Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương i đại số 8

Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình nghiệm nguyên: 2.4.4.. Để làm được điều này, một trong những cái mà trong dạy học người dạy hướng ch

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2.4.1 Khai thác bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để giá

trị của một biểu thức là số nguyên tố.

2.4.2 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành

nhân tử để chứng minh chia hết, số chính phương.

2.4.3 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành

nhân tử để giải phương trình nghiệm nguyên:

2.4.4 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành

nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài

Trang 17

Trang 18 Trang 18 Trang 19 Trang 20

Môc lôc

1 MỞ ĐẦU:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Nâng cao chất lượng dạy học nói chung và môn Toán nói riêng, nhất làchất lượng mũi nhọn là một việc không hề dễ dàng hiện nay đối với một sốtrường khu vực nông thôn, “vùng trũng”, xa trung tâm huyện, điều kiện kinh tếkhó khăn, trình độ dân trí thấp Điều này, được minh chứng rất rõ qua các kì thikhảo sát chất lượng, thi vào lớp 10 và đặc biệt là thi chọn học sinh giỏi văn hóacấp huyện hàng năm

Nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng mũi nhọn là một vấn đề có tínhchiến lược và vô cùng cần thiết ở nhà trường THCS Bởi đây là cấp học “trunggian”, các em được trang bị một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản để họcxong cấp học này các em có thể vận dụng vào lao động sản xuất, học nghề vàtiếp tục học ở bậc THPT

Đối với môn Toán, nó có vai trò không nhỏ, góp phần tạo điều kiện cho các

em học tốt các môn học khác Nhưng dạy học như thế nào để học sinh khôngnhững nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn giải quyết được các bàitoán khó trong chương trình Để giúp người học nắm kiến thức môn học có tính hệthống và hiểu được bản chất của vấn đề Đây là việc đặt ra cho mỗi giáo viên dạyToán Nhất là việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phảinắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt , đặc biệt là các công cụ toán học, các kĩ năng khi thực hiện việc giải toán Trong giảitoán học sinh phải biết nhận dạng và từ đó nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp

Để làm được điều này, một trong những cái mà trong dạy học người dạy hướng cho

học sinh cách khai thác và phát triển một bài toán.

Việc khai thác và phát triển một bài toán được thể hiện rất đa dạng và phongphú, nhất là ở tiết luyện tập, ôn tập, và nó cũng là một hoạt động trong dạy họcToán Nhưng nhiều giáo viên chưa chú trọng tới(!) Vì vậy mà khi giải một số bàitoán khó học sinh hay lúng túng, không tìm ra cách giải hoặc giải được nhưng mấtquá nhiều thời gian

Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá,giỏi toán , tôi nhận thấy đây là điểm quan trọng mà mỗi học sinh cấp THCS nên

biết để vận vào việc giải toán Tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề: “ Dạy học sinh khai

thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8" Đây chỉ là một phần

nhỏ trong toàn bộ chương trình dạy học Toán 8 của tôi

Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản của mônhọc và có thêm một kĩ năng giải toán để làm nền tảng cho các em chuẩn bị cho cáclớp học cao hơn cũng như tự tin hơn trong các kì thi Tuy vậy do khuôn khổ đề tàicũng như kinh nghiệm còn nhiều hạn chế, chắc rằng còn gặp những thiếu xót khôngmong muốn, rất mong nhận được sự góp ý xây dựng của quí đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này tôi nghiên cứu để phục vụ cho công tác giảng dạy của bản thân vàsau đó là của các đồng nghiệp trong đơn vị, nhằm giúp các em học sinh nắm vữngkiến thức, có kĩ năng giải toán, phát triển tư duy, rèn luyện cho các em tính cẩnthận, cần cù, sáng tạo, có niềm tin và hứng thú trong học tập, nghiên cứu Qua đógóp phần nâng cao hiệu quả dạy học, cải thiện chất lượng giáo dục của bản thân vàđơn vị

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài này tôi nghiên cứu “ Dạy học sinh khai thác, phát triển một số bài toán trong chương I - Đại số 8", tính hiệu quả trong việc thực hiện đề tài.

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu sơ sở lý thuyết về phương pháp giải toán phân tích đa thức thànhnhân tử, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức, tìm dư của phép chia đathức cho đa thức, v.v… Học sinh biết khai thác, phát triển một bài toán, nhận dạng,quy lạ về quen, tương tự hoá,…khi làm toán

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Trường tôi dạy thuộc một xã thuần nông,trình độ dân trí thấp, điều kiện kinh tế khó khăn, chất lượng học tập còn thấp, nhất

là môn Toán được phản ánh rõ nhất qua điểm các bài kiểm tra định kì, kiểm tra học

kì, thi chọn học sinh giỏi huyện, thi vào lớp 10 Trong những năm huyện tổ chứcthi chọn học sinh giỏi lớp 8, kết quả đội tuyển của trường đạt được khá khiêm tốn(!) Qua đó chúng tôi đã nghiêm túc phân tích số liệu, tìm ra nguyên nhân và giảipháp cho thực trạng vấn đề

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2.1 Cơ sở lí luận:

Trên quan điểm của các Nghị quyết Đại hội của Đảng được cụ thể hoá trongLuật Giáo dục: “Giáo dục trung học cơ sở nhằm giúp học sinh củng cố và phát triểnnhững kết quả của giáo dục tiểu học; có học vấn phổ thông ở trình độ cơ sở vànhững hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học trung học phổthông, trung cấp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.” (Khoản 3, điều 27,chương II, Luật Giáo dục – Nhà xuất bản Chính trị Quốc gia, năm 2006) Hay trongNghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04.11.2013 của Ban chấp hành Trưng ương khóa

XI về “ Đổi mới căn bản và toàn diện về giáo dục” có nêu “Đối với giáo dục phổthông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực côngdân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh.Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống,đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụngkiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,…” (mục 2 Mục tiêu

cụ thể”

Đối với học sinh lớp 8, đặc điểm về tâm, sinh lí lứa tuổi các em muốn tìmhiểu, khám phá, vươn lên để thể hiện mình Trong những năm qua thực hiện đổimới phương pháp dạy học ở trường THCS đã có những chuyển biến tích cực gópphần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy - học

Từ những cơ sở trên đòi hỏi người thày luôn cần mẫn, nhiệt tình, sáng tạotrong các hoạt động dạy học, không ngừng tích luỹ vốn kiến thức và kinh nghiệmcho bản thân Dạy dỗ thế nào để đem lại niềm vui, sự hứng thú học tập cho họcsinh, kích thích tính tò mò khoa học của các em, phát huy tính chủ động, tích cực,sáng tạo của người học; phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho học sinh…Xâydựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực” để các em cảm nhận được “mỗingày đến trường là một niềm vui”

2.2 Thực trạng:

Trong quá trình giảng dạy, tham khảo ý kiến đồng nghiệp và qua phụ huynhhọc sinh cũng như qua tìm hiểu các học sinh với nhau tôi nhận ra rằng: Đa số họcsinh học yếu toán là do hổng kiến thức, lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy, học tậpdập khuôn, máy móc, tiếp thu kiến thức thụ động; các em không có phương pháphọc đúng đắn; một số giáo viên chưa thật sự tâm huyết, chưa chịu tìm tòi nghiêncứu; các bài tập các em còn trình bày sơ sài, suy nghĩ giản đơn Nhất là khi gặpnhững bài khó các em rất lúng túng, bối rối, không biết nên bắt đầu từ đâu và làmnhư thế nào, mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản Đó

là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấynơi học sinh Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm như thế nào?

Đây là một câu hỏi cần được trả lời đối với mỗi người đang trực tiếp giảng dạy trênlớp.

Trong chưng trình Đại số 8, nhiều bài toán phải vận dụng nhiều kiến thức, kĩnăng, trình bày chặt chẽ, logic Từ chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐATHỨC, phần bài tập sau mỗi tiết lí thuyết hay trong các tiết luyện tập và ôn tậpchương có thể khai thác và phát triển thành những bài tập khó, thường có trong các

đề thi chọn học sinh giỏi Ví dụ: 1 Chứng minh rằng : x 5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ + (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2008 –

2009 của huyện Thọ Xuân, Thanh Hóa) Bài này được phát triển từ bài 58 (trang

25 – SGK Toán 8 tập 1 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, năm 2010): Chứng minh rằng: n 3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n; 2 Tìm các số cặp số nguyên(x, y) thỏa mãn: x + y = xy Bài này được phát triển từ bài 47 và bài 48 (trang 22 – SGK Toán 8 – Tập một) 3 Tìm số nguyên a sao cho a 4 + 4 là số nguyên tố (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm học 2013 – 2014 của huyện Thủy Nguyên, Hải Phòng và của huyện Việt Yên, Bắc Giang) Bài này được khai thác từ

bài 57d (trang 25 – SGK Toán 8 – Tập một): Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x4 + 4 Đó là một vài ví dụ cho thấy các bài tập trong đề thi không dễ dàng đối vớinhiều học sinh khi gặp phải Nhưng nó lại được xuất phát từ những bài tập rất cơbản ở sách giáo khoa mà đa số học sinh làm được Tôi luôn nghĩ một bài tập dù khóđến đâu cũng không ngoài chương trình, kiến thức và phương pháp đã học Chỉ cóđiều chúng ta dạy các em như thế nào mà thôi

Trong quá trình giảng dạy Toán 8 tôi nhận thấy năng lực học tập nơi các emnhìn chung còn hạn chế, đặc biệt là kĩ năng khai thác, phát triển một bài toán Bêncạnh đó, phụ huynh chưa đầu tư nhiều và chưa có sự quan tâm đúng mực đối vớiviệc học tập của con em Vì vậy việc học tập và nâng cao khả năng học tập môntoán gặp không ít khó khăn Chính vì lẽ đó hàng năm, thực tế cho thấy khả năngtiếp thu, lĩnh hội môn toán nhất là các chuyên đề toán học nói chung cũng như vậndụng giải toán với tỉ lệ khá giỏi chưa cao

Đề tài này tôi tích luỹ, rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy trong đó có sự địnhhướng của các thày cô dạy tôi ở Đại học Tôi đã triển khai ở nhiều năm học trướcđây (kết quả đạt được rất đáng khích lệ) và đang tiếp tục ở năm học 2016 - 2017trong chương trình dạy học chính khóa cũng như ôn tập bồi dưỡng học sinh khágiỏi ở trường Kết quả kiểm tra khả năng tiếp thu khi chưa vận dụng cách khai thác,phát triển một bài toán được kết quả như sau:

Từ thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ làm thế nào để học sinhbiết cách sử dụng một bài toán cơ bản, bài toán gốc để giải bài toán nâng cao mộtcách linh hoạt, sáng tạo Với trách nhiệm của người thày tôi thấy mình cần giúp các

em làm tốt hơn phần này

2.3 Giải pháp thực hiện:

Trong chương I (Phép nhân và phép chia đa thức) kiến thức vô cùng quantrọng Nắm vững kiến thức của chương này mới học tốt chương trình tiếp theođược Và kiến thức của chương này còn là công cụ, ứng dụng để giải nhiều dạng bàitập Các bài tập SGK cơ bản các em làm được như: Nhân đơn thức với đa thức,nhân đa thức với đa thức, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính nhanh,tính nhẩm, biết cách phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức cho đơn thức,chia hai đa thức một biến… Nhưng khi gặp một số bài toán khi bồi dưỡng học sinhgiỏi hay trong các đề thi các em gặp rất nhiều khó khăn, vướng mắc

Mà thực ra những bài toán lại bắt đầu từ những bài toán rất cơ bản Nếu ta vậndụng được kiến thức cơ bản và hiểu bản chất của nó thì bài toán trở nên quen thuộc

dễ giải Tất nhiên, điều đầu tiên để nâng cao được chất lượng dạy học thì người họcphải có hứng thú, có lòng say mê, ham học hỏi Muốn vậy, hơn ai hết giáo viênphải là người gây được hứng thú, tạo sự chú ý, tính tò mò khoa học nơi các em,phải tác động làm thay đổi mạnh mẽ trong nhận thức của học sinh

Người thày ngoài việc có kiến thức chuyên môn giỏi còn phải có phương pháptruyền thu tốt, kĩ năng sự phạm, nhà tâm tâm lí học… thực sự yêu nghề, mến trẻ

nên x4 + 4 = (x2 - 2x +2)(x2 + 2x +2) chỉ có thể là số nguyên tố khi x nguyên và x2 2x +2 =1 hoặc x2 + 2x +2 =1 Ta có thể khai thác bài toán trên rồi phát triển thànhcác bài sau:

-Bài 1 Cho A = x4 + 4 Tìm số nguyên x để A là số nguyên tố

Bài 2 Cho M = a4 + 4 Tìm số tự nhiên a để M là số nguyên tố

Bài 3 Cho M = a4 + 4 Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên a2 thì M làhợp số

Vậy với x = 1 hoặc x = -1 thì A = x4 + 4 là số nguyên tố

2.(Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

Vì a là số tự nhiên nên (a2 + 2a +2) = (a+1)2 + 1  2 Do đó, muốn M là số nguyên

tố thì phải có a2 – 2a + 2 = 1 => a =1 Khi đó M = 5 là số nguyên tố

Vậy, với a = 1 thì M = a4 + 4 là số nguyên tố

3 (Sử dụng kết quả của bài toán gốc): M = (a2 + 2a + 2)(a2 – 2a + 2)

Vì (a-1)2 + 1  2 với mọi a  2 và (a+1)2 + 1  10 với mọi a  2 nên M là hợp số

(Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó Hợp

số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.)

2.4.2 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để

giải bài toán chứng minh chia hết, số chính phương:

Ví dụ 2 (Bài 58 trang 25 - SGK Toán 8 Tập một) Chứng minh rằng: n3 – n chiahết cho 6 với mọi n  Z

Lời giải: Ta có : n3 – n = n(n -1)(n + 1) đây là tích của 3 số nguyên liên tiếp nêntồn tại ít nhất một số chia hết cho 2 và có một số chia hết cho 3 nên tích chia hếtcho 6

Khai thác và phát triển bài toán:

1 Vì n(n -1)(n + 1)  6 => n(n -1)(n + 1)  (6k)n  6 (n, k Z)

Ta phát triển thành các bài toán:

Bài 1 Chứng minh rằng: n3 -13n chia hết cho 6 (với n  Z)

Bài 2 Cho các số tự nhiên a1, a2, , a2016 có tổng bằng 20162017

Dễ thấy a3 – a = a(a – 1)(a + 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 Suy ra: A3

2 Vì n(n -1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 => tích của

5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 và 5 nên chia hết cho 30

Phát triển thành các bài toán sau:

Bài 3 Chứng minh rằng: n5 - n chia hết cho 30 (với n  Z)

Bài 4 Tìm số tự nhiên n để n5 - n + 2 là số chính phương

Bài 5 Cho ba số a, b, c  Z thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5

số chính phương nào có chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7=> n5 - n + 2 không phải là

số chính phương

Vậy không có số tự nhiên n nào để n5 - n + 2 là số chính phương

Bài 5 Ta có: a5 + b5 + c5 = a5 + b5 + c5 – (a+b+c) (vì a+b+c =0)

= (a5 – a)+(b5 – b)+(c5 – c)30 ( theo kết quả bài 2)

mà a + b + c = 0 30 nên a5 + b5 + c5

 30

Và từ bài 2, bài 4 và bài 5 này chúng ta có thể khai thác phát triển thành nhiều bàitoán khác Đó là điều thú vị Nó gây hứng thú cho học sinh, kích thích tính sángtạo, sự tò mò khoa học, say mê cho người học

2.4.3 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để

giải bài toán phương trình nghiệm nguyên:

Khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường “rất sợ”(!) Bởi lẽ, phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú nó có thể làphương trình một ẩn, nhiều ẩn hoặc có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao.Không có cách giải chung cho mọi phương trình Tuy nhiên với việc vận dụng kiếnthức của chương I này, chúng ta khai thác phát triển một số bài tập cơ bản trong

SGK để đưa các phương trình về “dạng tích” giải một số bài tập từ đơn giản đến

phức tạp, bước đầu cho các em làm quen, và từ đó hình thành một cách giải Nógóp một phần không nhỏ để các em học sinh vững tin hơn khi gặp dạng toán này

Ví dụ 3 (Bài 53b trang 25 - SGK Toán 8 Tập một) Phân tích đa thức sauthành nhân tử: x2+ x – 6

Bài 1 Tìm số nguyên x, thỏa mãn: x2+ x – 5 = 0

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + x - 6 = y2

Với bài 1, nhiều học sinh sẽ làm được, nhưng bài 2 không dễ dàng với đa số họcsinh

Sau khi HS đã hiểu được cánh làm của bài tập 1, 2 ở trên ta có thể nâng cao hơn cho HS luyện tập các bài sau:

Bài 3 Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:

a) 2(x + y) + 5 = 3xy; b) 2x2 + 3xy – 2y2 = 7; c) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2.Lời giải:

Giải các hệ phương trình trên, ta đươc 2 nghiêm nguyên của phương trình là

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương: ( x, y )  

Qua các bài tập trên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về cách làm, kiến thức vận

dụng Đó là: Biến đổi phương trình về dạng: Vế trái là tích của của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên Kiến thức vận dụng là phân tích đa

thức thành nhân tử kết hợp một số kĩ năng biến đổi

4.4.4 Khai thác và phát triển bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh bất đẳng thức từ đó vận dụng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

(GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một đa thức.

Ví dụ 4 (Bài 82 trang 33 - SGK Toán 8 Tập một) Chứng minh:

a) x2 – 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y

Khai thác và phát triển bài toán trên:

Bài 1 a) Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 – 2xy + y2 + 1

=(a + 2)(a - 2a+1) + 3 = (a + 2)(a-1) + 3 2 2 2 2

Vì a + 2 > 0 2 a và (a-1) 2  0,  a nên (a + 2)(a-1) 2 2 0, a

Do đó: (a + 2)(a-1) +3 3 a2 2  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1  0  a 1

Vây MinN = 3 khi a = 1