac – ab + bc – a2 => (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab) => c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) => (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) => a+b c+a = ( ĐPCM) a−b c−a Bài toán Chứng minh từ tỉ lệ thức Ta suy tỉ lệ thức a c = b d ( a ± b ≠ 0; c ± d ≠ 0; a, b, c, d ≠ 0) a+b c+d = a−b c−d * Từ cách phân tích GV cho học sinh tự tìm lời giải Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Từ a c a b = => = (vì c; d ≠ 0) b d c d a b a+b a−b = = = (vì c + d ≠ 0; c – d ≠ 0) c d c+d c−d Từ a+b a −b a+b c+d ⇒ = = ( ĐPCM) c+d c−d a−b c−d Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức a c = = k = >a = bk ; c = dk b d Đặt a+b bk + b b(k + 1) k +1 c + d dk + d d (k + 1) k + = = = c − d dk − d d (k − 1) k − (**) Ta có: a − b = bk − b = b(k − 1) = k − (k ≠ a ≠ b) Từ (*) (**) => Cách 3: Từ a+b c+d = ( ĐPCM) a−b c−d a c = = >ad = bc = >2bc = 2ad b d => bc – ad = ad - bc => ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc => (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) => c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) => (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) => a+b c+d = ( ĐPCM) a−b c−d Bài toán Cho a c = Chứng minh b d ( a + b )( c − d ) = ( a − b )( c + d ) Hướng giải Phát triển từ cách giải toán ta chứng minh được: a+b c+d ⇒ ( a + b )( c − d ) = ( a − b )( c + d ) = a−b c−d Bài toán Cho a c 2a + 3c 2b − 3c = Chứng minh = b d 2a + 3d 2b − 3d * Phân tích: + Ta thấy dấu hiệu chứng minh giống tập nêu , điểm khác xuất hiện: 2a, 2b, 3c, 3d + Để đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất biểu thức… + Để xuất biểu thức cần áp dụng tính chất phân số a a.m = với m ≠ b b.m Hướng giải Cách Từ a c a c 2a 3c ⇒ = = = = b d b d 2b 3d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a c 2a 3c 2a + 3c = = = = b d 2b 3d 2b + 3d (1) a c 2a 3c 2a − 3c = = = = b d 2b 3d 2b − 3d (2) Từ (1) (2) suy ta 2a + 3c 2b − 3c = ( ĐPCM) 2a + 3d 2b − 3d Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức Đặt a c = = k Thực cách toán b d * Bài toán phát triển Cho a c = Chứng minh : b d a b = a+c b+d a+b a −b = c+d c−d b a−b = d c−d a−b c−d = b d (b – d)c = (a – c)d 11a + 3b 3a − 11b = 11c + 3d 3c − 11d 2a + 3b)(4c – 3d) = (4a – 3b)(4c + 3d) 2003a − 2004b 2003a + 2004b = 2003c − 2004d 2003c + 2004d (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài tốn a c a2 + c2 a2 − c2 = = Cho Chứng minh b d b + d b2 − d Khi gặp tốn dạng tâm lí học sinh thường cảm thấy sợ, giáo viên hướng dẫn học sinh cách quan sát, nhận định thực chất dạng tập nêu * Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh có dạng toán toán xuất thêm bình phương ta phải làm để xuất lũy thừa Hướng giải Cách 1: Từ a c a c a2 c2 ⇒ ( )2 = ( )2 = = = b d b d b d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a2 c2 a2 + c2 a2 − c2 = = Do đó: = ( ĐPCM) b d2 b + d b2 − d * Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải a c a2 c2 = Ta có: = = ( Suy luận sai) b d b d a c a2 c2 Suy luận : = ⇒ = b d b d a c Cách 2: Đặt = = k Thực cách giải b d * Giáo viên mở rộng, phát triển tập dạng sau: Bài toán Cho a c = Chứng minh b d a3 + b3 a − b3 = c3 + d c3 − d Hướng giải Tương tự cách giải: Cách 1: Từ a c a c a3 c3 a3 b3 ⇒ ( ) = ( ) = = => = = b d b d b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a3 b3 a3 + b3 a3 − b3 = = = ( ĐPCM) c3 d c3 + d c3 − d a c Đặt = = k => …… b d Do đó: Cách 2: * Nhận xét: Qua cách phát triển tốn tốn thấy việc chứng minh đẳng thức với lũy thừa điều khơng quan trọng • Bài toán phát triển a c = Chứng minh b d ( a + b) a + b = (c + d ) c + d a 10 + b10 a 10 + d 10 = (a + b)10 (c + d )10 (a − c) n a n = (c − d ) n b n (a + b ) ( a + b ) = ( c + d ) (c + d ) Cho 3a + 5ab 3c + 5ac = a − 10b 7c − 10d ka n + mb n kc n + md n = pa n − qb n pc n − qd n (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài tốn a2 + b2 a a b = Cho = Chúng minh rằng: 2 b +c c b c * Lưu ý : Để giải tốn đòi hỏi học sinh có bước suy luận cao hơn, khơng dập khn máy móc mà phải chọn lọc tinh tế bước biến đổi từ tính chất tỉ lệ thức để có cách giải phù hợp Hướng giải Cách 1: Sử dụng tính chất thay thế, biến đổi ta có lời giải sau: Từ: a b ⇒ b2 = ac Thay vào vế trái ta có: = b c a + b a + ac a (a + c ) a = = = (đpcm) b + c ac + c c( a + c) c Cách 2: Vận dụng tính chất đơn điệu phép nhân (lũy thừa) đẳng thức đẳng thức ta có lời giả sau: a b a a b b a2 b2 a2 + b2 = → ⋅ = ⋅ = = = (1) b c b b c c b c b + c2 Mà: a b a2 a2 a = → b = ac → = = (2) b c b ac c Từ (1) (2) → a2 + b2 a = (đpcm) 2 b +c c GV: Tương tự ta phát triển cách giải toán sau Bài toán Cho a c a + c ac = Chứng minh = b d b + d bd Phân tích: + Ta thấy đẳng thức cần chứng minh khơng xuất tổng lũy thừa mà xuất tích ac; bd, ta phải vận dụng linh hoạt tỉ lệ thức dãy tỉ số bàng + Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng (1.1);(2.1) (3.1) Hướng giải Cách 1: Tính chất mở rộng tỉ lệ thức 10 Từ a c a c a a a c ac ⇒ ( )2 = ( )2 = = = = b d b d b b b d bd ac a2 c2 Do đó: = = bd b d (1) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có a2 c2 a2 + c2 = = b2 d b2 + d Từ (1) (2) suy (2) ac a2 + c2 = ( ĐPCM) 2 bd b +d Cách 2: Tính giá trị biểu thức Đặt a c = = k a = kb, c = kd b d Ta có: ac kb.kd = = k2 bd bd (1) a2 + c2 (kb) + (kd ) k (b + d ) = = = k2 2 2 2 b +d b +d b +d ac a2 + c2 Từ (1) (2) suy = ( ĐPCM) bd b +d Cách 3: Biến đổi tương đương Xét tích ac( b2 + d2) bd(a2 + c2) Ta có: ac( b2 + d2) = ab2c + acd2 = ab.bc + ac.cd (1) bd(a2 + c2) = a2bd + bc2d = ab.bd + bc.cd (2) So sánh (1) (2) y ad = bc ( a c = ) b d Suy ra: ac( b2 + d2) = bd(a2 + c2) Do đó: ac a2 + c2 = ( ĐPCM) 2 bd b +d Bài toán 10 Cho: a b c a  a+b+c = = Chứng minh:   = b c d d b+c+d  Hướng giải Ta có: 11 a b c a = (1) ; b c d d a b c a+b+c = = = (2) b c d b+c+a a  a+b+c Từ (1) (2) =>   = d b+c+d  * Bài toán phát triển Cho a c = Chứng minh b d 4a + 5b a 2c = 2 4c + d b d (a − c ) 2016 a 2016 = (c − d ) 2016 b 2016 ( a − b) (c − d ) = ab cd (a + b) ab = (c + d ) cd (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Bài tốn 11: Cho a, b, c thỏa mãn a b c = = 2008 2009 2010 Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*) * Phân tích: - Bài toán cho xuất dãy tỉ số - Dấu hiệu kiến thức cần vận dụng tính chất dãy tỉ số - Làm để xuất thành phần a – b; b – c; c – a? - Từ GV định hướng học sinh tìm lời giải Hướng giải Cách 1: Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a−b b−c c−a = = = = = 2008 2009 2010 2008 − 2009 2009 − 2010 2010 − 2008 a−b b−c c−a (a − b) (b − c)  c − a  = = => = =>  −1 −1 −1 −1   => (a-b) (b-c) = (c-a)2 Cách 2: Dùng cách tính giá trị biểu thức Đặt a b c = = =k 2008 2009 2010 => a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k Ta có: 4(a – b) ( b- c) = (2008k – 2009k) (2009k – 2010k) = 4.(-k) (-k) = 4k2 12 => ( a – b) (b – c) = 4k2 (1) (c – a)2 = (2010k – 2008k)2 = (2k)2 = 4k2 (2) Từ (1) (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2 GV: Ta thấy (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c) Để chứng minh (*) ta biểu diễn 2b qua a + c nào? Cách 3: Từ giả thiết ta có: a b c a+c a+c 2b = = = = = = >2b = a + c 2008 2009 2010 2008 + 2010 4018 4018 = (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) = (2a – a – c) (a + c – 2c) = (a-c) (a –c) = (a – c)2 * Nhận xét: Trong q trình triển khai dạng tốn qua khảo sát cho thấy học sinh hứng thú học tập mong đợi làm tập dạng, kết mang lại khả quan * Kết luận: Thơng qua tốn thấy việc giải phát triển qua làm cho học sinh tự tin, chủ động hứng thú trình làm tập, từ cho thấy học tốn, giải tốn chứng minh đẳng thức sử dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số với học sinh khơng khó DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC • Bài toán Bài toán 12 Cho a b c = = với a,b,c ≠ a + b + c ≠ So sánh số a, b, c b c a Phân tích Dấu hiệu toán cho dãy tỉ số Vận dụng tính chất dãy tỉ số để giải Hướng giải Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có a b c a+b+c = = = =1 (Do a + b + c ≠ ) b c a a+b+c ⇒ a = b; b = c; c = a ⇒ a = b = c *Lưu ý: Lỗi sai phần lớn kiến thúc chưa khẳng định a + b + c ≠ Cách 2: Đặt a b c = = =k b c a => a = k.b ; b = c.k ; c = a.k => a.b.c = (bk) (c.k) (a.k) = abc k3 => k3 = (do a.b.c ≠ 0) => k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c 13 Cách 3: Đặt a b c = = = k => a=bk; b = ck; c = ak b c a => a=bk = (c.k).k = [(ak).(k)].k = ak3 => k3 = (vì a ≠ 0) => k = => a = b = c Cách 4: a b c a b c abc = = = k => k3 = = = = = (vì a.b.c ≠ 0) b c a b c a abc => k = => a = b = c Bài toán 13 x y z Cho y = z = x , x + y + z ≠ x; y; z số khác Tính A = x 3333 y 6666 z 9999 * Phân tích - Dấu hiệu cho xuất dãy tỉ số lũy thừa là: 3333 + 6666 = 9999 Nếu x = y = z thi đến kết - Kiến thức vận dụng ? Bài tốn số 12 hương giải Hướng giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x+ y+z = = = =1 (Do x + y + z ≠ ) y z x x+ y+z ⇒ x = y; y = z; z = x ⇒ x = y = z Đặt x = y = z = k ≠ Khi đó: A = x 3333 y 6666 k 3333 k 6666 k 9999 = = =1 z 9999 k 9999 k 9999 * Ta phát triển tốn thành toán sau: Bài toán 14 Cho xz = y ; xy = z , x + y + z ≠ x; y; z số khác y 3333 Tính giá trị biểu thức: P = 1111 2222 x z Hướng giải x y y z Ta có: xz = y ⇒ y = z (1) xy = z ⇒ = (2) z x Từ (1) (2) x y z = = y z x ⇒ Áp dụng cách giải tốn số 13 ta có: x = y = z Vậy: P = Bài toán 15 Cho yz = x ; xz = y ; x + y + z ≠ x; y; z số khác Tính giá trị biểu thức: ( x + y + z ) 999 B = 222 333 444 x y z Hướng giải Áp dụng cách giải toán số 12 ta có: x = y = z Đặt x = y = z = k ≠ Vậy: B = (k + k + k ) 999 (3.k ) 999 = = 999 k 222 k 333 k 444 k 999 * Bài toán phát triển 14 a a a a n −1 n 1.Cho a = a = = a = a ; (a1a a n ≠ 0) n Chứng minh rằng: a1 = a2 = =an a b c = = a = 2008 Tính b; c? b c a a b c Cho = = ; a + b + c ≠ a; b; c số khác b c a a 1060 b1940 Tính A = c 3000 Cho Cho b2 = ac ; c2 = ab Chứng minh (30a + 4b + 1975c)2008 = 20092008a2007 a a a a a n −1 n Cho a = a = a = = a = a n Tính giá trị biểu thức M = (a1 + a + + a n ) 2 2 a1 + 2a + 3a3 + + na n (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nhận xét: Thơng qua tốn thấy việc giải phát triển qua làm cho học sinh tự tin, chủ động hứng thú q trình giải tốn DẠNG TÌM CÁC SỐ BIẾT TỔNG, HIỆU HOẶC TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG * Bài toán Bài tốn 16: Tìm số x ; y biết • Phân tích: x y = x + y = 10 Từ giả thiết x + y = 10 tỉ lệ thức x y = gợi cho em lien tưởng đến mảng kiến thức nào? Hướng giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được: x y x+ y 10 = = = =2 2+3 => x = 2.2 = ; y = 2.3 = * Để khắc sâu phát huy tính sáng tạo học sinh giáo viên phát triển tập tương tự Bài tốn 17 Tìm x ; y ; z biết x y z = = 5x + y – 2z = 28 10 21 * Gợi ý: Ở này, để áp dụng cách giải toán 16 ta làm ? Hướng giải Từ giả thiết: x y z x y z x + y + z 28 = = = = = = = =2 10 21 50 42 50 + − 42 14 => x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42 15 * Từ giáo viên phát triển tập sau: Bài tốn 18 Tìm x ; y ; z biết: 3x = 2y; 7y = 5z x – y + z = 32 Hướng giải Câu hỏi tình huống: Làm để xuất dãy tỉ số ? Từ Từ x 3x = y = > = z y = 5z = > = y x y => =  x y z 10 15  = => = y z y 10 15 21 => =  21 15  Từ sử dụng cách giải tốn 17 Bài tốn 19 Tìm số x ; y biết x y = x2 + y2 = 100 Hướng giải x y x y x y2 x + y 100 = = = = =4 Từ: => => = 14 14 + 14 25 => x = 4.9 = 36 => x = ± ; y = 4.16 = 64 => y = ± 2 + Nếu x = => y = + Nếu x = -6 => y = -8 Bài toán 20 Cho: a −1 b + c − = = 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c Hướng giải Cách a − b + c − 5(a − 1) − 3(b + 3) − 4(c − 5) 5a − 3b − 4c − − + 20 = = = = = = −2 = 10 − 12 − 24 10 − 12 − 24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : Dùng phương pháp thay Đặt : a −1 b + c − = = = t ; Sau rút a, b, c theo t thay biêu thức tìm t = -2, từ timg a, b, c Bài tốn 21: Tìm x; y; z biết y + z +1 x + z + x + y − = = = x y x x+ y+z Hướng giải * Điều kiện: x; y; z ≠ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có VT y + z +1 x + z + x + y −3 y + z +1+ x + z + + x + y −3 = = = x y z x+ y+z 2( x + y + z ) = x + y + z = Do x + y + z ≠ 1 ⇒ = ⇒ x + y + z = = 0.5 x+ y+z => x + y = 0.5 – z; 16 y + z = 0.5 – x; x + z = 0.5 – y Thay giá trị vào dãy tỉ số ta y + z +1 0,5 − x + =2→ = ⇔ 0.5 – x + = 2x ⇔ x = 0.5 x x x+z+2 0,5 − y + =2⇒ = ⇔ 0.5 – y + = 2y ⇔ y = y y x+ y−3 0,5 − z − =2⇒ = ⇔ 0.5 – z - = 2z ⇔ z = z z 5 Vây: (x; y; z) = (0.5; ; - ) 6 * Theo tinh thần giáo viên tiếp tục thể phát triển lên dạng tập * Bài tốn phát triển Tìm x ; y ; z biết 2x 3y 4z = = x + y + z = 49 x −1 y − z − = = 2x + 3y – z = 50 4x = 5y 3x – 2y = 30 3x = 2y x − y = 37 3x = 2y (x+y)3 – (x-y)3 = 126 x y z y + z + = x + z + = x + y − = x + y + z Bài tốn 22 : Bài tốn Tìm x, y biết Từ x y = (1) x.y = 90 x y = làm để xuất dãy tỉ số có thành phần (xy)? từ giúp học sinh định hướng cách giải Hướng giải Cách 1: Dùng phương pháp tính giá trị dãy số để tính ta có lời giải sau Đặt x y = = k = > x = 2k ; y = 5k => 90 = xy = (2k) (5k) = 10k2 => k2 = 90 : 10 = => k = ± + Nếu k = => x = 2k = => y = 5k = 15 + Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 Cách 2: Sử dụng tính chất phép nhân ta có lời giải sau giải Từ: xy = 90 => x ≠ Nhân vế (1) với x ta có: x xy 90 = = = 18 5 = > x = 2.18 = 36 = > x = ±6 y + Nếu x = => = = > y = 15 −6 y = = > y = −15 + Nếu x = -6 => Cách 3: Tính chất mở rộng tỉ lệ thức ta có lời giải sau: 17 x y x y xy 90 x = = >  = = = = => x = 36 5 10 10 2 + Nếu x = => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 *Lưu ý: Lỗi suy luận sai học sinh hay mắc phải Ta có: a c a.c = = ( Suy luận sai) b d b.d Cách 4: Sử dụng phương pháp thay ta có lời giải sau: x y 5x = = >y = 5x 5x = >5 x = 90.2 => 90 = xy = x = 2 90.2 = 36 = > x = ±6 => x2 = Từ + Nếu x = => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 * Lưu ý: Ở toán kết luận: x = ± ; y = ± 15 sai * Bài toán phát triển Tìm x; y biết: 2x = 3y xy = 24 5x = 2z; 5y = 3z xyz = 810 x y = x.y2 = 96 x y = x2.y = 96 −2 * Nhận xét: Từ việc giải phát triển toán SGK lên tập nâng cao cách tự nhiên làm cho học sinh quên minh giải dạng toán mà trước coi khó, cách nâng cao lực học toán học sinh DẠNG CHIA MỘT SỐ THÀNH CÁC PHẦN TỈ LỆ VỚI CÁC SỐ CHO TRƯỚC Bài toán 23: Bài toán Chia số 30 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 5; Tính giá trị phần * Phân tích * Gợi ý: Để tìm lời giải cho tốn tơi đưa nhận xét xem liệu có cách đưa giá trị cần tìm lập thành biểu thức để xuất áp dụng tính chất dãy tỉ số không ? Suy nghỉ đến tính chất đại lượng tỉ lệ thuận Hướng giải Gọi giá trị cỉa số phải tìm x; y; z x y z = = x + y + z = 30 x y z x + y + z 30 = Từ ta có: = = = =2 + + 15 Theo đề ta có: 18 ⇒ x = ; y = 10; z = 12 • Để khắc sâu phát huy tính sáng tạo học sinh giáo viên phát triển tập tương tự sau: Bài toán 24: Chia số 130 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 4; 3; Tính giá trị phần * Gợi ý: Tương tự ta nghĩ đến tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch Hướng giải Gọi giá trị cỉa số phải tìm x; y; z ≠ Theo đề ta có: 4x = 3y = 2z x + y + z = 30 Từ: 4x = 3y = 2z => x y z x + y + z 130 = = = = = 10 + + 13 ⇒ x = 30 ; y = 40; z = 60 Bài tốn 25 Tam giác ABC có số đo góc A; B; C tỉ lệ thuận với 3; 5; Tính số đo góc Hướng giải Theo điều kiện đàu ta có: Từ ta có: A B C = = A + B + C = 180 A B C A + B + C 180 = = = = 12 = 3+5+ 15 ⇒ A = 36 ; B = 60; C = 84 Vậy: ∠ A = 360; ∠ B = 600; ∠ C = 840 Bài toán 26: Một hợp tác xã chia 1500kg thóc cho ba đội sản xuất tỉ lệ với số người đội Biết số người đội thứ hai trung bình cộng số người đội thứ đội thứ ba Đội thứ nhận nhiều đội thứ ba 300kg Hỏi đội nhận thóc ? * Phân tích: Bài tốn có hai đại lượng chưa biết số thóc số người, đầu hỏi số thọc đội ý đặc điểm số thóc tỉ lệ với số người đơi GV: Có cách để đưa toán tỉ lệ thức dãy tỉ số hay không ? Ta phải làm nào? Hướng giải Gọi x; y; z số thóc đội thứ nhất, thứ 2, thứ ( x; y; z > 0, tính kg) Theo đề ta có: x + y + z = 1500 (1) x – y = 300 Vì số thóc tỉ lệ với số người nên theo đề ta có: x + z = 2y 19 (3) (2) Từ (1) (3) ta suy ra: 3y = 1500 ⇒ y = 500 Từ suy ra: x + z = 1000 (4) Từ (2) (4) ta suy ra: x = 650; y = 350 Vậy: Đội thứ nhận 650kg thóc, đội thứ hai nhận 500kg thóc đội thứ hai nhận 350 kg thóc * Bài tốn phát triển Chia số 210 thành ba phần tỉ lệ thuận với 4; 7; 10 Tính giá trị phần Chia số 190 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 4; 10 Tính giá trị phần Tìm ba số x; y; z biết x + y + z = 28; x y tỉ lệ thuận với 9; y z tỉ lệ thuận với Tìm ba số x; y; z biết a + b + c = 38; a b tỉ lệ thuận với 3; b c tỉ lệ nghịch với * Nhận xét: Với tinh thần mục tiểu mà đề tài nghiên cứu từ toán giáo viên tổng hợp dạng tập nâng dần mức độ, tổ chức học sinh chủ động khám phá thấy việc giải tốn khơng nhiệm vụ người học mà niềm vui 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi chưa áp dụng cách khai thác tơi thấy học sinh lúng túng, mơ hồ toán giải xuất kiện mới, khơng biết tìm lời giải Nhưng cung cấp kiến thức theo hướng phát triển nêu thân nhận thấy học sinh biết cách tư tìm tòi lời giải có hiệu rõ rệt Tuy nhiên Tốn học mơn học khó rộng kiến, đa dạng phương pháp trình nghiên cứu phải thường xuyên liên tục kết trình giáo dục đem lại hiệu cao Năm học 2014 2015 2018 2019 20 Kết so sánh trước sau triển khai đề tài thể bảng Áp Số Học sinh giải tập theo mức độ Khá Giỏi dụng Lớp lượng Yếu , T Bình SL % SL % SL % SL % đề tài học sinh Đã áp dụng 7B 40 2.5 20.0 19 47.5 12 30.0 Chưa áp 7B 40 12.5 12 30 20 50 7.5 dụng Đã áp dụng 7A 41 7.31 13 31.7 14 34.16 11 26.83 Chưa áp 7A 41 19.5 19 46.3 10 24.4 9.76 dụng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thực đề tài “ Phát triển số dạng toán đại số từ tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau” theo nội dung nêu trên, kết mà thu khả quan Trong năm trước chưa áp dụng phương pháp vào giảng dạy,tôi thấy phần lớn em thường gặp nhiều khó khăn giải tốn dãy tỉ số Tuy nhiên kết chưa thể đánh giá hết thực chất việc học, việc giải toán dãy tỉ số học sinh mà phần thể ý tưởng, tác dụng đề tài Trên nét kinh nghiệm mà thân thực rút thực tế giảng dạy Tôi mong kinh nghiệm góp phần nhỏ vào việc giải toán vận dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số Rất mong góp ý đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị Những SKKN HĐKH cấp cơng nhận, xếp giải có tính ứng dụng thực tế giảng dạy cao cần triển khai rồng rãi để giáo viên học tập kinh nghiệm ! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Phạm Hồng Quân 21 Cẩm thủy, ngày 20 tháng năm 2019 GIÁO VIÊN Trần Thanh Bằng ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP PHÒNG …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP SỞ …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán Các tài liệu tham khảo nâng cao toán Phát triển lực tự học toán Mạng Intenet 23 24 ... sinh cách vận dụng khai thác toán, dạng toán để giải tập từ đến nâng cao đem lại kết tốt Vì lí mà tơi chọn đề tài Phát triển số dạng toán đại số từ tỉ lệ thức dãy tỉ số nhau Với mực đích chia sẻ... mơn góp ý 1.2 Mục đích nghiên cứu Bằng cách xây dựng hệ thống số dạng toán sách giáo khoa “Đại số 7 tỉ lệ thức dãy tỉ số Từ phát triển lên tốn khó nhằm phát triển tư duy, khơi dậy hứng thú học... 50 7. 5 dụng Đã áp dụng 7A 41 7. 31 13 31 .7 14 34.16 11 26.83 Chưa áp 7A 41 19.5 19 46.3 10 24.4 9 .76 dụng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thực đề tài “ Phát triển số dạng toán đại số từ tỉ