CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐA THỨC BẬC BỐN 3 BIẾN THỰC TRÊN MÁY TÍNH

CHỨNG MINH CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐA THỨC BẬC BỐN BA BIẾN THỰC TRÊN MÁY TÍNH Nguyễn Quốc Anh Điện lực Tân Châu 4-5-2016 Tóm tắt nội dung Sự bùng nổ công nghệ thông tin ảnh hưởng đến nhiều ngành khoa học khác nhau, có tốn học Những vấn đề tốn học Đại số, Giải tích, Số học, giải chương trình máy tính nhiều giải toán bất đẳng thức phần mềm máy tính chưa phổ biến Trong viết ta tìm hiểu nhanh việc dùng máy tính để chứng minh bất đẳng thức, cụ thể bất đẳng thức đa thức bậc bốn ba biến thơng qua chương trình degree4 chạy phần mềm Maple, để có nhìn việc sử dụng máy tính chứng minh bất đẳng thức Bài toán mở đầu Ta bắt đầu với tốn sau Bài tốn Hãy tìm số k tốt cho bất đẳng thức sau đúng: f4 (x, y, z) = x4 + y + z + k(x3 y + y z + z x) − (k + 1)(xy + yz + zx3 ) ≥ với x, y, z số thực Phân tích Khi đứng trước tốn kiểu rắc rối mà ta thường gặp phải là: Tìm k nào? hay k nằm khoảng giá trị nào? Hãy giả sử ta có "cơng cụ" cho phép ta kiểm tra tính sai bất đẳng thức với giá trị k, ta sử dụng phương pháp chia đơi khoảng nghiệm để tìm giá trị gần k k=1 k=2 k = 1.5 k = 1.25 k = 1.125 k= f (x, y, z) ≥ f (x, y, z) ≥ f (x, y, z) ≥ f (x, y, z) ≥ f (x, y, z) ≥ true f alse f alse f alse f alse 125000001 f (x, y, z) ≥ f alse 125000000 Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Dễ nhận thấy giá trị k ngày giảm dần sau kiểm tra với 29 giá trị khác k ta biết rằng: 125000001 >k≥1 125000000 Ta chọn k = với độ xác lên đến 10 chữ số thập phân Bấy nhiêu đủ cho toán Tất tính tốn thực chương trình degree4, ta khoảng phút máy tính sử dụng xử lý Intel(R) Core(TM) i3 2.53 Ghz Quay lại toán ta chứng minh: f4 (x, y, z) = x4 + y + z + x3 y + y z + z x − 2(xy + yz + zx3 ) ≥ với trợ giúp máy tính ta có lời giải sau: f4 (x, y, z) = x2 + xy − zx − y 18 ≥0 Tuy nhiên mục ta không bàn nhiều cách máy tính tìm lời giải phương pháp chia đôi khoảng nghiệm có hiệu biết giá trị tốt k nằm khoảng mà thôi, ta khảo sát vấn đề phần sau Hai bổ đề giáo sư Vasile Cˆırtoaje Để hiểu cách thức hoạt động chương trình degree4, phần báo ta nói hai bổ đề dành cho bất đẳng thức đa thức bậc bốn giáo sư Vasile Cˆırtoaje tạp chí JAPM 2.1 Bổ đề Bổ đề Đặt f4 (a, b, c) đa thức đối xứng bậc Bất đẳng thức f4 (a, b, c) ≥ với số thực a, b, c ∀a f4 (a, 1, 1) ≥ f4 (a, 0, 0) ≥ Một vài ứng dụng Bài toán Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: 10(a4 + b4 + c4 ) + 64(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≥ 33 ab(a2 + b2 ) Lời giải Dựa Bổ đề nêu mục trên, ta cần chứng minh toán hai trường hợp b = c = b = c = http://www.ijpam.eu/ Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học • Trường hợp b = c = toán trở thành: 10a4 − 66a3 + 128a2 − 66a + 18 ≥ ⇔ 2(5a2 − 3a + 1)(a − 3)2 ≥ Hiển nhiên vì: 5a − 3a + = a − 10 2 + 11 >0 20 • Trường hợp lại b = c = toán trở thành: 10a4 ≥ hiển nhiên Đẳng thức xảy a = b = c hoán vị tương ứng Bài toán Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: 81(a4 + b4 + c4 ) + 11(a + b + c)4 ≥ 42(a + b + c)2 (a2 + b2 + c2 ) Lời giải Sử dụng Bổ đề ta cần chứng minh toán hai trường hợp b = c = b = c = • Trường hợp b = c = toán trở thành: 50 a4 − 80 a3 + 12 a2 + 16 a + ≥ ⇔ 2(5a + 1)2 (a − 1)2 ≥ Hiển nhiên • Trường hợp lại b = c = toán trở thành: 50a4 ≥ hiển nhiên Đẳng thức xảy a = b = c a = 5t −t ,b = c = 3 Bài toán Cho số thực a, b, c chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2 )2 ≥ ab a2 − ab + b2 − c2 Lời giải Sử dụng Bổ đề ta cần chứng minh toán hai trường hợp b = c = b = c = • Trường hợp b = c = tốn trở thành: a2 (a − 2)2 ≥ • Còn b = c = bất đẳng thức trở thành: a4 ≥ Đẳng thức xảy khi: a2 + b2 + c2 = 2(ab + bc + ca) Bài toán Cho số thực a, b, c chứng minh bất đẳng thức sau đúng: (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4 ≥ (a4 + b4 + c4 ) Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Lời giải Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: f4 (a, b, c) = (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4 − (a4 + b4 + c4 ) ≥ Ta có f4 (a, 1, 1) = (5a4 + 28a3 + 42a2 + 28a + 59) Ta xét hai trường hợp a ≥ a < • Trường hợp 1: a ≥ ta có điều phải chứng minh • Trường hợp 2: a < ta có: 23 5a + 28a + 42a + 28a + 59 = (5a − 2a)(a + 3) + a + 2 2 + >0 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài toán Cho số thực p, q, r thỏa mãn + p + q = 2r Chứng minh bất đẳng thức sau đúng: a4 + p a2 b2 + qabc a≥r ab(a2 + b2 ) với số thực a, b, c + p ≥ r2 Lời giải Đặt f4 (a, b, c) = a4 + p a2 b2 + qabc a − r ab(a2 + b2 ) Sử dụng Bổ đề ta cần xét tốn hai trường hợp • Trường hợp 1: f4 (a, 1, 1) = (a − 1)2 (1 + p − r)2 + + p − r2 ≥ Đúng theo giả thiết • Trường hợp 2: f4 (a, 0, 0) = a4 ≥ Bất đẳng thức chứng minh xong, đẳng thức xảy a = b = c r−1 a = 0, b = c hoán vị Với trợ giúp Bổ đề 1, ta giải nhiều tốn khó, chí khó vài tính tốn đơn giản Bổ đề "hé mở" cho ta cách thức chương trình degree4 hoạt động nào, mà nói bổ đề cung cấp cho ta cơng cụ kiểm tra tính sai cho bất đẳng thức đa thức bậc bốn ba biến đối xứng Tuy nhiên bổ đề chưa đủ để giúp kiểm tra toàn bất đẳng thức đa thức bậc bốn ba biến, điều cần đến trợ giúp Bổ đề mà ta làm quen sau 2.2 Bổ đề Bổ đề Cho số thực a, b, c số thực p, q, r, s thỏa mãn: p + q − r − ≤ s ≤ 2(r + 1) + p + q − p2 − pq − q Thì bất đẳng thức sau đúng: a4 + r a2 b2 + sabc a≥p a3 b + q ab3 Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Một vài toán minh họa Bài toán Cho số thực a, b, c chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 + 2abc(a + b + c) ≥ a3 b + b3 c + c3 a Lời giải Dựa theo Bổ đề ta cần chọn hệ số p, q, r, s tiến hành so sánh được, công việc tương đối đơn giản xin dành lại cho bạn đọc Nhận xét Thú vị với trợ giúp máy tính ta có phân tích sau: f4 (a, b, c) = a4 + b4 + c4 + 2abc(a + b + c) − (a3 b + b3 c + c3 a) = (2a2 − b2 − c2 − ab + bc)2 + 4(ab + bc + ca)2 Với trợ giúp từ Bổ đề ta có đủ cơng cụ để kiểm tra tính sai tất bất đẳng thức đa thức bậc bốn ba biến Và xét theo khía cạnh Bổ đề mạnh "nhanh" so với việc sử dụng Bổ đề Chương trình degree4 3.1 Giới thiệu chương trình degree4 Chương trình degree4 viết chủ yếu tác giả ngơn ngữ Lập trình Maple2 phần bạn Tăng Hải Tuân viết Phiên degree4 1.0 chương trình viết vào năm 2013 tác giả sinh viên năm nhất, phiên nhiều lỗi khiếm khuyết cộng thêm việc học nên tác giả đành gác lại việc hoàn thiện chương trình đến phiên 2.0 trợ giúp từ bạn Tăng Hải Tuân, chương trình vận hành "trơn tru" không tránh sai sót khơng đáng có Đến phiên 3.0 đời vào khoảng cuối năm 2015 với góp ý "nhiệt tình" anh Lê Phúc Lữ chương trình hoàn thiện mắt bạn đọc 3.2 degree4 hoạt động nào? Sơ đồ khối sau cho bạn nhìn ngắn gọn cách thức mà degree4 hoạt động: Một phần mềm tính tốn hình thức, hãng Maplesoft (Symbolic Computation, Maplesoft) Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Khởi động degree4 Nhập bất đẳng thức cần chứng minh Xử lý bất đẳng thức Đối xứng? Hàm xử lý sai Hàm xử lý Bđt đúng? sai Tìm lời giải Bđt đúng+Lời giải Bđt sai Ngừng degree4 3.3 Hướng dẫn sử dụng chương trình degree4 Tuy degree4 viết nên nhiều chương trình ta quan tâm đến vài hàm quan trọng sgm, pro prove4 Khởi động chương trình degree4 sau khởi động Maple: > read "đường dẫn/degree4"; Nhập bất đẳng thức: > f:=bất đẳng thức cần chứng minh; Kiểm tra bất đẳng thức tìm lời giải: > prove4(f); Bất đẳng thức Maple 3.4 c Diễn đàn Tốn học Một vài ví dụ Ví dụ Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3(a3 b + b3 c + c3 a) Lời giải Thao tác máy tính: > f:=(a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3(a3 b + b3 c + c3 a); f := (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3(a3 b + b3 c + c3 a); > prove4(f); "This is a cyclic symmetric polynomial!" "This inequality is true! Try to solving:" "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." a2 − ab − ac − b2 + bc 18 −3 ab + ac + b2 − bc − c2 18 + −3 a2 + ab − ac − bc + c2 18 + 2 Ví dụ Cho số thực a, b, c, chứng minh rằng: 81 a4 + 81 b4 + 81 c4 + 11 (a + b + c)4 ≥ 42 (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 Lời giải Thao tác máy tính: > f:=81 a4 + 81 b4 + 81 c4 + 11 (a + b + c)4 ≥ 42 (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 ; f := 81 a4 + 81 b4 + 81 c4 + 11 (a + b + c)4 ≥ 42 (a + b + c)2 (a2 + b2 + c2 ); > prove4(f); "This is a symmetric polynomial!" "This inequality is true! Try to solving: " "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." 150 a2 − 120 ac − 150 b2 + 120 bc 900 −120 ab + 120 ac + 150 b2 − 150 c2 900 + −150 a2 + 120 ab − 120 bc + 150 c2 900 + 2 Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Tốn học Ví dụ Cho a, b, c số thực, chứng minh rằng: a2 + b + c 2 ≥ ab a2 − b2 + c2 + bc a2 + b2 − c2 + ca −a2 + b2 + c2 Lời giải Thao tác máy tính: > f:= a2 + b2 + c2 ≥ ab a2 − b2 + c2 + bc a2 + b2 − c2 + ca −a2 + b2 + c2 ; f := (a2 + b2 + c2 ) ≥ ab (a2 − b2 + c2 ) + bc (a2 + b2 − c2 ) + ca (−a2 + b2 + c2 ); > prove4(f); "This is a cyclic symmetric polynomial!" "This inequality is true! Try to solving: " "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." a2 − ab + ac − b2 + bc 18 2 ab + ac + b2 − bc − c2 18 −3 a2 + ab − ac + bc + c2 + 18 + Ví dụ Cho a, b, c số thực chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Lời giải Thao tác máy tính: Nếu khơng thích ấn bất đẳng thức vào hàm f ta nhập trực tiếp dùng % để gọi bất đẳng thức vừa nhập Ta nhập bất đẳng thức cần chứng minh trực tiếp vào Maple: > f:=a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ); f := a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c) ≥ 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ); > prove(f); "This is a symmetric polynomial!" "This inequality is false!" Nhận xét Một phản chứng dễ thấy (a, b, c) = 1, , −1 Ví dụ Cho số thực a, b, c chứng minh rằng: 51 2 (a b + b2 c2 + c2 a2 ) + (a2 bc + ab2 c + abc2 ) ≥ (a3 b + b3 c + c3 a + ab3 + bc3 + ca3 ) 3(a4 + b4 + c4 ) + Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Lời giải Thao tác máy tính: sau nhập chạy lệnh prove4 ta thu được: "This is a symmetric polynomial!" "This inequality is true! Try to solving: " "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." "Can’t give a solution." 3.5 3 a2 + b2 + c2 − ab − ca − bc 2 2 Cơ sở tốn học Qua ví dụ hẳn bạn không khỏi ngạc nhiên chạy để đưa lời giải vậy? Tất nhiên toán học chút phép màu đến từ Maple Lợi đến từ máy tính Một ưu điểm vượt trội máy tính so với người, khả tính toán nhanh hẳn Tận dụng ưu điểm ta quy việc viết bất đẳng thức thành dạng tổng bình phương cách giải hệ Tất nhiên ta giải tay lâu, với trợ giúp máy tính ta vài giây Ví dụ việc phân tích: f4 (a, b, c) = 2(a4 + b4 + c4 ) + 6(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) − 4(a3 b + b3 c + c3 a) − 4(ab3 + bc3 + ca3 ) Ta giả sử f4 (a, b, c) phân tích thành dạng (ka + lb + oc)4 ≥ k, l, o số thực cần tìm Việc phân tích thực với vài dòng lệnh Maple > f:=2∗(a4 +b4 +c4 )+6(a2 ∗b2 +b2 ∗c2 +c2 ∗a2 )−4∗(a3 ∗b+b3 ∗c+c3 ∗a)−4∗(a∗b3 +b∗c3 +c∗a3 ); > g:=(k ∗ a + l ∗ b + o ∗ c)4 + (a ∗ o + b ∗ k + c ∗ l)4 + (a ∗ l + b ∗ o + c ∗ k)4 ; > Mm:=solve(subs(a=1,b=1,c=1,op(collect(f-g,[a,b,c],distributed))),k,l,o); > subs(Mm[3],g); (a − b)4 + (b − c)4 + (c − a)4 3.6 Một vài câu hỏi Trong dòng hồi đáp từ phía máy tính ngồi hai dòng đầu tương đối dễ hiểu dòng hiển thị "Can’t give a solution." mang ý nghĩa gì? Trong trình viết nên chương trình tác giả viết thuật tốn cho bốn kiểu phân tích bình phương khác Mỗi dòng "Can’t give a solution." mang ý nghĩa bất đẳng thức cần chứng minh khơng thể phân tích dạng bình phương kiểu Các bạn tham khảo phần mã nguồn chương trình quy trình solve01, solve02, solve03 solve04 Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học Tại viết mã cho bốn loại phân tích bình phương? Thật có nhiều bốn cách phân tích bất đẳng thức đa thức bậc bốn dạng tổng bình phương, nhiên việc viết nhiều mã khiến chương trình trở nên ì ạch nặng nề Song, bạn gửi thêm ý tưởng dạng phân tích bình phương cho tác giả theo địa email Phân tích nhất? Tất nhiên khơng, xét lại Ví dụ 1, ta có phân tích thú vị là: f4 (a, b, c) = a4 + b4 + c4 + 2abc(a + b + c) − (a3 b + b3 c + c3 a) = (2a2 − b2 − c2 − ab + bc)2 + 4(ab + bc + ca)2 Nhưng thú vị hơn, chưa phải phân tích Máy tính đưa phân tích khác dù cồng kềnh: f4 (a, b, c) = a4 + b4 + c4 + 2abc(a + b + c) − (a3 b + b3 c + c3 a) = + + 1 1 a − ab − b2 + bc − c2 2 2 2 1 1 − a2 + b2 + ca − bc − c2 2 2 1 a + ab − b2 + ca + bc 2 2 + + + 2 1 1 − a2 + ab + ca + bc + c2 2 2 1 1 ab + b2 + ca + bc − c2 2 2 1 1 − a2 + ab − b2 − ca + c2 2 2 Đoạn mã cốt lõi toàn chương trình đoạn nào? Về phương diện người viết chương trình đoạn mã quy trình prove4 quan trọng nhất, đoạn mã cốt lõi tạo nên chương trình Như ta biết chương trình xây dựng xung quanh hai bổ đề giáo sư Vasile Cˆırtoaje nhiên để phân loại bất đẳng thức theo loại sử dụng bổ đề quan trọng Khép lại mở Chương trình degree4 minh họa phần cho bạn hiểu Chứng minh bất đẳng thức máy vi tính, dù chương trình nhiều khiếm khuyết Đơn giản mà nói ta cần cơng cụ "kiểm tra" cho phép ta biết bất đẳng thức hay sai, sau ta cần cơng cụ "lời giải" Cả hai quy trình phức tạp mặt lý thuyết, nhiên lại vô dễ để chuyển từ "lý thuyết" sang thành chương trình máy tính Một lời giải kiểu "máy tính" thường thấy sử dụng bất đẳng thức x2 ≥ Tài liệu [1] Yang Lu, Recent advances in automated theorem proving on inequalities, Journal of Computer Science and Technology, September 1999, Volume 14, Issue 5, pp 434-446 [2] Vasile Cirtoaje, Yuanzhe zhou, Necessary and sufficient conditions for cyclic homogeneous polynomial inequalities of degree four in real variables, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 9, Issue 1, Article 15, pp 1-17, 2012 10 Bất đẳng thức Maple c Diễn đàn Toán học [3] Video hướng dẫn sử dụng [4] Mathlinks [5] Diễn đàn toán học 11