Sử dụng phần mềm toán học giải và tạo câu hỏi trắc nghiệm vận dụng cao trong các đề minh họa môn toán

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE - - BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN Năm học : 2017 - 2018 1.Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN Trần Thanh Liêm – Trường THPT Chuyên Bến Tre Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn Mơ tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Đề tài xin đóng góp số ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào việc giải tốn, tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo câu hỏi tương tự cách xác, nhanh chóng; với lời giải rõ ràng hình vẽ minh họa trực quan Trong đề minh họa mơn tốn Bộ Giáo Dục đề thi thử tỉnh năm học 2017-2018 có số thay đổi có khoảng 15 câu hỏi khó, vận dụng cao mà thí sinh phải giải tự luận cách nhanh chóng xác; học sinh dựa vào bấm máy tính để suy luận, dự đốn kết Một số giải pháp đưa năm trước khai thác tính máy tính cầm tay để dự đốn kết tìm xác kết cách nhanh chóng, với đề minh họa năm ưu máy tính giải số câu định Do , để đạt kết thi với điểm số 8, 9, 10 học sinh phải có tảng kiến thức vững chắc, có thơng minh, nhạy bén phải có kỹ giải tốn nhanh chóng xác khơng phải dựa vào trí nhớ đoán nhờ trợ giúp máy tính cầm tay Đề tài nhằm giúp giáo viên hiểu rõ vấn đề phải giải thích tốn khó, tốn vận dụng cao Nhờ phần mềm tốn học giáo viên tính tốn nhanh chóng, xác vẽ hình ảnh minh họa trực quan, có ví dụ chứng minh trực quan, thuyết phục 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: Trong SKKN nầy đề cập đến vấn đề mà thực thành công có hiệu thời gian qua Sau tơi xin đóng góp cách xây dựng câu hỏi khó cách sử dụng phối hợp phần mềm Mathcad, Mathematica, Cabri 3D …để lập chương trình cho kết tự động cách xác, có lời giải rõ ràng tốt; cần thay đổi số liệu ta có kết khác từ xây dựng phương án nhiễu tạo tốn nhanh chóng, xác Cách sử dụng phần mềm có nhiều sách hướng dẫn thị trường Internet Sở Giáo Dục tập huấn thời gian trước Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1) Sử dụng phần mềm Mathcad, Mahematica, Cabri 3D giải số câu vận dụng cao : Trong đề tài giới thiệu phương pháp để giải số câu vận dụng cao sử dụng phần mềm toán học Mathcad, Cabri 3D, Mathematica để tạo toán tương tự toán Bài toán 1: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ 0; 2] Số phần tử S là: A B C D (Trích câu 36 đề minh họa Bộ Giáo Dục 2017-2018) Cách giải : Xét hàm số f ( x ) = x − 3x + m đoạn [ 0; 2] Ta có: f ' ( x ) = 3x − = ⇒ x = có: f ( ) = m;f ( 1) = m − 2;f ( ) = m + Do f ( x ) ∈ [ m − 2; m + 2] f ( x ) = m + = ⇔ m = 1( loai ) Nếu m − ≥ ⇒ Max [ 0;2] f ( x ) =m+  Max [ 0;2] Nếu m − < suy  Max f ( x ) = 2− m  [ 0;2] f ( x ) = m + = ⇔ m = ⇒ − m = < (thỏa) TH1: Max [ 0;2] f ( x ) = − m = ⇔ m = −1 ⇒ m + = < (thỏa) TH2: Max [ 0;2] Vậy m = 1; m = −1 giá trị cần tìm Cách giải : 3 Từ đề ta suy : x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ −3 ≤ x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ − x3 + 3x − ≤ m ≤ − x3 + 3x + 3, ∀x ∈ [ 0; ] ⇔ max ( − x + 3x − 3) ≤ m ≤ (− x + 3x+3) ⇔ −1 ≤ m ≤ x∈[ 0;2] x∈[ 0;2] Vì ứng với giá trị lớn nguyên nên m phải số nguyên , m = −1;0;1 Ở điều kiện cần, ta phải thử lại có m =-1 , m =1 thỏa mãn đề Nhận xét : Mỗi cách giải có ưu điểm riêng, cách giải phức tạp nhiều đạo hàm có nhiều nghiệm ; cách giải quen thuộc , dễ hiểu học sinh phải biện luận trường hợp Dựa vào cách giải 2, ta phân tích giải toán Mathematica tạo toán Giải Mathematica : 3 Từ đề ta suy : x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ −3 ≤ x − 3x + m ≤ 3, ∀x ∈ [ 0; 2] ⇔ max(− x + 3x − 3) ≤ m ≤ (− x3 + 3x+3) ⇔ −1 ≤ m ≤ ⇒ m = −1; 0;1 x∈[ 0;2] x∈[ 0;2] − x + 3x − 3) (− x + 3x+3) lệnh sau : Ta tìm xm∈[ ax( x∈[ 0;2] 0;2] Vậy −1 ≤ m ≤ suy có giá trị nguyên m m= -1;0;1 Học sinh thử lại chức Table máy tính cầm tay thay m = -1; m = ; m =1 (Thực muốn xác học sinh phải m vào hàm số khảo sát nhanh ) Trong Mathematica ta có lệnh Table tương tự máy tính cầm tay : Lệnh cho giá trị hàm số đoạn 0; 2 với bước nhảy ¼ , theo kết giá trị lớn hàm số Tương tự : Trong giảng dạy, giáo viên muốn minh họa trực quan để học sinh thấy thuyết phục hơn, vẽ đồ thị hàm số Mathematica sau : Theo đồ thị, giá trị lớn hàm số đoạn [0;2] nên loại Vậy đáp số m = -1; m = Trên cách giải cụ thể lệnh Mathematica Tuy nhiên để sáng tạo toán với kết nhanh chóng ta lập lệnh đặc biệt sau : Kết hiển thị nhanh chóng xác, lệnh giúp giáo viên tạo tốn : Vậy ta có tốn : Bài toán 1.1: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = 2x − 6x + m − đoạn [ −2;1] Số phần tử S là: A B C Ta cần thử lại với m =0 , m=1, m=2 Vậy m =0 nhận giá trị lớn Vậy m = loại giá trị lớn 4.Có thể kiểm đồ thị : D Vậy m =2 nhận giá trị lớn Vậy có giá trị m thỏa tốn Khơng phải lúc tốn dạng có nghiệm, Mathematica cho ta kết tức thì, giáo viên khơng phải cơng sức để giải tốn : Bài toán 1.2: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ −1;3] Số phần tử S là: A B C D Vậy toán vơ nghiệm Chọn C Ta điều chỉnh đoạn cần xét, giá trị lớn để có số giá trị m ý muốn Bài toán 1.2: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ 0; 2] Số phần tử S là: A B C D Thử lại : Vậy giá trị lớn hàm số nên nhận m =0 Chọn A Tương tự cách làm ta tạo số toán tương tự sau : Bài toán 1.3: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ −1; 2] Tổng phần tử S là: A -2 B C D Thử lại nhận giá trị m= -2; m =0 Bài toán 1.4: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho giá trị lớn hàm số y = x − 3x + m đoạn [ −1; 2] Số phần tử S là: A B C Chọn m = -1 D Nếu chỉnh lại giá trị lớn 4, ta có kết Khơng có m thỏa đề Bài tốn : Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y = f ( − x ) đồng biến khoảng sau đây? A ( 1;3) B ( 2; +∞ ) C ( −2;1) D ( −∞; −2 ) (Trích câu 39 đề minh họa Bộ Giáo Dục 2017-2018) Cách giải : Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta suy bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau : Ta có nhận xét đồ thị hàm số y = f ( x ) đồ thị hàm số y = f ( − x ) đối xứng qua trục tung nên ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số y = f ( − x ) sau : Từ suy bảng biến thiên y = f ( − x ) chọn kết Cách giải phức tạp đòi hỏi học sinh phải nắm vững phép biến đổi đồ thị, dễ nhầm lẫn, thao tác chậm Cách giải : Ta có f ( − x )  ' = f ' ( − x ) ( − x ) ' = − f ' ( − x ) > ⇔ f ' ( − x ) <  − x < −1 x > ⇔ Dựa vào đồ thị f’ ta có: f ' ( − x ) < ⇔  1 < − x <  −2 < x < Vậy hàm số đồng biến ( −2;1) Chọn C Nhận xét : Cách giải so với cách có nhiều ưu điểm, cách giải đơn giản dễ hiểu Tuy nhiên có nhiều học sinh thắc mắc dựa vào đồ thị f’(x) lại suy kết cho f’(x-2) ; điều học sinh giỏi em hiểu được, học sinh dùng phần mềm Mathematica minh họa đồ thị cho học sinh sau : * Ta chọn hàm số thỏa mãn đồ thị y =f ’(x) lệnh : 10 Bài toán 2.1 : Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y = f ( − x ) đồng biến, nghịch biến khoảng nào? Cách giải : Hàm số đồng biến : f ( − 2x )  ' = f ' ( − 2x ) ( − 2x ) ' = − 2f ' ( − 2x ) > ⇒ f ' ( − 2x ) < Dựa vào đồ thị f’ ta có: f ' ( − 2x ) < ⇔ − 2x < −1 ⇔ x > Khoảng đồng biến : ( 1; +∞ ) Hàm số nghịch biến : f ( − 2x )  ' = f ' ( − 2x ) ( − 2x ) ' = − 2f ' ( − 2x ) < ⇒ f ' ( − 2x ) > Dựa vào đồ thị f’ ta có: f ' ( − 2x ) > ⇔ − 2x > −1 ⇔ x < Khoảng nghịch biến : ( 1; +∞ ) Thử lại : Tìm hàm f(1-2x) : thay x 1- 2x vào biểu thức f(x) : 12 Vậy kết xác Ta tạo tốn phức tạp sau : Bài toán 2.2 : Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hỏi hàm số y = f ( x − ) đồng biến, khoảng nào? Cách giải : Hàm số đồng biến : f ( x − )  ' = f ' ( x − ) ( x − ) ' = 2x f ' ( x − ) >   Trường hợp : Nếu x > Ta phải có f ' ( x − ) > Dựa vào đồ thị f ’ ta có:  x − > −1  x > f '( x − 2) > ⇔  ⇔ ⇒ x >1 x > x > Trường hợp : Nếu x < 13 Ta phải có f ' ( x − ) < Dựa vào đồ thị f ’ ta có:  x − < −1  x < f ' ( x − 2) < ⇔  ⇔ ⇒ −1 < x < x < x <   Vậy hàm số đồng biến khoảng : ( −1; ) , ( 1; +∞ ) Kiểm tra đồ thị : Kết tìm xác Tương tự, ta tạo toán : Bài toán 2.2 : Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị   hình bên Hỏi hàm số y = f  ÷ đồng biến,  x +1 khoảng nào? Cách giải : 14 Hàm số đồng biến :         f ' ÷> f  x + ÷ ' = f '  x + ÷  x + ÷' = −       ( x + 1)  x +    Ta phải có f '  ÷<  x +1  Dựa vào đồ thị f ’ ta có:   x + < −2   f ' ⇔ ÷< ⇔   x +1  1 < <  x +     Vậy hàm số đồng biến khoảng : ( −∞; −2) ,  − ; −1÷,  − ; +∞ ÷     Có thể kiểm tra đồ thị Bài tốn 3: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = 3x − 4x − 12x + m có điểm cực trị? A B C (Trích câu 43 đề minh họa Bộ Giáo Dục 2017-2018) Cách giải : 15 D Xét hàm y = 3x − 4x − 12x + m số có x = y ' = 12x − 12x − 24x = ⇔ 12x x − x − = ⇔  x = −1  x = ( ) Lập bảng biến thiên đồ thị hàm số f ( x ) = 3x − 4x − 12x + m ta có : f ' ( x ) = 12x − 12x − 24x = 12x(x − x − 2) Đồ thị hàm số y = 3x − 4x − 12x + m vẽ cách : +) Lấy đối xúng phần đồ thị hàm số nằm phía trục Ox qua trục Ox +) Xóa phần đồ thị bên trục Ox.Do để đồ thị hàm số y = 3x − 4x − 12x + m f ( ) > m >   f ( −1) < ⇔ −5 + m < ⇔ < m < có điểm cực trị :    −32 + m < f ( ) < m ∈ Z ⇒ m ∈ { 1; 2;3; 4} Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Cách giải : 3 Đặt f ( x ) = 3x − 4x − 12x → f ' ( x ) = 12x − 12x − 24x; ∀x ∈ ¡ y = f (x ) = f (x ) ⇒ y ' = f '(x ) f (x ) f (x ) 16 f ' ( x ) = Phương trình y ' = ⇔  f ( x ) = − m 12x − 12x − 24x = ⇔ ( *) f ( x ) = − m ( *) y = f (x ) có điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt Mà f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt x = -1, x = 0, x=2 Nên f ( x ) = − m phải có nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 0, x=2 Lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) Theo bảng biên thiên (*) có nghiệm phân biệt ⇔ −5 < − m < ⇔ m ∈ ( 0;5 ) Kết hợp với m ∈ ¢ suy có tất nghiệm nguyên m ∈ { 1; 2; 3; 4} Có thể kiểm tra kết cách cho Mathematica vẽ đồ thị : 17 Với m =1 : đồ thị hàm số sau Với m =2 : đồ thị hàm số sau Với m =3 : đồ thị hàm số sau Với m =4 : đồ thị hàm số sau Với trường hợp ta thấy hàm số có điểm cực trị Thử vẽ đồ thị với m = 0, m =5 ta thấy có điểm cực trị 18 Với m =0 : đồ thị hàm số sau Với m =5 : đồ thị hàm số sau Nhận xét : hai cách giải có lợi riêng, ta chọn cách để sáng tạo toán sau : Bước : Tạo hàm số fp(x) có điểm cực trị, chẳng hạn Bước : Tìm nguyên hàm hàm số fp(x) đặt hàm f Ta đặt toán : Bài toán 3.1: Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = 3x − 8x − 6x + 24x + m có điểm cực trị? A B C Ta có lời giải sau : 3 Đặt f ( x ) = 3x − 8x − 6x + 24x → f ' ( x ) = 12x − 24x − 12x + 24 y = f (x ) = f (x ) ⇒ y ' = f '(x ) f (x ) f (x ) 19 D f ' ( x ) = Phương trình y ' = ⇔   f ( x ) = − m 12x − 24x − 12x + 24 = ⇔ ( *) f ( x ) = − m ( *) y = f (x ) có điểm cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt Mà f ' ( x ) = có nghiệm phân biệt x = -1, x = 1, x=2 Nên f ( x ) = − m phải có nghiệm phân biệt khác x = -1, x = 1, x=2 Thay lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) , giáo viên dùng Mathematica vẽ nhanh đồ thị f(x) Theo bảng biên thiên (*) có nghiệm phân biệt ⇔ < − m < 13 ⇔ m ∈ ( −13; −8 ) Kết hợp với m ∈ ¢ suy có tất nghiệm nguyên m ∈ { −12; −11; −10; −9} Có thể kiểm tra kết cách cho Mathematica vẽ đồ thị để xác nhận kết đúng, chẳng hạn : 20 Có điểm cực trị Trong với m =-13 có điểm cực trị Tương tự cách làm trên, ta tạo tốn khó : Bài tốn 3.2: Có giá trị ngun tham số m để hàm số y = 12x − 30x − 20x + 60x + m có điểm cực trị? A 10 B C 19 D 22 Bài toán gây nhiều khó khăn cho học sinh chọn giải phép lấy đối xứng, tịnh tiến đồ thị y = 12x − 30x − 20x + 60x , giải cách học sinh tiết kiệm thời gian nhiều 21 Với cách giải ta có kết : phương trình f’(x) =0 có nghiệm nên phương trình f(x) = - m phải có nghiệm, lập bảng biến thiên ( dễ ), vẽ nhanh đồ thị Mathematica để dễ thấy ảnh, minh họa trực quan −m ∈ { 1, 2, ,19} ⇒ m ∈ { −1, −2, , −19} Chẳng hạn : 22 Tương tự ta tạo vô số tốn Bài tốn 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;1; ) Hỏi có mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC ≠ ? A B C D (Trích câu 41 đề minh họa Bộ Giáo Dục 2017-2018) Giải : Đáp án A Phương trình mặt phẳng ( P ) với x y z + + = 1, với A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0;c ) a b c a b c Ta có OA = OB = OC ⇔ a = b = c M ∈ ( P ) ⇒ + + = ( *) Ta có trường hợp : Nhưng trường hợp trùng với trường hợp Ta xét trường hợp : a = b = c  a = b = −c , mà a = b = −c không thỏa mãn điều kiện (*) Suy   a = − b = c  a = − b = −c Vậy có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán Bằng Mathcad ta lập chương trình giải tự động sau : 23 Vơ nghiệm Vậy có mặt phẳng thỏa đề Tương tự ta tạo tốn : 24 Bài tốn 4.1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; −1; −2 ) Hỏi có mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC ≠ ? A B C D Bài tốn 4.2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1; 2; ) Hỏi có mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho OA = OB = OC ≠ ? A B C D Mở rộng hơn, phương pháp giải tương tự : Bài tốn 4.3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;1; ) Hỏi có mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho OA = 2OB = 3OC ≠ ? A B C D Bài toán 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 1;9; ) Hỏi có mặt phẳng ( P ) qua M cắt trục x’Ox, y’Oy, z’Oz điểm A, B, C cho 8OA = 12OB + 16 = 37OC , xA > 0, zC < ? A B C D 3.3 Khả áp dụng giải pháp: - Giáo viên áp dụng phương pháp nầy để giải sáng tạo toán cho học sinh rèn luyện trước kì thi - Điểm sáng tạo giải pháp kết hợp số lệnh Mathmatica, Mathcad để giải toán thi tốt nghiệp với kết nhanh chóng, xác Khi thay đổi liệu ban đầu tốn kết cập nhật cách xác nhanh chóng - Sử dụng giải pháp đề tài giáo viên giảng dạy cho lớp 12 để ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia 25 - Đề tài dùng làm tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi trường trung học phổ thông ứng dụng công nghệ thông tin giải toán 3.4 Hiệu thu áp dụng sáng kiến: - Việc ứng dụng phần mềm giảng dạy mơn Tốn bước đầu đạt số kết sau: + Tiết kiệm nhiều thời gian, công sức biên soạn tài liệu + Tạo nhiều toán với kết nhanh chóng, xác - Góp phần ứng dụng cơng nghệ thông tin giảng dạy, việc làm cần thiết cần nhân rộng + Kết thu áp dụng giải pháp : giáo viên soạn nhiều tập cho học sinh thực hành, học sinh đạt nhiều kết tốt 3.5 Các tài liệu kèm theo : - file “ Bảng mô tả sáng kiến kinh nghiệm” Bến Tre, ngày 19 tháng năm 2018 26 ... kiến kinh nghiệm 1) Sử dụng phần mềm Mathcad, Mahematica, Cabri 3D giải số câu vận dụng cao : Trong đề tài giới thiệu phương pháp để giải số câu vận dụng cao sử dụng phần mềm toán học Mathcad,...1.Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHẦN MỀM TOÁN HỌC GIẢI VÀ TẠO CÁC CÂU TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO TRONG CÁC ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN Trần Thanh Liêm – Trường THPT Chuyên Bến Tre Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng... trạng giải pháp biết: Đề tài xin đóng góp số ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào việc giải tốn, tạo câu hỏi trắc nghiệm tạo câu hỏi tương tự cách xác, nhanh chóng; với lời giải rõ ràng hình vẽ minh họa