MÔN TOÁN LỚP 11 MỘT SỐ PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI LỚP TOÁN THẦY THÀNH MƠN TỐN LỚP 11, CHƯƠNG I  BÀI 3: MỘT SỐ PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP THỜI GIAN HỌC: THỨ 2, 4, LÚC 8H ĐẾN 9H30         CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  (CHƯƠNG 1 LỚP 11)  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP .2 Dạng 1: Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Dạng 2: Phương trình bậc sin x cos x 12 Dạng 3: Phương trình bậc sin x cos x 19 Dạng 4: Phương trình đối xứng sin x cos x .26 Dạng 5: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 27   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương trình bậc theo hàm số lượng giác Phương pháp giải a sin u  b sin u  c   a    Đặt  t  sin u ,điều kiện  1  t  1  a cos u  b cos u  c   a    Đặt  t  cos u ,điều kiện  1  t  1  a tan u  b tan u  c   Đặt  t  tan u , điều kiện  cos u    a cot u  b cot u  c   a    Đặt  t  cot u ,điều kiện  sin u    PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1 Giải phương trình sau  cos x  3.cos x     Lời giải cos x  3.cos x    (*)  Đặt  t  cos x,   t    t  ( N ) (*)  2t  3t         t  ( N )  2 Với  t   cos x   x  k 2,  k         x   k 2 1  Với   t   cos x   cos x  cos   , ( k  )   2  x     k 2    Vậy nghiệm của phương trình:  x  k 2 ; x   k 2 ; x    k 2 ,   k     3 Ví dụ 2 Giải phương trình sau  sin x  3sin x     Lời giải sin x  3sin x    ( *)  Đặt  t  sin x,   t    t  1 ( N ) (*)   t  3t         t  2 ( L)   Với  t  1  sin x  1  x    k 2,  k       Vậy nghiệm phương trình:  x    k 2,  k      Ví dụ 3 Giải phương trình sau  tan x     tan x     Lời giải tan x     tan x    (*)  t    1 t     t     Với  t   tan x   x   k ,  k      Đặt  t  tan x  (*)   t    NHĨM SOẠN CHUN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH   k ,  k        Vậy nghiệm phương trình:  x   k  ;  x    k ,  k    Với  t    tan x    x   Ví dụ 4 Giải phương trình sau  cot x  cot x     Lời giải cot x  cot x    (*)  Đặt  t  cot x   t  1 (*)  t  4t       t  3   Với  t  1  cot x  1  x    k ,  k         Với  t  3  cot x  3  x  arc cot(3)  k ,  k      t  3  cot x  3  x  arc cot(3)  k ,  k       Vậy nghiệm phương trình:  x    k  ;  Ví dụ 5 Giải các phương trình sau  1)  cos x  3sin x          3)   cot x        sin x         2)  sin x - cos x     4)  tan x  cot x    Lời giải  1)  cos x  3sin x       sin x  3sin x    sin x  3sin x   (*)  Đặt  t  sin x, 1  t    t  1 ( N ) (*)  2t  3t       t   ( N )    Với  t  1  sin x  1  x    k 2,  k       2   x    k 2  1     Với  t    sin x    sin x  sin      , (k  )     2   x   k 2    7 Vậy nghiệm của phương trình:  x    k 2 ;  x    k 2 ;  x   k 2 ,  ( k  )   6 2)  sin x - cos x       cos x  cos x    cos x  cos x    (*)  Đặt  t  cos x, 1  t    t  ( N ) (*)  t  t       t  2 ( L) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH  Với  t  1  cos x   x  k 2,  k      Vậy nghiệm của phương trình:  x  k 2,  k       cot x   (1)  sin x Điều kiện:  sin x   x  k    (1)   cot x  cot x   cot x  cot x    (*)  Đặt  t  cot x   (*)  t  t    t  1  t      Với  t  1  cot x  1  x    k ,  k       3)   Với  t   cot x   x  arc cot  k ,  k       Vậy nghiệm của phương trình:  x   4)  tan x  cot x    k  ;  x  arc cot  k ,  k      (1)  sin x    sin x   x  k   Điều kiện:   cos x  (1)  tan x    tan x  tan x    (*)  tan x Đặt  t  tan x   (*)  2t  3t    t   t      Với  t   tan x   x  arctan  k ,  k       Với  t   1  1  tan x    x  arctan     k ,  k       2  2  1 Vậy nghiệm của phương trình: x  arctan  k  ;  x  arctan     k ,  k       2 Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:  1)  cos3 x  3cos x  cos x   2)  23sin x  sin 3x  24   15 3)  cos x.cos x  sin 2 x    4)  sin x  cos6 x  cos x    Lời giải 1)  cos3 x  3cos x  cos x   (*)  Đặt  t  cos x, 1  t    t  ( N ) (*) t  3t  2t   t  1 ( N )   t  2 (L) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH   k ,  k       Với   t  1  cos x  1  x    k 2,  k       Với  t   cos x   x  Vậy nghiệm của phương trình:  x    k  ;  x    k 2,  k      2)  23sin x  sin 3x  24    23sin x  (3sin x  4sin x)  24  4sin x  20sin x  24   (*)  Đặt  t  cos x, 1  t    (*)  4t  20t  24   t  ( N )     k 2,  k       Vậy nghiệm của phương trình:  x   k 2,  k      2 3)  cos x.cos x  sin x     Với  t   sin x   x   cos x  cos x  2(1  cos 2 x)    2cos 2 x  3cos x    (*)  Đặt  t  cos x, 1  t     t  (N ) (*)  2t  3t        t  2 ( L) Với  t  1    cos x   cos x  cos  x    k ,  k      2 Vậy nghiệm của phương trình:  x     k ,  k      15 cos x    4  cos x  sin x  8sin x.cos x  23cos x   (*)  4)  sin x  cos x  Đặt  t  cos x,  t  1. Thay  sin x   t   (*)  9t  2(1  t )  8(1  t )t  23t     t  (N )  3t  19t        t  ( L )   cos x   x    k 2  Với  t    ,k      5  x    k 2  cos x    Vậy nghiệm của phương trình:  x    5  k 2 ;  x    k 2 ,   k     6 PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM Câu [1D1-3.1-1] Nghiệm của phương trình  sin x - 3sin x    là: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH   x   k   A x   k  ;     x  5  k     x  k    C x   k  ;     2  x k   Chọn   x  k      B x   k 2 ;   x  5  k     x   k 2   D x   k 2 ;   x    k 2  Lời giải D Đặt  t  sin x,  t  [1;1] , ta có phương trình: 2t  3t    t  1; t  *  t   sin x   x      k 2     x   k 2  1  *  t   sin x   sin     2  x  5  k   Câu [1D1-3.1-2] Nghiệm của phương trình:  2cos x  3sin x    là:     x   k x   k    1  A x  arcsin( )  k    B  x  arcsin( )  k      4    x    arcsin( )  k   x    arcsin( )  k    4   x   k   C  x  arcsin( )  k       x    arcsin( )  k      x   k 2  D  x  arcsin( )  k 2      x    arcsin( )  k 2  Lời giải Chọn D Phương trình   4 sin x  3sin x        x   k 2  sin x   x  arcsin( )  k 2      sin x      x    arcsin( )  k 2  Câu [1D1-3.1-3] Nghiệm của phương trình:  3cos x  sin 2 x  cos x   là  NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH   x   k A      x   arccos  k      x   k 2 B     x   arccos  k 2    x   k C     x   arccos  k 2    x   k D     x   arccos  k 2  Lời giải Chọn D Phương trình đã cho tương đương với  3(2cos 2 x  1)  (1  cos 2 x)  cos x       x   k  cos x  1     cos 2 x  cos x       cos x   x   arccos  k    Câu [1D1-3.1-2] Giải phương trình: cos x.cos x          x    k 2  x    k 2 A    B    1  1     k 2  k 2  x   arccos  x   arccos    x    k 2 C    1    k 2  x   arccos    x    k 2 D    1    k 2  x   arccos Lời giải Chọn B Phương trình   4cos x(2cos x  1)    8cos3 x  4cos x    (2 cos x  1)(4cos x  cos x  1)         cos x   x    k 2 cos x        1  1     k 2  cos x  cos x    x   arccos  cos x  4 Câu [1D1-3.1-4] Họ nghiệm của phương trình: 16(sin x  cos8 x)  17 cos 2 x là:   5   k  9 C x   k   A x       7   k   D x   k   Lời giải B x  Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Ta có      sin x  cos x  (sin x  cos x)  2sin x cos x  1  sin 2 x   sin x     8 4 4 Nên đặt  t  sin 2 x,  0  t   ta được phương trình:    16   t   2t  17(1  t )  2t  t    t       sin 2 x  Câu     2sin 2 x   cos x   x   k   [1D1-3.1-4] Nghiệm của phương trình:  cos x  cos x  2sin x    A x  k 2 B x  k  2 C x  k  D x  k  Lời giải Chọn D 1 Đặt  t  cos x  1  t   cos x  (1  t ) ;sin x  (1  t )3   Nên phương trình đã cho trở thành:  1 (1  t )  t  (1  t )3   t  4t  5t    t  1; t    4 t   cos x   x  k    Câu [1D1-3.1-2] Giải phương trình:  cos2 x  cos x      2  2 A x   k 2, x   B x   k , x   k    k 2   3  2  2 C x   k 3, x   D x   k , x   k    k 2   2 Lời giải Chọn D Phương trình   cos x  cos x   x  Câu  2  k , x    k 2   [1D1-3.1-3] Nghiệm của phương trình:  cos x  3cos x  cos 2  k    C x    k 2   A x   x   2  k   3 2 D x    k 2   Lời giải B x   Chọn D Phương trình  2cos x   3cos x  2(1  cos x)   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH  cos x  5cos x    cos x   Câu 2  x  k 2   [1D1-3.1-2] Giải phương trình:  6sin x   2sin 2x    5      A x   k    B x   k   4     C x   k   D x   k   4 Lời giải Chọn D Phương trình   3(1  cos x)  2(1  cos 2 x)     cos 2 x  3cos x   x  Câu 10   k   [1D1-3.1-3] Nghiệm của phương trình:  sin x  cos x  sin x   là      A x   k 2   B x   k    C x   k    D x   k    4 4 Lời giải Chọn D 1 Phương trình    sin 2 x  sin x    2  sin 2 x  2sin x    sin x   x  Câu 11   k   4   là   tan x C x  k    D x  k    Lời giải [1D1-3.1-3] Nghiệm của phương trình:   13cos x  A x  k 2   B x  k    Chọn A cos x   cos x   x  k 2   Phương trình    4cos x  13cos x   Câu 12 [1D1-3.1-2] Giải phương trình:  1  cos x    sin x  cos x     k  C x    k  A x    k  3  D x    k 2 Lời giải B x   Chọn D Phương trình    5cos x  (sin x  cos x)(sin x  cos x)    cos x  5cos x    cos x    x    k 2   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Câu 13 HỌC TOÁN THẦY THÀNH 5  7    [1D1-3.1-2] Nghiệm của phương trình:  sin  x    3cos  x     2sin x  là:        xk    x  k 2     A  x   k 2 ;  k    B  x   k  ;  k      6   5  x  5  k 2 x   k  6   x  k   C  x   k 2 ;  k      5 x   k 2    x  k 2   D  x   k 2 ;  k        5 x   k 2  Lời giải Chọn C Phương trình   cos x  3sin x   sin x   sin x  3sin x   sin x      x  k sin x    x    k 2 ;  k       2sin x  sin x     sin x     5 x   k 2  Câu 14 [1D1-3.1-3] Giải phương trình:  cos x  cos3 x  sin x    x  A  x     k 2    5  k , x   k 6  x  C  x    k  2    5  k , x   k 2 6  x  B  x    k     5  k 2, x   k 2 6  x  D  x   Lời giải   k    5  k 2, x   k 2 6 Chọn D Phương trình   cos x  cos x  8sin x       x   cos x  4sin x  8sin x  3    x   Câu 15   k    5  k 2, x   k 2 6 [1D1-3.1-3] Giải phương trình: cos x  cos x   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH     Với  t  , ta có  sin  x     x   k   x    k , k     4 4  Ví dụ 2 Giải phương trình  2  sin x  cos x   2sin x    Lời giải  t 1  sin x cos x    Đặt  t  sin x  cos x  sin  x       4     t   2;    Suy ra phương trình tương đương  2t   t  1   2t  2t      t   (nhận) hoặc  t  2  (loại).      Với  t  , ta có  sin  x     x   k   x    k , k     4 4  Dạng 5: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH KHÁC A Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng – tổng thành tích Ví dụ 1 Giải các phương trình sau  cosx.cos x     cos3x   Lời giải Biến đổi phương trình về dạng:   cos3x  cosx   cos3x  cos3x     cosx  3x     x  2k    x  k k  x   k  x   k Vậy, phương trình có một họ nghiệm  x  , k   .  Ví dụ 2 Giải các phương trình sau  cosx.cos5 x  cos x.cos x   Lời giải  Biến đổi phương trình về dạng:  1  cos6 x     cos x    cos6 x  cos x   cos x  cos x   2 x  k  x  x  2k    k  , k     x   x  2 x  k   Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  Ví dụ 3 Giải các phương trình sau  sinx  sin2 x  cosx  cos x   Lời giải Biến đổi phương trình về dạng:      sin x  cos x     cosx  sinx  sin( x  )  sin(   x)   4 NHĨM SOẠN CHUN ĐỀ KHỐI 11 27 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH     2k    x    x  2k  x    , k        x        x  2k   x    2k   4 Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  B Sử dụng cơng thức hạ bậc Ví dụ 4 Giải các phương trình sau  cos x  3sin x    Lời giải Biến đổi phương trình về dạng:  (1  cos x )  1    cos x    cos x      2     x    2k   x    k , k     Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  C Biến đổi dạng tích Phương pháp áp dụng Việc biến đổi phương trình lượng giác về phương trình tích phụ thuộc vào các phép biến đổi  dạng:  1) Biến đổi tổng, hiệu thành tích.  2) Biến đổi tích thành tổng.  3) Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x.  4) Phương pháp luận hệ số.  5) Phương pháp hằng số biến thiên.  6) Phương pháp nhân.  7) Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp.  Ta đưa phương trình cần giải về dạng tích:  A  A.B    ,  B  trong đó các phương trình  A  0, B   là các phương trình có dạng chuẩn.  Với các bài tốn có tham số, để xác định điều kiện sao cho phương trình có đúng  k  nghiệm  trên miền D , cần chú ý tới số nghiệm của mỗi phương trình thành phần.  Ví dụ 5 Giải các phương trình sau  sin2 x  sin4 x  sin6 x   Lời giải Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng   sin x  sin6 x  sin x  sin x.cos x     2cos x.sin x    (cos x  cos x ).sin x     0 k   x  2x  k  x  sin x       x  x  2k      x  k      cos x  cos x x   k  x  2 x  2k   x    Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  k , k      k NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 28 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:  sin2 x  sin6 x  sin4 x  2sinx.cosx  2cos5x.sinx   sin x     (cos5 x  cosx).sinx     0   cos x  cos x x  k k  x  k x   k , k      5 x  x  2k      x      k   x 5 x   x  2k  x  k /   Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  Nhận xét: Như vậy, với phương trình đa cho chúng ta đã sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành  tích để đưa phương trình về dạng tích. Ví dụ tiếp theo sẽ sử dụng cơng thức hạ bậc Ví dụ 6 Giải các phương trình sau  sin x  cos x    Lời giải Biến đổi phương trình về dạng:   sin x     cos x   2sin x.cos x    34   12 sin x    43   2 2  k  , k     Vậy, phương trình có một họ nghiệm.  Chú ý: Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3), thơng thường  ta khơng đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra 2 nhân tử để hạ bậc. Cụ thể ta xét ví dụ  sau:  Ví dụ 7 Giải phương trình sin2x = cos22x + cos23x Lời giải  cos x     0  x  Phương trình được biến đổi về dạng:   cos x  cos x    cos x  2cos x   cos x  cos x     2  2cos 3x  2cos3x.cosx    cos3x  cosx  cos3x      2cos x.cosx.cos3x     0  k    cos x  x  2x   k   cos x   , k      cos x           cos 3x   k     x  3x   k  cos 3x    Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  Nhận xét: Qua hai thí dụ 2 và 3 chúng ta đã biết cách sử dụng cơng thức hạ bậc để giải phương  trình, và dễ nhận thấy rằng ở đó chúng ta hạ bậc từ nhân tử (Hạ bậc đơn). Ngồi ra chúng ta còn có  hai kiểu hạ bậc khác đó là:  Hạ bậc tồn cục: áp dụng với dạng phương trình hỗn hợp chứa sinnx và cosnx, thí dụ:  sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x.cos x   sin 2 x   3 sin x  cos x   sin x  cos x    sin x  cos x  sin x.cos x   3sin x.cos x   sin 2 x   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 29 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng:  A  sin3 x.cos3 x  cos x.sin3 x   ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:  Cách 1: Ta có:  A  sin x.sinx.cos3 x  cos x.cosx.sin3 x  (1  cos x).sinx.cos3x  (1  sin x).cosx.sin3x   sinx.cos3x     cosx.sin3x   cosx.cos3x     sinx.sin3x  sinx.cosx   sin4 x  cos x.sin2 x     sin4 x  sin4 x    sin4 x   Cách 2: Ta có:  1 A =  (3sinx  sin3x)cos3 x     3cosx  cos3 x  sin3x   4 3 =   sinx.cos3 x     cosx.sin3 x   sin x   4 Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:  1.  tanx  tan2 x  sin3x.cosx   2.  sinx  sin2 x  sin3x  cosx  cos x  cos3x   Lời giải x   k  k x  ,  k     và  1. Điều kiện  Biến đổi phương trình về dạng:  sin x   sin3 x.cosx  sin3 x  sin3x.cos xcos x   cos x.cos x  (cos xcos x  1) sin3x   (2cos x  cos x  1) sin3x    cos2 x  x  k  sin x  k   cos2 x           , k      k    x =    x sin 3x   sin 3x   Vậy, phương trình có một họ nghiệm.  2. Biến đổi phương trình về dạng:  ( sinx  cosx)  ( sin x  cos x)  ( sin3 x  cos3 x)        sin( x  )  sin(2 x  )  sin(3 x  )    4       sin( x  )   sin(2 x  )  sin(3 x  )      4    1  2cosx  sin(2 x  )    2    x    2k   cos x      ,  k      x    k sin(2 x   )    Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.  NHĨM SOẠN CHUN ĐỀ KHỐI 11 30 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Ví dụ 9 Giải phương trình   cosx  cos x  cos3x    Lời giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:  Cách 1: (Biến đổi tổng thành tích): Biến đổi phương trình về dạng:  1  cos x    cos3x  cosx    2cos x  2cos x.cosx        cos x  x   k x   k       ,  k      cos 3x   x    2k   3x    k    3  2 Cách 2: Biến đổi về phương trình chứa 1 hàm lượng giác  Biến đổi phương trình về dạng:   cosx  2cos x   4cos x  3cosx     4cos x  2cos x  2cosx    2cos x  cosx  1 cosx         x   k cos x  x   k    ,  k     cos x  1     x    2k       k     x    3  x    2k  cos x    Vậy, phương trình có hai họ nghiệm.  Ví dụ 10 Giải phương trình 5sin3x = 3sin5x.  Lời giải Biến đổi phương trình về dạng:  2sin3x   sin5 x  sin3x      3sinx  sin3 x   6cos x.sinx    sin x  3cos x  sinx     3  1  cos x    2cos 2 x  1  sinx    cos x     3cos 2 x  cos x   sinx  = 0    cos x      sin x     cos x    cos 2   x  2  2k      x    k  ,  k    x  k x  k    sin x  Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.  D Phương pháp đổi biến Phương pháp giải Ta sử dụng biến t để chuyển phương trình ban đầu về phương trình chứa các cung t, 2t, 3t,., kt,  rồi sử dụng các cơng thức góc nhân đơi, nhân ba.   Ví dụ 11 Giải các phương trình sau  8cos ( x  )     cos3 x Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 31 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH  Đặt  a.t     x      x  3t     Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:  8cos3t  cos(3t    p)  8cos 3t     cos3t    8cos 3t         4cos 3t  3cost   4cos 3t     cost     0     4cos 2t  1 cost    1 +cos 2t   1 cost      cos t  t   k   1    2cos 2t  cost          cos 2t    2t   2  2k       x    k    x   k     t   k        x    k   x  k , k        3 t     k   2      k x   x     k   3 Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.   Ví dụ 12 Giải các phương trình sau  32cos ( x    )  sin6 x  Lời giải   3 a. Đặt  t   x       x  6t    4 Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:  32cos 6t  sin(6t  3   cos 2t    cos 2t  )   32   - cos 6t  ) = 1       2      1  3cos 2t  3cos 2t  cos 2t    4cos 2t  3cos 2t      4cos 2t  5cos 2t       x   k  cos 2t  1  2t    2k   x      k               2t  2  2k   cos 2t    cos 2     x      k   Vậy, phương trình có ba họ nghiệm.  PHẦN 2: TRẮC NGHIỆM Câu [1D1-3.5-2] Phương trình   cosx  cos x  cos3 x  sin x   tương đương với phương trình.  A cosx  cosx  cos3x     B cosx  cosx  cos x     C sinx  cosx  cos x     D cosx  cosx  cos x     Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 32 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Chọn HỌC TOÁN THẦY THÀNH D  cosx  cos x  cos 3x  sin x    cosx   cos x  sin x   cos3 x      cosx  cos3x   cos x    2cos xcosx  2cos x   cosx  cos x  cosx     Câu [1D1-3.5-2] Phương trình  sin 3x  4sin x.cos x   có các nghiệm là:   x  k 2 A  ,  k , n       x    n    x  k C  , k , n      x     n  Chọn x  k B  ,  k , n       x    n  2  x  k D  ,  k , n    x     n    Lời giải B Phương trình  sin x  sin x  sin   x     2sin x  sin 3x   sin x     sin x  3sin x  sin x  sin x  sin x  1     4sin x  x  k x  k x  k       ,  k , n        cos x   x    n  x    n    Câu   69  [1D1-3.5-3] Số nghiệm thuộc   ;   của phương trình  sin x 1  sin x    là:  14 10   A 40   B 34   C 41   D 46   Lời giải Chọn Ta có:  B sin 3x  2sin 3x 1  4sin x     1  4sin x  k  3x  k  sin x   x   3  ( k , l   )     x     l 2 cos x   x     l      k  Nhận xét: Họ nghiệm  x  ,  k  và  x    l  ,  l   khơng có nghiệm nào trùng nhau    69  nên  đếm  số  nghiệm  thuộc   ;    ứng  với  từng  họ  nghiệm,  rồi  lấy  tổng  sẽ  được  tổng  số  14 10  nghiệm của phương trình đề bài cho. Thật vậy:  k     l   2k  6l  1 : vơ nghiệm với mọi  k ,  l    (Chú ý: ta cũng có thể biểu diễn các nghiệm này trên đường tròn lượng giác để thấy các nghiệm  này khơng trùng nhau.)  NHĨM SOẠN CHUN ĐỀ KHỐI 11 33 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Do đó:  + Với  x  k  k  69 207   69   Vì  x   ;     0,  k   20,     nên   14 10 14 10 14 10  ( k  )  Suy ra:  k  1; 2;3; ; 20  Có  20  giá trị  k  nên có  20  nghiệm.  + Với  x     69   69     l   Vì  x   ;   nên    l   14 10 14 10  101  0, 095  l   6, ,  l    Suy  ra:  l  0;1; 2;3; ;6   Có    giá  trị  l   nên  có    21 15 nghiệm.     69 106   69  + Với  x    l   Vì  x   ;    0, 238  l   7, 06   nên     l   14 10 21 15 14 10   ,  l   Suy ra:  l  1; 2;3; ; 7  Có   giá trị  l  nên có   nghiệm.  Vậy số nghiệm của phương trình là  20    34   Câu [1D1-3.5-3] Nghiệm dương nhỏ nhất của pt   2sin x  cos x 1  cos x   sin x  là:  A x     B x  5   C x     D x   12   Lời giải Chọn Ta có  A  2sin x  cos x 1  cos x   sin x   2sin x  cos x 1  cos x   1  cos x 1  cos x    x    k 2 cos x  1     1  cos x  2sin x  1     x   k 2  sin x           5 x   k 2   Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:  x    Câu   [1D1-3.2-1] Nghiệm của pt  cos x  sin x cos x   là:     A x   k ; x   k    B x   k    2  5 7 C x   k    D x   k ; x   k 6   Lời giải Chọn Ta có  A   cos x  sin x cos x   cos x  cos x  sin x    cos x cos  x    4    NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 34 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH     cos x  0           x   k x        cos  x      x      k x  4     Câu   k   k    [1D1-3.5-1] Nghiệm dương nhỏ nhất của pt  2sin x  2 sin x cos x   là:  3   A x    B x    C x    D x     4 Lời giải Chọn Ta có  A   2sin x  2 sin x cos x   sin x  cos x   sin x  x  k     cos x    x   3  k 2     Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của pt là:  x  Câu [1D1-3.5-4] Tìm  số  nghiệm  3   trên  2( sinx  1)( sin 2 x  3sinx  1)  sin4 x.cosx   A 1  B 2  khoảng  ( ; )   của  C 3  Lời giải phương  trình:  D 4  Chọn C Ta có phương trình đã cho tương đương với    cos x   sin x  1   3sin x  1  sin x.cos x       sin x  1  6sin x  cos x   sin x.cos x     sinx  1  6sinx   sinx.cos4x  cos4x  sin4x.cosx    3(1  2sin x)  3sinx  sin5 x  cos x        3cos x  3cos  x    cos  x    cos x   2    3x  x  9x  x   3.2.cos (  ).cos(  )  2.cos (  ).cos (  )   4 4 3x  x 3   x   cos    3cos(  )  cos(  )     4    3 x    x  k 2 cos(  )    x   2 3x    cos(  ).cos (  )     4  x    k 2 cos( x   )      3 Vì  x  (; )  nên suy ra  x   , x  , x    Câu [1D1-3.5-4] Giải phương trình  sin 2 x  cos x  NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 35 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP A x  k 2, k   B x  k HỌC TOÁN THẦY THÀNH 2 ,k   ,k    Lời giải C x    k , k   D.  x  k   x  k Chọn D sin x  cos x   cos x  cos 2 x      cos 3x  cos x  cos 3x  cos x     5x x 5x x sin cos cos    2 2   sin x.sin x     2sin k  x sin x       k      sin x   x  k Câu [1D1-3.5-4] Phương trình  4cos x  2cos x  cos x   có các nghiệm là:       x   k x k   , k       A B , k        x  k 2 x  k  2  x   k C  , k      x  k      x   k D  , k     x  k   Lời giải Chọn A 4cos x  2cos x  cos x   4cos x  2cos x   cos x    cos x  cos 2 x  cos x  cos x  cos x  cos x  1    cos x  cos x.2 cos x  cos x 1  cos x.cos x      cos x 1   cos x  1 cos x    cos x  2 cos x  cos x  1    cos x  cos x       cos x  1  2 cos x  cos x  1   2 cos x  cos x   cos x    x   k    cos x   , k       cos x  cos x    VN   x  k 2  Câu 10 [1D1-3.5-3] Phương trình  2sin x  cos x  sin x    có nghiệm là: NHĨM SOẠN CHUN ĐỀ KHỐI 11 36 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH   x   k  5  k  ,  k     A  x    x  k     x   k 2  5  k 2 ,  k    B  x     x  k 2     x   k 2   C  x    k 2 ,  k       x  k 2     x   k 2   D  x    k 2 ,  k      x  k  Lời giải Chọn B 2sin x  cos x  sin x    2sin x  cos x  2sin x cos x        x   k 2  cos x  5    cos x  11  2sin x     x   k 2    sin x     x  k 2  Câu 11 [1D1-3.5-3] Phương trình  sin 3x  cos x   2sin x cos x  tương đương với phương trình sin x  sin x  sin x  sin x   A    B .  C .D .  sin x  sin x  1 sin x  sin x       Lời giải Chọn A Ta có:  sin 3x  cos x   2sin x cos x    sin3x  cos x   sin 3x  sin x  sin x  sin x   sin x   sin x  Câu 12   [1D1-3.5-3] Giải phương trình sin x  cot x  tan x   4cos x A x  C x      k , x    k  , k      k , x    k 2 , k    B x  D x      k , x    k 2 , k      k , x    k  , k    Lời giải Chọn A sin x  Điều kiện:     cos x  Ta có:  sin x  cot x  tan x   4cos x   NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 37 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH 2sin x cos x cos x cos x    cos x    sin x    cos x  sin x.cos x  sin x.cos x     cos x   cos x     x   k , x    k    2 Câu 13 [1D1-3.2-3] Giải phương trình  cos3 x  sin x  cos x     A x  k 2, x   k , x   k  , k    B x  k 2, x   k , x   k 2 , k    4     C x  k 2, x   k , x   k  , k    D x  k , x   k , x   k  , k    4 Lời giải Chọn C Ta có:  cos x  sin x  cos x   cos x  sin x 1  sin x cos x    cos x  sin x  cos x  sin x      cos x  sin x  sin x cos x  sin x  cos x  1      cos x  sin x  sin x  1 cos x  1         sin  x    x   k   4 sin x  cos x       cos x     cos x      x  k 2     sin x   sin x   x   k 2   Câu 14 [1D1-3.5-3] Giải phương trình   sin x  cos x  tan x  A x    k 2, x  C x    k 2, x      k  , k     B x    k 2, x    k 2 , k      k 2 , k    D x    k 2, x    k  , k     Lời giải Chọn D Điều kiện:  cos x    sin x  0  cos x  x    k 2 cos x  1  sin x      1  cos x           tan x  1     cos x x    k     Ta có:   sin x  cos x  tan x    sin x  cos x  Câu 15 [1D1-3.5-3] Một họ nghiệm của phương trình  cos x.sin x  cos x   là:        A   k   B  k   C k   D k   6 Lời giải Chọn B   cos x  Ta có:  cos x.sin x  cos x   cos x    cos x       cos x  cos x cos x  2cos x      cos x 1  cos x     NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 38 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TOÁN THẦY THÀNH     cos x   x   k      k     cos x  1  x    k    Câu 16 [1D1-3.5-3] Phương trình  2sin x  cot x   2sin x  tương đương với phương trình   2sin x  1  2sin x  A    B    sin x  cos x  2sin x cos x  sin x  cos x  2sin x cos x   2sin x  1  2sin x  C    D    sin x  cos x  2sin x cos x  sin x  cos x  2sin x cos x  Lời giải Chọn D Điều kiện:  x  k    Ta có:  2sin x  cot x   2sin x  2sin x  cos x   4sin x cos x   sin x  sin x  sin x cos x  sin x  cos x   sin x 1  sin x   cos x 1  sin x      2sin     1  2sin x  sin x  cos x  2sin x cos x       sin x  cos x  2sin x cos x  Câu 17 [1D1-3.5-2] Giải phương trình  sin x  cos x   sin x  cos x    A x  C x     k  ,  k    B x    k ,  k      k 2 ,  k    D x    k 2 ,  k    Lời giải Chọn B pt  sin x 1  sin x   cos x  cos x  1        x   k x  cos x      sin x  sin    x  x  sin x  cos x       Câu 18   k  x k     k [1D1-3.5-2] Giải phương trình  tan x  tan x   sin 3x.cos x   A x  C x  k k , x    k 2 ,  k    ,  k    B x  k ,x    k 2 ,  k  D x  k 2 ,  k    Lời giải Chọn C cos x  Điều kiện:  cos x  NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 39 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH k  x  sin x  sin 3x   pt   sin x.cos x      cos x  1 cos x.cos x 1  cos x.cos x   cos 2 x   k  k  x x    k k   3 x x k         x   cos x  1   cos x  1 3      cos x   x    k      2   cos x  1     1     Câu 19   x  x  [1D1-3.5-3] Cho  phương  trình  sin    tan x  cos  (*)   và  x    k  (1),   2 4  x    k 2 (2),   x   k 2 (3),  với  k   Các họ nghiệm của phương trình (*) là:  A (1) và (2).  B (1) và (3).  C (1), (2) và (3).  D (2) và (3).  Lời giải Chọn A ĐK:  cos x   x    k      cos  x   (1  sin x) 1  cos x   sin x  cos x  (*)      (1  cos x)    cos2 x  sin x (1  sin x)(1  cos x)(1  cos x)   cos x    (1  cos x)   (1  cos x)   1    (1  sin x)(1  sin x)   sin x   x    k 2 1  cos x  cos x  1 cos x  1        x     k  cos x  (1  sin x )   cos x  sin x    tan x      Câu 20 [1D1-3.5-3] Phương trình  sin x cos 3x  sin x  sin 3x cos x  có nghiệm là:  k k , x   arccos  , k     4 12 k C Vô nghiệm.  D x  , k     A x  B x  k k , x   arccos  , k     48 Lời giải Chọn D PT  sin x cos3x  sin x  sin 3x cos x     sin x cos x  sin 3x cos x   sin x  sin x  2sin x cos x   sin x  2 x  k  k     x   cos x cos x   Câu 21 [1D1-3.5-4] Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình  sin x  sin x  cos x  cos x  là:   2   A .  B C .  D .    NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 40 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP HỌC TỐN THẦY THÀNH Lời giải Chọn C Ta có: sin x  sin x  cos x  cos x    sin x 1  2cos x   cos x 1  2cos x       sin x  cos x 1  cos x       tan x   x   k sin x  cos x     k       2       cos x   cos x  cos   2  x  k 2      Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là  x  Câu 22    [1D1-3.5-4] Một nghiệm của phương trình lượng giác:  sin x  sin 2 x  sin x   là.      A   B   C   D .  12 Lời giải Chọn C Ta có:  sin x  sin 2 x  sin x    cos x  cos x  sin 2 x   2  2 cos x  cos x     cos 2 x  cos x cos x     cos x  cos x  cos x      2cos 3x cos x cos x     sin 2 x   k  x    cos 3x    k   cos x    x      k       cos x    x    k  Câu 23 [1D1-3.5-4] Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình  cos x  cos x  sin x  sin x là?     2 A x    B x    C x    D x    3 Lời giải Chọn B cos x  cos x  sin x  sin x  cos x  2cos x  1  sin x  2cos x  1       cos x   x    k 2  ,  k       cos x  1 cos x  sin x     cos  x     x    k     4 Dùng máy tính thử vào phương trình, nghiệm nào thỏa phương trình và có giá trị nhỏ nhất thì  nhận.      NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11 41 ... k    Lời giải [1D1-3. 1-3] Nghiệm của phương trình:   13cos x  A x  k 2   B x  k    Chọn A cos x   cos x   x  k 2   Phương trình    4cos x  13cos x   Câu 12 [1D1-3. 1-2] Giải phương trình: ...   x      k 2     x   k 2  1  *  t   sin x   sin     2  x  5  k   Câu [1D1-3. 1-2] Nghiệm của phương trình:  2cos x  3sin x    là:     x   k x   k    1...  sin x   x  arcsin( )  k 2      sin x      x    arcsin( )  k 2  Câu [1D1-3. 1-3] Nghiệm của phương trình:  3cos x  sin 2 x  cos x   là  NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 11